精品解析：吉林松原市实验高级中学2026-2027学年高三上学期十月份数学月考卷

松原市实验高级中学 2026-2027学年高三数学月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】利用这些数据可以分别计算出平均数、中位数、众数、方差，再加以比较即可. 【详解】由这组数据：2，5，2，3，可得，平均数是3，中位数是2.5，众数是2， 方差是， 加入数据3后，平均数是3，中位数是3，众数是2和3， 方差是， 所以不发生变化的是平均数， 故选：A. 2. 已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求得，进而求出通项公式，再结合前前n项和公式列出方程求解即得. 【详解】设等差数列公差为，由，得，解得， ，，， 因此，整理得，解得. 故选：B 3. 已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设作的中点，利用向量的加法法则将转化为；结合图形可得进而即可求解. 【详解】依题意，直线可化为，所以直线过定点； 圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部； 如上图（左），作的中点，则，所以； 如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时； 如上图（右），在中，，当与共线时取等号； 所以.当与重合，且，共线时取等号. 故选：D. 4. 已知函数的定义域为，且，，则（） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件变换先计算周期，算出一个周期内的值，然后根据周期性求结果即可. 【详解】因为，由， 令，则， 即①， 所以②， ①②相加得：， 所以， 所以函数的一个周期为6， 令，则， 令，则， 又， 所以， ， 所以 所以由周期性得： ， 故选：D. 5. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解. 【详解】连接交轴于, 由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称， 故为圆心，故， ,, 故，解得， 故选：D 6. 已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合圆与抛物线的交点得出M点的横坐标，再由抛物线的定义得，又因为，求得即得. 【详解】因为C的准线和轴交于点，且． 根据题意可得图形， 由已知，可知满足， 又因为M在抛物线C上，所以， 所以，所以，因此，M点的横坐标是， 由抛物线的定义知， 且， 所以，所以． 故选：B. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造且，则，再构造并应用导数研究其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解】由，，， 令，，则， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，则在上恒成立， 将中换为可得，， 故在上恒成立，所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 8. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 因为下底面边长为，几何体的高为， 故，，， ，，，，. 设几何体外接球的球心为，外接球半径为. 在中，， 在中， 则，解得. 所以. 故该几何体的外接球的表面积 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 当时，的最小值为29 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可. 【详解】解：根据题意， 由.故A正确； 因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确； 由于，故C正确； 因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 时 D. 轴是曲线的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数的性质求解析式，再由导数研究函数的性质，进而画出其函数图象，进而分析判断各项的正误. 【详解】A：由函数为上的奇函数，且时，， 所以时，，则， 所以，正确； B：由上及题设知， 当时，，则， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，结合奇函数的对称性， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，错误； C：当时，当时，所以时，，正确； D：由函数单调性与奇偶性可知函数图象，如图所示， 当时函数取得极值，此时切线方程为，即为轴，正确. 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线的斜率，进而求出点的坐标，再逐项求解判断即可. 【详解】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是______. 【答案】88 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再求出时的即可. 【详解】随机变量，又，则， 因此，则， 所以随机变量的第80百分位数是88. 故答案为：88 13. 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】通过直线过定点，且垂直确定的轨迹为圆，再由的几何意义即可求解. 【详解】对于直线：，令，得， 即直线过定点， 对于直线：，化简得， 由，得，即直线过定点， 当时，，，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以点的轨迹为以为直径的圆，除去点， 中点坐标为，， 所以以为直径的圆方程为：， 即点的轨迹方程为： ， 的几何意义为两点连线的斜率， 由图可知：直线与圆相切， 过作圆的切线，设斜率为，直线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于半径可得：， 解得：， 由图形可知：的取值范围是， 故答案为： 14. 如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为___． 【答案】 【解析】 【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可. 【详解】因为，所以是边长为的等边三角形， 所以边长为的等边三角形的高为：，所以， 设到平面的距离为，，所以， 所以，解得，则， 所以以为球心，为半径的球与平面，平面，平面的交线为个半径 为的圆的弧线，与面的交线为一个圆，且圆的半径为， 所以交线总长度为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. 平分，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解． 【详解】 因为平分，所以， 又因为为中点，且边与边相交于点， 所以在中，是的平分线且过对边的中点， 故是等腰三角形，即， 在中，由余弦定理得：， 所以，， 则在中，，，， 由余弦定理得， 则，解得， 又因为，则，所以， 同理，在中，，，， 由余弦定理得， 所以． 16. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值； （2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是， 整理得到，解得． 若2个全是大集团，共有种情况； 若2个全是小集团，共有种情况； 故全为小集团的概率为． 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为， 计算，，， ，； 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明：在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）（i）证明： 因为点在直线上， 设，因为，则，即， 设点所在球的球心， 则， 即， 解得，即球心，半径为， 又， 所以点在球的球面上； （ii）或 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理再结合性质定理证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据，得，设球的球心，根据得球心，半径为，验证即可； （ii）设，平面的法向量为，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， （i）略 （ii）设，且， 设平面的法向量为，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 所以的长为或. 18. 已知函数（，且）. （1）若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，联立切线与，利用可求解；解法2：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的几何意义可求解； （2）解法1：当时，计算可得，不符合题意，当时，由题意可得，令，利用导数可求得的最小值，可求解.解法2：由题意可得，令，利用导数求得的最小值即可. 【小问1详解】 解法1：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 由得， 由，解得或（舍去）， 当时，得，符合题意， 所以. 解法2：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 当时，函数的定义域为， 设直线与曲线的切点坐标为， 由，得，得. 得，即， 则. 解得. 【小问2详解】 解法1：①当时，则函数的定义域为. 由于， 则，不符合题意. 所以不符合题意. ②当时，则函数的定义域为. 显然. 当时，由，得，即. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 解法2：当时，由，得，即， 得. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 19. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①不存在，理由： 由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ② 【解析】 【分析】(1)利用双曲线离心率及之间的关系得到双曲线方程； (2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将 转化为，整理出参数方程最终得到直线方程； ②为得到的面积，首先得到弦长，到直线的距离，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即可. 【小问1详解】 因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. 【小问2详解】 略 ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松原市实验高级中学 2026-2027学年高三数学月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 3. 已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，且，，则（） A. 1 B. 0 C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 当时，的最小值为29 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 时 D. 轴是曲线的一条切线 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 随机变量，若且，则随机变量的第80百分位数是______. 13. 直线： 与直线：交于点，则的取值范围为_________. 14. 如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC与，点C与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，，，. 平分，求. 16. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线. （1）证明：； （2），点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 已知函数（，且）. （1）若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； （2）若，求的取值范围. 19. 已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． （1）求的方程； （2）已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $