精品解析：宁夏回族自治区固原市第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

固原一中2025-2026学年第一学期高一期末数学试卷 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角一定是锐角 C. 是第三象限角 D. 角度制与弧度制不能互相转换 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角是第四象限角，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7. 已知函数的部分图象如图所示，（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，满足.当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为； B. 是偶函数； C. 在上单调递增； D. 最大值为，最小值为. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 若，则_______. 13. 函数的定义域为_________________. 14. 已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是_____________. 四、解答题（共58分）. 15. （1）证明： （2）化简： 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. （1）求实数的值； （2）求的值. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心： （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的最大及最小值． 19. 已知函数. （1）求； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若函数在内恰有个零点，求与的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原一中2025-2026学年第一学期高一期末数学试卷 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角一定是锐角 C. 是第三象限角 D. 角度制与弧度制不能互相转换 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限角的定义及终边相同的角，弧度制的概念判断可得. 【详解】对A：如与终边相同，但角不相等，故A错误； 对B：如，所以是第一象限角但不是锐角，故B错误； 对C：因为，所以是第三象限角，故C正确； 对D：角度制与弧度制能互相转换，故D错误. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 4. “”是“”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接判断条件的充分性和必要性是否成立可得. 【详解】充分性：，则，充分性成立； 必要性：若，则，即，所以必要性不一定成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 把函数图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的变换求出函数解析式即可判断. 【详解】把函数图象向左平移个单位长度，得， 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：A 6. 已知角是第四象限角，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据角是第四象限角列出不等式计算得出角的范围并结合余弦值求解. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 所以，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角． 故选：D． 7. 已知函数的部分图象如图所示，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得. 【详解】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，. 故选：B. 8. 已知是定义在上的奇函数，满足.当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数得，又因为，故有，再代入，即可得解. 【详解】由题可知，是奇函数，故有， 又由，可得， 则. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，以及当时，函数的单调性逐一判断. 【详解】A选项，，则，又定义域为，故是偶函数， 当时，，显然在 上单调递增，故A正确； B选项，显然在上不是单调递增，故B错误； C选项，，则，又定义域为，故是偶函数， 当时，，显然在 上单调递增，故C正确； D选项，，则， 又定义域为，故是偶函数， 当时，，显然在 上单调递增，故D正确. 故选：ACD 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为； B. 是偶函数； C. 在上单调递增； D. 最大值为，最小值为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数的图像，结合正弦函数的图像与性质，以及奇偶性的定义，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】画出函数的图像，如图所示， 对于A，由函数的图像，可得满足，即函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，由的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，所以B正确； 对于C，作出函数的图像，如图所示， 由图像可得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以C错误； 对于D，由正弦函数的性质，可得，所以， 所以函数的最大值为，最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接根据函数的的图象和性质判断可得. 【详解】对A：因为是函数的最大值，所以点不是图象的一个对称中心，故A错误； 对B：因为是函数的最大值，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确； 对C：当，，正弦函数在单调递增，故C正确； 对D：因为，所以函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 若，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用弦化切的知识求解即可. 【详解】由，得. 故答案为：. 13. 函数的定义域为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式知，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可. 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 14. 已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解. 【详解】由，得， 又函数在上有且仅有2个零点， 所以，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共58分）. 15. （1）证明： （2）化简： 【答案】（1）左边右边. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和正弦公式即可证明； （2）根据诱导公式化简即可. 【详解】（1）略 （2）原式. 16. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，故， 故； 【小问2详解】 由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 17. 已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. （1）求实数的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）先判断的符号，然后由，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【小问1详解】 因为是方程（为常数）的两个根， 所以， 由， 得，解得； 【小问2详解】 由（1）得， 又，， 所以，所以， 所以. 18. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心： （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的最大及最小值． 【答案】（1）最小正周期为；对称中心为 （2） （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 19. 已知函数. （1）求； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若函数在内恰有个零点，求与的值. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式化简函数，再代角求值可得； （2）先三角变换化简函数得，再用进行换元得到关于t的一个二次函数，进而可得函数的最大值点及最小值点，进而可最大值点与最小值点差的最小值； （3）先化函数得，再令换元，将函数的零点转化为方程的根，再根据分6种情况讨论，再结合方程的根的个数判断可得. 【小问1详解】 由 . 所以. 【小问2详解】 因为，所以， . . 令，则， 函数是一个开口向下的二次函数，对称轴为. 当时，；当时，. 所以函数的最大值点为，则，得或， 即或. 函数的最小值点为，则，得，即. 所以与的最近距离为,即. 【小问3详解】 因为，所以， 令可得， 令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，如图： 下面以的取值分6种情况讨论： ①当时，，此时在内有个零点， 所以符合题意； ②当时，m在内有一个解， 在或各有一值，此时在内有个零点，不符合题意； ③当时，，此时在内有个零点， 所以符合题意； ④当时，或，或，此时在内有个零点，不符合题意； ⑤当时，m在和内各一个解， 在和各有一个值，此时在内有个零点，不符合题意； ⑥当时，，此时在内有个零点，不符合题意； 综上所述：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $