专题1.4 与平行线有关的旋转问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题1.4 与平行线有关的旋转问题 · 典例分析 【典例1】直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    （1）求的度数 （2）若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）． ①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①由得到由得到，则，解得即可． ②分两种情况，分别画出图形进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①解：如图②中，    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，t的值为． ②如图，当时，延长交于R．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，延长交于R．．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则 ． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 4．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．    5．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）【特例初探】如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请求的度数． （2）【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求的值． （3）【综合运用】如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 6．（23-24七年级下·广东广州·期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中和分别为含和含的直角三角板，其中，，，且．通过操作发现：    （1）如图1，将沿方向移动，得到，若，，，求四边形的周长； （2）将这副三角板如图2放置，点与点重合，并过点作直线平行于边所在的直线，求的度数； （3）在（2）的条件下，固定，将绕点A逆时针以的速度旋转秒，求当为何值时，直线与的任意一条边所在直线垂直． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知是直线间的一点，于点交于点． （1）_________； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 8．（23-24七年级下·北京·期中）将两副三角板、按图1方式摆放，其中，，，、分别在直线、上，直线． （1）从图1的位置开始，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且． ①当边与边平行时，_______； ②当边与边平行时，求所有满足条件的的值． （2）从图1的位置开始，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图3，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且．当与垂直时，______． 9．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 10．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    （1）如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． （2）如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 11．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． （1）判断之间的关系，并说明理由； （2）若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 12．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点M和点N分别在直线和上，点E在直线、之间，连接、． （1）如图1，若，，则_________°． （2）如图2，若点F是直线下方一点，连接与直线交于点O，连接，分别是、的角平分线，已知，，求的度数？ （3）如图3，连接，点P在点N右侧且在直线上，过点P在下方作，垂足为点P，若，，平分，将射线绕点P以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为t秒，直接写出与的任意一条边平行时t的值． 13．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 14．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． （1）【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； （2）【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； （3）【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 17．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，直线，一副直角三角板，中，，，，，． （1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分． （2）若，如图2摆放时，求的度数． （3）若图2中固定．将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数． （4）若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 18．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）． 19．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． （1）求证：； （2）如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 20．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交射线、于点、． （1）如图，当时，求的度数； （2）如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图，当，且，时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为'，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请求出的值． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 与平行线有关的旋转问题 · 典例分析 【典例1】直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    （1）求的度数 （2）若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）． ①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①由得到由得到，则，解得即可． ②分两种情况，分别画出图形进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①解：如图②中，    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，t的值为． ②如图，当时，延长交于R．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，延长交于R．．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则 ． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分4种情况进行讨论求解即可． 【解题过程】 解：根据题意得， ∵点是边中点， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质，分5种情况进行讨论求解即可． 【解题过程】 解：①当时，如图， 则：， ∴， ∴； ②当时，此时， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ④当时，则：， ∴； ⑤当时，则：， ∴； 综上：0.5或1.5或3.5或4.5或5； 故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 【思路点拨】 分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间．本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【解题过程】 解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ∴， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：36或108． 4．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知直线，点P、Q分别在、上，，如图所示，射线按顺时针方向绕P点以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向绕Q点每秒旋转至停止，此时射线也停止旋转．若射线先转42秒，射线才开始转动，在到达前，当射线旋转的时间为 秒时，．    【思路点拨】 设射线旋转的时间为t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． 【解题过程】 解：设射线旋转的时间为t秒， ∵射线绕Q点每秒旋转，射线先转42秒，射线才开始转动， ∴射线还需旋转138秒到达， ∴． ①如图，当，   ，， ∵， ， ∵， ， ， 解得． ②如图，当时，   ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 解得． ③如图，当时，   ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上，在到达前，当射线旋转的时间为14秒或63.6秒或134秒． 故答案为：14或63.6或134． 5．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）【特例初探】如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请求的度数． （2）【技能提升】在（1）的条件下，若比的一半多，求的值． （3）【综合运用】如图2，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质，三角板中交点的特点，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再求出，最后根据邻补角互补求出对应角的度数即可求解； （2）根据比的一半多，列方程，计算可求解； （3）分两种情况，画出图形，根据平行线性质得出角度关系，列方程可解得答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ， ， ， ； （2）解：∵比的一半多， ， 解得， ∴的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图： 则， ∵， ∴， ∴， 解得秒； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得秒， 综上所述，的值为秒或秒． 6．（23-24七年级下·广东广州·期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中和分别为含和含的直角三角板，其中，，，且．通过操作发现：    （1）如图1，将沿方向移动，得到，若，，，求四边形的周长； （2）将这副三角板如图2放置，点与点重合，并过点作直线平行于边所在的直线，求的度数； （3）在（2）的条件下，固定，将绕点A逆时针以的速度旋转秒，求当为何值时，直线与的任意一条边所在直线垂直． 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用； （1）根据平移的性质可得，，进而求得四边形的周长； （2）根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． （3）当，， ，分别画出图形，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：依题意，， ∴四边形的周长为 （2）解：∵ ∴ ∴ （3）当时，设直线、交于点H，如图，过点H作， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，设直线、交于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，设直线、交于点H，如图， 则， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，或或． 7．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知是直线间的一点，于点交于点． （1）_________； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 8．（23-24七年级下·北京·期中）将两副三角板、按图1方式摆放，其中，，，、分别在直线、上，直线． （1）从图1的位置开始，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且． ①当边与边平行时，_______； ②当边与边平行时，求所有满足条件的的值． （2）从图1的位置开始，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（如图3，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为秒，且．当与垂直时，______． 【思路点拨】 （1）①延长交于点P，则，然后根据平行线的性质求出旋转角，然后计算时间即可；②延长交于点，过点作，则，然后根据平行线的性质求出旋转角，然后计算时间即可； （2）由旋转可得，，设于点P，过P点作，过点E作，即可得到，计算得到，然后根据解题即可． 【解题过程】 （1）①解：延长交于点P，则， 当时，如图，则， ∴； 如图，， ∴旋转角为，即旋转时间为； 故答案为：或； ②如图，延长交于点，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴旋转时间为； 如图，由上题解答可得：，， ∴ ∴旋转角度为，时间为； 综上所述，当或时，边与边平行； （2）如图，由旋转可得：，， ∴， ， 设于点P，过P点作，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． （2）解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． （3）解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 故答案为：15秒或45秒或60秒． 10．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    （1）如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． （2）如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算； （1）过点作，则，，根据，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，，，，根据平行线的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2），理由如下， 过点作，    ∵， ∴ ∴，， ∴ 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， （3）解：如图所示，当时，则    ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，延长交于点，过点作    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 当时如图所示，    此时旋转度数大于，不合题意 综上所述，或 11．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点． （1）判断之间的关系，并说明理由； （2）若． ①用含的代数式表示的度数； ②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． （1）作，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可求解； （2）①设，则，，根据，得出，结合平分，，即可得出，解得，由（1）得即可求解； ②当时，，，，分为（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，即与在同一直线上时，（iv）当时，（v）当时，分别画图求解； 【解题过程】 （1）解：． 理由如下： 作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①设，则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得； ②解：当时，，，， （i）当时，延长交边于P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当绕E点旋转时，， ∴； （ii）当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴； （iii）当时，即与在同一直线上时， ∴， ∴当绕点E旋转时，， ∴， （iv）当时， ∵， ∴． ∴当旋转时，． ∴； （v）当时， ∵，， ∴． ∴当旋转时，． ∴， 当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒． 12．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）已知直线，点M和点N分别在直线和上，点E在直线、之间，连接、． （1）如图1，若，，则_________°． （2）如图2，若点F是直线下方一点，连接与直线交于点O，连接，分别是、的角平分线，已知，，求的度数？ （3）如图3，连接，点P在点N右侧且在直线上，过点P在下方作，垂足为点P，若，，平分，将射线绕点P以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为t秒，直接写出与的任意一条边平行时t的值． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，旋转的性质等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线，旋转的性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，证明，则，根据，计算求解即可； （2）由分别是、的角平分线，可得，，由（1）可知，，可求，则，如图2，作，则，证明，则，根据，计算求解即可； （3）由平分，，可得，由，可得，则，过作与的一条边平行，由题意知，分，，，三种情况求解作答即可． 【解题过程】 （1）解：如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别是、的角平分线， ∴，， 由（1）可知，， ∴， 解得，， ∴， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作与的一条边平行，由题意知，分，，，三种情况求解； 当即时，如图， ∴， ∴，此情况不成立； 当时，此情况不成立； 当，即时，如图， 同理，， ∴， ∴旋转， ∴（秒）； 同理，当时，此情况不成立； 当，即时，如图， 同理，， ∴， ∴旋转， ∴（秒）； 同理，当时，此情况不成立； 综上所述，t的值为或． 13．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴ ； （2）解：，理由如下： 过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即； （3）解：总的时间为：，， 则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为， 由（1）得：，则， ∵， ∴， ∴， 当时，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，如图： 则， ∵，， ∴， 解得：； 当时，设与交于点G，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，设与交于点I，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当时，连接并延长，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上，所有满足条件的t的值为1或4或7或13或16． 14．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． （1）【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； （2）【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； （3）【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【思路点拨】 此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得：，由，得出， 再得出，即可求解； （2）过点E作，得到，得出，，即可求解； （3）分两种情况讨论如下：①当点E在上方时，当点E在下方时，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：依题意得：， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点E作， 依题意得：， ， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况讨论如下： ①当点E在上方时，设交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ； 当点E在下方时，延长交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，平分，平分，、交于点，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数． 【思路点拨】 此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）过点作，先利用，设，，结合平行线的性质求出，利用，结合平行线的判定与性质求出，利用，，结合平行线的判定与性质求出，即可求出，即可求解． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ， 平分， ， 平分， ， ； （3）解：如图，过点作， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点逆时针以每秒的速度进行旋转， ∴， 综上，时，第一次与平行，此时． 16．（23-24七年级下·广西南宁·期末）【问题情境】数学课上，老师让同学们以两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动，如图，将三角尺的点放置在直线某一定点处，直线与直线相交与点E 【操作探究】（1）乐学小组的同学发现，如图1，若，则______； （2）奋进小组的同学将三角尺绕点旋转至图2时，若，求的度数； 【深入探究】（3）博学小组继续探究，如图，如果不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于，旋转三角尺，当点旋转到平行线之间，如果直线与直线相交于点，设，请直接写出的度数（用含有的代数式表示，写出其中一种情况即可） 【思路点拨】 本题主要考查了平行线的性质以及角的计算； （1）根据平行线的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解即可； （2）过作，根据平行的性质，依次求出，，，即可； （3）根据的大小分类讨论，过作的平行线，根据平行线的性质求出即可． 【解题过程】 （1）解： 和交于点， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴ （3）或或. 当点在上方时 ①当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ②当时，如图，延长交于，过点作. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在下方时 ③如图，延长交于，过点作， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ 17．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，直线，一副直角三角板，中，，，，，． （1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分． （2）若，如图2摆放时，求的度数． （3）若图2中固定．将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数． （4）若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 【思路点拨】 本题考查了平行线性质、平行公理推论、角平分线的定义、旋转的定义，解题的关键是利用平行线性质添加辅助线，对于第（4）题的解答要注意分情况讨论． （1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别作出相应图形辅助线，结合平行线的性质及一元一次方程求解即可． 【解题过程】 （1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：设旋转时间为t秒， 由题意得每秒转，旋转时间为秒， 分三种情况： ①当时，如图，此时， ∴， ∴， 解得：；                                                  ②当时，如图，     ∴， ∴， ∴， 解得：；                                             ③当时，如图，延长交于K，延长交于R，     ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：．                                                 综上所述：绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 18．（23-24七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）． 【思路点拨】 （1）根据平分，且，得出，过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）设，，过点作，得出，根据平行线的性质可得过点作，进而根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据旋转的性质可得，分四种情况讨论，当在的上方时，设，则，依题意，始终平分，平分，则根据得出①，根据得出②，即可求解，进而当在的下方时，则，同理可得；当时，且在的上方和下方时，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解题过程】 （1）解： 平分，且， ， 过点作， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：数量关系为：或． 理由如下： 分别平分和， 设，， 过点作， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ，， ，即， ； （3）解：∵，平分，则， ∵未旋转前， 则， ， ∵将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒， ∴， 当在的上方时，如图所示， 设，则， 依题意，始终平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴① 又∵，即， 即②， 将②代入①得，， 解得：； 当在的下方时，如图所示， 则，解得：， 将代入①得，， ∴； 如图所示，当时，且在的下方时， 设，则， 依题意，始终平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，即，即， 将代入， 解得：， 当在的上方时，则，即， 将代入， 解得：（舍去） 综上所述：或或． 19．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． （1）求证：； （2）如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，分类讨论，明确角与角之间的关系． （1）由对顶角的定义得到，结合，根据同旁内角互补即可证明； （2）①分别过点K，G作，则 ，推出，根据．分别为的角平分线，得到，，进而得到，即可求出结果；②由①中结论，求出，，分，，第二次且在右侧，，第二次且在左侧，五种情况讨论即可． 【解题过程】 （1）证明： ，， ， ； （2）解：①分别过点K，G作， ， ， ， ．分别为的角平分线， ，， ， ， ， ， ； ②， ，，， ， 由①知，，， ，，，， ，， ，， 如图，当时， ， ， （符合题意）； 如图，当时， ， 由①知， ，， ， （符合题意）； 如图，当第二次，且在右侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， ， （不符合题意）； 如图，当时， ， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 如图，当第二次且在左侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 综上，m的值为17或或或，的两边恰好分别平行于的两边． 20．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交射线、于点、． （1）如图，当时，求的度数； （2）如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图，当，且，时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为'，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请求出的值． 【思路点拨】 本题考查平行线的性质及应用，一元一次方程， （1）过点作，可得，再结合，即可得出答案； （2）过点作，过点作，设，可得，设，可得，，即可得出结论； （3）分四种情况，分别画出图形，列方程即可解得答案：①若，到达前有，返回时有；②当时，；③当时，；④当时，； 解题的关键是分类讨论思想的应用． 【解题过程】 （1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）如图，过点作，过点作， ∵和的角平分线交于点， 设，则，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴和的数量关系为； （3）∵，，，，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ①若，则， 当到达前，如图， ∵，， ∴， 解得：； 当返回时，如图， ∵三角板的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时， 此时所需时间为：， ∴，， ∴， 解得：； ②当时，如图， 则， ∴， 解得：； ③当时，如图， 则， ∴， 解得：； ④当时，如图， 则， ∴， 解得：， 综上所述，的值为秒或秒或秒或秒或秒． 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $$