安徽芜湖市普通高中2025-2026学年高一上学期2月考试数学试卷

高一2月数学 注意事项： 1答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|3≤3≤27，x∈Z},则A∩B= A.{0,1} B.{1} C.{1,2} D.{1,2,3} 2.若函数f(x)的定义域为(2,5)，则f(3x-1)的定义域为 A.(1,2) B.(1,3) C.(2,3) D.(2,5) r1og2(x2+2x）,x>0, 3.已知函数f(x)= 则ff(-1))= x+3,x≤0， A.-2 B.1 C.2 D.3 4.已知角x的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点P(sin30°，tan135),则 tan a= A分 B.-2 c分 D.2 5.将函数f(x)=2sim3x-）图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，可得到 函数6()的图象若关于x的不等式g(x)-2≥0在[，上恒成立，则实数。的取值 范围为 A.（-∞，-1] B.(-0,-2] C.[1,+o) D.[2,+∞) 数学第1页（共4页） 扫描全能王创建 6.函数f(x)=log(2+9*)-x-1的所有零点之和为 A.log 2 B.1 C.log35 D.2 7.sin100tan250(√3tan20°-1)= A-分 B号 C.-1 D.1 ⑧若实数m,n满足nm+m=n+e,则十。的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.命题“若x>1,则x2>1”是真命题 B.命题“3x∈R,x2+1=0”是真命题 C.“士<1”是“x>1”的必要不充分条件 D.“x>1且y>1”是“x+y>2”的充分不必要条件 10已知函数八)=之o一方i:-9in2x,则下列说法正确的是 A./(x)=cos(2x-) B.直线x=-是九)图象的一条对称轴 C.若x+p)(p>0)为奇函数，则9的最小值为B D.若八x)在区间[0，m]上单调递减，则m的最大值为写 11.已知函数f(x)=log(x+1)1,x∈D,则下列说法正确的是 A若D=(-1,+0),且x)=)(x,≠)，则上+1=-】 X12 B.若f八x)的值域为[0,2]，则D可以是[0,8] C.若f(x)的值域为[0,2]，D=[a,b],则b-a的最小值是1 D.若D=（-1,+∞)，则方程f(x)+x2-1=0有且仅有2个实根 数学第2页（共4页） 器 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若幂函数y=x+k-3(keZ)的定义域为R,则k= 13.一个扇形的周长为8cm,面积为3cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为 14.若对任意的a∈3,2)，总存在6∈[-1，-），使得a+b=ab(入-a+b),则实数入的取 值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 15.(13分) 由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染.塘主购买了杀菌剂，由于顾及 池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量.已知每投放1次杀菌剂能使池塘内 的寄生菌减少40%. (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的10%，则至少要投放多少次？ 参考数据：lg6≈0.78. 16.(15分) 已知a∈(0，m）,sina+cosa=5,sina-cosa=5 (1)求ama的值，并证明ae(月，罗： (2)若B∈(-m,0),ta(a+B)=7,求2a+B的值 数学第3页（共4页） 器 扫描全能王创建 17.(15分) 已知函数fx)=,3” 1+3 (1)用定义证明f(x)在R上单调递增； (2)若关于：的方程八t-(2+)x+a)=子有两个不相等的正实根，名，求之+2的 x2 x1 最小值 18.(17分) 已知函数f(x)=sinc+5cosx+}cosx-} (1)求f(x)的最小正周期； (2)若名e(-晋》，且%)=)，求名+)的值： (3)若函数g(x)=(x)-在区间[-石，b]上有且仅有两个零点，求实数6的取值范围。 19.(17分) 若函数fx)满足对任意的x1>0,x2>0,都有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2),则称f(x)具有 超可加性 (1)判断函数f(x)=lnx是否具有超可加性，并说明理由； (2)若函数g(x)=e-a具有超可加性，求实数a的取值范围； (3)若函数h(x)具有超可加性，h(1)=1,且当x>0时，h(x)>0,证明：对任意的正整数k, 不等式h()>登，A)<是在区间（(2,2")上均恒成立 数学第4页（共4页） 扫描全能王创建高一2月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案C 命题透析本题考查集合的交运算 解析由题可知B=|xl3≤3≤27，x∈Z={1,2,3},.A∩B=1,2}. 2.答案A 命题透析本题考查函数的定义域。 解析由题可知2<3x-1<5,解得1<x<2. 3.答案D 命题透析本题考查分段函数求值. 解析f八-1)=-1+3=2，.ff八-1))=f(2)=log2(2+2×2)=1og28=3. 4.答案B 命题透析本题考查三角函数的定义及特殊角的三角函数值. 解析由题知ma=m”=-2 1 2 5.答案D 命题透析本题考查三角函数的图象变换， 解折由圈可知g=2n-看}当[号到时x看e君引到e,2]a≥=2 6.答案A 命题透析本题考查函数的零点 解析令八x)=0,可得log(2+9)=x+1,.2+9=31.设1=3，则t>0,2-31+2=0,解得1=1,42=2， .31=1,32=2,则31+”=2，x1+x2=log32.故(x)的所有零点之和为1og2. 7.答案C 命题透析本题考查诱导公式及三角恒等变换， 解析原式=sin(90°+10)1an(180°+70)(，5am20°-1)=cs101an70(5an20°-1）=cos10sin708 cos70° Bsin20°-c0s20°_2cos10°(sin20°c0s30°-c0s20°sin30）=-2cos10°sin10°--1. C0s20° c0s70° sin20° 一1 架 扫描全能王创建 8.答案B 命题透析本题考查函数的单调性及基本不等式的应用， 解析设函数f(x)=x+lnx.:lnm+m=n+e”=e”+lne,f(m)=f(e"),又f(x)在(0，+o)上单调递增， m6且ms0护-1+-2a+ m+1 m+-1=3,当且仅当m+1= 手即a=1,=0时等号成立，产的最小值为3. m+1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查命题的真假及充分、必要条件的判断. 解析对于A,当x>1时，x2>1,故A正确； 对于B,因为x2+1=0时，x2=-1<0,又因为当x∈R时，x2≥0恒成立，故命题“3x∈R,x2+1=0”是假命题， 故B错误； 对于C,由<1，可得x>1或x<0,即充分性不成立，当x>1时，<1，即必要性成立，故C正确； 对于D,当x>1且y>1时，x+y>2,即充分性成立，当x+y>2时，如x=0,y=3,此时不满足x>1且y>1,即 必要性不成立，故D正确。 10.答案BCD 命题透析本题考查三角函数的图象和性质， 解析 对于A)=宁(asi+in)(os-s)-9n2x=分s2a-原n2x=6m(2:+哥引，放A 错误； 对于B,:-）=6®(-2×号+号）=0s(-m）=-1直线x=-罗是八)图象的一条对称轴，放B 正确； 对于Cx+p)=cos[2(x+p)+]=cos(2x+2p+罗），要使x+p)为奇函数，则2p+号=km+受，ke 乙，9=经+受，ke乙，又9>0，故当k=0时，9取得最小值晋故C正确： 对于D,当xe[0,m]时，2x+写e[号，2m+号]，：函数y=cosx在[0，m上单调递减，在[m,2m]上单调递 增，2m+号≤，解得m≤号，故D正确， 11.答案ABD 命题透析本题考查对数函数的图象与性质. 2— 扫描全能王创建 解析函数y=log(x+1)1的定义域为(-1，+∞)，作出其大致图象如图所示 y=llog (+1)I 0 y=-x2+1 对于A,若x1≠x2,且(x)=八x2),则1og(x1+1)1=1log(x2+1)川≠0，不妨设1>0>x2,则log(x1+1)= -1og(:2+1),故(x,+1)(飞，+1)=1，化简变形得上+上=-1，故A正确： 对于B,C,令log(x+1)1=2,得log(x+1)=2或lg(x+1)=-2,解得x=8或x=- 分.要使八x)的值 域为[0,2]，由图可知x)的定义域需为[-号，m]0≤m≤8)或[n,8](-号≤≤0)，所以()的定义域可 以是[0,8]，b-a的最小值是号，故B正确，C错误： 对于D,方程(x)+x2-1=0即1log(x+1)1=-x2+1,函数y=-x2+1的大致图象如图所示，由图可知 (x)的图象与函数y=-x2+1的图象有2个交点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案2 命题透析本题考查幂函数的性质。 解析幂函数y=x2+4-3(kEZ)的定义域为R,-2+4k-3>0,解得1<k<3,又kEZ,k=2,经检 验，符合题意 13.答案6或号（两个答案都写才年正确） 命题透析本题考查扇形的周长和面积公式. 解析设该扇形的半径为rcm,圆心角为由题可知2r+r=8①，2r=3②，由①可得r=8-2,代人②可 得宁㎡=之(8-2)r=3,即-4+3=0，解得r=1或3，则0=6或号 14.答案 [号 命题透析本题考查函数综合 解析由题可知ab≠0，a+b=ad(X-a+b)的左右两边同除以a山并整理，可得a+。=-b-。+入易知函数 a)=a+。在（兮，上单调递减，在(1,2）上单调递增，且分）号1)=2，(2)=，所以(a)在 3 架 扫描全能王创建 (兮，2上的值城为[2，)，函数g(6)=6-方+A在[-1，-上单调递增，且(-1)=A,8(-） A+号，所以g(6)在[-1，-)上的值城为[入，A+}原问题等价于对任意的ae(兮2)总存在6© 入≤2， [-1.-号》袋得o=66则2，号引FAA号》所A+受9号sA2所以突数A的康 3≥3， 值范围是[号，2斗 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查函数的应用. 解析(1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的(1-40%)3=21.6%.…(6分) (2)设投放x次，可使池塘内剩余的寄生菌少于最初的10%， 则(1-40%)<10%，即0.6<0.1，.x>log.60.1. (9分) ®01-688=5石45， .要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的10%，至少要投放5次。…（13分) 16.命题透析本题考查同角三角函数的基本关系及和角的正切公式。 解析(1)因为na+co=子，sina-cos&= 7 5, 所以sina= 5,cos a=-3 5， (2分) 所以tan&=sine=-4 -3 (4分) cos a 因为&e(0,m,且ma=-专<-1， 所以ae(受， …………4………………………0 (7分) (2)因为am(a+B)=7, 所以lan(2a+B)=ian(a+a+B)=-tan atan(&+g tan a+tan(a+B) 号+ =-1.…（10分)） 1-(-)× 又因为Be(-,0)a∈（受，），所以2a+Be(0,3) …(13分) 所以2a+B-3要 (15分) 17.命题透析本题考查函数的单调性及函数与不等式的综合 解析(1)任取x1,x2∈R,且x<2,则32>31>0， 一4 扫描全能王创建 而)=1-1+ 1 所以)-)-1-1-1中中g1中3a+3+3两>0， 3”-3 即x2)>(x,),所以∫(x)在R上单调递增。…(5分) (2)因为(x)在R上单调递增，且(1)= 33 +3=4,…(6分)） 所以方程x-(2+a)r+a)=子等价于e-(2+)x+a)=1. 即x2-(2+a)x+a=l,x2-(2+a)x+a-1=0.…(8分) 因为方程x2-(2+a)x+a-1=0有两个不相等的正实根x1,x2, ,A=(2+a)2-4(a-1)>0, 所以{x1+x2=2+a>0, 解得a>1.… (10分) x1x2=a-1>0, 所以臣+：.么+-25=-2-9-2=。-1+吕+4≥ 1x2 x13 a-1 2√a-0a 7+4=6+4=10,… (13分) 当且仅当a-1=品即a=4时等号成立， 故产+三的最小值为10. (15分) 18.命题透析本题考查三角函数的图象与性质及三角恒等变换 解析(1))=sin c+5cos(x+平）eos(x-平） =7n2x+5x竖(cag-血)×(cm+血到 F2sin2x+ 1 = 2 -(cos2x-sin2x) =2sin2x+5。 1 2 cos 2x =sim(2x+号）， …(3分)》 ∴)的最小正周期T=受=示 (5分) (2)由(1)可知1-）=0(）=0， (6分) -5 扫描全能王创建 号(》受子 +=-君+号=， (8分) +)=君）m号- …(10分) (3)由(1)可知g(x)=sm(2x+号）-分 设1=2x+号e[-石6小1e[0,2b+引 (11分) ~8(x)在[-晋，]上有且仅有两个零点， 方程sin1-之=0在1e[0,2b+号]时有且仅有两个实根， 由s如1=分，得1=2km+君或=2km+爱，keZ, (13分) 方程in1-之=0的正根从小到大排列分别是g,云，严， 6’6,6,…, …(14分) 2b+号=[g),解得6[) 实数的取值范围为[子，】 (17分) 19.命题透析本题考查新定义及函数与不等式的综合问题， 解析（1)f八x)不具有超可加性.… (1分) 理由如下： 因为fe)+fe)=1+1=2fe+e)=ln(2e)<lne2=2, 所以f(e)+f(e)>fe+e), 所以f(x)不具有超可加性， …0…… (3分) (2)因为g(x)=e-a具有超可加性， 所以对任意的x1>0,2>0,都有g(x+)-g(x)-g(x）=c+?-a-(e-a)-(e-a)=e1+-e e2+a=(e-1)(e2-1)+a-1>0,即(e1-1)(e2-1)>1-a.…(5分) 因为当x1>0时，e1-1>0,当x2>0时，e2-1>0, 所以(e1-1)(e2-1)>0恒成立. 所以1-a≤0，解得a≥1， 所以实数a的取值范围是[1，+∞). (8分) (3)因为h(x)具有超可加性， —6— 6 扫描全能王创建 所以对任意的x>0,都有h(x+x)>h(x)+h(x),即h(2x)>2h(x),…(9分) 所以h(22·x)=h(2·2x)>2h(2x)>22h(x), h(23·x)=h(2·22x)>2h(22x)>2h(x),…, h(2·x)=h(2·2-lx)>2h(2-x)>22h(2-2x)>…>2h(x). 令x=1,则h(2)>2h(1)=2(*）.…(11分） 当2<x<2+1时，x-2>0,所以h(x-2)>0, 又h(x)=h(x-2+2)>h(x-2)+h(2), 所以由(*)式可得()>2_2"> 2> 2 (14分) 当2<x<2"时2点<士<分，所以宁士>0所以4（分）>0， 汉A()<A)-分-) ()>2号)>24（安）>…>24安) 所以()<（安）实=2品<子 (17分) 一7- 器 扫描全能王创建