精品解析：安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期期末数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的包含关系得出集合中元素都在集合中，进而求出的取值范围． 【详解】已知集合，，， 则需要满足集合中元素都在中,可得，故C正确． 故选：C． 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数的定义直接判断即可. 【详解】由表可知，低于分占比， 又分位于分数段中， 则其中低于分占比为， 所以分总占比为， 故学生的成绩可能是第百分位数. 故选：B 3. 已知函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质列式化简求得，再代入检验即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以，即， 化简得，所以，所以， 因为，所以. 若，则，定义域为关于原点对称， 且，显然为奇函数，所以. 故选：C 4. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立体几何中线面、面面位置关系的判断定理和性质定理，逐一分析各个选项的正确性. 【详解】对于A，面面平行的判定定理要求相交，若，则可能相交，故A错误； 对于B，线面垂直的判定定理要求相交，若，则推不出，故B错误； 对于C，过作平面交于，则,过作平面交于，则,故, 又不属于平面，又属于平面，所以,而,故,故,C正确； 对于D，与可能平行，故D错误. 故选：C 5. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 6. 在△ABC中，，则=（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得得，，两式相除代入条件求得结论. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 故选：C 7. 已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（ ） A. 3+36 B. 6+36 C. 3+12 D. 6+12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据外接球的表面积为，求得其半径r，再由求得棱长即可. 【详解】设外接球的半径为r，则，解得， 设正三棱柱的底面边长为a，由题意知侧棱长为a， 如图所示： 设外接球的球心为O，底面的中心为， 则， 即，即， 解得， 所以该三棱柱的表面积为， 故选：B. 8. 已知双曲线C: 的左、右焦点分别为，点P是圆O: 与双曲线C的一个公共点，，则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. D. +1 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质可求，结合双曲线的定义可求离心率. 【详解】因为点P在圆O: 上，所以 因为，所以. 根据双曲线的定义得，所以， 则，故双曲线C的离心率为+1. 故选：D 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（ ） A. 是实数 B. 是纯虚数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，设，，然后根据复数的运算，逐个选项判断即可. 【详解】由题设，， 则，故A，B正确； 又，C选项错误； 又，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线C: 的焦点为F，经过点F且倾斜角为α的直线l与抛物线C交于A，B两点，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的周长的最小值为4 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，C，联立方程组结合焦点弦公式计算判断，对于B项画出抛物线图象，结合抛物线定义计算验证是否正确；对于D 项，计算可求解； 【详解】抛物线的准线为，焦点为. 设，设直线的方程为， 由消去x并化简得， 所以， 所以（时等号成立），所以A选项正确； 若，则，C选项正确； 抛物线C的焦点为，过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为Q， 的周长为， 当A，E，Q三点共线时，的周长取最小值，最小值为，B项错误； 因为，所以， 则，故或，D项错误. 故选：AC. 11. 对于，满足，，且对于，恒有，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合题目所给条件，通过赋值确定的值，再根据即可判断A选项，通过计算出的值，再结合当，恒有即可判断B，C选项，通过赋值计算出的值即可判断D选项. 【详解】将代入及，得， ，. 将代入，得. 且. ，A正确. 由，得，因为对于，恒有，， 所以当时，，，B选项正确，C选项错误； ，，又， 即，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量点积公式计算出的值，再利用向量垂直的点积为这一性质，建立方程求解出实数. 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，，且，则 ____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据得到；结合求出时的表达式，求出，联立求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 两式相减得，即， 又因为， 所以当时，， 又，所以，所以. 故答案为：2. 14. 已知函数(，为常数)的图象如图所示(图象经过点，则正整数____.  【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象确定周期范围，再结合周期公式和已知点建立关于的不等式，最后通过正整数条件求解. 【详解】根据图象知，又，所以，得到， 又是正整数，所以. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示: 月份 7 8 9 10 11 月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y 2.2 2.5 2.7 3.1 3.5 （1）从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量. 附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=- 【答案】（1）分布列见解析， （2）3.76万件 【解析】 【分析】（1）先判定分布列为超几何分布，确定2个满足条件、3个不满足的样本构成，再计算 的概率得到分布列，最终运用公式即可求得期望值； （2）先计算样本均值、平方和等基础统计量，再通过最小二乘法计算回归系数 和截距 ，得到回归方程 ，最后结合实际情境代入自变量完成预测即可. 【小问1详解】 因为月销售量不少于3万件的月份有2个，所以X的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问2详解】 因为，， ， 所以===， =-=， 故y关于x的经验回归方程为， 又当年12月份对应的月份代码为6，所以， 所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件. 16. 已知函数，的图象在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）证明:当时，． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程，从而求出； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 函数求导得， ， 切线方程斜率为， ，解得，则， ，故的图象在点处的切线方程为，即， ． 【小问2详解】 令，则， 令，则， ，， ，单调递增， ，故单调递增， ，即，命题得证． 17. 如图，在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，. （1）证明：平面平面. （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理得平面，然后利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理可证； （2）先通过二面角的定义及大小求得，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 取BC的中点D，连接AD，PD， 因为为边长为2的正三角形，所以. 因为，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，， 可得二面角的平面角为，则. 因为为边长为2的正三角形，所以， 则.过点D作直线，分别以DA，DB所在直线为x轴，y轴， l为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线：经过椭圆：的右焦点和上顶点. （1）求的方程； （2）点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线经过椭圆右焦点及上顶点，求出，值，进而求出值，即可得到椭圆方程. （2）设出直线方程与直线，求出交点，利用两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 在直线的方程中，令，得，令，得， 所以，，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 因为点是上的任意一点，所以，即. ①当时，，则或. 当点的坐标为时，直线方程为，直线方程为，交点为， 此时. 同理，当点的坐标为时，两直线交于点，此时. ②当时，直线的方程为， 联立，解得，所以， 所以 ， 所以. 综上，. 19. 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. （1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由. （2）若，证明：A不可能具有性质. （3）若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【答案】（1）B不具有，C具有，理由见解析； （2）证明见解析； （3）110个 【解析】 【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可； (2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了个抽屉，但要选个元素，则必有一个是选到相差为的个数，从而找到矛盾，可得问题得证； (3)利用抽屉原理，按连续个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最后可确定元素个数的最大值，并举例说明. 【小问1详解】 当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； 【小问2详解】 将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； 【小问3详解】 先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 如果学生在这次测试中数学得了分，那么学生的成绩可能是（ ） A. 第百分位数 B. 第百分位数 C. 第百分位数 D. 第百分位数 3. 已知函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 4. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，，则=（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（ ） A. 3+36 B. 6+36 C. 3+12 D. 6+12 8. 已知双曲线C: 的左、右焦点分别为，点P是圆O: 与双曲线C的一个公共点，，则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. D. +1 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（ ） A. 是实数 B. 是纯虚数 C. D. 10. 已知抛物线C: 的焦点为F，经过点F且倾斜角为α的直线l与抛物线C交于A，B两点，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的周长的最小值为4 C. 若，则 D. 若，则 11. 对于，满足，，且对于，恒有，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 13. 已知等比数列的前项和为，，且，则 ____. 14. 已知函数(，为常数)的图象如图所示(图象经过点，则正整数____.  四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示: 月份 7 8 9 10 11 月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y 2.2 2.5 2.7 3.1 3.5 （1）从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量. 附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=- 16. 已知函数，的图象在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）证明:当时，． 17. 如图，在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，. （1）证明：平面平面. （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线：经过椭圆：的右焦点和上顶点. （1）求的方程； （2）点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值. 19. 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. （1）试判断集合和是否具有性质，并说明理由. （2）若，证明：A不可能具有性质. （3）若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $