江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

高二上学期期末教学质量检测226.2 数学试题 (测试时间：120分钟卷面总分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1.倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是（) A.x-y-1=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 2.圆心为(2,1)且过点(-1,5)的圆的标准方程为（） A.(x-2)2+(y-1)2=49 B.(x+1)2+0y+2)2=49 C.(x-2)2+0y-1)2=25 D.(x+2)2+0y+1)2=25 的展开式中第四项的系数是() A.15 B.20 C.-160 D.240 4、经五王四C:。大 一=1的两个焦点，点P在C上，若PF·P瓦=0，则PFPF=（) A.4 B.8 C.16 D.20 高二上学期期末教学质量检测数学试题第1页共4页 5.如图，三棱锥0-ABC中，OA=a,OB=,0C=c,且OM=3OA,C=C丽，则Mm=() 2 Aa+6+8 B.-1.1 1- 5”33 5 3 3-.1 1- C. 1 D.- a+26+2 6.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游 览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（) A.120种 B.96种 C.72种 D.48种 7.已知过原点的直线1与圆C:(x-3)2+(y-4)2=41相交于M,N两点，则MW的最小值为() A.8 B.V39 C.10 D.46 8已知点P为椭圆C:之+少2 25+16 =1上第一象限的一点，左、右焦点为R,F,∠RPF的平分线与x轴 交于点M,过点F作直线PM的垂线，垂足为H,O为坐标原点，若OH=1,则△FPF,面积为() A.4W2 B.8 C.8√2 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知空间向量m=（-1,2,4),n=(1,-2,x),则下列选项中正确的是() 5 A.当m/1n时，x=-4 B.当m⊥n时，x= 4 C当应+-5时，x=1 、3W14 D.当x=5时，sin<m,n>= 14 10.若(2x-1)5=a+a,(x-1)+a2(x-1)2+4(x-1)3+a,(x-1)4+a,(x-1),则下列结论中正确的是 () A.a0=-1 B.a4=80 C.lal+lazl+la3l+laal+las =35 D.(a+a+a,a+4+a,)=3” 4 高二上学期期末教学质量检测数学试题第2页共4页 11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数 的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知两定点F(-2,0),F2(2,0),动点P(xo,%)满足PFPF引=4，设点P 的轨迹为曲线C,下列说法中正确的有() A.P的横坐标取值范围是2√2,2√2 B.不存在点P,使得PF⊥PF C.PF+PF2最小值为4 D.△FPF的面积最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若双曲线c:xy 9户=1的一条浙近线方程为y=V5x,则C的离心率为 13.直线：mx+3my-6=0与直线l2:(4-m)x+y+m2-4m=0,若川2，则m= 14.阅读材料：空间直角坐标系O-z中，过点P(xo,yo,z)且一个法向量为i=(a,b,c)的平面a的方 程为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-z)=0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面a的方程为 x+2y-z-1=0,直线l是两平面x-y+5=0与y+z+2=0的交线，则直线1与平面a所成角的 正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段， 每个时段表演一个节目，且节目不重复.请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段： (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 16.（本小题满分15分) 但知双曲线6>0.6>0的离心率e-2,且过点5B 2,2 (1)求双曲线的标准方程： (2)已知F为双曲线的左焦点，P为双曲线上一点，且线段P℉的中垂线倾斜角为150°，求PO的值 (0为坐标原点). 高二上学期期末教学质量检测数学试题第3页共4页 17.(本小题满分15分) 已知圆心为M的圆经过点A(2,2),B(-2,6),半径为4，且圆心M位于第二象限， (1)求⊙M的标准方程： (2)过点A的直线1交圆M于另一点C,连接MA,MC,若扇形MAC的面积 16r,求直线1的方 3 程 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AD=BC=AB=CD=2, 2 ∠CBP=∠ADP=90° (1)证明：PD⊥平面ABCD: (2)若点P,A,B,C,D都在半径为2互的球O的表面上， (i)求PD的长度： ()棱PB上是否存在一点B,使得二面角E-AD-P的余弦值为4W5 7 D 若存在，求出PE的值：若不存在，请说明理由。 PB A 19.(本小题满分17分) 已知点P0,-2,2(3,)为椭圆二 7+:=1(a>b>0)上的两点，点T3,2)为椭圆外一点 (1)求椭圆的标准方程： (2)过点T作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,其中点A在x轴下方，连接AB. (i)求A,B两点的坐标： (ii)过点T作椭圆的一条割线，交椭圆于C,D两点（A,B,C,D是四个不同的点)，再过点C作一条与 直线AT平行的直线，该直线交直线AB于点E,点G满足CE=EG,求证：直线DG恒过定点. 高二上学期期末教学质量检测数学试题第4页共4页高二上学期期末教学质量检测226.， 数学参考答案和评分标准 题号 3 4 6 10 11 答案 B B D A C ABD BD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.B【解析】因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在y轴上的截距为-1，所以 所求直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0 2.C【解析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断(-1,5)是否在圆上即可. 3.C【解析】由T1=C6()(-2x=(-2)'Cx-2，r=0,1,6, 当r=3时，第四项式系数(-2)3c3=-160 4B【解折1因为稀西C:兰+-1，所以a=3,6=2,c=5, 94 又因为PEPF,=0,所以PE⊥PF,即PF⊥PF 设PF=mPF=n,则m+n=6且m2+n2=20, 得到mn=8,所以PFPF=8 5.D【解析】 N-M0+0C+CN--0M0C0-04+00(OB-0C) 5 =ai+0丽+5oc-g-5+ 2 6.C【解析】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有C}=3种，其次 从剩余4人中选3人到其它三个城市游览，共有4=24种，共有C}4=72种， 7.A【解析】由C:(0-3)2+(0-4)2=25<41,即原点在己知圆内部， 由于直线过原点O,要使Mw最小，只需直线1L0C,而|C0=V32+42=5, 第1页共10页 所以最小MW=2W41-25=8. 8.C【解析】如图所示，延长FH,交PF,的延长线于点N, 因为PH为∠耳PF的平分线，PH⊥FN,由三线合一 得△PFN为等腰三角形， 即FPl=PW,H为N的中点， 因为O为FF,的中点，所以OH为△NFF的中位线， 故F2N=2oA=2,设F,P=m,由椭圆定义知， EP=10-m,故10-m=m+2,解得m=4, 故F1P=F1F2=6,F2P=4在△FPE中，F2P边上高为4W2 故△RPR面积为x4V万×4=8万 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9ABD【解析】A:m/m,则子-2=4 1-2x ,可得x=-4,A对： B:mLn,则-1-4+4x=0,可得x=4,B对： c:m+=4+=5,可得x=1或x=-9,C错 → -1-4+20 5 D:x=5,则n=(1,-2,5),故cos<m,n>= V1+4+16.V1+4+25√70 ，则 一-3W14,D对. sin<m,n > 14 10.BD【解析】对于A,取x=1,得a。=1=1,A错： 对于B,[2(x-1)+1]展开式中(x-1)4项的系数为C·24=80,B对； 对于C,二项式[2(x-1)+1]展开式中各项系数均为正，取x=2, 得1a|+a+a42|+|a4+a4+|a4=a+4+42+a4+4+a=3, 第2页共10页 la1+2l+s+4l+ls=35-1,c错： 对于D,取x=2,得a+a+a+a+a,+a,=3,取x=0,得 -4+a2-a3+44-a=-1, 3-1 联立解得4+42+44= 2,4+0+a 3”,因此a+4+aXg+4+a)-”1， 2 4 D对. 1.ACD【解析】由PPF2=4可得：V+2)2+02V0-2)2+02=4, 即，[(2+y02+4)+401x02+y02+4)-4]=16 (2+J62+402-162=16即(K02+J%2+92=16(x02+10即x02+02+4=402+1, y02=-x02+402+1-4, 对于A,由-x02+4x2+1-4≥0，得，-22≤0≤22 即P的横坐标取值范围是上2W2,2√2，故A对； 对于B,若存在点P,使得PE1PF,则有，x2+y2=4 又由于则=-x+4V+1-4联立，消去可得： 4-=-x+4V代+1-4→V+1=2→x=3,即有解，所以存在点P,故B错误： 对于C,P+P22 PFI-PF2=4,当且仅当PF=PF2=2时等号成立，故C 对 对于D.Sa55=PEP3sin日=2in0,△P火面积最大值2. 存在日=匹的最大值点P,故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2【解析】依题意a=3, 双曲线C的一条渐近线为y 3xr-3y=0, 又双曲线一条渐近线方程为y=√3x,所以b=33 第3页共10页 故c=V口+b=√9+27=6，所以双曲线的离心率为C-6=2. a 3 13.3【解析】由/l2,则m2-3(4-m)=0,化简得42-12m=0,可得=0或m=3, 当m=0时，不成立，所以=3 1425【解析1设直线1的方向向量为1=（化少），由材料可知平面x+2少--1=0的一 3 个法向量1=(1,2，-1)· 平面x-y+5=0的一个法向量2=(1，-1,0)，平面y+z+2=0的一个法向量房=(0,1，)， 因为直线l是两平面x-y+5=0与y+z+2=0的交线，则有7L2,112, 即i.2=0且i%=0,不妨取i=1,1,-1D 所以， 1+2+12W2 3 36 则直线1与平面α所成角的正弦值为2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 【答案】(1)18；(2)12 【解析】(1)先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择：剩下3个时 段，对剩下3个节目全排列，有A种，所以总数为3×A=18种；…(6分) (2)将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有A?种排列方式：再把这个“整体和吉他弹 唱、民族舞进行全排列，有A种排法，所以总数为A?×A=12种.…(13分) 16.(本小题满分15分) 【答案】(1)x2-y =1(2)3 3 C 【解析】(1).e=二= =2,.b2=3a2…(1分) a 第4页共10页 双曲线过点 3 2 代入得 2 424=1…(2分) 解得a2=1,b2=3.…(3分) ·双曲线方程为x- =1…(5分) 3 (2)解法一，线段PF的中垂线倾斜角为150°， ·中垂线斜率为tam150°=-3 3 ,中垂线与PF垂直， .直线PF的斜率为√3.…(8分) 又，直线PF过点F(-2,0), 直线PF的方程为y=√3(x+2).…(10分) y=V3(x+2): 联立方程组 解得点P的坐标为 533 …(13分) 44 3 ,O为坐标原点， 49- …(15分) 解法二，线段PF的中垂线倾斜角为150°，且中垂线与PF垂直， .直线PF的倾斜角为60°，与渐近线y=√3x的倾斜角相等，即直线PF与渐近线 y=V3x平行.…(8分) 点P在双曲线左支上.…(10分) 设右焦点为F',根据双曲线定义可得 PR-PF=2a=2. 设P=m,则PF叫=m+2. 在△PFF中，由余弦定理得： 1 (m+2}=m2+42-2m×4×5 2 解传-子可可 2 .…(13分) 在△0中，由余弦定理得：阳-2+③ -2x2x3x1-3 …(15分) 222 第5页共10页 17.(本小题满分15分) 【答案】(1)(x+22+(y-2=16 (2)直线1的方程为x-V3y+2√3-2=0或x+V3y-2√3-2=0 【解析】(1)设圆心M(a,b),因圆心在第二象限，故a<0,b>0,圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b2=16 将A(2,2),B(-2,6)代入方程，得： (2-4)°+(2-b)=16, a=-2或 a=2,(舍去) (-2-a)}2+(6-b=16. g解得b=2,b三6 ∴圆M的标准方程为：(x+2+(y-2=16.…(5分) （②形面积公式为5=，已知8-1，-4，代入得 3 s=-16,指4=号 3- 即圆心角∠AMC=2 .…(8分) 3 ∴圆心M(-2,2)到直线1的距离d=rcos元-2 3 ①当直线1斜率不存在时，直线1⊥x轴，不合题意，舍去.…(9分) ②当直线1斜率存在时，设斜率为k, 则直线1的方程为y-2=k(x-2),即x-y+2-2k=0 测上2张-2+2-2-2.解得=+5…13分 Vk2+1 3 直线1的方程为x-√5y+2V5-2=0或x+√5y-2W3-2=0.…(15分) 18.(本小题满分17分) 【答案】 (1)答案见解析： (2)(1)PD=4(i1)棱PB上存在满足题意的点E,此时PE=PB. 4 【解析】(1)连接BD,过点B作BF⊥CD于点F, CF-(CD-A)=1,DF-CD-CF-3. 在RtABCF中，BF=√BC2-CF2=√5 在RtABDE中，BD=√BF2+DF2=2√5. BD2+BC2=CD2.…（1分) .BC⊥BD.…(2分) ∠CBP=90°，即BC⊥BP,且BD∩BP=B,BDC平面BDP,BPC平面BDP, 第6页共10页 .BC⊥平面BDP.…（3分) BC⊥PD.…（4分) 又：PD⊥AD,且AD与BC相交，ADC平面ABCD,BCC平面ABCD. .PD⊥平面ABCD.…(5分) (2)(1)如图，以点D为原点，DC,DP所在直线分别为y轴，-轴，在平面ABCD上作 过点D且垂直于CD的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则D0.0.0),A31.0,B33.0 :ABCD为等腰梯形，且BC⊥BD ABCD的外接圆圆心为CD的中点，记为G.…(6分) 根据球心的性质可知，球心O在过点G且垂直于底面ABCD的垂线上.…(7分) 设PD=2t(t>0),则球心为o02,t): 由球的半径R=OD=2√2，得 V0-0P+2-02+t-0y=22, 解得t=2,故O(0,2,2).…(8分) D 从而PD=2t=4.…(10分) (i1)由(i)可知，D=(00,4),DA=(5,10）.…2(11分) 设P店=P店=3.3-4=(W53元.-4小， 则D正=D示+P2=0.04)+5元.3，-4n小=5.34-4n.…(12分) 设平面ADE的一个法向量m=(龙，少2)， [m.DA=3x+y=0, 则 m.DE=V5x+3y+(4-42=0. 令z=-√31，则x=21-2,y=V32-2). 故可取m=21-2,23-25元，-V5 .…(14分) 设平面PAD的一个平面的法向量n=(a,b,c), .D4=3a+b=0, 则 z.D=4e=0. 令a=1,则b=-√3，c=0. 故可取n=(1,-V5,0 ，…(15分) 第7页共10页 :二面角E-AD-P的余弦值为45 o可-姆得-的 71 21-2-5(23-25元 45 即 2V2元-2)+(2v5-25元°+322 7 解得元=或（负值舍去） …（16分) ÷棱PB上存在满足思意的点E,此时PE=PB.…(17分) 4 19.(本小题满分17分) 【答案】(1)c:+ 431: B(0,2): (ii)直线DG经过定点A 详见解析 40 【解析】(1)由题意得 解得a2=4,b2=3.…(2分) 1.9 (㎡246=1. 所以椭圆的标准方程为上+=1.…(4分) 43 (2)(1)显然直线BT的斜率为0，点B为(0,2)，…(6分) 直线AT的斜率存在且不为0，设直线AT的方程为y-2=k(x-3), [y-2=k(x-3); 联立上+女 得(3k2+4)x2+(12k-18k2)x+27k2-36k=0(*)…(7分) =1. 43 则△=-288k2+576k=0, 解得k=2或0（舍去).…(8分) 将k=2代入()得x=2 3 3 第8页共10页 A,B两点的坐标分别为 B(0,2).…(10分) (1i)由(1)可知直线AB的方程为2x+y-2=0, k4红=2，则ks=2 当直线CD经过原点O时，直线CD的方程为y= x, 3 2 y=一X, 3 2'或/x3 3 联立 解得x y2,x2 =1. 43 不妨设C点在x轴上方，则 3 直C8的方程：y1-:引 即y=2x-2 y=2x-2, G 联立 y=-2x+2. 解得点E(1,0) .CE=EG B E为CG的中点， 又n3 直线G为=-1，能过64-小 猜想直线DG恒过定点A …（12分) 下证一般情况仍然成立： 要证直线DG过定点A 即证AD//AG, 设点C(x,),D(x2,为)，则直线CE的方程为y=2(x-x)+y, 第9页共10页 [y=-2x+2, 联立 2式上w为上2 2 则点G为2,2-2 〔-+G-2,3-2 3-2x=-2 即E306)2多0y1为1) 即证y,+y+y2-4x2+6(x+x2）-8=0(#)…(14分) 显然，直线DT的斜率存在，设直线DT的方程为y-2=t(x-3), [y-2=t(x-3); 联立+1 得5+x=12+18r2 3+4,为+男=24+16 3t+4 43 5=361+27r 32十，三24r-481十16…（16分 3t2+4 代入(#)式得 24r481+16+-24+16-4x-36+27r16x-121+18 -+6× 3t2+4 32+4 3t2+4 3t2+4 8=0 显然成立， 所以AD/AG,即直线DG恒过定点A 月……（7分》 第10页共10页