天津市第一中学2025-2026学年高三上学期四月考（期末）数学试卷

天津一中2025-2026-1高三期末数学答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 > 8 A 0 0 0 9 B B 9 二、填空题 10 11 12 13 14 15 -3 1 x2+(y-2}=18 0.9；8.1 π37 (答案不唯一) 3：7 三、解答题 16、 解(1)由正弦定理ab及6=45sinB, sin A sin B 得a=45x5 6 …3分 2 2W5 ()()由余弦定理有cosB=。+c2-b_ …7分 2ac 3 (ii)因为B∈(0，π)，所以sinB>0, 从而sinB=V1-cos2B 6 3= …8分 3 sin2B-2sin Bcos B=2x62 …10分 3 3 3 c0s2B=2cos2B-1=2× 1 、3 -1= …12分 3 cos(2B-A)=cos2BcosA+sin2B sinA=- 6 …14分 17、 (I)取PC的中点为F,连结NF,BF, 因为N,F分别为PD,PC中点， 所以F∥CD且NF=CD, 2 因为AB1CD,ABCD 所以AB∥NF且AB=NF, 即四边形ABMN是平行四边形， 所以AN∥BF, 又AN平面PBC,BFC平面PBC, 所以AN∥平面PBC. (Ⅱ)取CD的中点为E,连结AE, 因为AB∥CD,CE=2 CD=1=AB, 所以四边形ABCE是平行四边形. 则AE=1, 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是正方形. 则AE⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD, 所以PA⊥AE,PA⊥AB. D E 则PA,AE,AB两两垂直. 如图建立空间直角坐标系A-3z,则A0,0,0),B(0,1,0),C1,1,0), D1,-1,0),P(0,0,2). 因此AP=(0,0,2),AD=1,-1,0),CD=(0,-2.0),PC=1,1,-2). 设平面PAD的一个法向量为m=(x,y,z),则 m4P=0,即2=0， x-y=0 m·AD=0, 令y=1,则x=1,所以m=(1,1,0), 2b=0, 设平面PCD的一个法向量为n=(a,b,c),则 nPC=0,得 a+b-2c=01 nCD=0 令c=1,则a=2,所以n=(2,0,) 设二面角的平面角为a,依题意，0<a<? 所以cosacos<m,n水m:mL=一2 =0 mm2×5=5, 所以二面角C-PD-A的余弦值为 5 ()依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M=(0,0,k),MC=1,1,-k). 又由（Ⅱ）得平面PAD的一个法向量为m=1,1,0), 设直线CM与平面PAD所成角为B, 所以sin B-cos<m,MC+mMC=1+lL=V m2√2+23 解得k=1(负值舍去)， 所以点M到平面PCD的距离为MCm_L=5 18、 (1)求椭圆C的方程 右焦点F(√3,0)，故c=√3。离心率 上2=6，得a=2.2=a2-c2=1,椭圆 e= 方程为至+少=1 (2)求直线1的斜率 设直线l:y=k(x-√③)，联立椭圆方程得 (1+4k2)x2-8v3k2x+43k2-1)=0。设 N(x2,2),左顶点A(-2,0),则AN中点 P(色。2，号）若0=02=：-20在 椭圆上，则2-2)2 +6=1。结合 星+哈=1，得2=1，代入椭圆得 。代入直线方程得太=士3+V3 9V3 4。 (3) 由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程 my+n,M(z1,y1),N (x2,y2). 由题意知直线1的斜率存在，设直线1的方程为 y=rx+s, 22 由4+=1，得 (y=Tx+§ (4r2+1)x2+8rsx+(4s2-4)=0, 所以 △=(8rs)2-4(4r2+1(4s2-4)=16(4r2-s)2-4(4r2+1(4s2-4④)=16(4r2-s2+1)=0 ，得s2=4r2+1, 所以 -8rs -8rs-4r x1= 2(4r2+1)）=2s2= 9,班=m1+8=42 所以=1，=-821=-1 1 y1 4 4y1 所以直线，的方程为y=一1”+1，即 1 4y1y1 T1 4+1y=1, 同理可得直线2的方程为心 4+2y=1. (E1 +y1y=1 由 4 4(y1-y2) T2T 解得x= ,可 +y2y=1 C2y1-x12 4 得T点的横坐标，即r=4(1-） x2y1-x13y2 又xT=4,可得x21-x12+2-1=0,所以 (my2+n)y1-(my1+n)2+2-1=0,整理 得(n-1)y1-(n-1)=0,即 (n-1)(1-2)=0,所以n=1, 所以直线的方程为x=my+1,即直线过定点 (1,0) 19、 1(1)求数列{an}的通项公式 设等差数列{an}的公差为d,已知a1=1,代入 递推关系2a5=a2+3a3: 2(1+4d)=(1+d)+3(1+2d) 展开化简得： 2+8d=4+7d→d=2 因此，通项公式为： am=1+(n-1)·2=2m-1 2(2)求解数列{bm}的前n项和及Kn (d)求数列{bn}的前n项和 由bn=∑21C%a,代入a=2i-1: bn=2∑1iC克-∑1C% 利用组合数公式： 。∑1Ci=n,2m-1(Ci=nCi-二1，求和得 n·2n-1) o∑1C%=2m-1(∑oC%=2”,减去 C9=1) 代入得 bm=2,n.2m-1-(2m-1)=n…2m-2m+1=(n-1)2m+1 设{bn}的前n项和为Sn,则： 设{bn}的前n项和为Sn,则： Sm=∑R1[(k-1)2+1=∑1(k-1)2k+n 令Tn=∑欢1(k-1)2,错位相减法求Tn: Tn=0.21+1.22+2.23+.+(m-1)2m 2Tn=0.22+1.23+…+(m-2)2m+(m-1)2m+1 相减得： -Tn=22+23+…+2m-(n-1)2m+1=(2m+1-4④)-(n-1)2m+1 化简得： Tn=(n-2)2n+1+4 因此，前n项和： Sn=(n-2)2m+1+4+n ()求数列{Kn}的通项公式 集合 Mn={b+bj|3n·2m-1+2<b+bj<n.2m+2+2,1≤i<} 分析b:+b的范围： bk=(k-1)2k+1递增，故b;+b随i,增大 而增大。 当j=n+1,i=1,2,.,n时，b:+bn+1落在 (L,U)内（验证n=1,2,3均成立）。 计算bn+1=n·2m+1+1,则： ∑-1(6b,+bn+1)=∑-1b:+n·bn+1=Sn+n.bn+1 代入Sm和bm+1的表达式，化简得： Kn=(m+2)[(n-1)2m+1+2] 3最终答案 (1)an=2m-1 (2)()）前n项和为(n-2)2n+1+n+4 (i)Kn=(n+2)[(m-1)2m+1+2] 20、 【详解】(1)若a=-1,则f(x)=xnx+2x2+1,所以f'(x)=hx+1+4x, 所以f'(1)=1+4=5,又(1)=2+1=3， 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-3=5(x-1),即5x-y-2=0. (2)①由题意知f'(x)=hx+1-4ar. 令8(x)=f'(x)=血x-4x+1,则g(x)=1-4a. 因为f(x)有两个极值点x,:(x<x),所以8(x)=0有两个不等正实根x,2(x<2). 若a≤0，g'(x)>0,则g(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x)在(0，+∞)上至多有一个零点，不符合题意： 若a>0,令g()=0,解得x=女所以当0<x<时，8>0， 4a 当x右时，g()<0,所以g()在(0品)上单调谴增，在品树上单调递减 所以x右时，8()取得极大值，即最大值为8分 =-h(4a), 所以&)-h(o)>0,解得0<a号 当0<a时，}0，又目)<0，所以}日}o, 由零点存在性定理知：存在唯一的x∈气。4a》 11 使得g(:)=0. 又8得h34a+1=-2ha1,令()=-2hx+1, 1” 所以=是兰4之，所以当0<<3时因0，当r2时，0. x- 所以4(x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 所以4(a)=-2na-4+1≤4(2)=-2h2-1<0, 所以8)0，所以)0, 由零点存在性定理知：存在唯一的名40云” 11 使得g(x2)=0. 所以当0<a<二时，8(x)=0有两个不等正实根x,. 综上，a的取值范围是 ②证明：由回知0<a<好且0<<行，所以右1， 因为ge)在(0如)上为婚函数。及80=1-4如>0，所以与<1， 又x2> 11 妇所以名> 因为g(x)=0,8(x2)=0,所以血x1-4ax+1=0,hx2-4a+1=0, 所以写h与=包低动，所以名字品 令h()=nr-2- 2(0<x<1), x+1 >0,所以h(x)在(0,1)上单调递增， 因为<，所以<1，所以n <h=0, X -1 所以m( <0,所以 x-<+龙 X2 +1 In -In x2 2 X2 = 所以4 1 生<空所+空 Inx-Inx2 2a 1+1-2=1-2 所以3x,-x=(+)+2(3-4)>2a+2a a天津一中2025-2026-2高三年级 数学学科四月考试卷 本试卷总分共150分，考试用时120分钟。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上 的无效。祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）（每小题5分） 1.设集合A={xW2x-1<1,B={Og*+1>0},则AnB=() A. B.(0,1) c2 D.(0,2) 2.已知直线l:ax+2y-a+1=0.l2:3x+(a-1)y-2=0,则“a=-2”是“l/1儿2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.函数f(x)= 2-2-x 的图象大致为( 4.已知空间中三条不同的直线a,b,c,三今不同的平面a,B,Y,则下列说法错误的是（) A若a∥b,ac,b丈a,则b∥ B.若Q⊥Y,B⊥Y,则a与B平行或相交 C.若a⊥B,ata,a⊥阝，则a∥a D.若a∩B=a,B∩y=b,anY=c,则a∥b∥c 天津一中2025-2026-2高三年级数学学科四月考试卷第1页共2页 1 5.若a=1og,4,b=log23c=22,则a,b,c之间的大小关系为（） A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.c>a>b 6.下列说法不正确的是（) A依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到x2=7.301>6635=x01,则依据：=0.01的 独立性检验，没有充分的证据推断x与y有关联 B.极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度 C.若事件A、B发生的概率分别为P(A)、P(B),且P(A)P(B)=P(AB),则A与B独立 D者随机安量X~4,a),且PX≥)=号则P0<X<)=号 7.已知函数f(x)=V2si(2x+p),(0<p<π)的一条对称轴方程为x= ·，设函数 2 8(x)=sin(x+p)-sin(x+2p),则下列结论正确的个数是（) 2 ②把函数g(x)图象上所有点的横坐标变为原来的子，】 就得到函数f(x)的图象 ③函致g(x)的图象关于点 -,0 中心对称 4 ④直线y=x-1是曲线y=g(x)的切线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 &已为R5是双鱼线C:兰卡=a>06>0的左，右病点，过点网的直线与双自左，右两 支分别交于AB两点若FB=5A,P为AB的中点，且F严.P瓦=0，则双曲线的渐近线方程为 () A少= 2 B.y=+10 2 C.y=1 -x D.y=t 2 2 9.在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两相互垂直，PC=√2，侧面PAB与底面ABC的夹角 为45°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为() A.10π B.18π C.20π D.40π 第II卷 二、填空题：（每小题5分） 10.已知复数z= 2-4i 则复数z的虚部为 1+i 11. 已知（√G+L”的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 12.满足经过点(3，一1)且与直线x+y+4=0相切的圆的方程是 l3.DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手，它能进行逻辑推理、解决复杂问题， 实现多模态数据融合与学习.某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输 入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98：如果出现语法错误，它回答正确的概率为 0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正 确相互独立.则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为 :现DeepSeek从给定的I0个问 题中随机抽取9个作答.设DeepSeek答对的题数为X,则X的均值为 14.如图，在△ABC中，AB=2,AC=1,E,D分别是直线AB,AC上的点， AE=2BE,CD=4AC,且BD.CE=-2,则cos∠BAC= 若P是线段DE上的一个动点，则BP.CP的最小值为 15.设函数f(x)=lnx+ax(a>0),若方程f(f(x)=x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围 是 三、解答题：（本大题共5小题，共75分） 16.（本题满分14分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=4V5sinB,A=2 3 (1)求a的值：(2)若a2+c2-b2=2 2ac.(i)求cosB的值：(ii)求cos(2B-A)的值， 3 17.(本题满分15分)如图，在四棱维P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABIICD,且CD=2,AB=1, BC=1,PA=2,AB⊥BC,N为PD的中点. (I)求证：AW∥平面PBC(2)求平面PCD与平面PDA夹角的余弦值： ()点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为Y 3 求点M到平面PCD的距离. 天津一中2025-2026-2高三年级数学学科四月考试卷第2页共2页 1收（体题清分15分》已克搭国C+号=1e>6>0)的右在有为P小N5.0,且C物高心深 为3 ,直线1与C有两个不同的交点M,N」 2 （1)求C的方程； (2)若点F在直线l上，点P是线段MN的中点，O为坐标原点，若C上存在点Q,使得 OQ+2OP=0,求直线1的斜率： (3)若C在点M,N处的切线分别为l,12,l与L2交于点T,点T在直线x=4上.试判断：直线l是 否过定点？若是，则求出该定点：若不是，请说明理由， 19.（本题满分15分)已知数列{an}的前项和为Sn,a1=1,且nam+1=Sn+n2+n. @运明：数列合}为等差数列 2)设6，=2C4, (i)求数列{bn}的前n项和： (ii)当n21时，设集合Mn={色，+b,3n2+2<b,+b,<n:2*2+21≤i<j,j∈N},集合Mn中 所有元素的和记为K。,求数列{Kn}的通项公式， 20.（本题满分16分) 已知函数f(x)=xnx-a(2x2+1)(aeR) (1)若a=-1,求f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)若∫(x)有两个极值点x1,x2（<x2)· (i)求a的取值范围： ()求证：3x-x>二-2. a