专题01 平行线的判定与性质（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题01 平行线的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行线的判定（常考点） 1 题型二、平行线性质（重点） 2 题型三、网格中平行线相关的作图（常考点） 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行线的判定 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 3．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 4．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 题型二、平行线性质 1．如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 2．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．一个角的两边和另一个角的两边彼此平行且这个角比另一个角的2倍多，则这个角的度数是 ． 5．如图，，．点P是射线上一动点(与点A不重合)，平分交于点C，平分交于点D．    （1）则 ； （2）当点P运动时，与之间的数量关系是 ． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，．证明： (1) (2)． 7．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 题型三、网格中平行线相关的作图 1．（12-13七年级上·江苏泰州·期末）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是 ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“”表示出来） ． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 4．（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 5．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图所示，若，则 // ． 8．（2025--2026学年上学期九年级数学期末试卷）如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若，则的度数为 ． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点分别在线段上，连接，若，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴________． 13．（24-25七年级下·天津·月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按下列要求进行作图： (1)请你画出的平行线； (2)平移三角形，使三角形的顶点与点重合，点与点对应，点与点对应． 14．（25-26八年级上·贵州·期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，H，D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由； (2)求证：． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行线的判定（常考点） 1 题型二、平行线性质（重点） 4 题型三、网格中平行线相关的作图（常考点） 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行线的判定 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴，该选项符合题意； B. ∵， ∴，该选项不符合题意； C. ∵， ∴，该选项不符合题意； D. ∵， ∴，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 3．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点 （1）根据题意得到，进而证明； （2）根据题意，进而得到，进而证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴． 4．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 题型二、平行线性质 1．如图，在三角形中，于点，于点，，是的平分线，则图中与相等的角（不包含）的个数为（    ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线，根据角平分线平分角，结合平行线的性质，进行判断即可．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即：图中与相等的角（不包含）的个数为4个； 故选D． 2．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． ①根据平行线的传递性可以判断出来； ②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得， 即，联立可求得结果； ③根据以及，可求得结果； ④根据即以及，可求得结果； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确 ②∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴故④不正确； 正确的有个：①②③， 故选：A． 4．一个角的两边和另一个角的两边彼此平行且这个角比另一个角的2倍多，则这个角的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】此题考查平行线的性质，一元一次方程的应用．由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设其中一个角为x，由其中一个角比另一个角的2倍多，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程可求得这两个角的度数，据此求解即可． 【详解】解：如图1，，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，列方程得， 解得：，不符合题意舍去； 如图2，，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 设，列方程得， 解得：， 则， ∴一个角的两边和另一个角的两边彼此平行且这个角比另一个角的2倍多，则这个角的度数是 故答案为：． 5．如图，，．点P是射线上一动点(与点A不重合)，平分交于点C，平分交于点D．    （1）则 ； （2）当点P运动时，与之间的数量关系是 ． 【答案】 120° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补即可求出答案； （2）由平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，从而可得与之间的关系． 【详解】解：（1）∵，∴， 故答案为：； （2）∵， ，， 平分， ， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 7．（25-26七年级上·江苏常州·期末）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余．    (1)试说明：； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质及角平分线的有关计算． （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， 与互余， ， ， ； （2）解：∵，， ， ，平分， ， ． 题型三、网格中平行线相关的作图 1．（12-13七年级上·江苏泰州·期末）如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是 ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“”表示出来） ． 【答案】 ，见详解 ，共3对， 【分析】本题考查了平行线的定义，垂线的定义，线段的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，且结合线段的定义，进行列式计算，即可作答． （2）运用数形结合思想以及平行线的定义，进行分析，即可作答． （3）用三角尺或量角器度量、检验，且结合垂线的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）连接C、D、E、F中的任意两点，则有条线段， ∴共可得条线段，如图所示： 故答案为：； （2）观察图中信息，结合网格特征，得在（1）中所连得的线段中，与平行的线段是； 故答案为：； （3）用三角尺或量角器度量、检验，及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有，共3对． 故答案为：，共3对． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在如图所示的方格纸上，画，． （2）你发现与的大小有什么关系？请直接写出结论． 【答案】（1）作图见详解；（2）相等或互补 【分析】本题考查网格中作平行线、平行线的性质及互补定义，掌握平移性质是解决问题的关键． （1）连接，由图可知是矩形的对角线，如图所示，取格点，作直线即可得到；由是矩形的对角线，如图所示，取格点，作直线即可得到； （2）根据题意，作出图形，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ； 如图所示： ； （2）解：如图所示： ； ， ； 综上所述，与的大小关系为相等或互补． 3．（24-25七年级下·浙江温州·月考）如图，在方格纸中，的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图： (1)过点M作直线的平行线； (2)将平移至，使点M落在平移后的三角形内部（不含边界）． (3)请描述（2）中，到的平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 【分析】本题考查了平行线的作图、图形的平移作图及平移过程的描述，涉及网格中几何图形的操作．解题的关键是利用网格特点确定直线方向和平移距离，结合图形位置关系完成作图和描述． （1）根据网格中直线的倾斜趋势，过点 M 作与 方向一致的直线即为平行线； （2）通过网格确定平移方向和距离，使平移后的包含点M在内部； （3）根据原三角形与平移后三角形的位置变化，描述平移的方向和格数． 【详解】（1）解：所作平行线l如图所示． （2）解：平移得到的如图所示． （3）解： 先向右平移 5 个单位,再向下平移一个单位，得到． 4．（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据网格图画出图形即可； （2）根据网格图画出图形即可； （3）根据网格图画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质： （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据平移的性质即可得答案； （3）根据平移的性质得到，则，得到，则，由平移可知，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴. 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 3．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 5．（25-26七年级上·四川巴中·期末）如图，直线，若，于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据得到，根据“两直线平行同旁内角互补”得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C． 6．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 7．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图所示，若，则 // ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定，是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行即可判定． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：，． 8．（2025--2026学年上学期九年级数学期末试卷）如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：∵重力和拉力的方向是平行的， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上） ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【答案】①③ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定，理解折叠过程，根据平行线的判定方法即可解答． 【详解】解：由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行， 所以选①③． 故答案为：①③． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 12．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，点分别在线段上，连接，若，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴________（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴________（内错角相等，两直线平行）， ∴（________）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴________． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，根据角平分线定义可得，进而可得，据此再根据平行线的判定定理可得出； 根据平行线的性质可得，所以有，再根据平行线的判定定理即可得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴， 故答案为：；；两直线平行，同旁内角互补；． 13．（24-25七年级下·天津·月考）如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按下列要求进行作图： (1)请你画出的平行线； (2)平移三角形，使三角形的顶点与点重合，点与点对应，点与点对应． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，通过平移作图，由向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，将以同样的方式平移得到点，即为所求直线； （2）解：如图，即为所求， ． 14．（25-26八年级上·贵州·期末）如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，H，D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，即可得证； （2）由，得到，进而得到，得到，即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下 ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $