第1章 相交线与平行线（知识清单）数学新教材浙教版七年级下册

第1章 相交线与平行线 1.对顶角 两直线相交所成的对顶角的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角 相等 即 ∠1=∠2 2.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相 垂直 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 .如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 3.垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点 有且只有一条直线 与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称： 垂线段最短 . 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 距离 ，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段 PO 的长. 5.垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 6.平行线判定 判定方法1： 同位角 相等，两直线平行． 判定方法2： 内错角 相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角 互补 ，两直线平行． 7.如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线 平行 （平行线的传递性） 8.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 平行 . 9.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角 相等 ； 性质2：两直线平行，内错角 相等 ； 性质3：两直线平行，同旁内角 互补 . 10.两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 11.图形的平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 12.图形平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且 相等 ； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段 平行(或共线)且相等 ； 1.对顶角相等的理解 易错点：如果一对角是对顶角，则这两个角相等，但两个相等的角不一定是对顶角，要注意区分。 例1 （25-26七年级上·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间线段叫做这两点之间的距离 B．如果，那么余角的度数为 C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查距离定义、角度计算及余角补角性质，需注意单位换算和定义细节；A选项错误，因为两点之间的距离是线段的长度，而非线段本身；B选项错误，的余角应为，换算后约为，而非；C选项正确，余角总比补角小；D选项错误，相等的角不一定是对顶角，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离，故该选项不符合题意； B、如果，的余角，故该选项不符合题意； C、设角为，余角，补角，则余角-补角，得余角总比补角小，故该选项符合题意； D、对顶角需有公共顶点且两边互为反向延长线，相等的角不一定满足此条件，故该选项不符合题意； 故选：C． 2.结合“对顶角相等”的等量关系求角 易错点：在相交线中求角的度数时，忽略对顶角的存在。对顶角相等，可用于转化等量关系。 例2 （2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 3.在有垂线的情境下求角 易错点：几何图形中的求角问题，综合性越来越强，加上垂线的情境，目前一共有如下几种需要注意的知识要点： （1）角的加与减； （2）角的平分线与等分线； （3）余角和补角的概念； （4）对顶角的性质； （5）垂线的性质。 例3 （25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 4.辨析并数出所有的同位角、内错角或同旁内角 易错点：根据要求找出同位角、内错角或同旁内角： 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在两条被截直线同方，在截线同侧。 “F”型 内错角 在两条被截直线之间，在截线两侧（交错）。 “Z”型 同旁内角 在两条被截直线之内，在截线同侧。 “U”型 例4 （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径：．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 5.平行线与垂线的作图与探究 易错点：要注意在作图要求的描述中，是经过哪个点，关于哪条线作垂线或平行线，然后与哪一条线相较于哪个点。因此，作图时应注意：①确定经过的点；②确定目标线段或直线；③确定是作垂线还是平行线；④确定作图后的标注。 例5 （2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故 答案为：>． 6.选择合适的方式证明两直线平行 易错点：（1）要证明两直线平行的方式有多种，但一般分为两类，一种是通过同位角、内错角或同旁内角证明，一种是通过直线与直线之间的位置关系的推论证明。 ①题干已知某些角的具体角度大小时，用计算算出一对目标角的等量关系（同位角、内错角相等或同旁内角互补），即可证明被截的两直线相等； ②已知角度的等量关系的，通过等量代换证明一对目标角的等量关系，即可证明被截的两直线相等； ③已知其他直线平行或垂直的数量关系的，可以通过位置关系的推论得到。 （2）用同位角、内错角或同旁内角证明两直线平行的一般步骤： ①找到要证明的两条直线被第三条直线所截构成的一对目标角（同位角、内错角或同旁内角）； ②证明这对同位角、内错角相等或同旁内角互补； ③证明着两条直线平行。 例6 （24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的定义、掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平角定义及角平分线定义求出结论即可； （2）先求出，得出，即可求出结论． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 例7 （24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 【答案】(1)，理由见详解 (2)根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由见详解 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据“内错角相等，两直线平行”可得； （2）根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件，然后根据“内错角相等，两直线平行”可得； 本题主要考查了垂直的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题中的条件不能判断与平行，可添加条件（答案不唯一）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7.平行线性质的运用 易错点：两直线平行，可以证明这两条直线被第三条直线所截后的同位角、内错角相等或同旁内角互补。但是最主要的，要先确定这对角是否是这两条平行直线被第三条直线所截得到的，千万不能张冠李戴，用这两条直线平行，证明和它们无关的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。 例8 （25-26七年级上·江苏宿迁·月考）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 根据，得出，从而求出． 【详解】解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 例9 （25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据，，利用平行线的性质即可求出结果． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 8.折叠相关的求角问题 易错点：在折叠问题中，与平行线相关最重要的推论如下。如图中所示，NC∥MD，将纸条沿着AB折叠，使得BC与AM相交于点E。能得到最重要的几个结论是： ①∠EAB=∠FAB，依据是折叠的性质。 ②∠FAB=∠BAE，依据是平行线中内错角相等。 ③由①和②得△EAB是等腰三角形，且EA=EB。也就是说，按此折叠后的重叠部分的三角形是等腰三角形。 例10 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】根据折叠的性质和已知可求得，由邻补角可求得，结合矩形性质和求解． 【详解】解：由翻折可知， ， ， 是长方形， ， ， 故答案为：． 例11 （24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9.两个角的两条边分别平行的分类讨论探究 易错点：如果有两个角的两条边分别平行，那么这两个角有可能相等，也有可能互补，如下图1和图2所示。因此这类题一定要注意分类讨论。 表述 图示 条件 结论 有两个角的两条边分别平行，那么这两个角有怎样的数量关系。 如图1所示，BA∥EF，且射线BA与射线EF方向一致；BC∥ED，且射线BC与射线ED方向一致。 ∠1=∠2 如图2所示，BA∥EF，且射线BA与射线EF方向一致；BC∥ED，且射线BC与射线ED方向相反。 ∠1+∠2=180° 例12 （25-26七年级上·江苏泰州·期末）若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时， ； 故答案为：或． 10.“Σ”型平行线模型及其推论 易错点：“Σ”型平行线模型是平行线中非常重要的探究模型，在探究时往往容易搞错几个关键角之间的相互关系。本次梳理将常见的模型及延伸模型进行梳理，将易错点进行整理和比较，具体如下： 模型类型 模型图示 题设 辅助线思路 重要结论 “Σ”模型 AB∥CD，点E在AB与CD之间内侧。 ∠ABE+∠CDE=∠BED 向外型 AB∥CD，点E在AB与CD之间外侧。 ∠ABE+∠CDE=360°－∠BED 向内超出型 AB∥CD，点E在AB上方内侧。 ∠CDE－∠ABE=∠BED 向外超出型 AB∥CD，点E在AB上方外侧。 ∠ABE－∠CDE=∠BED 内叠加型 AB∥CD，点E，F在AB与CD之间内侧。 ∠ABE+∠CDE=∠BEF+∠DFE－180° 内外叠加型 AB∥CD，点E在AB与CD之间内侧；点F在AB与CD之间外侧。 ∠ABE+∠CDE=180°+∠BEF－∠DFE 例13 （24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，因此抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 例14 已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 11.线或三角尺的转动问题使得平行 易错点：解决线或三角尺的转动问题，主要步骤如下： （1）关于直线或射线的转动，在转动过程中，转动相关线的角在变动，只要根据平行线的判定依据，使得同位角或内错角相等，或同旁内角互补即可。解题过程如举例所示： 如左图所示： ①用代数式表示出∠1的度数；②使得∠1=∠2，据此列式；③解方程；④求出代数式的值；⑤解答问题。 如左图所示： ①用代数式分别表示出∠1和∠2的度数；②使得∠1=∠2，据此列式；③解方程；④求出代数式的值；⑤解答问题。 （2）三角尺旋转使得平行的问题，最主要要注意的是要分类讨论，一边作图探究，一边考虑满足的情况。 如下图所示是典型的三角尺旋转问题，在探究过程中，就呈现了多种情况。 图示 题设 分类探究 一副直角三角板如图所示放置，∠C=∠DAE= 90°。将直角三角形ADE绕着点A以每秒5°的速度逆时针旋转，直到旋转180°。问：当时间t为何值时，边DE与直角三角形ABC的其中一边平行。据题意可知∠CAE=180°－5t ①当DE∥BC时，利用DE与BC相关的同旁内角互补求出∠CGE的度数，再用∠CAE列相关等式求解t即可。 ②当DE∥AB时，利用DE与AB相关的内错角相等，求出∠BAE的度数，再利用∠CAE列相关等式求解t即可。 ③当DE∥AC时，利用DE与AC相关的内错角相等，可知∠CAE=∠E=45°，利用∠CAE列相关等式求解t即可。 例15 （2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为 秒时，．（G、H为C、B对应点） 【答案】3或28/28或3 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解． 【详解】解：停止旋转的时间为秒， 设光线旋转时间为t秒，则， 根据题意得：，， 如图，当未到达时，设射线交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，光线旋转时间为3或28秒时，． 故答案为：3或28 例16 （25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， 或 ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 12.平行线的应用——光线反射问题 易错点：光线反射问题运用了物理知识的入射角等于反射角，在判断并运用这一性质时，一定要作法线，即经过入射点作反射面的垂线。当然更重要的也可以衍生出：入射角与反射角分别与镜面的夹角也相等，因此就有了如下归纳。 基本结论 常见题设背景 ∠1=∠2 ∠1=∠3，∠2=∠4 ∠1+∠2=∠3+∠4=180° AB∥DE，可延长AB解决问题。 ∠1=∠2 ∠1+∠3=∠2+∠3=90° 例17 （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13.图形平移的性质 易错点：要注意图形平移的性质，不但图形平移前后对应线段相等且平行，而且对应点连接的所有线段都相等，且互相平行。 例18 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∵周长为，即， ∴， ∴， 即平移的距离为， 故答案为：2． 例19 （25-26七年级上·上海松江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)线段扫过的图形的面积是32 【分析】此题主要考查了平移变换和三角形的高，利用图形的面积之和是解题关键． （1）分别将点A、B、C向左平移2格，再向上平移4格，得到点、、，然后顺次连接； （2）先画出平移过程，可得线段扫过的图形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；      （2）解：线段扫过的图形的面积 ， 答：线段扫过的图形的面积是32． 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【详解】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的个数有（　　） ①三条直线相交，有三个交点；②相等的角是对顶角；③射线与射线是同一条射线；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查直线相交交点个数、对顶角定义、射线定义、两点距离定义、线段中点定义，需根据相关知识逐一判断各说法正确性. 【详解】解：①三条直线相交可能有一个、两个或三个交点，不一定有三个交点，①不正确； ②相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形底角相等但不是对顶角，②不正确； ③射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，端点不同，③不正确； ④连接两点间的线段是图形，而两点距离是线段的长度，④不正确； ⑤当点A、B、C不在同一直线上时，但B不是中点，⑤不正确； ∴所有说法均不正确，共5个， 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 5．（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，结合内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵与不是同位角，也不是内错角，∴无法证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴，无法证明，也无法证明，故该选项不符合题意； D、∵，，∴，∴，故该选项符合题意； 故选：D 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质，得到，结合已知条件，得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，，∴． ∵，∴． ∵ ，∴ ． ∵，∴． ∵，∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 10．（25-26七年级上·四川乐山·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据 ． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了阅读题目信息，观察图形，试着得到的位置关系； 分析可得是同旁内角，回想平行线的判定定理； 根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行. 12．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将沿BC方向平移2个单位长度得．连接AD．若四边形ABFD的周长为24，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形的周长 ， 的周长为． 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 根据平移的性质可以得到平行，从而推出角相等，则可得到． 【详解】解：如图， 直线平移后得到直线，， ． ， ， ． 故答案为；． 16．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    【答案】12 【分析】由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：； 由平移的性质可得：，， ∴， ∴ ∵，即， ∴，， ∴． 故答案为12． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图①： ， ②当时，如图②： ， ③当时，过C作，如图③， ， 故答案为或或． 图① 图② 图③ 19．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义： （1）利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． （2）根据补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∵与是对顶角， ∵平分， ∴、的度数分别为、； （2）解：如图为各个角的度数： ，则其补角为， 故其补角有：． 故答案为：． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 22．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质以及平行线的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键． （1）根据平移的性质得出C和D点的位置，作图即可； （2）过点P作，即可得． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，点E即为所求． 23．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 相交线与平行线 1.对顶角 两直线相交所成的对顶角的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角 即 2.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 .如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 3.垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点 与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称： . 4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 ，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段 的长. 5.垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 6.平行线判定 判定方法1： 相等，两直线平行． 判定方法2： 相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角 ，两直线平行． 7.如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线 （平行线的传递性） 8.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 . 9.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角 ； 性质2：两直线平行，内错角 ； 性质3：两直线平行，同旁内角 . 10.两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 11.图形的平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 12.图形平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且 ； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段 ； 1.对顶角相等的理解 易错点：如果一对角是对顶角，则这两个角相等，但两个相等的角不一定是对顶角，要注意区分。 例1 （25-26七年级上·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间线段叫做这两点之间的距离 B．如果，那么余角的度数为 C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的角是对顶角 2.结合“对顶角相等”的等量关系求角 易错点：在相交线中求角的度数时，忽略对顶角的存在。对顶角相等，可用于转化等量关系。 例2 （2026七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 3.在有垂线的情境下求角 易错点：几何图形中的求角问题，综合性越来越强，加上垂线的情境，目前一共有如下几种需要注意的知识要点： （1）角的加与减； （2）角的平分线与等分线； （3）余角和补角的概念； （4）对顶角的性质； （5）垂线的性质。 例3 （25-26七年级上·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为 ． 4.辨析并数出所有的同位角、内错角或同旁内角 易错点：根据要求找出同位角、内错角或同旁内角： 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在两条被截直线同方，在截线同侧。 “F”型 内错角 在两条被截直线之间，在截线两侧（交错）。 “Z”型 同旁内角 在两条被截直线之内，在截线同侧。 “U”型 例4 （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 5.平行线与垂线的作图与探究 易错点：要注意在作图要求的描述中，是经过哪个点，关于哪条线作垂线或平行线，然后与哪一条线相较于哪个点。因此，作图时应注意：①确定经过的点；②确定目标线段或直线；③确定是作垂线还是平行线；④确定作图后的标注。 例5 （2025七年级上·江苏连云港·专题练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)___________；（填“>”“<”或“=”） 6.选择合适的方式证明两直线平行 易错点：（1）要证明两直线平行的方式有多种，但一般分为两类，一种是通过同位角、内错角或同旁内角证明，一种是通过直线与直线之间的位置关系的推论证明。 ①题干已知某些角的具体角度大小时，用计算算出一对目标角的等量关系（同位角、内错角相等或同旁内角互补），即可证明被截的两直线相等； ②已知角度的等量关系的，通过等量代换证明一对目标角的等量关系，即可证明被截的两直线相等； ③已知其他直线平行或垂直的数量关系的，可以通过位置关系的推论得到。 （2）用同位角、内错角或同旁内角证明两直线平行的一般步骤： ①找到要证明的两条直线被第三条直线所截构成的一对目标角（同位角、内错角或同旁内角）； ②证明这对同位角、内错角相等或同旁内角互补； ③证明着两条直线平行。 例6 （24-25七年级下·辽宁朝阳·月考）如图，已知平分． (1)求的度数； (2)与平行吗？为什么？ 例7 （24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图， 于点A，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断与平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行． 7.平行线性质的运用 易错点：两直线平行，可以证明这两条直线被第三条直线所截后的同位角、内错角相等或同旁内角互补。但是最主要的，要先确定这对角是否是这两条平行直线被第三条直线所截得到的，千万不能张冠李戴，用这两条直线平行，证明和它们无关的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补。 例8 （25-26七年级上·江苏宿迁·月考）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为 ． 例9 （25-26八年级上·全国·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 8.折叠相关的求角问题 易错点：在折叠问题中，与平行线相关最重要的推论如下。如图中所示，NC∥MD，将纸条沿着AB折叠，使得BC与AM相交于点E。能得到最重要的几个结论是： ①∠EAB=∠FAB，依据是折叠的性质。 ②∠FAB=∠BAE，依据是平行线中内错角相等。 ③由①和②得△EAB是等腰三角形，且EA=EB。也就是说，按此折叠后的重叠部分的三角形是等腰三角形。 例10 将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为 ． 例11 （24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 9.两个角的两条边分别平行的分类讨论探究 易错点：如果有两个角的两条边分别平行，那么这两个角有可能相等，也有可能互补，如下图1和图2所示。因此这类题一定要注意分类讨论。 表述 图示 条件 结论 有两个角的两条边分别平行，那么这两个角有怎样的数量关系。 如图1所示，BA∥EF，且射线BA与射线EF方向一致；BC∥ED，且射线BC与射线ED方向一致。 ∠1=∠2 如图2所示，BA∥EF，且射线BA与射线EF方向一致；BC∥ED，且射线BC与射线ED方向相反。 ∠1+∠2=180° 例12 （25-26七年级上·江苏泰州·期末）若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 10.“Σ”型平行线模型及其推论 易错点：“Σ”型平行线模型是平行线中非常重要的探究模型，在探究时往往容易搞错几个关键角之间的相互关系。本次梳理将常见的模型及延伸模型进行梳理，将易错点进行整理和比较，具体如下： 模型类型 模型图示 题设 辅助线思路 重要结论 “Σ”模型 AB∥CD，点E在AB与CD之间内侧。 ∠ABE+∠CDE=∠BED 向外型 AB∥CD，点E在AB与CD之间外侧。 ∠ABE+∠CDE=360°－∠BED 向内超出型 AB∥CD，点E在AB上方内侧。 ∠CDE－∠ABE=∠BED 向外超出型 AB∥CD，点E在AB上方外侧。 ∠ABE－∠CDE=∠BED 内叠加型 AB∥CD，点E，F在AB与CD之间内侧。 ∠ABE+∠CDE=∠BEF+∠DFE－180° 内外叠加型 AB∥CD，点E在AB与CD之间内侧；点F在AB与CD之间外侧。 ∠ABE+∠CDE=180°+∠BEF－∠DFE 例13 （24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，因此抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 例14 已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 11.线或三角尺的转动问题使得平行 易错点：解决线或三角尺的转动问题，主要步骤如下： （1）关于直线或射线的转动，在转动过程中，转动相关线的角在变动，只要根据平行线的判定依据，使得同位角或内错角相等，或同旁内角互补即可。解题过程如举例所示： 如左图所示： ①用代数式表示出∠1的度数；②使得∠1=∠2，据此列式；③解方程；④求出代数式的值；⑤解答问题。 如左图所示： ①用代数式分别表示出∠1和∠2的度数；②使得∠1=∠2，据此列式；③解方程；④求出代数式的值；⑤解答问题。 （2）三角尺旋转使得平行的问题，最主要要注意的是要分类讨论，一边作图探究，一边考虑满足的情况。 如下图所示是典型的三角尺旋转问题，在探究过程中，就呈现了多种情况。 图示 题设 分类探究 一副直角三角板如图所示放置，∠C=∠DAE= 90°。将直角三角形ADE绕着点A以每秒5°的速度逆时针旋转，直到旋转180°。问：当时间t为何值时，边DE与直角三角形ABC的其中一边平行。据题意可知∠CAE=180°－5t ①当DE∥BC时，利用DE与BC相关的同旁内角互补求出∠CGE的度数，再用∠CAE列相关等式求解t即可。 ②当DE∥AB时，利用DE与AB相关的内错角相等，求出∠BAE的度数，再利用∠CAE列相关等式求解t即可。 ③当DE∥AC时，利用DE与AC相关的内错角相等，可知∠CAE=∠E=45°，利用∠CAE列相关等式求解t即可。 例15 （2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转时间为 秒时，．（G、H为C、B对应点） 例16 （25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 12.平行线的应用——光线反射问题 易错点：光线反射问题运用了物理知识的入射角等于反射角，在判断并运用这一性质时，一定要作法线，即经过入射点作反射面的垂线。当然更重要的也可以衍生出：入射角与反射角分别与镜面的夹角也相等，因此就有了如下归纳。 基本结论 常见题设背景 ∠1=∠2 ∠1=∠3，∠2=∠4 ∠1+∠2=∠3+∠4=180° AB∥DE，可延长AB解决问题。 ∠1=∠2 ∠1+∠3=∠2+∠3=90° 例17 （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 13.图形平移的性质 易错点：要注意图形平移的性质，不但图形平移前后对应线段相等且平行，而且对应点连接的所有线段都相等，且互相平行。 例18 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点、、分别与点、、对应），若四边形周长为，则平移的距离为 ． 例19 （25-26七年级上·上海松江·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸格点上．将三角形先向左平移2格，再向上平移4格．    (1)请在方格纸中画出平移后的三角形； (2)求出线段扫过的图形的面积． 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的个数有（　　） ①三条直线相交，有三个交点；②相等的角是对顶角；③射线与射线是同一条射线；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 4．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 5．（2026·陕西西安·一模）如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，已知直线相交于点O，，下面判定两条直线平行的条件正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期末）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 10．（25-26七年级上·四川乐山·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据 ． 12．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将沿BC方向平移2个单位长度得．连接AD．若四边形ABFD的周长为24，则的周长为 ． 14．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是 （填序号）． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 16．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 17．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 19．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线、相交于，平分，于点，． (1)求、的度数； (2)写出的补角有________． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 21．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 22．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，线段端点和点P均在格点上． (1)将线段向上平移1格，再向右平移2格，请在图甲中作出经上述两次平移后所得的线段． (2)请在图乙中找一格点E，连结，，使得． 23．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 24．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $