第四单元 比例（举一反三讲义）知识梳理+十二大考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年人教版数学六年级下册重难点讲义

该小学数学第四单元“比例”复习讲义通过思维导图和对比表格系统构建知识体系，梳理比例的意义、基本性质、解比例、比例尺及图形放大缩小等核心内容，用表格对比比与比例的联系区别，呈现乘积式变形等关键方法，清晰展现知识脉络与重难点。 讲义亮点在于“高频考点讲练+分层训练”设计，如黄金分割应用题培养应用意识，解比例结合方程强化推理意识，精选名校易错题和小升初真题，难度分层满足不同学生需求，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

第四单元 比例 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项：如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四：正比例 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用含有字母的式子表示为（一定）。 2.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到相对应的另一个量的值。 3.判断正比例：在判断某些关系式中两个量成什么比例时，有时将原式变形后，更容易判断两种量成什么比例。 知识点五：反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用“（一定）”来表示。 2.正比例与反比例的相同点与不同点： 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化 不同点 变化规律：两种量同时扩大、同时缩小；相对应的两个数的比值一定。关系式：（一定） 变化规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）；相对应的两个数的乘积一定。关系式：（一定） 知识点六 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点七 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点八 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 高频考点一：比例的意义 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）下面各比中，能与0.14∶0.1组成比例的是（    ）。 A．0.8∶0.25 B．28∶20 C． D．14∶1 【变式训练1】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）下列各组比中，一定能组成比例的是（    ）。 A．3∶4和8∶6 B．0.4∶2.5和4∶0.25 C．和 D．和 【变式训练2】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。 （1）根据上面的线段写出一个比例：（    ）∶（    ）＝（    ）∶（    ）。 （2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 高频考点二：比例的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝( )。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在比例中，若1.5加上4.5，则32要减去多少才能让这个比例成立？ 【变式训练2】（23-24六年级下·湖南永州·期末）甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。 高频考点三：解比例 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）解比例。                       【变式训练1】（2025·广东揭阳·小升初模拟）解方程。 （1）        （2）        （3） 【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 高频考点四：正比例的意义及辨识 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）。 A．圆锥的体积等于圆柱体积的 B．用一副三角尺能拼成85°的角 C．正方形边长一定，面积和边长成正比例 D．任何一个三角形至少有两个锐角 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）当圆柱的高是8dm时，圆柱的底面积和体积的变化情况如下表，把表格填写完整。 底面积/dm2 1 5 10 15 20 体积/dm3 8 40 （1）圆柱的体积是怎样随着底面积的增加而变化的？ （2）圆柱的体积与底面积成正比例吗？为什么？ 【变式训练2】下列说法中正确的个数是（    ）个。 ①19÷6＝3……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是3，余数是100； ②一个等腰三角形的两边分别是2厘米和7厘米，则该等腰三角形的周长是11厘米或16厘米； ③圆的面积和半径成正比例；     ④一个三角形至少有2个锐角； ⑤一个大圆的半径等于小圆的直径，则大、小两圆的面积比是4∶1。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 高频考点五：正比例图象的认识 【典例精讲】（2025·辽宁本溪·小升初真题）王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（    ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 【变式训练1】（24-25六年级下·北京海淀·期末）某种铁丝的质量和长度的关系如图所示，根据如图回答问题。 （1）3米的铁丝质量是（    ）克。 （2）这种铁丝的长度与质量成（    ）比例。（填“正”或“反”） （3）淘气通过称质量确定铁丝的长度，测得同种铁丝的质量是1830克，这捆铁丝的长度是多少米？ 【变式训练2】（24-25六年级下·福建莆田·期末）如图1，在直角梯形ABCD中，点P沿梯形的边按A→B→C→D的路径，以平均每秒2厘米的速度移动。在这过程中，三角形APD的面积（s）随时间（t）的变化关系如图2。已知线段AD长8厘米。 (1)直角梯形ABCD的周长是( )厘米。 (2)移动过程中，三角形APD最大的面积是( )平方厘米。 高频考点六：正比例的应用 【典例精讲】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出，相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 高频考点七：反比例的意义及辨识 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）把相同体积的钢材熔铸成不同底面积的圆柱，圆柱的底面积与高的变化情况如下表。 圆柱的底面积/ 300 200 150 100 圆柱的高/m 2 3 4 6 (1)表中有( )和( )两种量。 (2)圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变( )，而且它们的乘积总是一定的，是( )，所以圆柱的底面积和圆柱的高成( )比例。 【变式训练1】（2025·浙江温州·小升初模拟）相同时间内，甲走的路程比乙多，下列表述正确的是（    ）。 A．甲与乙速度比是 B．甲走的路程与速度成反比例 C．乙走的路程比甲少 D．乙走的路程是甲的 【变式训练2】昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答） 高频考点八：反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）在一幅比例尺为的地图上，量得铁路线上A、B两站之间的距离是32cm。甲、乙两列火车同时从A、B两站相对开出，甲火车每小时行120km，乙火车每小时行80km。几小时后两车相遇？ 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在一张图纸上，测得一个正方形花坛的面积是，但其实际面积是。那么这张图纸的比例尺是多少？ 【变式训练2】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离为25.5厘米，已知甲乙两列火车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲火车每小时行的路程是乙火车的，乙火车每小时行多少千米？ 高频考点九：比例尺应用 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）看图完成下列各题。 (1)如果公园的位置用（9，3）表示，请在图上标出下列地点。 商店（6，3）   乐乐家（2，2）  学校（2，6） (2)商店与公园相距300m，这幅图的比例尺是( )。 (3)青少年宫在博物馆的正北方向200m处，请在图上用“☆”标出青少年宫的位置。 (4)乐乐家到学校的实际距离是( )m。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在比例尺是的地图上，量得北京至乌鲁木齐的铁路线大约长10.5厘米。一列火车从北京出发，以每小时125千米的速度开往乌鲁木齐，多少小时可以到达？ 【变式训练2】下面是李叔叔坐出租车经过中心广场去广贸大厦的路线图，该城市出租车的计费标准是：3km以内9元，超过3km的部分每千米2.5元（不足1km按1km计算）。 （1）广贸大厦在中心广场的（　　）偏（　　）50°方向； （2）量一量，算一算，出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了多少km？ （3）李叔叔乘出租车需要多少元车费？ 高频考点十：应用比例尺画图 【典例精讲】（2025·湖北十堰·小升初真题）（1）学校在中心广场北偏西方向600米处，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）书店在中心广场南偏东方向900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。 【变式训练1】（24-25六年级下·广东中山·期末）按要求完成。 （1）书店在学校东偏北45°方向距学校1000米处，在下图中标出书店的位置。 （2）李老师从学校出发，步行4分钟到书店，然后以同样的速度，再从书店向南偏东60°方向步行10分钟到家，李老师家到书店的距离是（    ）米。请在图中标出李老师家的位置。 【变式训练2】（1）小明家在学校（    ）偏（        ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（              ）。（图上距离测量结果取整厘米数） （2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。 高频考点十一：图形的放大与缩小 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）按要求画图。 （1）画出图A按放大后的图形。 （2）画出图B绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出图C向左平移5格后的图形。 （4）画出图D的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【变式训练1】（2025·广东揭阳·小升初模拟）按要求画一画。 （1）将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到三角形A1B1C1，再将A1B1C1向右平移4格，得到三角形A2B2C2； （2）将三角形ABC按2∶1的比放大，得到三角形A3B3C3，并画出三角形A3B3C3的对称轴EF。 【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）图形的位置与运动。 （1）以，，为顶点画一个三角形ABC。 （2）画出以点A为中心，三角形ABC顺时针旋转90°后得到的图形，标上①。 （3）画出三角形ABC按放大后的图形，标上②。 （4）画出以点C为圆心，AC长为半径的圆。 高频考点十二：比例的应用 【典例精讲】（2025·浙江温州·小升初真题）甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有( )毫升。 【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视。我国风能资源丰富，它取之不尽，用之不竭。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米。风力发电架的高是多少米？ 【变式训练2】（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）2024年12月1日，王老师和陈老师参加了德江县半程马拉松“欢乐跑”比赛，他们用脚步丈量了德江的激情与欢乐，用奔跑感受“傩戏之乡”“天麻之乡”“奇石之乡”的神奇魅力。当陈老师跑了全程的时，王老师跑了2.4千米；当陈老师跑完全程时，王老师还要跑全程的40%才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？ 【演练1】（2025·山东菏泽·小升初真题）解方程或解比例。 ①         ② 【演练2】（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【演练3】（2025·浙江杭州·小升初真题）2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 【演练4】（2025·浙江杭州·小升初真题）有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 【演练5】（2025·内蒙古通辽·小升初真题）鸡蛋羹是用鸡蛋制作的一道家常菜，细腻滑嫩，营养丰富。制作鸡蛋羹时需要在打散的蛋液中加入一定量的水，2个同样大小的鸡蛋大约需要加150毫升水，照这样计算，5个同样大小的鸡蛋大约需要加多少毫升水？ 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）时，（    ）。 A． B． C． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）若将一根木料锯成5段需要8分钟，那么锯成6段需要（    ）分钟。 A．9 B．10 C．11 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）南京到上海的距离是270km，在一幅地图上量得它们之间的距离是27cm。这幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面的等式中，能表示x和y成正比例关系的是（    ）。 A．x－y＝4 B．y＋x＝10 C．x＋y＝24 D．y＝x 5．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是( )。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为4.5cm，则甲、乙两地的实际距离为( )km。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）解比例。              8．（25-26六年级下·全国·课后作业）在比例尺是的地图上，量得长春到吉林的公路线长32.5cm。长春到吉林的实际距离是多少？ 9．（2025·浙江温州·小升初模拟）小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 10．（25-26六年级下·全国·课后作业）一间长4.8m、宽3.5m的会议室，用边长为0.15m的方砖铺地，需要758块。如果改用边长为0.2m的方砖铺地，需要多少块？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2026六年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）。 A．圆锥的体积等于圆柱体积的 B．用一副三角尺能拼成85°的角 C．正方形边长一定，面积和边长成正比例 D．任何一个三角形至少有两个锐角 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面第（    ）组的两个比不能组成比例。 A．和 B．和 C．和 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）某修路队维修一条870m长的公路，前5天维修了362.5m。照这样计算，余下的任务还要（    ）天才能完成。 A．7 B．8 C．9 4．（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 5．（25-26六年级下·全国·课后作业）一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 7．（2026六年级下·全国·专题练习）求未知数x。 2x＋3×0.9＝24.7         8．（25-26六年级下·全国·课后作业）用同样的时间，师傅可以做18个零件，徒弟只能做12个零件。 (1)师徒两人做一个零件所用的时间比是多少？ (2)如果做一个零件师傅需要20分钟，徒弟需要多少分钟？ 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一张图纸上，测得一个正方形花坛的面积是，但其实际面积是。那么这张图纸的比例尺是多少？ 10．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比例 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版六年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项：如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四：正比例 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用含有字母的式子表示为（一定）。 2.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到相对应的另一个量的值。 3.判断正比例：在判断某些关系式中两个量成什么比例时，有时将原式变形后，更容易判断两种量成什么比例。 知识点五：反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用“（一定）”来表示。 2.正比例与反比例的相同点与不同点： 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化 不同点 变化规律：两种量同时扩大、同时缩小；相对应的两个数的比值一定。关系式：（一定） 变化规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）；相对应的两个数的乘积一定。关系式：（一定） 知识点六 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点七 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点八 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 高频考点一：比例的意义 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）下面各比中，能与0.14∶0.1组成比例的是（    ）。 A．0.8∶0.25 B．28∶20 C． D．14∶1 【答案】B 【思路引导】比值相等的两个比能组成比例。分别计算0.14∶0.1和选项中各比的比值，找出和0.14∶0.1比值相等的选项即可。用比的前项除以后项即可求出比值。 【规范解答】0.14∶0.1＝0.14÷0.1＝1.4 A．0.8∶0.25＝0.8÷0.25＝3.2，与1.4不相等，不能和0.14∶0.1组成比例； B．28∶20＝28÷20＝1.4，与1.4相等，能和0.14∶0.1组成比例； C．＝＝＝≈0.56，与1.4不相等，不能和0.14∶0.1组成比例； D．14∶1＝14÷1＝14，与1.4不相等，不能和0.14∶0.1组成比例。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）下列各组比中，一定能组成比例的是（    ）。 A．3∶4和8∶6 B．0.4∶2.5和4∶0.25 C．和 D．和 【答案】C 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。 【规范解答】A．3∶4＝3÷4＝，8∶6＝8÷6＝，因为≠，所以3∶4和8∶6不能组成比例； B．0.4∶2.5＝0.4÷2.5＝（0.4×10）÷（2.5×10）＝4÷25＝，4∶0.25＝4÷0.25＝（4×100）÷（0.25×100）＝400÷25＝16，因为≠16，所以0.4∶2.5和4∶0.25不能组成比例； C．＝＝＝，＝＝＝，因为＝，所以和一定能组成比例； D．＝＝，＝＝，因为不一定等于，所以和不一定能组成比例。 一定能组成比例的是和。 故答案为：C 【变式训练2】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最美的美感，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比，这个人的身材比较好看。如图中点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC。 （1）根据上面的线段写出一个比例：（    ）∶（    ）＝（    ）∶（    ）。 （2）一个参加空姐选拔活动的选手，其肚脐以上部分长65厘米，以下部分长100厘米。为了显得更好看一些（精确到1厘米），她应该穿多少厘米高的鞋子？ 【答案】（1）AC；AB；BC；AC； （2）5厘米 【思路引导】（1）由题意可知，点C是线段AB的黄金分割点，较长的线段∶整条线段＝较短的线段∶较长的线段； （2）当选手肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金比时，肚脐以上的高度∶肚脐以下的高度＝0.618，则肚脐以下的高度＝肚脐以上的高度÷0.618，最后减去这个选手肚脐以下部分的长度就是鞋子的高度，据此解答。 【规范解答】（1）分析可知，根据线段写出的比例为：AC∶AB＝BC∶AC。（答案不唯一） （2）65÷0.618≈105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：她应该穿5厘米高的鞋子。 【考点点拨】本题主要考查解决与比相关的问题的能力，理解黄金比例的意义是解答题目的关键。 高频考点二：比例的基本性质 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝( )。 【答案】 【思路引导】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积；在比例中，甲是外项、所以43也是外项，乙是内项、所以60%也是内项；化简后得到最简比即可，据此解答。 【规范解答】甲：乙＝ 因此，已知甲×43＝乙×60%，那么甲：乙＝。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在比例中，若1.5加上4.5，则32要减去多少才能让这个比例成立？ 【答案】24 【思路引导】已知原比例中第一个外项为1.5，加上4.5后，新的第一个外项为6，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，原比例内项为4和12，其积为48。变化后，一个外项为6，则另一个外项为8，原比例中第二个外项为32，变化后为8，所以32要减去的数值为24。 【规范解答】 答：32要减去24才能让这个比例成立。 【变式训练2】（23-24六年级下·湖南永州·期末）甲乙两数的和是156，甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等，那么甲数是( )，乙数是( )。 【答案】 104 52 【思路引导】从“甲数的小数点向左移动一位后与乙数的20%相等”可得：甲× ＝乙×20%，根据比例的基本性质可得：甲∶乙＝20%∶＝2∶1。甲乙两数的和是156，对应（2＋1）份。用156÷（2＋1）就求出一份的量，即乙；再用和减去乙，就求出了甲。据此解答。 【规范解答】甲× ＝乙×20% 甲∶乙＝20%∶＝20%∶10%＝2∶1 乙：156÷（2＋1） ＝156÷3 ＝52 甲：156－52＝104 甲是104，乙是52。 【考点点拨】理解甲数的小数点向左移动一位即缩小到甲的 ，利用比例的基本性质求出甲乙的比是解题关键。 高频考点三：解比例 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）解比例。                   【答案】；；； ；； 【思路引导】根据在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。解比例，据此解答。 【规范解答】解：                                 解：                                   解：                                                                                解：                             解：                                      解：                                              【变式训练1】（2025·广东揭阳·小升初模拟）解方程。 （1）        （2）        （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）方程两边先同时加上8，再同时除以6，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质把比例方程改写成，然后方程两边同时除以0.3，求出方程的解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）甲乙两袋米共重440千克，甲袋米吃了，乙袋米吃了，这时甲乙两袋米的质量比为8∶5，两袋米原来各有多少千克？ 【答案】甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克 【思路引导】设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克；由“甲袋米吃了，”得出甲袋米剩下千克；由“乙袋米吃了，”得出乙袋米剩下，再根据“这时甲、乙两袋米的质量比为8：5”得出等量关系为：甲袋剩下米的质量乙袋剩下米的质量＝，据此列方程解答。 【规范解答】解：设甲袋原有大米千克，则乙袋原有大米千克。 乙原来：（千克） 答：甲袋米原来有240千克，乙袋米原来有200千克。 【考点点拨】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。 高频考点四：正比例的意义及辨识 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）。 A．圆锥的体积等于圆柱体积的 B．用一副三角尺能拼成85°的角 C．正方形边长一定，面积和边长成正比例 D．任何一个三角形至少有两个锐角 【答案】D 【思路引导】圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的； 一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45° 、45° ，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°，只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出； 两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例； 三角形按角分为：直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，分别分析各类三角形中锐角的个数，据此解答。 【规范解答】A.圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的，该选项描述中缺少前提条件等底等高，原题说法错误； B.不能由三角尺中的两个角相加或者相减后得到85°，因此用一副三角尺不能拼成85°的角，原题说法错误； C.用正方形的面积S除以边长a，，结果是变量，所以面积和边长不成正比例，原题说法错误； D.直角三角形中有一个直角和两个锐角，钝角三角形中有一个钝角和两个锐角，锐角三角形中有三个锐角，则任何三角形至少有两个锐角，原题说法正确。 故答案为：D 【变式训练1】（25-26六年级·全国·随堂练习）当圆柱的高是8dm时，圆柱的底面积和体积的变化情况如下表，把表格填写完整。 底面积/dm2 1 5 10 15 20 体积/dm3 8 40 （1）圆柱的体积是怎样随着底面积的增加而变化的？ （2）圆柱的体积与底面积成正比例吗？为什么？ 【答案】80；120；160 （1）圆柱的体积随着底面积的增加而增加。 （2）成正比例。因为圆柱的体积与底面积的比值一定，均为8。 【思路引导】两种相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此根据高＝圆柱体积÷底面积，进行分析。 【规范解答】；；；； （1）观察数据可知：圆柱的体积随着底面积的增加而增加。 （2）；；；； 圆柱的体积÷圆柱的底面积＝8（一定） 则圆柱的体积与底面积成正比例。 【变式训练2】下列说法中正确的个数是（    ）个。 ①19÷6＝3……1，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是3，余数是100； ②一个等腰三角形的两边分别是2厘米和7厘米，则该等腰三角形的周长是11厘米或16厘米； ③圆的面积和半径成正比例；     ④一个三角形至少有2个锐角； ⑤一个大圆的半径等于小圆的直径，则大、小两圆的面积比是4∶1。 A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】C 【思路引导】①根据商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，但余数要同时乘（或除以）这个数； ②三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；根据三边关系确定这个等腰三角形的腰长，把三条边相加即是它的周长； ③由圆的面积公式S＝πr2判断，圆的面积与半径的平方成正比例； ④假设三角形的三个内角中，只有一个锐角，那么另外两个角都大于或等于90°，则三个内角相加，和大于180°，不符合三角形的内角和是180°； ⑤一个大圆的半径等于小圆的直径，即大圆的半径是小圆半径的2倍，再由面积公式S＝πr2，得出大、小两圆的面积比。 【规范解答】①19÷6＝3……1，根据商不变的规律，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，那么商是3，余数是100；原题说法正确。 ②假设等腰三角形的两条腰长都是2厘米； 2＋2＝4（厘米） 4＜7，不符合三角形的三边关系，2厘米、2厘米、7厘米不能组成三角形。 假设等腰三角形的两条腰长都是7厘米； 7＋2＝9（厘米） 9＞7，符合三角形的三边关系，2厘米、7厘米、7厘米可以组成三角形。 周长： 2＋7＋7 ＝9＋7 ＝16（厘米） 原题说法错误。 ③由S＝πr2可知，S∶r2＝π（一定），比值一定，圆的面积与半径的平方成正比例； 原题说法错误。 ④一个三角形至少有2个锐角；原题说法正确。 ⑤大圆半径∶小圆半径＝2∶1 大圆面积∶小圆面积 ＝22∶12 ＝4∶1 原题说法正确。 综上所述，①④⑤的说法正确。 故答案为：C 【考点点拨】掌握商不变的规律、三角形的三边关系、三角形的内角和、正比例的意义、比的意义是解题的关键。 高频考点五：正比例图象的认识 【典例精讲】（2025·辽宁本溪·小升初真题）王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（    ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 【答案】D 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，正比例关系的图象是一条经过原点的直线，说明加工零件个数与工作时间的比值一定，即加工零件个数与工作时间成正比例关系； （2）先根据图象求出加工零件个数与工作时间的比值，对应的时间是4小时，对应的零件个数是，比值乘对应的时间，即可求得表示的零件个数； （3）观察图象可知，对应的时间是，对应的零件个数是320，对应的零件个数除以比值，即可求得表示的时间； （4）点表示5小时加工了600个零件，求出加工零件个数与工作时间的比值，如果比值等于100，则点在射线上，如果比值不等于100，则点不在射线上，据此解答。 【规范解答】 A．分析可知，是正比例关系的图象，所以加工零件个数与工作时间成正比例关系，题目说法正确。 B．加工零件个数∶工作时间 ＝150∶1.5 ＝150÷1.5 ＝100 100×4＝400（个） 所以，表示400个零件，题目说法正确。 C．320÷100＝3.2（小时） 所以，表示3.2小时，题目说法正确。 D．加工零件个数∶工作时间 ＝600∶5 ＝600÷5 ＝120 因为120≠100，所以点不在射线上，题目说法错误。 故答案为：D 【变式训练1】（24-25六年级下·北京海淀·期末）某种铁丝的质量和长度的关系如图所示，根据如图回答问题。 （1）3米的铁丝质量是（    ）克。 （2）这种铁丝的长度与质量成（    ）比例。（填“正”或“反”） （3）淘气通过称质量确定铁丝的长度，测得同种铁丝的质量是1830克，这捆铁丝的长度是多少米？ 【答案】（1）150 （2）正 （3）36.6米 【思路引导】（1）根据比例的图像，长度3米和质量150克在直线上相交，据此解答。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例； （3）设这捆铁丝的长度是多少米。用1830克比上x就等于50，列式是1830∶x＝50，解出x的值就是这捆铁丝的长度是多少米。 【规范解答】（1）3米的铁丝质量是150克。 （2）50∶1＝50，100∶2＝50，150∶3＝50，200∶4＝50，这种铁丝的质量与长度的比值是一定的，所以这种铁丝的长度与质量成正比例。 （3）解：设这捆铁丝的长度是x米。 1830∶x＝50 50x＝1830 50x÷50＝1830÷50 x＝36.6 答：这捆铁丝的长度是36.6米。 【变式训练2】（24-25六年级下·福建莆田·期末）如图1，在直角梯形ABCD中，点P沿梯形的边按A→B→C→D的路径，以平均每秒2厘米的速度移动。在这过程中，三角形APD的面积（s）随时间（t）的变化关系如图2。已知线段AD长8厘米。 (1)直角梯形ABCD的周长是( )厘米。 (2)移动过程中，三角形APD最大的面积是( )平方厘米。 【答案】(1)32 (2)40 【思路引导】（1）根据图2三角形APD的面积变化情况可知，点P沿梯形的边按A→B→C→D的路径，到达D点时正好用12秒，点P平均每秒2厘米的速度移动，根据速度×时间＝路程，即可求出AB＋BC＋CD的长，再加上AD边的长就是直角梯形ABCD的周长。 （2）根据三角形面积公式＝，求三角形APD的面积要以AD为底，只需要看点P沿梯形的边按A→B→C→D的路径移动到哪里，点P到边AD的距离最远此时三角形APD的面积最大，当点P移动到点C处时到边AD的距离最远，即线段CD，根据图2三角形APD的面积变化情况可知，时间（t）从7秒到12秒时表示点P从点C移动到点D，由此求出CD长，再根据三角形面积公式求出最大面积。 【规范解答】（1）（厘米） （厘米） 所以直角梯形ABCD的周长是32厘米。 （2）三角形APD的面积就是以AD为底，底不变，当点P移动到点C处时，此时高是线段CD最长， ＝5×2 ＝10（厘米） 三角形面积：（平方厘米） 所以移动过程中，三角形APD最大的面积是40平方厘米。 【考点点拨】此题关键在于准确分析图2三角形APD的面积（s）随时间（t）变化的关系图，0至2秒是点P从点A移动到B面积（s）与时间（t）成正比例，2至7秒是点P从点B移动到C面积（s）与时间（t）成正比例，7至12秒是点P从点C移动到D面积（s）与时间（t）成反比例，再根据速度×时间＝路程的等量关系进行求解。 高频考点六：正比例的应用 【典例精讲】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 【答案】 14吨 【思路引导】高粱用的越多酒量也越多，所以高粱的用量与酿出的高粱酒量成正比例关系。已知560千克高粱可酿160千克酒，设49吨高粱可酿x吨酒。列比例方程时需保持单位一致，根据1吨＝1000千克，将千克转换为吨后，再列比例解答。 【规范解答】解：设49吨高粱可酿x吨酒。 560千克＝0.56吨，160千克＝0.16吨， 列比例方程： 答：49吨高粱可酿造出14吨高粱酒。 【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出，相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【答案】558千米 【思路引导】快车和慢车走相同时间时，路程比等于速度比，可设快车所走路程为5x千米，相同的时间慢车所走的路程为4x千米，则快车所走总路程为5x千米，慢车所走总路程为（4x＋27），用快车的路程减去慢车的路程等于32千米，解得方程后，再将x代入全程距离即快车所走总路程＋慢车所走总路程，即可求得A、B两站相距多少千米。 【规范解答】解：设快车所走路程为5x千米，相同的时间慢车所走的路程为4x千米。 5x－（4x＋27）＝32 5x－4x－27＝32 x－27＝32 x－27＋27＝32＋27 x＝59 5x＋（4x＋27） ＝5x＋4x＋27 ＝9x＋27 ＝9×59＋27 ＝531＋27 ＝558 答：A、B两站相距558千米。 【变式训练2】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【规范解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点点拨】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 高频考点七：反比例的意义及辨识 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）把相同体积的钢材熔铸成不同底面积的圆柱，圆柱的底面积与高的变化情况如下表。 圆柱的底面积/ 300 200 150 100 圆柱的高/m 2 3 4 6 (1)表中有( )和( )两种量。 (2)圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变( )，而且它们的乘积总是一定的，是( )，所以圆柱的底面积和圆柱的高成( )比例。 【答案】(1) 圆柱的底面积 圆柱的高 (2) 大 反 【思路引导】（1）观察表格可知，表格第一行表示圆柱的底面积，表格第二行表示圆柱的高，据此解答； （2）两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例，据此解答。 【规范解答】（1）表中有圆柱的底面积和圆柱的高两种量。 （2）由表可知，圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变大。 （一定） 圆柱的底面积×高=圆柱的体积（一定），圆柱底面积和圆柱高的乘积一定，所以圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 因此，圆柱的高随着圆柱底面积的变小而不断变大，而且它们的乘积总是一定的，是600m3，所以圆柱的底面积和圆柱的高成反比例。 【变式训练1】（2025·浙江温州·小升初模拟）相同时间内，甲走的路程比乙多，下列表述正确的是（    ）。 A．甲与乙速度比是 B．甲走的路程与速度成反比例 C．乙走的路程比甲少 D．乙走的路程是甲的 【答案】D 【思路引导】A．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋），时间相同，则甲与乙的速度比等于甲与乙的路程比，据此求出甲与乙的速度比； B．路程＝速度×时间，路程一定，速度与时间成反比，时间一定，路程与速度成正比； C．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋）＝，乙走的路程比甲少的部分为，据此用可求出乙走的路程比甲少几分之几； D．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋），据此求出甲、乙的路程，然后用乙走的路程除以甲走的路程即可； 【规范解答】A．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ ∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝5∶4 则甲与乙速度比是5∶4，选项说法错误； B．甲走的路程与速度的商一定，所以甲走的路程与速度成正比例，选项说法错误； C．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ 乙走的路程比甲少，选项说法错误。 D．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ 1÷＝1×＝ 则乙走的路程是甲的，选项说法正确； 故答案为：D 【考点点拨】本题考查正反比例的判定以及分数乘法的应用，明确正反比例的定义是解题的关键。 【变式训练2】昆明水泥厂生产一批水泥，计划每天生产12吨，45天完成，实际每天少生产10%，这批水泥实际生产了多少天？（用比例解答） 【答案】50天 【思路引导】根据题意，实际每天比计划少生产10%，把计划每天生产水泥的吨数看作单位“1”，则实际每天生产水泥的吨数是计划每天的（1－10%），单位“1”已知，用乘法计算，求出实际每天生产水泥的吨数； 这批水泥的总吨数不变，根据每天生产的吨数×天数＝水泥的总吨数（一定），积一定，则每天生产的吨数和天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设这批水泥实际生产了天。 12×（1－10%）＝12×45 12×0.9＝540 10.8＝540 ＝540÷10.8 ＝50 答：这批水泥实际生产了50天。 【考点点拨】①考查百分数的实际应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据百分数乘法的意义求出实际每天生产水泥的吨数； ②找出相关联的两种量，判断相关联的两种量乘积一定，然后根据反比例的意义列出反比例方程。 高频考点八：反比例的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·全国·课后作业）在一幅比例尺为的地图上，量得铁路线上A、B两站之间的距离是32cm。甲、乙两列火车同时从A、B两站相对开出，甲火车每小时行120km，乙火车每小时行80km。几小时后两车相遇？ 【答案】 8小时 【思路引导】根据题意，地图比例尺为，铁路线上A、B两站之间的距离是32cm，用32cm除以求出A、B两站之间的实际距离，即甲、乙两车相遇时的路程和，用路程和除以速度和，求出两车相遇的时间，据此解答。 【规范解答】（cm） 160000000cm＝1600km （小时） 答：8小时后两车相遇。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在一张图纸上，测得一个正方形花坛的面积是，但其实际面积是。那么这张图纸的比例尺是多少？ 【答案】 【思路引导】“正方形的面积＝边长边长”求出正方形花坛的图上边长和实际边长，再根据“比例尺＝图上距离：实际距离”求出这张图纸的比例尺。据此解答。 【规范解答】图上面积是，那么图上边长是4cm，实际面积是，那么实际边长是80m。 80m＝8000cm 答：这张图纸的比例尺是。 【变式训练2】在比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地的距离为25.5厘米，已知甲乙两列火车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇，甲火车每小时行的路程是乙火车的，乙火车每小时行多少千米？ 【答案】153千米 【思路引导】已知A、B两地的图上距离和地图的比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，以及进率“1千米＝100000厘米”，求出A、B两地的实际距离； 已知A、B两地的实际距离和甲、乙火车的相遇时间，根据“速度和＝路程÷相遇时间”，求出甲、乙两火车的速度和； 已知甲火车每小时行的路程是乙火车的，把乙火车的速度看作单位“1”，甲火车的速度是乙的，则两火车的速度和是乙火车速度的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，用除法计算，即可求出乙火车的速度。 【规范解答】A、B两地的实际距离： 25.5÷ ＝25.5×3000000 ＝76500000（厘米） 76500000厘米＝765千米 甲、乙两火车每小时共行： 765÷3＝255（千米） 乙火车每小时行： 255÷（1＋） ＝255÷ ＝255× ＝153（千米） 答：乙火车每小时行153千米。 【考点点拨】本题考查比例尺的意义、相遇问题以及分数除法的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。 高频考点九：比例尺应用 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）看图完成下列各题。 (1)如果公园的位置用（9，3）表示，请在图上标出下列地点。 商店（6，3）   乐乐家（2，2）  学校（2，6） (2)商店与公园相距300m，这幅图的比例尺是( )。 (3)青少年宫在博物馆的正北方向200m处，请在图上用“☆”标出青少年宫的位置。 (4)乐乐家到学校的实际距离是( )m。 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 (4)400 【思路引导】（1）根据数对的定义，括号里第一个数表示列，第二个数表示行，以此在图中标出商店、乐乐家和学校的位置； （2）由图可知，图上商店与公园相距3小格，每小格表示1cm，图上距离为（cm）；根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，据此写出这幅图的比例尺； （3）根据比例尺的定义，用实际距离乘比例尺计算出青少年宫和博物馆之间的图上距离；根据“上北下南，左西右东”的方向，从博物馆向北数对应的距离，以此在图中标出青少年宫的位置； （4）由图可知，乐乐家到学校的图上距离4小格，即（cm）；用图上距离除以比例尺，求出乐乐家到学校的实际距离，据此解答。 【规范解答】（1）作图如下： （2）图上距离：（cm） 比例尺： 因此，商店与公园相距300m，这幅图的比例尺是。 （3） 图上距离：（cm） （小格） 作图如下： （4）实际距离：（cm） 因此，乐乐家到学校的实际距离是400m。 【变式训练1】（25-26六年级下·全国·课后作业）在比例尺是的地图上，量得北京至乌鲁木齐的铁路线大约长10.5厘米。一列火车从北京出发，以每小时125千米的速度开往乌鲁木齐，多少小时可以到达？ 【答案】25.2小时 【思路引导】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，设北京至乌鲁木齐的铁路实际长厘米，则列方程得，求出方程的解；再根据时间等于路程除以速度，即可求出多少小时可以到达。据此解答 【规范解答】解：设北京至乌鲁木齐的铁路实际长厘米。                     315000000cm＝3150km （小时） 答：25.2小时可以到达。 【变式训练2】下面是李叔叔坐出租车经过中心广场去广贸大厦的路线图，该城市出租车的计费标准是：3km以内9元，超过3km的部分每千米2.5元（不足1km按1km计算）。 （1）广贸大厦在中心广场的（　　）偏（　　）50°方向； （2）量一量，算一算，出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了多少km？ （3）李叔叔乘出租车需要多少元车费？ 【答案】（1）北；东 （2）6km （3）16.5元 【思路引导】（1）以中心广场为观测点，以它的“上北下南，左西右东”方向为准，确定广贸大厦在中心广场的北偏东50°方向； （2）先在图中量出从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，最后根据进率1km＝100000cm换算单位； （3）先用李叔叔乘出租车的实际距离减去3km，再乘单价2.5元，求出超过3km部分的费用，再加上3km以内的费用，就是乘出租车一共的费用。 【规范解答】（1）广贸大厦在中心广场的北偏东50°方向。 （2）量得从李叔叔家到中心广场的图上距离是1cm，从中心广场到达广贸大厦的图上距离是2cm；（以实际测量为准） 从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦的图上距离一共是：1＋2＝3（cm） 实际距离：3÷＝600000（cm） 600000cm＝6km 答：出租车从李叔叔家经过中心广场到达广贸大厦一共行驶了6km。 （3）（6－3）×2.5＋9 ＝3×2.5＋9 ＝7.5＋9 ＝16.5（元） 答：李叔叔乘出租车需要16.5元车费。 【考点点拨】掌握方向、角度确定位置，图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 高频考点十：应用比例尺画图 【典例精讲】（2025·湖北十堰·小升初真题）（1）学校在中心广场北偏西方向600米处，这幅图的比例尺是（    ）。 （2）书店在中心广场南偏东方向900米处，请在图中用“·”标出书店的位置。 【答案】（1）1∶30000 （2）见详解 【思路引导】（1）根据图上距离∶实际距离＝比例尺，用图上距离和实际距离的比化成前项是1的比，即是比例尺； （2）先用实际距离乘比例尺，求出图上距离；再以中心广场为观测点，向南偏东50°方向量出3厘米，标记“·”即可。 【规范解答】（1） 所以这幅图的比例尺是1∶30000。 （2） （厘米） 画图如下： 【变式训练1】．（24-25六年级下·广东中山·期末）按要求完成。 （1）书店在学校东偏北45°方向距学校1000米处，在下图中标出书店的位置。 （2）李老师从学校出发，步行4分钟到书店，然后以同样的速度，再从书店向南偏东60°方向步行10分钟到家，李老师家到书店的距离是（    ）米。请在图中标出李老师家的位置。 【答案】（1）图见详解 （2）2500；图见详解 【思路引导】（1）以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离500米； 在学校的东偏北45°方向上画1000÷500＝2厘米长的线段，即是图中书店的位置。 （2）已知书店距离学校1000米，李老师从学校出发，步行4分钟到书店，根据“路程÷时间＝速度”求出李老师的步行速度；然后以同样的速度，再从书店步行10分钟到家，根据“速度×时间＝路程”求出李老师家到书店的实际距离； 用李老师家到书店的实际距离除以500，求出李老师家到书店的图上距离，再以书店为观测点，结合方向、角度和距离在图中标出李老师家的位置。 【规范解答】（1）1000÷500＝2（厘米） 书店的位置如下图。 （2）1000÷4＝250（米/分） 250×10＝2500（米） 李老师家到书店的距离是（2500）米。 2500÷500＝5（厘米） 李老师家的位置如下图。 【变式训练2】（1）小明家在学校（    ）偏（        ）度的方向上，距离是600米，这幅图的比例尺是（              ）。（图上距离测量结果取整厘米数） （2）少年宫在小明家正东面的方向上，距离是750米，请在图中画出少年宫的位置。 【答案】（1）西；南45；1∶30000 （2）见详解 【思路引导】（1）以学校为观测点，图上的“上北下南，左西右东”为准，经过测量，小明家在学校西偏南45度的方向上，图上距离是2厘米；根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出为幅图的比例尺；注意单位的换算：1米＝100厘米。 （2）以小明家为观测点，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出少年宫与小明家的图上距离，根据方向和距离，确定少年宫在图上的位置。 【规范解答】（1）经过测量可得：小明家在学校西偏南45度的方向上；（答案不唯一） 图上距离为2厘米（以实际测量为准）； 比例尺是： 2厘米∶600米 ＝2厘米∶（600×100）厘米 ＝2∶60000 ＝（2÷2）∶（60000÷2） ＝1∶30000 （2）750米＝75000厘米 75000×＝2.5（厘米） 少年宫到小明家的图上距离为2.5厘米。 以小明家为观测中心，少年宫在小明家正东方向2.5厘米处，少年宫的位置如图所示。 （以实际测量为准） 【考点点拨】本题考查位置与方向的相关知识，找准观测点，根据方向和距离确定位置；灵活运用图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，利用比例尺画图。 高频考点十一：图形的放大与缩小 【典例精讲】（2026六年级下·全国·专题练习）按要求画图。 （1）画出图A按放大后的图形。 （2）画出图B绕点O顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出图C向左平移5格后的图形。 （4）画出图D的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）图A按的比放大，也就是把图A的边长扩大到原来的2倍，形状不变； （2）先确定图形B的各顶点与O点的位置关系，再将每个顶点绕O点按顺时针方向旋转90°得到新顶点，最后连接新顶点形成旋转后的图形； （3）根据平移的特征（形状、大小、方向不变，仅位置改变），将图形C的所有顶点向左平移5格得到平移后的顶点，再依次连接这些顶点画出平移后的图形。 （4）先根据轴对称的性质（对应点到对称轴距离相等），找出图形D的所有顶点，分别作出这些点关于对称轴（图中虚线）的对称点，最后按原图形的连接顺序把对称点连线，即可补全另一半图形，据此作图。 【规范解答】根据分析，画图如下： 【变式训练1】（2025·广东揭阳·小升初模拟）按要求画一画。 （1）将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到三角形A1B1C1，再将A1B1C1向右平移4格，得到三角形A2B2C2； （2）将三角形ABC按2∶1的比放大，得到三角形A3B3C3，并画出三角形A3B3C3的对称轴EF。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的三角形A1B1C1； 根据平移的特征，将三角形A1B1C1的各顶点分别向右平移4格，依次连接即可得到平移后的三角形A2B2C2。 （2）将三角形ABC按2∶1的比放大，即三角形的底和高都放大到原来的2倍，据此画出放大后的三角形A3B3C3； 一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。据此画出三角形A3B3C3的对称轴EF。 【规范解答】如图： 【变式训练2】（2025·浙江宁波·小升初真题）图形的位置与运动。 （1）以，，为顶点画一个三角形ABC。 （2）画出以点A为中心，三角形ABC顺时针旋转90°后得到的图形，标上①。 （3）画出三角形ABC按放大后的图形，标上②。 （4）画出以点C为圆心，AC长为半径的圆。 【答案】见详解。 【思路引导】（1）根据数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后。据此先在图中确定A、B、C各点的位置，然后依次连接各点，画出这个三角形。 （2）根据图形旋转的性质，图形旋转后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化；作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可；据此画出将三角形绕点A顺时针旋转后图形。 （3）根据图形放大的方法，先求出按2∶1放大后三角形的底和高，放大后三角形的底：（格），三角形的高：（格），然后根据三角形的画法，画出放大后的三角形。 （4）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，根据圆的画法，画一个半径为AC，也就是半径是2格长的圆，也就是圆规两脚之间的距离是2格长，据此作图即可。 【规范解答】（1）、（2）、（3）、（4）作图如下所示： 高频考点十二：比例的应用 【典例精讲】（2025·浙江温州·小升初真题）甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，从甲杯倒22毫升给乙杯，则甲、乙两杯饮料的体积比就变成了3∶5，甲杯饮料原有( )毫升。 【答案】64 【思路引导】已知甲乙两杯饮料的体积比是4∶3，设甲杯原有体积为4毫升，乙杯原有体积为3毫升。从甲杯倒22毫升给乙杯后，甲杯体积变为（4－22）毫升，乙杯体积变为（3＋22）毫升，此时体积比为3∶5。据此列出比例方程，解方程求出的值，再计算甲杯原有体积。 【规范解答】解：设甲杯饮料原有4毫升，则乙杯饮料原有3毫升。 5（4－22）＝3（3＋22） 20－110＝9＋66 20－9＝66＋110 11＝176 ＝176÷11 ＝16 16×4＝64（毫升） 甲杯饮料原有64毫升。 【变式训练1】（2025·河南郑州·小升初真题）风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视。我国风能资源丰富，它取之不尽，用之不竭。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米。风力发电架的高是多少米？ 【答案】80米 【思路引导】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设风力发电架的高是x米，根据风力发电架的高∶风力发电架的影长＝测杆的长∶测杆的影长，列出比例解答即可。 【规范解答】解：设风力发电架的高是x米。 x∶64＝2∶1.6 1.6x＝64×2 1.6x＝128 1.6x÷1.6＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架的高是80米。 【变式训练2】（24-25六年级上·贵州铜仁·期末）2024年12月1日，王老师和陈老师参加了德江县半程马拉松“欢乐跑”比赛，他们用脚步丈量了德江的激情与欢乐，用奔跑感受“傩戏之乡”“天麻之乡”“奇石之乡”的神奇魅力。当陈老师跑了全程的时，王老师跑了2.4千米；当陈老师跑完全程时，王老师还要跑全程的40%才能到达终点。如果两人的速度都是不变的，你能计算比赛的全程吗？ 【答案】6千米 【思路引导】设比赛的全程为x千米。根据时间相同时，路程之比等于速度之比。由前后两次速度不变且同时进行，可知两次的路程之比相等，第一次陈老师和王老师的路程分别为，第二次陈老师和王老师的路程分别为，二者的比相等，利用比例的基本性质，即可解比例，求得比赛的全程。 【规范解答】解：设比赛的全程为x千米。 x＝6 答：比赛的全程为6千米。 【考点点拨】本题重点在于前后两次路程之比相等，设全程为x千米，将陈老师和王老师两次的路程分别表示出来，列出比例，解比例即可。 【演练1】（2025·山东菏泽·小升初真题）解方程或解比例。 ①        ② 【答案】 ①；② 【思路引导】①先合并左边含x的项，把x看成x，与x相加得到​x，再在等式两边同时除以求出x。 ②根据比例的基本性质两内项之积等于两外项之积，把比例式转化为普通方程，再求解。 【规范解答】① 解： ② 解： 【演练2】（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【答案】 正比例 4 【思路引导】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。据此解答“立竿见影”的比例关系； ②比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在5×6＝2×15中，可以把5和6看作比例的两个外项，把2和15看作比例的两个内项；或者把5和6看作比例的两个内项，把2和15看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可确定比例的个数。 【规范解答】在阳光下，同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比值固定，所以“立竿见影”是应用了比例知识当中的正比例关系； 5×6＝2×15可以改写成：2∶5＝6∶15，5∶2＝15∶6，2∶6＝5∶15，6∶2＝15∶5，共4个不同的比例。 成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的正比例关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是4个不同的比例。 【演练3】（2025·浙江杭州·小升初真题）2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 【答案】58.3厘米 【思路引导】先根据进率“1米＝100厘米”将58.3米换算成5830厘米，根据题意可得出等量关系：模型的高度∶实际的高度＝1∶100，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】58.3米＝5830厘米 解：设这一模型的高度是厘米。 ∶5830＝1∶100 100＝5830×1 ＝5830÷100 ＝58.3 答：这一模型的高度是58.3厘米。 【演练4】（2025·浙江杭州·小升初真题）有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 【答案】C 【思路引导】两个相关联的量，一个量随另一个量的变化而变化，若两个量的比值一定，则这两个量是正比例关系。由关系图可知，图中两个量的比值是一定的，因此图中两个量是正比例关系。 根据正比例关系的定义，逐项分析每个选项中的两个量是否成正比例关系。 【规范解答】A．小明的身高和年龄的比值不一定为定值，所以这两个量不成正比例关系，不符合题意。 B．因为总价等于单价与重量的乘积，所以买水果的重量和单价的比值不为定值，这两个量不成正比例关系，不符合题意。 C．由于运货总吨数与每次运货的吨数的比值等于汽车运货的次数，且汽车运货的次数一定，所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例关系，符合题意。 D．正方形的面积除以边长等于边长，边长不是定值，所以正方形的边长与面积不成比例，不符合题意。 故答案为：C 【演练5】（2025·内蒙古通辽·小升初真题）鸡蛋羹是用鸡蛋制作的一道家常菜，细腻滑嫩，营养丰富。制作鸡蛋羹时需要在打散的蛋液中加入一定量的水，2个同样大小的鸡蛋大约需要加150毫升水，照这样计算，5个同样大小的鸡蛋大约需要加多少毫升水？ 【答案】375毫升 【思路引导】设5个同样大小的鸡蛋大约需要加x毫升水，根据鸡蛋个数∶需要加的水＝2∶150，列出比例解答即可。 【规范解答】解：设5个同样大小的鸡蛋大约需要加x毫升水。 5∶x＝2∶150 2x＝5×150 2x＝750 2x÷2＝750÷2 x＝375 答：5个同样大小的鸡蛋大约需要加375毫升水。 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级下·全国·课后作业）时，（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】比例中，两外项之积等于两内项之积。根据比例基本性质把写成比例后，再对不是最简整数比的比进行化简。 【规范解答】 故答案为：C 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）若将一根木料锯成5段需要8分钟，那么锯成6段需要（    ）分钟。 A．9 B．10 C．11 【答案】B 【思路引导】一根木料锯成5段需要锯4次，共8分钟，可以算出锯一次需要的时间；木料锯成6段需要锯5次，用锯一次需要的时间乘5即可解答。 【规范解答】 （分钟） 故答案为：B 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）南京到上海的距离是270km，在一幅地图上量得它们之间的距离是27cm。这幅地图的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】图上距离和实际距离已知，依据“”即可求得这张地图的比例尺。 【规范解答】 南京到上海的距离是270km，在一幅地图上量得它们之间的距离是27cm。这幅地图的比例尺是。 故答案为：A 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面的等式中，能表示x和y成正比例关系的是（    ）。 A．x－y＝4 B．y＋x＝10 C．x＋y＝24 D．y＝x 【答案】D 【思路引导】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【规范解答】A.（一定），差一定，x和y不成比例关系； B.（一定），和一定，x和y不成比例关系； C.（一定），和一定，x和y不成比例关系； D.，根据等式的性质2，两边同时除以x，可得：（一定），比值一定，x和y成正比例关系。 故答案为：D 5．（25-26六年级下·全国·课后作业）一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是( )。 【答案】11 【思路引导】最小的质数是2；根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积；已知两个内项之积是2，两个外项之积也是2，一个外项是，用2除以即可求出另一个外项，据此解答。 【规范解答】由分析可知： 所以，一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是11。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为4.5cm，则甲、乙两地的实际距离为( )km。 【答案】90 【思路引导】根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，用图上距离除以比例尺即可求出实际距离，据此解答。 【规范解答】（cm） 9000000cm＝90km 所以，在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为4.5cm，则甲、乙两地的实际距离为90km。 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）解比例。              【答案】；；； 【思路引导】（1）根据比例的基本性质，把式子转化成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以25即可； （2）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以0.4即可； （3）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以5即可； （4）根据比例的基本性质，把式子转化为，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以12即可。 【规范解答】（1） 解：.                     （2） 解：                        （3） 解：                    （4） 解：.                                                                    8．（25-26六年级下·全国·课后作业）在比例尺是的地图上，量得长春到吉林的公路线长32.5cm。长春到吉林的实际距离是多少？ 【答案】130km 【思路引导】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可得实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可。 【规范解答】（cm） 因为1km＝100000cm，所以13000000cm＝130km 答：长春到吉林的实际距离是130km。 9．（2025·浙江温州·小升初模拟）小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 【答案】13.5米 【思路引导】在同一时间、同一地点，物体的高度与其影长成正比例关系。根据1米＝100厘米，低级单位化高级单位除以进率，所以150厘米＝1.5米，30厘米＝0.3米；设教学楼的实际高度是x米，列比例为：x∶2.7＝1.5∶0.3，解比例求出教学楼的实际高度是多少米。 【规范解答】解：设教学楼的实际高度是x米。 150厘米＝1.5米 30厘米＝0.3米 x∶2.7＝1.5∶0.3 0.3x＝2.7×1.5 0.3x＝4.05 0.3x÷0.3＝4.05÷0.3 x＝13.5 答：教学楼的实际高度是13.5米。 10．（25-26六年级下·全国·课后作业）一间长4.8m、宽3.5m的会议室，用边长为0.15m的方砖铺地，需要758块。如果改用边长为0.2m的方砖铺地，需要多少块？ 【答案】427块 【思路引导】根据题意，会议室的面积一定，则方砖的面积和方砖的块数成反比例，据此写出数量关系：原来方砖的面积×需要的块数＝现在方砖的面积×需要的块数，设需要边长为0.2m的方砖x块，列出方程并求解即可。 【规范解答】解：设需要边长为0.2m的方砖x块。 答：需要427块。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（2026六年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）。 A．圆锥的体积等于圆柱体积的 B．用一副三角尺能拼成85°的角 C．正方形边长一定，面积和边长成正比例 D．任何一个三角形至少有两个锐角 【答案】D 【思路引导】圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的； 一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45° 、45° ，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°，只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出； 两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例； 三角形按角分为：直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，分别分析各类三角形中锐角的个数，据此解答。 【规范解答】A.圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的，该选项描述中缺少前提条件等底等高，原题说法错误； B.不能由三角尺中的两个角相加或者相减后得到85°，因此用一副三角尺不能拼成85°的角，原题说法错误； C.用正方形的面积S除以边长a，，结果是变量，所以面积和边长不成正比例，原题说法错误； D.直角三角形中有一个直角和两个锐角，钝角三角形中有一个钝角和两个锐角，锐角三角形中有三个锐角，则任何三角形至少有两个锐角，原题说法正确。 故答案为：D 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）下面第（    ）组的两个比不能组成比例。 A．和 B．和 C．和 【答案】A 【思路引导】根据比例的定义，表示两个比相等的式子叫做比例。分别计算各个比的比值，若比值相等，则可以组成比例；若比值不相等，则不能组成比例，据此解答。 【规范解答】A.，，，因此和不能组成比例； B.，，，因此和可以组成比例； C.，，，因此和可以组成比例。 故答案为：A 3．（25-26六年级下·全国·课后作业）某修路队维修一条870m长的公路，前5天维修了362.5m。照这样计算，余下的任务还要（    ）天才能完成。 A．7 B．8 C．9 【答案】A 【思路引导】根据题意，工作效率不变，即工作总量和工作时间成正比例关系；设余下的任务还要x天才能完成；根据已完成的工作总量：已完成的工作时间＝余下的工作总量：余下的工作时间，列方程并求解，据此解答。 【规范解答】解：设余下的任务还要x天才能完成。                                                                      所以，某修路队维修一条870m长的公路，前5天维修了362.5m。照这样计算，余下的任务还要7天才能完成。 故答案为：A 4．（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【答案】A 【思路引导】根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 【规范解答】解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 【考点点拨】根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 5．（25-26六年级下·全国·课后作业）一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是( )。 【答案】904.32 【思路引导】已知AB与BC的比是，AB长6cm，设BC的长度为xcm，根据比例关系可得：，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得（cm）； 当以AB边为轴旋转一周时，BC边为旋转后所形成圆锥的底面半径，AB边为圆锥的高，所以圆锥的底面半径，高； 将，，代入公式可得：（cm³）。 【规范解答】设BC的长度为xcm：        （cm³） 因此，一张直角三角形硬纸板，两直角边AB与BC的比是，AB长6cm。如果以AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积是904.32。 6．（25-26六年级下·全国·课后作业）一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的( )倍，改写成数值比例尺是( )。 【答案】 5000000 【思路引导】根据线段比例尺可知图上1cm表示实际50km；50km＝5000000cm，用实际距离除以图上距离，求出实际距离是图上距离的几倍；根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，写出数值比例尺，据此解答。 【规范解答】50km＝5000000cm 比例尺：1cm：50km＝1cm：5000000cm＝1：5000000 所以，一幅地图的线段比例尺是，它表示实际距离是图上距离的5000000倍，改写成数值比例尺是。 7．（2026六年级下·全国·专题练习）求未知数x。 2x＋3×0.9＝24.7         【答案】x＝11；x＝0.125 【思路引导】依据等式的性质一与等式的性质二解方程。 依据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，解比例。 【规范解答】 解：                                          解：            8．（25-26六年级下·全国·课后作业）用同样的时间，师傅可以做18个零件，徒弟只能做12个零件。 (1)师徒两人做一个零件所用的时间比是多少？ (2)如果做一个零件师傅需要20分钟，徒弟需要多少分钟？ 【答案】(1) (2) 30分钟 【思路引导】（1）已知相同时间内师傅做18个零件，设时间为单位“1”，则师傅做一个零件的时间为，相同时间内徒弟做12个零件，则徒弟做一个零件的时间为，所以师徒做一个零件的时间比为，化简得； （2）由第一问知师徒时间比为，设徒弟做一个零件需分钟，列出比例式，即 ，根据比例性质解比例即可。 【规范解答】（1） 答：师徒两人做一个零件所用的时间比是。 （2）解：设徒弟需要x分钟。                           答：徒弟需要30分钟. 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）在一张图纸上，测得一个正方形花坛的面积是，但其实际面积是。那么这张图纸的比例尺是多少？ 【答案】 【思路引导】“正方形的面积＝边长边长”求出正方形花坛的图上边长和实际边长，再根据“比例尺＝图上距离：实际距离”求出这张图纸的比例尺。据此解答。 【规范解答】图上面积是，那么图上边长是4cm，实际面积是，那么实际边长是80m。 80m＝8000cm 答：这张图纸的比例尺是。 10．（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【规范解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【考点点拨】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $