精品解析：江西省吉安市安福县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安福县2025—2026学年度上学期期末质量检测作业九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形的对角线与相交于点是的中点，连接，若，则长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 4. 智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则______． 8. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____． 10. 如图，反比例函数的图象上有一点P，过点P向轴，轴作垂线，垂足为C、D，若，则____________． 11. 将矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在处，测量得AB=4，DE=8，则为________________. 12. 如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共3小题；每题6分，共18分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 15. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长． 16. 如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线； （2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上的高． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题；每题8分，共24分） 18. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 19. 如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，． （1）求证：； （2）若，．求的值． 20. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团：C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图； （2）扇形统计图中圆心角______度，扇形统计图中所占百分比为______； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 22. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 六、（本大题12分） 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安福县2025—2026学年度上学期期末质量检测作业九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了俯视图的识别，正确理解俯视图是关键．根据俯视图的识别方法判断即可． 【详解】解：这个几何体从上面看到的图形为： 故选：D． 2. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 3. 如图，菱形的对角线与相交于点是的中点，连接，若，则长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的判定与性质，先理解题意，结合菱形的性质，得是的中点，又因为是的中点，故是的中位线，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点 ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 4. 智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先分别求解，再进一步比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴，，， ∴， 综上，． 故选：A 6. 如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化． 由开口方向得的符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断②③；根据二次函数的最值性质，判断④． 【详解】解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故． ① ，，，则，正确； ② 当时，，由图象知时，，错误； ③ 当时，，由图象知时，，正确； ④当时，是最小值，故对任意，，即，正确． 综上，①③④正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，由已知比例关系，利用分式的运算性质，将所求表达式变形后代入求解． 【详解】解：， ∴ ． 故答案为． 8. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， ， 即， 解得：， 树高， 故答案为：． 10. 如图，反比例函数的图象上有一点P，过点P向轴，轴作垂线，垂足为C、D，若，则____________． 【答案】−4 【解析】 【分析】设点的坐标为，用、表示、的长，根据矩形的面积为4，列出算式求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 11. 将矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在处，测量得AB=4，DE=8，则为________________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由翻折的性质可知，．再根据正弦的定义求解即可． 【详解】由折叠的性质可知，． ∵AB=4，DE=8， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查矩形与折叠，锐角三角函数的定义．掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 12. 如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为______． 【答案】5或或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解题关键． 过点作于点，结合矩形的性质易得为等腰三角形，可得，进而可知为的中位线，可得，利用勾股定理可解得，若是等腰三角形，可分，和三种情况，分别求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，可有； 当时，则有， 此时； 当时，设， 则有， 在中，可有， ∴，解得． 综上所述，的长为5或或． 故答案为：5或或． 三、解答题（本大题共3小题；每题6分，共18分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和一元二次方程的解法是关键． （1）先计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、计算零指数幂，再进一步计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ 则或 解得 14. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 15. 如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵，即， 解得，， ∴， 16. 如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线； （2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上的高． 【答案】（1）中线即为所求： （2） 高为所求作： 【解析】 【分析】（1）先作出图形，再利用菱形的性质证明即可； （2）先作出图形，再利用菱形的性质证明四边形是矩形即可． 【小问1详解】 解：如图，连结，交于点O，交于点， ∵四边形是菱形， ∴与互相平分， 即是的边上的中线， 又点E是边的中点， ∴为边上的中线， 连结并延长交于点， 则就是所求作的，过点C作的中线； 【小问2详解】 如图，∵四边形是菱形， ∴与互相平分，即， ∵， ∴， 连结并延长交于点，连结， ∵四边形是菱形， ∴四边形是中心对称图形，为对称中心， ∴与为对应点， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 即为边上的高， 【点睛】本题考查了画三角形的高，利用矩形的性质证明，利用菱形的性质证明，无刻度直尺作图,画三角形的高等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2）的面积为3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的性质． （1）先将点代入到一次函数解析式中，求得点的坐标，进而求得k的值，即可解答； （2）根据轴，得到点C的坐标，从而求得的长度，再根据一次函数的图象与轴相交于点，令，即可得到点A的坐标，从而求得的长度，最后由三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：点是直线与反比例函数交点， 点坐标满足一次函数解析式， ， ， ， ， ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：轴，， ，轴， ， 一次函数的图象与轴相交于点， 令，则， ， ， ， 的面积为3． 四、解答题（本大题共3小题；每题8分，共24分） 18. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 19. 如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，． （1）求证：； （2）若，．求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴，且， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线． （1）根据角平分线的性质可得，且，可证； （2）由可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，则（负值舍去）， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得：， ∴． 20. 某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团：C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图； （2）扇形统计图中圆心角______度，扇形统计图中所占百分比为______； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）200； 补全条形统计图如图， （2）54， （3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为 【解析】 【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数，根据E类的人数和总人数求出扇形统计图中所占百分比即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 类型社团的人数为（人）． 【小问2详解】 解：， 所占百分比为：． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， 恰好选中甲、乙两名同学的概率为：． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 22. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ （2）探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】（1）①；②； （2） 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3），或． 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 六、（本大题12分） 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1） （2） ①当时，，解得或， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 点的坐标为； ， 顶点的坐标为， 由两点间距离得，， ， ，， ， 是直角三角形， ； ②点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出的坐标，两点间的距离公式结合勾股定理逆定理，即可得出结论；②分点在轴正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ①略 ②当点在轴正半轴上时，设点坐标为， 以点，，为顶点的三角形与相似， 或， 或， 或， 解得或，此时点的坐标为或； 当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $