专题25.3 一次函数（概念和图像）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题25.3 一次函数(概念和图像) 教学目标 1.  理解一次函数的概念：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0），能准确识别一次函数并能理解它与正比例函数的区别与联系; 2.会用”两点法”画一次函数图像，知道其是过(0,b)和(,0)的一条直线，掌握直线平移的规律，会进行简单的平移； 教学重难点 1.重点 理解一次函数的概念，准确、规范地画一次函数的图像； 2.难点 一次函数图像的平移、轴对称等变换后表达式的确定. 知识点01 一次函数的概念 1.一次函数 ①形式上：一般地，形如____________（k≠0）的函数，叫作一次函数. ②本质上：左边是变量y，右边是形如kx+b的关于x的____________. 2.一次函数与正比例函数的关系 对于一次函数y=kx+b（k≠0），当_______时，表达式y=kx+b（k≠0）就成为y=kx（k≠0），这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 【即学即练】 例1根据下列变量x、y之间的关系式，判断y是不是x的一次函数?如果是一次函数，指出其中k、b分别是多少？ (1)y=2x;(2)y=3(1-x)（3）y= (4)y= 解：（1）因为2x是一次式，所以y=2x是一次函数,其中k=_____,b=_____； （2）因为3(1-x)是一次式，所以y=3(1-x)是一次函数,其中k=_____,b=_____； （3）因为 不是一次式，所以y=不是一次函数； （4）当2m-3=1,即m=_____时，y=可化简为_____,所以y是关于x的一次函数，其中k=_____,b=_____； 当2m-31,即m时，不是一次式,所以y不是关于x的一次函数. 【点睛】辨析一次函数y=3(1-x)各项系数时不能只看形式，要看本质. 2.一次函数表达式的确定——待定系数法 (1)一般步骤： 第一步“设”：设函数的表达式为y=kx+b(其中k、b是待定系数，且k≠0); 第二步“列”：将已知的x、y的对应值代入所设表达式中，列出关于k、b的方程组； 第三步“解”：解方程组，求出k与b的值； 第四步“答”：将所求k、b的值代回所设的表达式中，写出函数的表达式. (2)常见类型 ①已知两对x,y的值 策略：直接代入表达式列出关于k,b的二元一次方程组； ②已知函数图像经过两个已知点，如P（,）和Q（,） 策略：把x=,y=和x=,y=代入表达式列出关于k,b的二元一次方程组； ③根据数量关系列式 如“油箱剩油模型”：汽车油箱有油40升，每小时耗油8升，求剩油量y(升)与行驶时间t(h)之间的函数关系y=________(0t5) ④根据表格数据规律列式 （举例见例3） 【即学即练】 例2 已知y是x的一次函数，当x=2时，y=-1;当x=3时，y=2. 请问，若x=3,y等于多少？ 解：设所求一次函数的表达式为______________(k≠0). 因为当x=2时，y=-1,当x=5时，y=8,所以 可得方程组________________________ 解二元一次方程组，得___________ 所以，这个一次函数的表达式为____________. 当x=3时，y=___________ 所以当x=3时，y=____. 例3 一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度与所挂砝码的质量的一组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 18 20 22 24 26 28 … 请写出与之间的关系式． 解析：从表格看出弹簧原长____厘米，砝码每增加1克，弹簧长度伸长____厘米，所以y=________ 知识点02 一次函数的图像 1.一次函数的图像 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条___________，记作直线___________；直线y=kx+b经过点（_____，0）和点（0，______）. 2.画一次函数图像的步骤 ①列表 ②描点 ③连线 3.直线y=kx+b经过P（m,n）与点P（m,n）在直线y=kx+b上的含义 直线y=kx+b经过点P（m,n）⟺x=______,y=______满足表达式y=______⟺把代入表达式y=kx+b，能使表达式左右两边的值相等. 4.直线y=kx+b与坐标轴交点坐标 求与x轴交点的坐标⇒把y=______代入表达式y=kx+b求出x______，则点（_____，0）就是直线y=kx+b与x轴的交点坐标； 求与y轴交点的坐标⇒把x=______代入表达式y=kx+b求出y=______，则点（0,______）就是直线y=kx+b与y轴的交点坐标； 5.一次函数的截距 一条直线与y轴的交点的______称为这条直线在y轴上的截距，简称直线的______.直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,______),直线y=kx+b(k≠0)的截距是______. 易错点辨析：一次函数的“截距”是个坐标，不是个距离. 6.平移直线 （1）平移规律 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以看成是由正比例函数y=kx(k≠0)的图像平移得到的.平移前后的两条直线互相平行； 直线y=x+与直线y=x+平行⟺=， （2） 平移类型 ①上下平移（k不变，b上加下减） ②左右平移（k不变，m左加右减） y=kx+b =k(x+m)+b （3）关于求直线平移、旋转、轴对称的表达式的通用方法 ①先求点变换后的坐标； ②再用待定系数法确定直线变换后的表达式. 【即学即练】 例4在平面直角坐标系中画出函数y=x-2的图像. （1）将函数y=x-2的图像向上平移2个单位、4个单位，在同一直角坐标系中分别画出平移后的图像，并写出平移后的图像表达式； （2）画出函数y=x-2的图像关于y轴轴对称的图形，并求出它的解析式。 【分析】本题考察了直线的平移、轴对称.欲求直线变换后的表达式，先求点的变换后的坐标，再用待定系数法求表达式. 【详解】解；列表 x 0 y=x-2 0 描点、连线函数y=x-2的图像如下图所示. (1)将直线y=x-2向上平移2个单位、4个单位后图像如下图所示； 因为直线y=x-2经过点（______，0）和（0，______）所以将直线y=x-2向上平移2个单位、4个单位后，它们一定分别经过点（______，______）、（0，0）和（______，______）、（0，2）. 设向上平移2个单位后的直线为y=x+,向上平移4个单位后的直线为y=x+， 由题意得到 ， 分别解之得 ， ∴直线y=x-2向上平移2个单位后表达式为y=______; 直线y=x-2向上平移4个单位后表达式为y=______; （2）函数y=x-2的图像关于y轴轴对称的图形如图所示； 直线y=x-2与x轴交于点（______，0）与y轴交于点（0，______） 因为他们关于y轴的对称点分别为（______，______）和（______，______）, 设直线y=x-关于y轴轴对称的直线表达式是y=kx+b 由题意，得 _______________ 解之得，k________,b=_________ ∴直线y=x-2关于y轴轴对称的直线表达式是y=____________. 【点睛】本题若掌握平移的规律，解题将更加便捷，一次函数图像的上下平移规律是“k不变，b上加下减，” 所以直线y=x-2向上平移2个单位后表达式为y=x-2+2，即y=x. 题型01 一次函数的概念 【典例1】1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【变式2】已知函数． （1）当m 时，y是x的一次函数． （2）当m 时，y是x的正比例函数． 【变式3】关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【变式4】已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 题型02 求一次函数的表达式 【典例1】已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝1时，求y的值． 【变式1】一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 【变式2】如图，把含45°角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，其中A（－2，0），B（0，1），求直线BC的表达式． 【变式3】已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，3），且过点（2，﹣1）． （1）求该一次函数的解析式； （2）画出该一次函数的图象，并根据图象回答：当x取何值时，一次函数y＝kx+b的函数值大于3？    【变式4】一次函数y＝kx＋b的图象经过A（3，2），B（1，6）两点． (1)求k，b的值； (2)判断点P（－1，10）是否在该函数的图象上． 题型03 一次函数的图像 【典例1】画出函数的图像，并根据图像回答下列问题： (1)函数图像与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当x取何值时，？ 【变式1】在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【变式2】已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【变式3】已知一次函数． (1)画出该函数的图象． (2)已知该一次函数的图象与轴、轴的交点为，，求的面积． 【变式4】在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象； (2)求方程组 题型04 求一次函数图像与坐标轴交点坐标 【典例1】一次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线与坐标轴交于两点，则直线与x轴所夹的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 【变式4】已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)①求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． ②求的面积． (3)写出图象上到x轴的距离等于2的点的坐标：___________________________． 题型05 一次函数的截距 【典例1】一次函数的截距为 ． 【变式1】函数的图象在y轴上的截距为 ． 【变式2】已知一次函数的截距是2，那么 ． 【变式3】平行于直线且在轴上的截距为2的直线表达式为 ． 【变式4】已知一次函数的图象在y轴上的截距是5，且过点，则该函数的解析式是 ． 题型05 一次函数图像的平移的规律 【典例1】如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【变式1】若将直线向上平移4个单位长度后得到新的直线，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【变式2】将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为 ． 【变式3】将正比例函数的图象向左平移两个单位长度，平移后的图象相应的函数表达式为 ． 【变式4】如图直线与y轴交于点A，点B为该直线上一点，且点B的纵坐标是6． (1)求点A和点B的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点C，连接，，求的面积． 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若将直线向右平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m 的值为（     ） A． B．3 C．6 D． 二、填空题 3．若为一次函数，则 ． 4．若是关于的一次函数，则，应满足的条件是 ． 5．将直线向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 ． 6．将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则 ． 7. 直线在轴上的截距是 ． 8．直线向下平移 个单位后，所得的直线在轴上的截距是． 9．关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是 ． 3、 解答题 10. 在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： （1）； （2）； （3）． x 0 1 -1 3 1 5 -1 -5 11．在同一直角坐标系中画出函数和的图象． 列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 7．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 8．已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； 9．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点． (1)用含b的代数式表示点A的坐标为________； (2)如果的面积等于4，求b的值． 10．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 11. 直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，点D与点B关于x轴对称． (1)求直线CD的表达式； (2)若点在直线CD上，求m的值． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3 一次函数(概念和图像) 教学目标 1.  理解一次函数的概念：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0），能准确识别一次函数并能理解它与正比例函数的区别与联系; 2.会用”两点法”画一次函数图像，知道其是过(0,b)和(,0)的一条直线，掌握直线平移的规律，会进行简单的平移； 教学重难点 1.重点 理解一次函数的概念，准确、规范地画一次函数的图像； 2.难点 一次函数图像的平移、轴对称等变换后表达式的确定. 知识点01 一次函数的概念 1.一次函数 ①形式上：一般地，形如y=kx+b（k≠0）的函数，叫作一次函数； ②本质上：左边是变量y，右边是形如kx+b的关于x的一次式. 说明：辨析概念不能只看形式，关键是看本质. 2.一次函数与正比例函数的关系 对于一次函数y=kx+b（k≠0），当b=0时，表达式y=kx+b（k≠0）就成为y=kx（k≠0），这时y是x的正比例函数.所以，正比例函数是一次函数的特例. 【即学即练】 例1根据下列变量x、y之间的关系式，判断y是不是x的一次函数?如果是一次函数，指出其中k、b分别是多少？ (1)y=2x;(2)y=3(1-x)（3）y= (4)y= 解：（1）因为2x是一次式，所以y=2x是一次函数,其中k=2,b=0； (2)因为3(1-x)是一次式，所以y=3(1-x)是一次函数,其中k=-3,b=3； （3）因为 不是一次式，所以y=不是一次函数； （4）当2m-3=1,即m=时，y=可化简为y=-2x+2,所以y是关于x的一次函数，其中k=-2,b=2； 当2m-31,即m时，不是一关于x的一次式,所以y不是关于x的一次函数. 2.一次函数表达式的确定——待定系数法 (1)一般步骤： 第一步“设”：设函数的表达式为y=kx+b(其中k、b是待定系数，且k≠0); 第二步“列”：将已知的x、y的对应值代入所设表达式中，列出关于k、b的方程组； 第三步“解”：解方程组，求出k与b的值； 第四步“答”：将所求k、b的值代回所设的表达式中，写出函数的表达式. (2)求表达式的常见类型 ①已知两对x,y的值 策略：直接代入表达式列出关于k,b的二元一次方程组； ②已知函数图像经过两个已知点，如直线y=kx+b经过点P（,）和Q（,） 策略：把x=,y=和x=,y=代入表达式列出关于k,b的二元一次方程组； ③根据数量关系列式 如“油箱剩油模型”：汽车油箱有油40升，每小时耗油8升，求剩油量y(升)与行驶时间t(h)之间的函数关系y=40-8t(0t5) ④根据表格数据规律列式 （举例见例3） 【即学即练】 例2 已知y是x的一次函数，当x=2时，y=-1;当x=3时，y=2. 请问，若x=3,y等于多少？ 解：设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0). 因为当x=2时，y=-1,当x=5时，y=8,所以 解二元一次方程组，得 所以，这个一次函数的表达式为y=3x-7. 当x=3时，y=2. 例3 一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度与所挂砝码的质量的一组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 18 20 22 24 26 28 … 请写出与之间的关系式． 解析：从表格看出弹簧原长18厘米，砝码每增加1克，弹簧长度伸长2厘米，所以y=2x+18 知识点02 一次函数的图像 1.一次函数的图像 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，记作：直线y=kx+b；直线y=kx+b常过点（-，0）和点（0，b）. 2.画一次函数图像的步骤 ①列表 ②描点 ③连线 3.直线y=kx+b经过某点与某点在直线y=kx+b上的含义 直线y=kx+b经过点P（m,n）⟺x=m,y=n满足表达式y=kx+b⟺把代入表达式y=kx+b，能使表达式左右两边的值相等. 4.直线y=kx+b与坐标轴交点坐标 求与x轴交点的坐标⇒把y=0代入表达式y=kx+b，求出x=，则点（-,0）就是直线y=kx+b与x轴的交点坐标； 求与y轴交点的坐标⇒把x=0代入表达式y=kx+b，求出y=b，则点（0,b）就是直线y=kx+b与y轴的交点坐标； 5.一次函数的截距 一条直线与y轴的交点的纵坐标称为这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.直线y=kx+b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b),直线y=kx+b(k≠0)的截距是b. 易错点辨析：一次函数的“截距”是个坐标，不是个距离. 6.平移直线 （1）平移规律 一次函数y=kx+b(k≠0)的图像可以看成是由正比例函数y=kx(k≠0)的图像平移得到的.平移前后的两条直线互相平行； 直线y=x+与直线y=x+平行⟺=， （2） 平移类型 ①上下平移（k不变，b上加下减） ②左右平移（k不变，m左加右减） y=kx+b =k(x+m)+b （3）关于求直线平移、旋转、轴对称的表达式的通用方法 ①先求点变换后的坐标； ②再用待定系数法确定直线变换后的表达式. 【即学即练】 例4在平面直角坐标系中画出函数y=x-2的图像. （1）将函数y=x-2的图像向上平移2个单位、4个单位，在同一直角坐标系中分别画出平移后的图像，并写出平移后的图像表达式； （2）画出函数y=x-2的图像关于y轴轴对称的图形，并求出它的解析式。 【分析】本题考察了直线的平移、轴对称，欲求直线变换后的表达式，先求点的变换后的坐标，再用待定系数法求表达式. 【详解】解；列表 x 3 0 y=x-2 0 -2 描点、连线函数y=x-2的图像如下图所示. (1)将直线y=x-2向上平移2个单位、4个单位后图像如下图所示； 因为直线y=x-2经过点（3，0）和（0，-2）所以将直线y=x-2向上平移2个单位、4个单位后，它们一定分别经过点（3，2）、（0，0）和（3，4）、（0，2）. 设向上平移2个单位后的直线为y=x+,向上平移4个单位后的直线为y=x+， 由题意得到 ， 分别解之得 ， ∴直线y=x-2向上平移2个单位后表达式为y=x; 直线y=x-2向上平移4个单位后表达式为y=x+2; （2）函数y=x-2的图像关于y轴轴对称的图形如下图所示； 设y=x-2的图像关于y轴轴对称的图像的表达式是y=kx+b 因为点（3，0）和（0，-2）关于y轴的对称点为（-3，0）和（0，-2）, 所以直线y=kx+b经过点（-3，0）和（0，-2）， 由题意，得 解之得， ∴直线y=x-2关于y轴轴对称的图像的表达式是y=-x-2. 【点睛】本题若掌握平移的规律，解题将更加便捷，一次函数图像的上下平移规律是“k不变，b上加下减，” 所以直线y=x-2向上平移2个单位后表达式为y=x-2+2，即y=x. 题型01 一次函数的概念 【典例1】1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知函数． （1）当m 时，y是x的一次函数． （2）当m 时，y是x的正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，熟练掌握正比例函数和一次函数的特点是解题的关键； （1）根据一次函数的特点求解即可； （2）根据正比例函数的特点求解即可． 【详解】解：（1）一次函数的一般形式为， 若使为一次函数 则需， 解得． ∴时，为一次函数． 故答案为：． （2）若使为正比例函数 则需 解得 ∴时，为正比例函数． 故答案为：． 【变式3】关于x的函数是一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，得且 ，解方程即可求解． 【详解】解：是一次函数， 且 ， 解得，， ． 故答案为． 【变式4】已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 【答案】(1)  y＝3x－9；(2)  y是x的一次函数，该函数的图像见解析；(3) －1.5 【详解】试题分析：（1）根据y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式，再把当x=4时，y=3代入求出k的值即可； （2）根据一次函数的定义可得y与x之间的函数关系，再根据描点法画出函数即可求解； （3）根据代入法即可求解． 试题解析： （1）∵y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式为：y=k（x-3）（k≠0）， 把当x=4时，y=-3代入得：3=（4-3）k，解得k=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=3（x-3）=3x-9． （2）y是x的一次函数，该函数的图象如图所示； （3）当x=2.5时，y=3×2.5-9=-1.5． 题型02 求一次函数的表达式 【典例1】已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝1时，求y的值． 【答案】（1）y=-5x+29；（2）24 【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可； （2）把x=1代入函数表达式计算即可． 【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得 ， 解得：， ∴此一次函数的表达式为y=-5x+29； （2）将x=1代入y=-5x+29， 得：y=-5×1+29=24． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解． 【变式1】一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 【答案】（1）；（2）-7；（3）-9. 【分析】（1）用待定系数法即可得到答案； （2）将x=10代入一次函数即可得到答案； （3）将y=12代入一次函数即可得到答案. 【详解】（1）设函数解析式为： 因为图象经过点（1，2）和点（-2，5），代入得 有            解得， 与的函数关系式为： （2）当=10时， （3）当y=12时，x=-9. 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 【变式2】如图，把含45°角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，其中A（－2，0），B（0，1），求直线BC的表达式． 【答案】 【分析】过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，可求得CD和OD的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式． 【详解】解：如图，作CD⊥x轴 ∵∠CAB=90°， ∴∠DAC+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DAC=∠ABO， 在△AOB和△CDA中 ∴△ACD≌△BAO ∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2 ∴C（－3，2） 设，直线过B，C两点 ∴ 解得：    ∴ 【点睛】本题主要考查待定系数法及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求得C点坐标是解题的关键． 【变式3】已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，3），且过点（2，﹣1）． （1）求该一次函数的解析式； （2）画出该一次函数的图象，并根据图象回答：当x取何值时，一次函数y＝kx+b的函数值大于3？    【答案】（1）；（2）图象见解析； 【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式中，由待定系数法可求得直线的解析式； （2）利用两点法画出该一次函数的图象，根据图象得到结论； 【详解】（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，3）， ∴b＝3， 又过点（2，﹣1）， ∴2k+3＝﹣1， 解得k＝﹣2， 故一次函数的解析式为y＝﹣2x+3； （2）由（1）可得一次函数y＝﹣2x+3过点（0，3），（2，﹣1）， 描出两点，连线可得一次函数y＝﹣2x+3的图象， 如图所示： 由图象可得，当x＜0时，一次函数的y值大于3．    【点睛】本意考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解题的关键 【变式4】一次函数y＝kx＋b的图象经过A（3，2），B（1，6）两点． (1)求k，b的值； (2)判断点P（－1，10）是否在该函数的图象上． 【答案】(1)k＝－2，b＝8 (2)点P（－1，10）在该函数的图象上 【分析】（1）把A（3，2），B（1，6）代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出k，b的值； （2）将点P（－1，10）代入（1）中的解析式进行检验即可． 【详解】（1）把A（3，2），B（1，6）代入y＝kx+b， 得：， 解得， 故所求k＝－2，b＝8； （2）∵y＝－2x+8， ∴当x＝－1时，y＝－2×（－1）+8＝10， ∴P（－1，10）在y＝－2x+8的图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b（k≠0）． 题型03 一次函数的图像 【典例1】画出函数的图像，并根据图像回答下列问题： (1)函数图像与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当x取何值时，？ 【答案】(1)与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为 (2)当时， 【分析】本题考查一次函数图像的绘制及其性质的应用．首先根据函数表达式确定直线在坐标系中的位置，找出与坐标轴的交点；然后结合图像分析函数值的符号情况．由于该函数为一次函数，图像为一条直线，其与轴交点即为时的解，与轴交点为时的函数值．通过画出图像或代数计算可快速得出结果． 【详解】（1）   时， 解得： 所以，函数图像与x轴的交点坐标为． 时，代入得： 所以，函数图像与y轴的交点坐标为． （2）由函数，这是一个斜率为正的一次函数，随着x增大，y也增大． 当时，． 当时，． 所以，当时，函数值大于0． 【变式1】在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)图见解析，图象经过第一和第三象限 (2)图见解析，图象经过第一、第三和第四象限 (3)图见解析，图象经过第一、第二和第三象限 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， 当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限； 【变式2】已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点 (1)直接写出 ，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)，； (2)见解析； 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的绘制． （1）求与坐标轴交点坐标时，令或其中一个为0求解另一个坐标； （2）绘制函数图象时，根据两点确定一条直线的原理，利用求出的坐标确定直线位置． 【详解】（1）在一次函数中，令，可求出与轴交点的横坐标，令，可求出与轴交点的纵坐标； 令，则，解得，所以的坐标为； 令，则，解得，所以的坐标为． （2）根据（1）中得到的，两点坐标，在平面直角坐标系中描出这两点，然后用直线连接起来，即可得到函数的图象． 【变式3】已知一次函数． (1)画出该函数的图象． (2)已知该一次函数的图象与轴、轴的交点为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握作一次函数图象是解题的关键． （1）根据描点法，可得函数图象； （2）根据函数值为，可得点坐标；根据自变量为，可得点坐标，然后利用三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示．    （2）解：当时，；当时，， ，， 的面积． 【变式4】在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象； (2)求方程组 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组即的解为：． 题型04 求一次函数图像与坐标轴交点坐标 【典例1】一次函数与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，掌握求函数图象与y轴交点的方法（令）是解题关键， 求一次函数与y轴的交点坐标，需令，求出对应的y值 【详解】解：∵函数与y轴交点的横坐标， ∴令，代入，得， ∴交点坐标为， 故选C 【变式1】一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴交点问题，掌握一次函数的图象与坐标轴交点问题是解本题的关键． 求一次函数图象与轴的交点，即令，解方程求出值，进而得到坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交时，， 令， 解得， 交点坐标为， 故选：C． 【变式2】直线与坐标轴交于两点，则直线与x轴所夹的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质以及直线与坐标轴夹角的计算，解题的关键是先求出直线与坐标轴的交点坐标．先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据直角三角形的性质求出直线与x轴所夹角的度数． 【详解】解：把代入直线方程为，得， 解得，， 直线与轴的交点坐标为， 把代入直线方程为，得， 直线与轴的交点坐标为， 设直线与x轴所夹的角为，直线与x轴、y轴的交点分别为，则， 在中，， 故选：B． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， x … 0 2 … y … 4 0 … 画图如下图，即为所求： （2）解：根据图象，可知时，直线的图象在轴上方，那么当时，x的范围是； 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为． 故答案为：． 【变式4】已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)①求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． ②求的面积． (3)写出图象上到x轴的距离等于2的点的坐标：___________________________． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②4 (3)和 【分析】（1）一次函数图象是直线，只需找到两个点，连接两点即可画出图象； （2）①求与轴交点时令，求与轴交点时令，代入解析式求解坐标； ②是直角三角形，以为直角边，用直角三角形面积公式计算； （3）点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，即，代入函数解析式求出对应的值，得到点的坐标． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则图象如图所示． （2）解：①由（1）可知，． ②∵，， ∴，， ∴． （3）解：点到轴距离为，即，分两种情况： 当时，，得点； 当时，，得点． 故坐标为：和． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、坐标与图形面积的计算，掌握一次函数图象的两点画法、坐标轴交点的求法、点到 轴距离与纵坐标的关系是解题的关键． 题型05 一次函数的截距 【典例1】一次函数的截距为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的截距，解题的关键是掌握一次函数截距的定义． 根据一次函数截距的定义，直接得出函数的截距． 【详解】解：在一次函数为常数，中，叫做截距． 对于一次函数，其中，所以该一次函数的截距为3． 故答案为：3． 【变式1】函数的图象在y轴上的截距为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质．先根据一次函数的解析式判断出b的值，再根据一次函数的性质进行解答． 【详解】解：令，则， ∴此函数图象在y轴上的截距是． 故答案为：． 【变式2】已知一次函数的截距是2，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数的截距，一次函数的截距指其与y轴交点的纵坐标，即函数表达式中的常数项，根据题意，令常数项等于给定截距，求解b即可． 【详解】解：∵函数的截距为常数项， 又∵截距为2， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【变式3】平行于直线且在轴上的截距为2的直线表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线的交点或平行问题，利用两直线平行得到k的值，利用在y轴上的截距的意义得到b的值，从而可确定函数的解析式． 【详解】解：设直线表达式为， 直线平行于直线且在y轴上的截距为2， ， 直线的表达为， 故答案为：． 【变式4】已知一次函数的图象在y轴上的截距是5，且过点，则该函数的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，设一次函数的解析式为，一次函数在y轴上的截距即为一次函数与y轴交点的纵坐标，据此可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数在y轴上的截距是5， ∴， 把点代入得，， ∴， ∴该函数的解析式是． 故答案为：． 题型05 一次函数图像的平移的规律 【典例1】如果通过平移直线得到，那么直线须（    ） A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键． 根据对应点的平移得到平移中解析式的变化规律，可得出答案． 【详解】解：∵ 直线 平移后得到，且斜率不变， ∴ 平移是竖直方向的. 对于点在上，平移后对应点应满足， 即当 时，，平移后得到的点坐标为， ∵ 点 向下移动个单位到， ∴直线 向下平移 个单位得到 . 故选：B． 【变式1】若将直线向上平移4个单位长度后得到新的直线，则的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减”，先确定平移前后直线解析式的关系，再求出的值． 【详解】解：一次函数图象向上平移个单位长度，即平移后的解析式为． 已知平移后直线为，因此可得： ，且，解得． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移规律，解题关键是掌握“上加下减”的平移法则，建立平移前后解析式的联系． 【变式2】将直线向下平移3个单位长度得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移规律．根据一次函数图像的平移规律，向下平移3个单位长度，只需将原解析式中的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：原直线解析式为， 向下平移3个单位长度后，新解析式为． 故答案为：． 【变式3】将正比例函数的图象向左平移两个单位长度，平移后的图象相应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律，左右平移时，值不变，自变量“左加右减”，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的函数表达式为，化简得． 故答案为：． 【点睛】本题还可以先计算图像上个别点平移后的坐标，再用待定系数法求直线表达式. 【变式4】如图直线与y轴交于点A，点B为该直线上一点，且点B的纵坐标是6． (1)求点A和点B的坐标； (2)把直线向下平移7个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点C，连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，三角形面积． （1）把代入求得相应的y值，即可得点A的坐标；把代入求得相应的x值，可得点B的坐标； （2）设直线与x轴交于点E，求得，再求得平移后直线方程为，据此求得，进而得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； ∴A的坐标为，B的坐标为； （2）解：设直线与x轴交于点E，如图： 在中，令得， ∴， 把直线向下平移7个单位长度得到直线：，即， 在中，令得， 解得， ∴， ∴， ∴ ． ∴的面积为． 、 一、单选题 1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，可得答案． 【详解】解；A、是正比例函数，故A错误； B、是反比例函数，故错误； C、是一次函数，故C正确； D、不是正比例函数，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．在平面直角坐标系中，若将直线向右平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m 的值为（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像与平移，熟知函数图像平移法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键． 先根据平移规律表示出平移后的解析式，再代入，即可求解． 【详解】解：由题意得平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：， 故选：D． 二、填空题 3．若为一次函数，则 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义可得自变量的次数为1，且系数不为零可得关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴，且， 解得：或3． 故答案为：3或5． 4．若是关于的一次函数，则，应满足的条件是 ． 【答案】，为任意实数 【分析】根据一次函数的定义，的系数不能为零． 本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握定义是关键． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 因此的系数， 解得； 常数项可以为任意值，因此为任意实数． 故答案为：，为任意实数． 5．将直线向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的规律，向上平移3个单位，b值增加3，k值不变. 本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度，平移后解析式为； 故答案为：. 6．将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后的函数图象与一次函数的图象重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移规律，根据“函数图象上下平移时，斜率不变，截距相应变化”，结合平移后图象重合的条件，列方程求解参数、． 【详解】解：一次函数图象向下平移个单位，平移后的函数解析式为： ． ∵平移后的函数图象与一次函数 的图象重合， ∴对应项系数相等，即 且 ． 解得 ：，． ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移规律，解题关键是掌握“上下平移时，斜率不变，截距随平移方向加减相应单位”，再通过图象重合的条件列方程求解参数． 7. 直线在轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求出当时的的值，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，， 故直线在轴上的截距是， 故答案为：． 8．直线向下平移 个单位后，所得的直线在轴上的截距是． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象的平移，根据一次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减， 即可得解，熟练掌握一次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：设直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是， 则平移后的直线的解析式为， ∴， ∴， 故直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是， 故答案为：． 9．关于的一次函数的图像在轴上的截距为正实数，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、截距等知识点，理解一次函数的一次项系数不能为零是解题的关键． 一次函数的y轴截距为常数项，需为正实数；同时一次项系数不能为零，以确保函数为一次函数，据此求解即可． 【详解】解：该函数为一次函数，因此一次项系数，解得． ∵y轴截距为正数， ∴当时的函数值，即，需满足，解得：． 综上，的取值范围为且，即或． 故答案为：2或． 三、解答题 10．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： （1）； （2）； （3）． 【答案】图见解析 【分析】利用两点确定一条直线，通过描点法画出直线y＝4x−1，直线y＝4x＋1和直线y＝−4x−1， 【详解】解：列表如下； x 0 1 -1 3 1 5 -1 -5 画出函数的图象如图： 【点睛】此题考查了一次函数的图象的画法及一次函数的性质，利用两点画图是解题的关键． 11．在同一直角坐标系中画出函数和的图象． 列表： x … 0 1 2 … … … … … … … 描点、连线： 【答案】见解析 【分析】本题考查了一次函数图象的绘制，解题的关键是通过列表、描点、连线的步骤画出函数图象． 先根据函数表达式，代入值求出对应的值完成列表，再依据列表中的坐标进行描点、连线． 【详解】解：中，； 中，； 中，． 画图如答图． 7．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若当时，，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数与坐标轴的交点问题． （1）函数图象经过原点的条件是时，，代入函数表达式可建立关于m的方程，解此方程即可得m的值； （2）两直线平行的关键特征是一次项系数相等，因此令给定函数的一次项系数等于已知直线的，建立方程求解m； （3）求函数图象与坐标轴的交点，需令和代入函数表达式求出m的值，得到函数解析式，再令即可求得与x轴的交点． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， ∴． （2）解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴． （3）解：∵当时，， ∴， ∴，则函数关系式为， 当时，，解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为． 8．已知一次函数． (1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________； (2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）分别求出直线与x轴和轴的交点，画出函数图象，根据函数图象直接得出结论； （2）设平移后的函数表达式为，把代入求出的值即可得出结论； 【详解】（1）解： 函数图象如图所示： ， ∴观察图象，当时，的取值范围为． （2）∵设平移后的函数表达式为， 将代入得：， ∴． ∴平移后的直线函数表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 9．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点． (1)用含b的代数式表示点A的坐标为________； (2)如果的面积等于4，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与坐标轴围成图形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，令，求出，进而可以判断得解； （2）将代入，则，得到点的坐标，结合（1）中点的坐标可得，再根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得， 则， 故答案为：； （2）解：将代入，则， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴． 10．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 11. 直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，点D与点B关于x轴对称． (1)求直线CD的表达式； (2)若点在直线CD上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解析式，求出点A，点B的坐标，再求出点C、点D坐标即可； （2）把，代入直线CD解析式即可． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称，点D与点B关于x轴对称， ∴，， 设直线CD的表达式为，根据题意，得，， 将代入，得， ∴直线CD的函数表达式为； （2）解：将代入 得：， 解得． ∴m的值为3． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标和点的对称特征以及点与函数解析式的关系，解题的关键是掌握一次函数的性质． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $