河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月份开学考试数学试题

方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月份开学考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果三角形满足一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．3，4，5 2．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 5．若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（   ） A． B．45° C．60° D．90° 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（    ） A．设，，若，则， B．设，则 C．设，，若，则 D．设，，若与的夹角为，则 10．若，且 则（        ） A． B． C． D． 11．如图，正方体透明容器的棱长为8，E，F，G，M分别为的中点，点N是棱上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 13．用区间表示下列集合： （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）或= ； （5）且= ． 14．已知，、、是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数（为常数，，且） (1)判断的奇偶性，并用定义证明： (2)当时，证明：函数在定义域内单调递增； (3)求使不等式成立的的取值集合． 16．已知，，，，，求： (1)，，； (2)与的夹角的余弦值． 17．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 18．如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 19．已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月份开学考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D C D B AC ABD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据所给边长，分别求出各个三角形的角度，结合题意，分析即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以此三角形为等腰直角三角形， 三个角分别为，不符合题意，故A错误； 选项B：因为三边分别为，，，则此三角形为等腰三角形，作底边上的高，如图所示 则，， 所以，所以， 所以，则，符合题意，故B正确； 选项C：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角正弦值为，即三个角分别为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为，所以此三角形为直角三角形， 最小角的正弦值为，则最小角大于，最大角为，不符合题意，故D错误. 故选：B 2．C 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 3．C 【分析】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则由题意可得，再由圆台的侧面积列方程可求出，从而可求出上下底面面积和圆台的高，进而可求出台的体积. 【详解】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则，故， 因为该圆台的侧面积为，母线长， 所以，解得，则， 所以圆台上底面的面积为，下底面的面积为， 圆台的高 所以该圆台的体积． 故选：C． 4．A 【分析】先根据复数的几何意义求出，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】复数的点为， 由题意得，解得， 所以，. 故选：A. 5．D 【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 6．C 【分析】由已知及同角三角函数的平方关系得出，，再根据两角和的余弦公式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以，， 所以 ， 故选：C． 7．D 【分析】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】设交轴于点，则， ， 则，即， 即，结合椭圆离心率， 得， 则离心率的最小值为. 故选：D. 8．B 【分析】取的中点，构造平行线，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再结合已知条件求解. 【详解】取的中点，连接, 根据三角形中位线的性质知， 且 由得 或其补角为异面直线和所成的角, 又，则, 则为等腰直角三角形，则， 故选: 9．AC 【分析】根据题意得：，， 对于A结合向量相等理解判断； 对于B、D：利用以及进行运算判断； 对于C：若，则，使得． 【详解】， 对于A：即，则， A正确； 对于B： 即 B错误； 对于C：若， 当即时，显然满足：； 当即或时，则，使得， 即 则可得，消去得：； C正确； 对于D：结合可A、B知：若， 则，， 根据题意得： 即，可得：即 D不正确； 故选：AC． 10．ABD 【分析】由已知等式两端同乘化简得到，再结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】由两端同乘可得：， 即，又， 所以， 对于A，由，令， 得，所以， 所以，当且仅当时取等号，A正确， 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，当且仅当时取等号， 可得，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确， 故选：ABD 11．AC 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得可判断；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为个，且奇数层均为个，偶数层均为49个，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对于A：由正方体性质知：且        都在面内，所以面，面，则，故A正确； 对于B：且，若是交点，连接， 所以，故为平行四边形， 则且，所以所成角，即为所成角， 由题设，可得， 在中，，即夹角为， 所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为，故B错误； 对于C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，    根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对于D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为个， 且奇数层均为个，偶数层均为49个，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心 构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则， 而，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误． 故选：AC. 12． 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得结论. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为点在底面的投影为的外心，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接， 则，所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为：. 13． 【分析】（1）根据开区间的定义写出结论； （2）根据左开右闭区间的定义写出结论； （3）根据闭区间的定义写出结论； （4）根据区间的定义结合并集运算写出结论； （5）根据区间的定义结合集合运算写出结论． 【详解】（1）=； （2）=； （3）=； （4）或=； （5）且=． 故答案为： ；；；；． 14． 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则， 又， 所以，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 15．(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断证明； （2）设，作差法比较与的大小即可证明； （3）由指数函数的单调性，结合指数与对数的互化解不等式即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下：由解析式知函数定义域为， 且，所以为奇函数， （2），任取，且， 则 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由，得，所以， 当时，可得，当时，可得， 综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 16．(1) (2)． 【分析】（1）根据向量的平行和垂直，分别列出方程，解得答案; （2）求出向量与的夹角的坐标，利用向量的夹角公式求得答案. 【详解】（1）∵， ，    解得,     则， ∵，， 即， 解得，    则． （2）由得， ， 设与的夹角为， =，=，    与的夹角为的余弦值为． 17．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可. （2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，由此可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得结果. 【详解】（1）在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． （2） 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，； ∴，； 设是平面的法向量，则，即， 取； 设是平面的法向量，则，即， 取； ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 19．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对进行分类讨论，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）中的结论分类讨论函数在上的单调性，求出其最小值的表达式，令最小值满足，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知①当时，在上单调递增， 若，可知即可，可得， 解得； ②当时，在上单调递增，即可得在上单调递增， 此时需满足，即，此时无解； ③当时，结合（1）中结论可知在上单调递减，在上单调递增； 所以满足即可，即， 令， 则，易知在上为单调递减； 又，所以存在唯一满足， 因此可得时，，当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时不满足，不合题意； ④当时，在上单调递减，即可得在上单调递减； 所以只需满足，即，解得； 综上可知或. 即的取值范围为 答案第14页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $