精品解析：福建福州市仓山区2025-2026学年第一学期校内期末质量检查八年级数学试卷

2025—2026学年第一学期校内期末质量检查 八年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 代数式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识点是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：∵分母， ∴， 故选C． 2. 下列四组线段长中，恰好为一个三角形三条边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，2，2 C. 2，2，6 D. 2，3，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B、∵，故满足任意两边之和大于第三边，符合题意； C、∵，故不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D、∵，故不满足两边之和大于第三边，不符合题意； 故选B． 3. 已知一粒花粉的质量约为克，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 利用科学记数法表示较小的数即可． 【详解】解：∵， 故选A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和合并同类项，解题关键是熟记相关法则． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵根据指数运算法则： 选项A：，故A错误，不符合题意； 选项B：，故B正确，符合题意； 选项C：，故C错误，不符合题意； 选项D：、不是同类项，不能合并为，故D错误，不符合题意； 故选B． 5. 如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（ ） A. ②，④ B. ②，③ C. ③，④ D. ②，③，④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 6. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由全等三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 下列，的值能使多项式是完全平方式的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式是解题的关键． 多项式为完全平方式时，应满足，故且． 【详解】解：∵完全平方式形式为， ∴比较系数得，； 选项A：，则，应为，但，不相等，故不满足； 选项B：，则，应为，与给定相等，故满足； 选项C：，则，应为，但，不相等，故不满足； 选项D：，则，应为，但，不相等，故不满足； 故选B． 8. 如图，在中，是边上的中线，若，，则长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：D． 9. 已知a，b，c，d是四个互不相等且非零的实数．若，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质．逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ，设，则，． A、，，则不一定成立，故本选项不符合题意； B、 ，，则不一定成立，故本选项不符合题意； C、，则，即，一定成立，故本选项符合题意； D、，则，不一定成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在中，，于点D，E是上的点，且在的垂直平分线上．若的周长为b，．则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可得，再结合已知条件求出的长，进而求出的长，最后根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵E是上的点，且在的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为b， ∴， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因数，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13. 如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得已有一条直角边对应相等，要根据“”证明，则需要两个直角三角形的斜边对应相等，据此可得答案． 【详解】解：添加的条件为，证明如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 14. 已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握方程的解的意义是解题的关键． 将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， 故答案为：． 15. ，，是三个互不相等且非零的实数，若，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值、分式的求值等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由条件和，代入消元得到关于的方程，进而将目标表达式化为关于多项式，利用方程关系化简求值即可． 【详解】解：∵，代入， 得， 整理得， ∵， ∴两边除以得， 设则， 即， ∵， ∴将代入， 得， 故答案为：11． 16. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴正半轴上的点，且．P是第一象限内一点，连接，，且，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质．先判断得到点在线段的垂直平分线上，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ∴， ∴， 由两点之间线段最短知此时的值最小， ∵点与点关于直线对称， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键． 根据整式的乘法法则即可计算得出． 【详解】解：原式 18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，点E，C分别是，的中点，，且，求证：． 【答案】 证明：∵点E，C分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由线段中点的定义可得，由平行线的性质可得，则可利用证明，据此可证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是分式的混合运算法则，特别注意分式的通分是个易错点． 先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，最后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 20. 如图，在中，于点D，平分，，．求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义，和三角形的内角和定理是解题的关键． 根据角度计算，依次计算出、的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，连接． （1）尺规作图：在第四象限内找一点B，连接，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求点B的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线和线段的尺规作图，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟知一线三垂直模型是解题的关键． （1）根据垂线和线段的尺规作图方法作图即可； （2）过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E和点F，可证明，得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴， ∴； ∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点B在第四象限， ∴点B的坐标为． 22. 综合实践 “互联网+”助力乡村振兴 背景 “互联网+”是中国提出的一种创新发展模式，核心是将互联网技术与传统行业深度融合，利用互联网的平台、数据、技术优势，改造传统产业的生产、经营、管理模式，催生新业态、新模式，提升行业效率和竞争力． “互联网+农村商业”的核心是“连接”与“赋能”，通过数字技术打破城乡壁垒，让农产品高效“出山”、工业品便捷“下乡”，创造就业创业机会，重塑农村商业生态，助力乡村振兴． 素材1 某网络销售商为了助力乡村振兴，决定在元旦期间对幸福村的甲、乙两种农产品进行直播卖货经过调查，乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍． 素材2 通过观看直播后台留言发现，许多客户对甲，乙两种农产品都有需求．为了满足客户需求，在原有单独销售方案基础上，新增捆绑销售方案：购买3包甲农产品免费赠送1包乙农产品． 在直播结束后，该销售商对在直播期间开展单独销售与捆绑销售的销售数量进行了统计，得知售出及赠送的甲、乙两种农产品共1000包，其中单独销售甲农产品数量与捆绑销售甲农产品数量之比为． 问题解决 任务1 根据素材1，分别求出甲、乙两种农产品每包售价各多少元？ 任务2 根据以上素材，在直播期间开展单独销售与捆绑销售，若销售总额不少于10000元，求单独销售甲农产品数量至多有多少包？ 【答案】任务1：甲农产品每包售价10元，乙农产品每包售价15元；任务2：单独销售甲农产品数量至多有250包 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． 任务1：设甲农产品每包售价为x元，则乙农产品每包售价为元，根据“乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍”列分式方程求解即可； 任务2：设单独销售甲数量为包，求出单独销售甲、单独销售乙和捆绑销售甲的包数，进而求出销售总额，根据“销售总额不少于10000元”求出k的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：任务1：设甲农产品每包售价为x元，则乙农产品每包售价为元， ∵乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴乙农产品每包售价为元， 即甲农产品每包售价10元，乙农产品每包售价15元； 任务2：设单独销售甲数量为包，则捆绑销售甲数量为包， ∴捆绑销售中赠送乙数量为包， 则单独销售乙数量为包， ∵销售总额由单独销售甲、单独销售乙和捆绑销售甲收入组成 ∴销售总额元， ∵销售总额不少于10000元， ∴， 解得：， 即单独销售甲数量包． ∴单独销售甲农产品数量至多有250包． 23. 如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． （1）求的度数； （2）若，求证：直线经过的中点． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，取的中点F，连接， 设， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ∵点D和点F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴E、D、F三点共线， ∴直线经过的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，折叠的性质，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由折叠的性质和三角形的中线的定义可证明，则可得到，由三角形内角和定理可推出，即； （2）取的中点F，连接，设，则，可求出；证明，得到，则，据此可证明E、D、F三点共线，即直线经过的中点． 【小问1详解】 解：∵和关于直线对称， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 已知，且（x，y为整数，且，）． （1）求证：M能被3整除； （2）若整数a，b满足，且．求出的值． 【答案】（1） 证明：∵， 由， 整理得，即， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴为整数， ∴M能被3整除； （2）的值为或6或0或2． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，因式分解的应用． （1）由整理得到，求得，推出，根据x，y为整数，即可证明结论成立； （2）将代入，整理得到，由（1）可知，得到，根据x，y和a为整数，得到或，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由得，， 将代入， 得， 由（1）可知， ∴，整理得， ∵x，y为整数， ∴为整数， ∴为整数，即为整数， ∵a为整数， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为或6或0或2． 25. 如图，在中，，点D是的中点，的外角平分线，点E是上一点，连接，过点D作交于点F，连接，交于点P． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：平分； （3）若，求证：． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2） 延长、，相交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 故直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴平分． （3） 在上截取，连接，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ， 由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）通过角平分线，得出，结合，得，即得出三个内角均为，故可证明是等边三角形； （2）延长、，相交于点，证明，得，易证直线为线段的垂直平分线，可以得出为等腰三角形，最后可证明平分； （3）在上截取，连接，先证明为等边三角形，再证出，得到与、、有关的相等线段后，根据等量代换证出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期校内期末质量检查 八年级 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 代数式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段长中，恰好为一个三角形三条边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，2，2 C. 2，2，6 D. 2，3，5 3. 已知一粒花粉的质量约为克，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（ ） A. ②，④ B. ②，③ C. ③，④ D. ②，③，④ 6. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列，的值能使多项式是完全平方式的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在中，是边上的中线，若，，则长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知a，b，c，d是四个互不相等且非零的实数．若，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于点D，E是上的点，且在的垂直平分线上．若的周长为b，．则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 12. 因式分解：___________． 13. 如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为___________． 14. 已知关于x的方程的解为，则m的值为___________． 15. ，，是三个互不相等且非零的实数，若，，则的值为___________． 16. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴正半轴上的点，且．P是第一象限内一点，连接，，且，当的值最小时，的度数为___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，点E，C分别是，的中点，，且，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，于点D，平分，，．求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，连接． （1）尺规作图：在第四象限内找一点B，连接，使得，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求点B的坐标． 22. 综合实践 “互联网+”助力乡村振兴 背景 “互联网+”是中国提出的一种创新发展模式，核心是将互联网技术与传统行业深度融合，利用互联网的平台、数据、技术优势，改造传统产业的生产、经营、管理模式，催生新业态、新模式，提升行业效率和竞争力． “互联网+农村商业”的核心是“连接”与“赋能”，通过数字技术打破城乡壁垒，让农产品高效“出山”、工业品便捷“下乡”，创造就业创业机会，重塑农村商业生态，助力乡村振兴． 素材1 某网络销售商为了助力乡村振兴，决定在元旦期间对幸福村的甲、乙两种农产品进行直播卖货经过调查，乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍． 素材2 通过观看直播后台留言发现，许多客户对甲，乙两种农产品都有需求．为了满足客户需求，在原有单独销售方案基础上，新增捆绑销售方案：购买3包甲农产品免费赠送1包乙农产品． 在直播结束后，该销售商对在直播期间开展单独销售与捆绑销售的销售数量进行了统计，得知售出及赠送的甲、乙两种农产品共1000包，其中单独销售甲农产品数量与捆绑销售甲农产品数量之比为． 问题解决 任务1 根据素材1，分别求出甲、乙两种农产品每包售价各多少元？ 任务2 根据以上素材，在直播期间开展单独销售与捆绑销售，若销售总额不少于10000元，求单独销售甲农产品数量至多有多少包？ 23. 如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． （1）求的度数； （2）若，求证：直线经过的中点． 24. 已知，且（x，y为整数，且，）． （1）求证：M能被3整除； （2）若整数a，b满足，且．求出的值． 25. 如图，在中，，点D是的中点，的外角平分线，点E是上一点，连接，过点D作交于点F，连接，交于点P． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：平分； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $