精品解析：江西吉安市吉安县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷

2025～2026学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷 （温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义，不能表示为两个整数之比的数是无理数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．0是整数，是有理数； B．是有限小数，是有理数； C．是有限小数，是有理数； D．是无理数； 故选：D． 2. 已知，是的一个解，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解本题的关键． 将给定的解代入方程，即可直接求参数 m 的值． 把代入方程，建立关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算是解题的关键． 根据合并同类二次根式进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、和，不是同类二次根式，故计算错误； 选项B、由于，故计算错误； 选项C、同类二次根式的计算，，故计算错误； 选项D、，故计算正确； 故选：D． 4. 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确； C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误； 故选∶B． 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 6. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加，h的增加量相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数的图象理解题目意思是解答本题的关键．根据函数图象，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意； B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶ C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶ D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 若点，在一次函数的图象上，则_________．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据解析式中，可得随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：在中，， 随的增大而增大， ，点，都在一次函数的图象上， ， 故答案为：． 9. 仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 10. 枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．当为______度时，AM与CB平行． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 11. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 【答案】，，，， 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 由不共线的三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题． 【详解】解：依题意，由不共线的三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为圆心，以为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 或以为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的点； 如图，共有符合要求的点坐标为：，，，，， 故答案为：，，，， 三、解答题（本题共5小题、每题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解二元一次方程组．解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则，加减法解二元一次方程组． （1）先对二次根式进行化简，再计算减法即可； （2）利用①-②消去x，求出y的值，代入②求出x的值即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：由①②得：， 解得：， 将代入②中，得， 解得：， ∴方程组的解为． 14. 我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： （1）的整数部分__________； （2）为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）先估算出所在的范围，进而作答即可； （2）先估算出所在的范围，进而求出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴． 15. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 【答案】每个小长方形的周长，大长方形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，根据题意以及图形中长方形的长相等建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形纸片的宽为厘米，长为厘米，根据题意得：， 则每个小长方形的周长厘米 根据大长方形的长相等则和组成方程组， 解得， 所以大长方形的面积为 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，其中点． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：_______． 【答案】（1）如图所示为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征找出，连线，进而根据平面直角坐标系作答即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，进而根据平面直角坐标系作答即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求； 根据对称，可知，根据两点之间线段最短，得到最小值为，由坐标系可知点的坐标为． 故答案为：． 17. 图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理的内容是关键；连接，由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ， ∵，， ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 四、解答题（本题共3小题．每题8分，共24分） 18. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： 某同学想要利用四分位数分析，两个团队的经营水平，表格为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%） 团队 团队理财产品收益率的方差：；团队理财产品收益率的方差：． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）表中__________，________； （2）从方差看，哪个团队理财产品收益率的稳定性更好． （3）该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示，请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【答案】（1）， （2）B团队理财产品收益率更稳定 （3）选择团队B的理财产品更合适 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）先将组数据从小到大排序，再计算出下四分位数和上四分位数即可； （2）根据方差特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：团队负责经营项理财产品收益率从小到大排列为： ∴， ∴为前个数据的中位数，为后个数据的中位数， ∴，； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：因为，所以团队理财产品收益率更稳定． 【小问3详解】 解：通过箱线图可知，团队产品收益率的中位数与团队的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队的产品收益率明显比团队的收益率的波动大，即团队的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队的理财产品更合适． 20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 五、解答题（本题共2大题，每题9分，共18分） 21. 2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？ （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为万元，销售甲种商品万件， ①用含的式子表示； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 【答案】（1）甲元，乙元；（2）①；②当时，万件 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价是y元，然后根据题意，可以得到关于x、y的二元一次方程组，从而可以求得甲种商品与乙种商品的销售单价； （2）①结合（1）根据题意，可以得到W与m之间的函数关系式； ②将W＝5400代入①中函数关系式即可求得销售甲种商品多少万件． 【详解】解：（1）设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价是y元， 由题意得，， 解得，， 答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价是600元； （2）①由题意得，， 即W与m之间的函数关系式是； ②当W＝5400时，5400＝300m+4800 解得，m＝2， 答：甲、乙两种商品的销售收入为5400万元时，则销售甲种商品2万件． 【点睛】本题考查二元一次方程组与一次函数的综合应用，根据题意列出相应的方程组和函数关系式是解题的关键． 22. 在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格． （1）网格中以为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）． （2）仿照（1）中的思路，在网格中设计以为边的正方形，并求出线段的长． （3）若C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 【答案】（1）2；；无理数 （2）正方形如图， （3）的立方根为2 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的定义，算术平方根的应用，求立方根等； （1）由网格可求出正方形的面积，由算术平方根求出边长，再由无理数的定义，即可求解； （2）有网格可求格点正方形为，算术平方根即可求解； （3）由相反数的定义得，求出、，即可求解． 理解实数与数轴，无理数的定义，会用算术平方根求解，会求立方根是解题的关键． 【小问1详解】 解：正方形的面积为， ， 由算术平方根得， 正方形的边长为， 是无理数； 故答案为：2；；无理数． 【小问2详解】 解：如图，构造以为边的格点正方形（答案不唯一）． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由条件，可知， ∴，且， 解得，． ， 的立方根为2． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接，点是射线上一动点 （1）填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____ （2）当点P运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点E是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； （3）当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； （4）点P是射线上一动点（点P不与点C、D重合），连接、，直接写出、与的数量关系， 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下： 由平移的性质可知，，， ， ， 平分， ，即， ， ． （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据坐标平移的特点填空即可； （2）由平移的性质可知，，，得到，再结合角平分线的定义，得出，即可得出结论； （3）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式求得，结合题意，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在延长线上时，过点作，根据平行线的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点C，点的对应点为点D， 则点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 又∵在线段上运动，点D的坐标是， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：①如图，当点在线段上时，过点作交于点， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ； ②如图，当点在延长线上时，过点作， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ，即； 综上可知，，与的数量关系为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷 （温馨提示：本试卷共23题，总分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知，是的一个解，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的下四分位数是80分 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 6. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加，h的增加量相同 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 8. 若点，在一次函数的图象上，则_________．（填“”、“”或“”）． 9. 仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 10. 枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．当为______度时，AM与CB平行． 11. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则________． 12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图在的网格中，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点，若连接不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标为_______． 三、解答题（本题共5小题、每题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程组： 14. 我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： （1）的整数部分__________； （2）为的整数部分，为的小数部分，求解的值． 15. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，其中点． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：_______． 17. 图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 四、解答题（本题共3小题．每题8分，共24分） 18. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 19. 某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： 某同学想要利用四分位数分析，两个团队的经营水平，表格为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%） 团队 团队理财产品收益率的方差：；团队理财产品收益率的方差：． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）表中__________，________； （2）从方差看，哪个团队理财产品收益率的稳定性更好． （3）该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示，请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 20. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 五、解答题（本题共2大题，每题9分，共18分） 21. 2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？ （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为万元，销售甲种商品万件， ①用含的式子表示； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 22. 在学习《实数》时，我们思考了在网格中画格点（网格线的交点）正方形（顶点都在格点上的正方形）的问题．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格． （1）网格中以为边的格点正方形的面积是________．如图，以原点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴交于点B，则点B表示的数m为________，说明可以在数轴上表示________（填“有理数”或“无理数”）． （2）仿照（1）中的思路，在网格中设计以为边的正方形，并求出线段的长． （3）若C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根． 23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接，点是射线上一动点 （1）填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____ （2）当点P运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点E是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； （3）当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； （4）点P是射线上一动点（点P不与点C、D重合），连接、，直接写出、与的数量关系， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $