第六单元 长方体和正方体讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

该小学数学“长方体和正方体”单元复习讲义通过框架图系统梳理知识体系，涵盖认识、表面积、体积、容积等模块，用表格对比体积与表面积区别、棱长变化影响等易混概念，清晰呈现公式推导与重难点分布。 讲义亮点在于18个考点分层设计，典例结合变式训练，如表面涂色正方体、不规则物体体积测量等题型，培养空间观念与运算能力。综合训练包含生活应用实例，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第六单元 长方体和正方体 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、长方体和正方体的认识 2 二、长方体和正方体的表面积 2 三、长方体和正方体的体积 2 四、容积和容积单位 3 五、重要概念辨析 3 六、解决问题的关键步骤 3 考点讲练 3 考点一：长方体和正方体的认识 3 考点二：长方体表面积的计算 5 考点三：长方体表面积的应用 8 考点四：正方体表面积的计算 10 考点五：正方体表面积的应用 13 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 15 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 17 考点八：表面涂色的正方体 19 考点九：长方体的体积 21 考点十：正方体的体积 23 考点十一：体积单位之间的进率 26 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 28 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 31 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 32 考点十五：容积和容积单位 35 考点十六：体积（容积）的大小比较 37 考点十七：长方体、正方体的容积 39 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 42 综合训练 45 知识梳理 一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形） 相对的面完全相同 有12条棱，相对的棱长度相等（可分为长、宽、高三组，每组4条） 有8个顶点 2.正方体的特征 有6个面，都是完全相同的正方形 有12条棱，所有棱的长度都相等 有8个顶点 正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体） 3.棱长总和计算公式 长方体棱长总和 =（长+宽+高）×4 正方体棱长总和 = 棱长×12 二、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积 2.计算公式 长方体表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 特殊情况：无盖或无底的长方体表面积计算（如游泳池、鱼缸等），需减去相应面的面积 三、长方体和正方体的体积 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积 2.体积单位 常用单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³） 单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 3.计算公式 长方体体积 = 长×宽×高（V=abh） 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长（V=a³） 统一公式：长方体（或正方体）体积 = 底面积×高（V=Sh） 四、容积和容积单位 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积 2.容积单位 常用单位：升（L）、毫升（mL） 单位换算：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3.容积计算方法：与体积计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高 五、重要概念辨析 1.体积与表面积的区别：体积表示物体所占空间大小，单位是体积单位；表面积表示物体表面面积总和，单位是面积单位 2.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体 3.棱长变化对表面积和体积的影响：棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍 六、解决问题的关键步骤 1.认真审题，明确是求表面积、体积还是容积 2.确定图形是长方体还是正方体，找出相应的已知条件 3.选择正确的计算公式进行计算 4.注意单位的统一和换算 5.结合实际情况判断是否需要计算所有面的面积（如无盖、无底等情况） 考点讲练 考点一：长方体和正方体的认识 【典例精讲】把一个没有开口的长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，需要剪开7条边。( ) 【答案】√ 【分析】 长方体有12条边。为了将其剪开并平铺成一个平面图形，需要剪开部分边，使各面相连。展开图通常保留5条边作为连接边（例如，展开后各面通过共享边连接），因此需要剪开的边数为12－5＝7条。据此判断即可。 【详解】根据长方体的特征，一个没有开口的长方体纸盒有12条边。剪开平铺在桌面上时，需保留5条边作为连接边（即未剪开的边），以保证展开图各面相连。因此，必须剪开12－5＝7（条）边，原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要 m长的彩灯线。 【答案】170 【分析】根据题意可知，地面的四条棱（两条长、两条宽）不计算，那么彩灯线的长度为剩余长方体的棱的组合，需计算四条高（连接上下底面的垂直棱）和天花板的四条边（两条长、两条宽），即总长度＝4×高＋2×长＋2×宽。 【详解】4×10＋2×40＋2×25 ＝40＋80＋50 ＝120＋50 ＝170（m） 因此，工人叔叔至少需要170m长的彩灯线。 【变式训练】劳动课上小华想用铁丝做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架，他至少需要( )厘米的铁丝。 【答案】48 【分析】解答这道题需明确用铁丝做一个长方体框架，求需要多长的铁丝是求这个长方体的棱长总和。题目已知这个长方体框架的底面周长是18厘米，高3厘米。长方体的底面周长也就是长方形的周长，即（长＋宽）×2＝18厘米，可以用18÷2＝9厘米求出一条长和一条宽的和，最后用长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出至少需要多长的铁丝。 【详解】根据分析： 18÷2＝9（厘米） （厘米） 所以，他至少需要48厘米的铁丝。 【变式训练】一个长方体共顶点的三条棱长分别是5分米、4分米和3分米，这个长方体的最小占地面积是( )平方分米，最大占地面积是( )平方分米。 【答案】 12 20 【分析】以4分米和3分米为长和宽的一个面，是这个长方体的最小占地面积；以5分米和4分米为长和宽的一个面，是这个长方体的最大占地面积。根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，据此列式解答。 【详解】4×3＝12（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 所以这个长方体的最小占地面积是12平方分米，最大占地面积是20平方分米。 考点二：长方体表面积的计算 【典例精讲】如图把一个长方体分成两个正方体后，表面积比原来增加了18平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】90 【分析】一个长方体分成两个正方体后，表面积会增加两个正方形的面积；根据条件可知两个正方形面积是18平方厘米，一个正方形面积就是9平方厘米；一个正方体六个面，表面积＝6×9＝54平方厘米，两个正方体表面积＝54×2＝108平方厘米；原来长方体的表面积＝两个正方体表面积－18＝108－18＝90平方厘米。 【详解】一个正方形面积：18÷2＝9（平方厘米） 一个正方体表面积：9×6＝54（平方厘米） 两个正方体表面积：54×2＝108（平方厘米） 长方体表面积：108－18＝90（平方厘米） 因此，把一个长方体分成两个正方体后，表面积比原来增加了18平方厘米。原来长方体的表面积是90平方厘米。 【点睛】关键点长方体分成两个正方体会增加两个面的面积。 【变式训练】求下图的表面积。（单位厘米） 【答案】432平方厘米 【分析】由图可知，长方体的长为12厘米，宽为8厘米，高为6厘米，根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可求出长方体的表面积。 【详解】（12×8＋12×6＋8×6）×2 ＝（96＋72＋48）×2 ＝（168＋48）×2 ＝216×2 ＝432（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是432平方厘米。 【变式训练】一种长方体铁皮通风管长1.2米，横截面是边长为2分米的正方形，做10个这样的通风管至少需要铁皮( )平方分米。 【答案】 960 【分析】横截面是边长为2分米的正方形，那么通风管的四个侧面都是长1.2米，宽2分米的长方形。先将1.2米换算成12分米，然后根据“长方形的面积＝长×宽”用12乘2计算出一个面的面积，再用一个面的面积乘4计算出一个通风管的侧面积；最后用一个通风管的侧面积乘10即可。 【详解】1.2米＝12分米 12×2×4×10 ＝24×4×10 ＝96×10 ＝960（平方分米） 一种长方体铁皮通风管长1.2米，横截面是边长为2分米的正方形，做10个这样的通风管至少需要铁皮960平方分米。 【变式训练】小恒想做一个封套，把《中华上下五千年》的三册书（尺寸完全相同）都装进去。做这个封套需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度及接缝忽略不计） 【答案】 848平方厘米 【分析】根据题意可知：要求封套的面积即求三册书形成的长方体的表面积（除去前面，5个面的面积之和），先求出长方体的高为厘米，长为20厘米，宽为14厘米，代入计算公式计算即可，据此解答。 【详解】（厘米） （平方厘米） 答：做这个封套需要848平方厘米的纸板。 考点三：长方体表面积的应用 【典例精讲】一个长、宽、高分别为4cm，3cm，3cm的长方体，在它的一角挖掉一个棱长为1cm正方体，它的表面积与原来长方体的表面积相比（    ）。 A．比原来小 B．比原来大 C．大小相等 D．无法比较 【答案】C 【分析】在长方体的一角挖掉一个棱长为1cm的正方体，原来长方体表面减少了3个边长为1cm的正方形的面积，但同时又增加了3个边长为1cm的正方形的面积。所以挖掉正方体后长方体的表面积大小相等。 【详解】原长方体表面积： （4×3＋4×3＋3×3）×2 ＝（12＋12＋9）×2 ＝33×2 ＝66（cm2） 挖掉的面积：1×1×3＝3（cm2） 新长方体表面积：66－3＋3＝66（cm2） 所以挖掉正方体后长方体的表面积大小相等。 故答案为：C 【变式训练】做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长6分米的正方形，高7分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】204平方分米 【分析】要计算一个无盖的长方体水桶的铁皮面积，就是要求一个无盖的长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，再减去一个边长是6分米的正方形面积，据此解答即可。 【详解】（6×7＋6×7＋6×6）×2－6×6 ＝（42＋42＋36）×2－36 ＝（84＋36）×2－36 ＝120×2－36 ＝240－36 ＝204（平方分米） 答：做这个水桶至少需要204平方分米的铁皮。 【变式训练】灵宝光明果园用长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体快递盒运输苹果，如果要给快递盒包上包装纸，一个盒子至少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） 【答案】22平方分米 【分析】计算给快递盒包上包装纸需要多少的包装纸，就是计算长方体快递盒的表面积。长方体表面积公式为：表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），快递盒长30厘米、宽20厘米、高10厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】2×（30×20＋30×10＋20×10） ＝2×（600＋300＋200） ＝2×1100 ＝2200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 2200÷100＝22（平方分米） 答：一个盒子至少需要22平方分米的包装纸。 【变式训练】生丝是桑蚕茧缫丝后所得的产品，俗称真丝。中国生丝有悠久的历史，现代的产量占世界首位。用真丝制成的围巾具有柔软薄透的特性。某围巾店制作一批礼品袋来装真丝围巾，制作30个下面这样的礼品袋需要多少平方分米的白卡纸？（不计损耗） 【答案】2964平方分米 【分析】看图可知，这样的礼品袋没有上面，1个礼品袋的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此求出1个礼品袋的表面积，再乘制作的个数，即可求出需要的白卡纸面积。 【详解】 （平方分米） 答：制作30个下面这样的礼品袋需要2964平方分米的白卡纸。 考点四：正方体表面积的计算 【典例精讲】一个长20厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体木料切成棱长为5厘米的小正方体，一共可以切成( )个。它们的表面积之和比原来长方体的表面积增加了( )平方厘米。 【答案】 24 2300 【分析】根据题意可知，沿着长可以切（20÷5）个小正方体，沿着宽可以切（15÷5）个小正方体，沿着高可以切（10÷5）个小正方体，据此可以根据长×宽×高求出小正方体的总个数；然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别求出切割前后的面积，然后再用减法求出增加的面积。 【详解】（20÷5）×（15÷5）×（10÷5） ＝4×3×2 ＝24（个） （20×15＋20×10＋15×10）×2 ＝（300＋200＋150）×2 ＝650×2 ＝1300（平方厘米） 5×5×6×24＝3600（平方厘米） 3600－1300＝2300（平方厘米） 一个长20厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体木料切成棱长为5厘米的小正方体，一共可以切成24个。它们的表面积之和比原来长方体的表面积增加了2300平方厘米。 【变式训练】李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 【答案】C 【分析】这个模型的表面积＝上面两个正方体木块的侧面积（前后左右）之和＋下面正方体的表面积。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】1×1×4＋2×2×4＋3×3×6 ＝4＋16＋54 ＝74（平方分米） 这个模型的表面积是74平方分米。 故答案为：C 【变式训练】美术课上，晓玥从一张长20cm、宽15cm的长方形纸上剪去空白部分（如图），剩下部分做成一个正方体纸盒。这个纸盒的表面积是( ) cm2。 【答案】150 【分析】观察长方形纸的宽是15cm，从图中可知长方形的宽刚好是正方体3个棱长的长度之和，所以正方体的棱长为15÷3＝5cm。正方体的表面积公式是S＝6a2（a为正方体棱长），因为正方体有6个完全相同的正方形面，每个面的面积是a2，所以表面积是6个面的面积。 【详解】15÷3＝5（cm） 52＝5×5＝25（cm2） 25×6＝150（cm2） 这个纸盒的表面积是150cm2。 【变式训练】下图是用若干个棱长为1厘米的小正方体搭建的大正方体。美术老师要求从它正面的中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是( )平方厘米。 【答案】58 【分析】通过观察可知，大正方体的棱长由3个小正方体的棱长组成，小正方体棱长为1厘米，1×3＝3（厘米），所以大正方体棱长为3厘米。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出原来大正方体的表面积；从正面中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，原来大正方体的表面减少了1个小正方形的面，但同时又增加了5个小正方形的面，所以实际上表面积增加了（5－1）个小正方形的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，求出表面积增加的面积，再加上原来大正方体的表面积，求出剩下部分的表面积。 【详解】1×3＝3（厘米） 3×3×6＋1×1×（5－1） ＝3×3×6＋1×1×4 ＝54＋4 ＝58（平方厘米） 即剩下部分的表面积是58平方厘米。 考点五：正方体表面积的应用 【典例精讲】一个正方体和一个长方体正好可以拼成一个新的长方体，它的表面积比原来长方体增加了4平方厘米，原来正方体的表面积是（    ）。 A．10cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 【答案】B 【分析】 如图，表面积增加了4平方厘米，即4个小正方形，用除法计算，求出一个小正方形的面积×6＝原正方体表面积。 【详解】4÷4×6 ＝1×6 ＝6（平方米） 原来正方体的表面积是6平方米。 故答案为：B 【变式训练】用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 7 6 144 【分析】铁丝的长度就是长方体的总棱长，根据长方体的特征，长方体4条长相等，4条宽相等，4条高相等，用铁丝的长度除以4再减去一条长和一条宽，即得到一条高的长度； 根据正方体的总棱长＝棱长×12，据此可得出正方体的棱长等于铁丝长度除以12，给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，则商标纸的面积就是正方体四个面的面积，据此求解即可。 【详解】 （cm） （cm） （cm2） 用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高7cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长6cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是144cm2。 【变式训练】中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【答案】 2 16 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体灯笼的棱长；求四周围上灯笼布的面积，就是求正方体的侧面积，根据正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。 【详解】24÷12＝2（dm） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（dm2） 中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是2dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要16dm2的灯笼布。 【变式训练】用一根铁丝围成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是（    ）。 A．192平方厘米 B．216平方厘米 C．72厘米 D．216厘米 【答案】B 【分析】首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高） ×4，求出这根铁丝的长度，再根据正方体的棱长总和公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，然后利用正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。 【详解】（8＋6＋4）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 即这个正方体的表面积是216平方厘米。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、正方体的表面积公式的综合应用。 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【答案】50 【分析】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个切面的面积，切面的面积与正方体的任意一个面的面积一样。 【详解】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 即将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加50平方厘米。 【变式训练】用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【答案】 减少了 不变 【分析】当用3个相同的小正方体拼成一个大长方体时，会有4个面重合（每两个小正方体拼接会重合2个面，3个小正方体拼接共重合4个面），这4个面不再是大长方体表面积的一部分，所以表面积减少了； 拼成大长方体后，所占空间的大小等于3个小正方体所占空间大小之和，根据体积的定义，物体所占空间的大小不变，所以体积不变。 【详解】用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了，体积不变。 【变式训练】把一个长方体切割成两个相同的长方体，原来长方体长18cm，宽15cm，高12cm。切割后表面积最多增加( )，最少增加( )。 【答案】 540 360 【分析】把一个长方体切割成两个相同的长方体，无论怎么切，切割后增加的表面积都是两个切面的面积；因为18×15＞18×12＞15×12，最大面是18×15，最小面是15×12； 要使表面积增加最多，也就是平行与长方体的最大面切开；要使表面积增加最少，也就是平行与长方体的最小面切开；根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个切面的面积，再乘2即可。 【详解】18×15＞18×12＞15×12 18×15×2 ＝270×2 ＝540（cm2） 15×12×2 ＝180×2 ＝360（cm2） 切割后表面积最多增加540cm2，最少增加360cm2。 【变式训练】王老师把两块长10厘米、宽4厘米、高7厘米的长方体木块拼成一个大长方体，表面积最少减少多少平方厘米？（先画图，再列式解答） 【答案】见详解；56平方厘米 【分析】两个长方体拼接成一个大长方体，表面积会减少两个拼接面的面积。要使表面积减少最少，就需要把两个长方体较小的面进行拼接，然后计算这两个拼接面的面积。 长方形的面积＝长×宽 【详解】如图： 长×宽的面的面积：10×4＝40（平方厘米） 长×高的面的面积：10×7＝70（平方厘米） 宽×高的面的面积：4×7＝28（平方厘米） 因为28＜40＜70，所以宽×高的面面积最小。 4×7×2＝56（平方厘米） 答：表面积最少减少56平方厘米。 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】库房管理员将一些棱长为的正方体纸箱放在墙角（如下图），这些纸箱共有( )个，露在外面的面积是( )dm2。 【答案】 10 72 【分析】观察图形可知，这个组合体有3层，上层有2个正方体纸箱，中间层有3个正方体纸箱，下层有5个正方体纸箱，一共有（2＋3＋5）个正方体纸箱； 从正面看有7个面露在外面，从上面看有5个面露在外面，从右边面有6个面露在外面，一共有（7＋5＋6）个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体纸盒一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。 【详解】2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10（个） 2×2×（7＋5＋6） ＝4×（12＋6） ＝4×18 ＝72（dm2） 库房管理员将一些棱长为的正方体纸箱放在墙角（如下图），这些纸箱共有10个，露在外面的面积是72dm2。 【变式训练】如图是棱长2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】52平方厘米 【分析】从上面看，有7个面露在外面，从前面看，有4个面露在外面；从右边看，有2个面露在外面；一共有（7＋4＋2）个面露在外面，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体的一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。 【详解】7＋4＋2 ＝11＋2 ＝13（个） 2×2×13 ＝4×13 ＝52（平方厘米） 答：露在外面的面积是52平方厘米。 【变式训练】如图所示两个立体图形都是由棱长为1cm的正方体搭成。 ①号表面积是( )，②号表面积是( )。 【答案】 34cm2/34平方厘米 32cm2/32平方厘米 【分析】①号从正面看有7个小正方形，从右面看有6个小正方形，从上面看有4个小正方形，因为前后、左右、上下，小正方形个数一样，①号表面小正方形总个数＝（7＋6＋4）×2，①号表面积＝小正方形总个数×小正方形面积； ②号从正面看有6个小正方形，从右面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，②号表面小正方形总个数＝（6＋5＋5）×2，②号表面积＝小正方形总个数×小正方形面积。 【详解】（7＋6＋4）×2×（1×1） ＝17×2×1 ＝34（cm2） （6＋5＋5）×2×（1×1） ＝16×2×1 ＝32（cm2） ①号表面积是34cm2，②号表面积是32cm2。 【变式训练】计算如图图形的表面积。（单位：cm） 【答案】306cm2 【分析】由于正方体与长方体有重合面，相当于少了2个正方形的面积，所以上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求出表面积，然后相加即可求出组合图形的表面积。 正方体表面积＝棱长×棱长×6；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】4×4×4＋（10×7＋10×3＋7×3）×2 ＝16×4＋（70＋30＋21）×2 ＝64＋121×2 ＝64＋242 ＝306（cm2） 它的表面积是306cm2。 考点八：表面涂色的正方体 【典例精讲】有一个棱长10厘米的正方体，用红色染料对其表面染色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，那么两个面染色的正方体有( )个。 【答案】96 【分析】在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，棱长被分成10个小正方体，所以每条棱有（10－2）个两面油漆的小正方体，所以用（10－2）×12即可求出有几个两面涂色的小正方体。 【详解】两面涂色的有：（10－2）×12 ＝8×12 ＝96（个） 两面涂色小正方体有96个。 【点睛】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。 【变式训练】用棱长1cm的小正方体拼成下图的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，则两面涂色的小正方体有( )个。    【答案】24 【分析】根据拼成的正方体图，开展空间想象，可知从下往上数第一层有8个、第二、三层各有4个，第四层有8个小正体是两面相邻两面涂色的。据此解答。 【详解】8＋4＋4＋8＝24（个） 两面涂色的小正方体有（24）个。 【点睛】此题考查了同学闪的空间想象能力。找出每一层有多少个小正方体是两面涂色的是解答的关键。 【变式训练】用棱长1cm的小正方体拼成棱长是4cm的大正方体，然后把大正方体的表面涂上颜色。那么小正方体中，三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个。 【答案】 8 24 【分析】由题意可知，大正方体每条棱长上面都有4÷1＝4个小正方体，三个面均涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的有两面涂色，据此解答即可。 【详解】三面涂色的小正方体有8个； 两面涂色的有：（4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 则三面涂色的有8个，两面涂色的有24个。 【点睛】熟记不同面涂色的小正方体的位置特点是解答本题的关键。 【变式训练】在一块棱长为16cm的正方体蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长为4cm的小正方体蛋糕，在这些小正方体蛋糕中，2面涂奶油的有( )块。 【答案】20 【分析】因为16÷4＝4，所以每条棱上都有4块小正方体蛋糕，如果每个面都涂奶油，那么2面涂奶油的小正方体蛋糕就在12条棱的中间段，每条棱上有（4－2）块。但由于这个蛋糕底面没有涂奶油，所以底面的4条棱中间段的小正方体蛋糕只有一面涂了奶油，而在顶点处有2面涂了奶油。所以2面涂奶油的一共有（2×8＋4）块。 【详解】16÷4＝4（块） 2×8＋4 ＝16＋4 ＝20（块） 【点睛】此题考查了学生对问题的分析思考能力。 考点九：长方体的体积 【典例精讲】课外活动中，小杰用橡皮泥制作造型，他将一块底面积是12平方厘米，高是8厘米的长方体橡皮泥重新揉搓，做成了一个新的长方体。已知新长方体的底面积是16平方厘米，它的高是（    ）厘米。 A．4 B．6 C．8 【答案】B 【分析】根据“长方体的体积＝底面积×高”先计算出原来长方体的体积，保持长方体的体积不变，底面积改变，根据“新长方体的高＝长方体的体积÷新长方体的底面积”代入数值即可计算新长方体的高。 【详解】12×8÷16 ＝96÷16 ＝6（厘米） 新长方体的高是6厘米。 故答案为：B 【变式训练】泥塑艺术是我国古老的、流传地域广泛的民间传统艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小轩爱好捏泥塑，他将一个棱长是6分米的正方体彩泥塑捏成一个长9分米、宽6分米的长方体，捏成的长方体的高是( )分米。 【答案】4 【分析】捏泥塑无论捏成什么形状体积不变，先求出棱长是6分米的正方体的体积，再除以9分米的长和6分米的宽就是长方体的高。 【详解】正方体体积：（立方分米） 长方体的高：（分米） 所以捏成的长方体的高是4分米。 【变式训练】从一个体积是30立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的（    ）。 A．表面积不变、体积变小 B．表面积变大，体积变小 C．表面积变小，体积变大 【答案】B 【分析】长方体木块挖掉一小块后，挖掉的部分新增4个面，减少2个面，抵消后表面积比原来的大；组合体的体积用长方体的体积减去挖掉部分的体积，所以它的体积与以前相比，体积变小了。 【详解】根据分析，长方体挖掉一小块后，表面积变大，体积变小。 故答案为：B 【变式训练】如图，把一根长6米的长方体木料截成3段，表面积增加了0.6平方米，原来这根木料的体积是( )立方米。 【答案】0.9 【分析】根据题意可知，把这根木料平均截成3段，表面积增加0.6平方米，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以求出木料的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答即可。 【详解】底面积：0.6÷4＝0.15（平方米） 体积：0.15×6＝0.9（立方米） 原来这根木料的体积是0.9立方米。 考点十：正方体的体积 【典例精讲】把一个棱长6cm的正方体铁块铸造成一个长9cm，宽6cm的长方体，这个长方体的表面积是( )dm2。 【答案】2.28 【分析】把正方体铁块铸成一个长方体，正方体铁块的体积等于长方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，也是长方体铁块的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，高＝长方体的体积÷（长×宽），据此求出长方体铁块的高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答，注意单位名数的换算。 【详解】6×6×6÷（9×6） ＝6×6×6÷54 ＝36×6÷54 ＝216÷54 ＝4（cm） （9×6＋9×4＋6×4）×2 ＝（54＋36＋24）×2 ＝（90＋24）×2 ＝114×2 ＝228（cm2） 228cm2＝2.28dm2 长方体的表面积是2.28dm2。 【变式训练】一个正方体的棱长总和是72dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 216 216 【分析】正方体的棱长总和除以12求出它的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出它的表面积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出它的体积。 【详解】72÷12＝6（dm） 6×6×6＝36×6＝216（dm2） 6×6×6＝36×6＝216（dm3） 它的表面积是216dm2，体积是216dm3。 【变式训练】一个长方体长3dm，宽和高都是2dm，在这个长方体挖一个棱长1dm的正方体（如图所示）。剩余部分的体积是( )dm3，表面积是( )dm2。 【答案】 11 34 【分析】体积计算：先根据长方体体积公式V＝长×宽×高计算出原长方体的体积，然后根据正方体体积公式V＝棱长3计算挖去的小正方体的体积，剩余部分的体积等于原长方体的体积减去小正方体的体积； 表面积计算：小正方体的两个面与长方体内部接触，减少的表面积为小正方体的两个面面积，同时，小正方体的另外四个面暴露在外，增加了小正方体的四个面面积。 【详解】原长方体体积为： V长方体＝长×宽×高 ＝3×2×2 ＝12（立方分米） 正方体体积： V正方体＝棱长3 ＝1×1×1 ＝1（立方分米） V剩余体积＝V长方体－V正方体 ＝12－1 ＝11（立方分米） 原长方体表面积： S长方体＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高） ＝2×（3×2＋3×2＋2×2） ＝2×（6＋6＋4） ＝2×16 ＝32（平方分米） 挖去小正方体后，小正方体的两个面与长方体内部接触，减少的表面积为： S减少＝2×（1×1） ＝2（平方分米） 小正方体的另外四个面暴露在外，增加的表面积为： S增加＝4×（1×1） ＝4（平方分米） 表面积净增加为： S净增加＝S增加－S减少 ＝4－2 ＝2（平方分米） 剩余部分表面积为： S剩余＝S长方体＋S净增加 ＝32＋2 ＝34（平方分米） 【点睛】本题考查几何体的表面积与体积求法，需要注意图形挖取部分体积和表面积的变化，再利用长方体和正方体的表面积和体积公式即可解答。 【变式训练】从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】1107立方厘米 【分析】已知长方体长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米。根据长方体体积公式：V＝a×b×h（a、b、h分别为长、宽、高）计算出原长方体的体积。 每次切割的正方体棱长由剩余长方体的最小棱长决定。第一次切下的正方体棱长是12厘米，剩余部分较大的长方体的长为21－12＝9厘米，宽为15厘米，高为12厘米。所以第二次切下的正方体棱长是9厘米，剩余部分较大的长方体的宽为15－9＝6厘米，长为9厘米，高为12厘米。所以第三次切下的正方体棱长是6厘米。根据正方体体积公式：V＝a×a×a（a为棱长），把数据代入公式计算三个正方体的体积。剩余体积为原长方体体积依次减去三次切割的正方体体积。 【详解】21×15×12＝3780（立方厘米） 21＞15＞12 第一次：12×12×12＝1728（立方厘米） 第二次：21－12＝9（厘米） 15＞12＞9 9×9×9＝729（立方厘米） 第三次：15－9＝6（厘米） 12＞9＞6 6×6×6＝216（立方厘米） 剩余体积：3780－1728－729－216＝1107（立方厘米） 答：剩下的体积是1107立方厘米。 【点睛】掌握长方体的特征，以及长方体体积的计算公式，是解答本题的关键。 考点十一：体积单位之间的进率 【典例精讲】360dm2＝( )m2   7100dm3＝( )m3  2.08m3＝( )m3( )dm3 【答案】 3.6 7.1 2 80 【分析】根据1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，低级单位化为高级单位除以进率，高级单位化为低级单位乘进率。把2.08m3化成复名数，2是m3数，0.08乘进率1000就是dm3数。据此解答。 【详解】（m2） （m3） （dm3） 360dm2＝3.6m2 7100dm3＝7.1m3 2.08m3＝2m380dm3 【变式训练】( )              ( ) 80分( )时                        ( ) 【答案】 0.125/ 5060 0.3/ 【分析】根据，，1时＝60分，，高级单位换算低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率，计算即可。 【详解】125÷1000＝0.125，所以0.125； ，，所以； 80分＝60分＋20分，20÷60＝，所以80分时； 30÷100＝0.3，； 即：，；80分时；。 【变式训练】837mL＝( )L    5.7m3＝( )L 12dm3＝( )cm3    9.08dm3＝( )dm3( )cm3 【答案】 0.837 5700 12000 9 80 【分析】根据1000mL＝1L，1m3＝1000dm3＝1000L，1dm3＝1000cm3，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可；复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 【详解】837÷1000＝0.837，故837mL＝0.837L； 5.7×1000＝5700，故5.7m3＝5700L； 12×1000＝12000，故12dm3＝12000cm3；    9.08＝9＋0.08，0.08×1000＝80，故9.08dm3＝9dm380cm3。 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5m3( )500dm3          8.35dm3( )835cm3        2550cm3( )25.5dm3 400cm3( )0.4dm3        8.1m3( )8000dm3        240dm3( )2m3 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】先根据进率统一单位后，再比较大小即可。 注意单位的换算：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率。 【详解】（1）5×1000＝5000（dm3） 5000＞500，所以5m3＞500dm3； （2）8.35×1000＝8350（cm3） 8350＞835，所以8.35dm3＞835cm3； （3）2550÷1000＝2.55（dm3） 2.55＜25.5，所以2550cm3＜25.5dm3； （4）400÷1000＝0.4（dm3） 400cm3＝0.4dm3 （5）8.1×1000＝8100（dm3） 8100＞8000，8.1m3＞8000dm3； （6）240÷1000＝0.24（m3） 0.24＜2，所以240dm3＜2m3。 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】把两块棱长为1分米的正方体方钢熔铸成一根横截面面积是20平方厘米的长方体钢材，这根钢材的长是多少分米？ 【答案】10分米 【分析】根据题意，两块正方体方钢的体积等于长方体钢材的体积。先根据正方体的体积公式V＝a3，求出一块正方体方钢的体积，再乘2，即是两块正方体方钢的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，用两块正方体方钢的体积除以长方体钢材的横截面面积，即是这根钢材的长。计算时，注意单位名数的换算。 【详解】20平方厘米＝0.2平方分米 1×1×1×2＝2（立方分米） 2÷0.2＝10（分米） 答：这根钢材的长是10分米。 【变式训练】把一块棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（只列综合算式不计算） 【答案】8×8×8÷16÷5 【分析】由题可知，正方体钢坯和长方体钢板的体积相等，已知正方体棱长是8厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体钢坯的体积；再根据“长方体体积＝长×宽×高”得“长方体的高＝体积÷长÷宽”计算出长方体的高，即为这块钢板的厚度，据此列式为8×8×8÷16÷5。 【详解】8×8×8÷16÷5 ＝64×8÷16÷5 ＝512÷16÷5 ＝32÷5 ＝6.4（厘米） 答：这块钢板厚6.4厘米。 【变式训练】把棱长是3分米的正方体钢材锻造成一块横截面是0.06平方米的长方体，这块长方体钢材的长多少分米？ 【答案】4.5分米 【分析】根据1平方米＝100平方分米，统一单位。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出钢材的体积，再根据长方体的长＝体积÷横截面面积，列式解答即可。 【详解】0.06平方米＝6平方分米 3×3×3÷6 ＝27÷6 ＝4.5（分米） 答：这块长方体钢材的长4.5分米。 【变式训练】中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木”，“鼓山铁”。齐国工匠将一块0.8米的正方体铁块，熔铸成一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少？ 【答案】 12.8米 【分析】根据，求出正方体的体积，由题意可知，长方体体积与正方体相等，把4平方分米转化为0.04平方米，根据的逆运算，用体积除以底面积，即可得解。 【详解】4平方分米＝0.04平方米 （米） 答：这个长方体的长是12.8米。 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】一个正方体，从顶点处切去一个小正方体后，体积和表面积都不变。( ) 【答案】× 【分析】体积表示物体所占空间的大小。如下图，从顶点处切去一个小正方体后所占的空间就减少了，体积也就随着减少。原正方体三个面各减少一个与小正方体接触的面积，同时新增三个小正方体的面，减少与新增面积相等，所以表面积不变。据此解答。 【详解】根据分析可知，一个正方体，从顶点处切去一个小正方体后，体积减少，表面积不变。原题干说法错误。 故答案为：× 【变式训练】用3个棱长2cm的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 【答案】 24 56 【分析】根据题意可知，长方体的体积等于3个正方体的体积和，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体的体积，再乘3即可求出长方体的体积； 摆成的长方体的表面积比3个正方体表面积之和少了正方体4个面的面积，长方体表面积＝正方体表面积×3－棱长×棱长×4，其中正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】2×2×2×3 ＝8×3 ＝24（cm3） 2×2×6×3－2×2×4 ＝72－16 ＝56（cm2） 这个长方体的体积是24cm3，表面积是56cm2。 【变式训练】用三个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的棱长和是8m，则每个正方体的体积是（    ）dm3。 A．0.064 B．4.096 C．64 D．4096 【答案】C 【分析】根据正方体的特征，正方体有12条棱长，3个正方体即有（条）棱长，拼成长方体后，减少了4个正方形，1个正方形有4条棱长，4个正方形则有（条）棱长，那么8m就相当于（条）棱长，可用除法计算每条棱长的长度，再根据，把8m转化为以dm为单位，再代入数据计算即可。 【详解】8m＝80dm （dm） （dm3） 用三个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的棱长和是8m，则每个正方体的体积是64dm3。 故答案为：C 【变式训练】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少”或“不变”） 【答案】 不变 不变 增加 【分析】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，形状发生变化，但是体积不变；若将正方体切割成两个长方体，体积没有发生变化，但是表面积增加了2个切面，每个切面和正方体的每个面相同。 【详解】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积不变；若将它切割成两个长方体，体积不变，表面积增加了。 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】计算下面立体图形的表面积和体积。 【答案】（1）150dm2，125dm3；（2）754cm2，1162cm3 【分析】（1）根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可； （2）组合体的表面积比2个长方体的表面积之和少了（14×4）的2个长方形的面，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出2个长方体的表面积，相加，再减去（14×4）的2个长方形的面即可；组合体的体积＝2个长方体的体积和，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】（1）5×5×6＝150（dm2） 5×5×5＝125（dm3） 正方体的表面积是150dm2，体积是125dm3。 （2）（7×14＋7×9＋14×9）×2＋（5×14＋5×4＋14×4）×2－14×4×2 ＝（98＋63＋126）×2＋（70＋20＋56）×2－112 ＝287×2＋146×2－112 ＝574＋292－112 ＝754（cm2） 7×14×9＋5×14×4 ＝882＋280 ＝1162（cm3） 组合体的表面积是754cm2，体积是1162cm3。 【变式训练】乐乐用8个小正方体拼成一个大正方体，被弟弟拿走了一个小正方体，如图，下面说法正确的是（    ）。 A．体积减小，表面积不变 B．体积不变，表面积也不变 C．体积减小，表面积减少 D．体积减小，表面积增加 【答案】A 【分析】整个图形的体积＝大正方体的体积－小正方体的体积，因此体积减小；看上去表面积减少了3个正方形的面，但是里面又出现了同样的3个正方形，因此表面积不变，据此分析。 【详解】根据分析，这个立体图形与大正方体比，体积减小，表面积不变。 故答案为：A 【变式训练】计算下面几何体的体积。（不写答语） 【答案】1312 【分析】几何体是由长为20dm、宽为8dm、高为5dm的长方体和棱长为8dm的正方体组成的，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】20×8×5＋8×8×8 ＝160×5＋64×8 ＝800＋512 ＝1312（） 【变式训练】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】216m2；189m3 【分析】在大正方体的顶点处挖去一个小正方体，看上去少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形，因此这个图形的表面积＝大正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；这个图形的体积＝大正方体体积－小正方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】表面积：6×6×6＝216（m2） 体积：6×6×6－3×3×3 ＝216－27 ＝189（m3） 这个图形的表面积是216m2，体积是189m3。 考点十五：容积和容积单位 【典例精讲】在横线上填上合适的数。 2.08平方千米＝ 公顷＝ 平方米 8.02吨＝ 吨 千克 3升240毫升＝ 升 【答案】 208 2080000 8 20 3.24 【分析】根据1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，1吨＝1000千克，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可；复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 【详解】2.08×100＝208（公顷）、208×10000＝2080000（平方米） 2.08平方千米＝208公顷＝2080000平方米 0.02×1000＝20（千克），8.02吨＝8吨20千克 240÷1000＝0.24（升）、3＋0.24＝3.24（升），3升240毫升＝3.24升 【变式训练】2.05升＝( )毫升              2时40分＝( )时 5.08公顷＝( )平方米                3米8厘米＝( )米 【答案】 2050 50800 3.08 【分析】第1题，1升＝1000毫升，把高级单位换算成低级单位要乘进率。 第2题，1时＝60分，把低级单位换算成高级单位要除以进率。 第3题，1公顷＝10000平方米，把高级单位换算成低级单位要乘进率。 第4题，1米＝100厘米，把低级单位换算成高级单位要除以进率。 【详解】2.05×1000＝2050（毫升），所以，2.05升＝2050毫升 2时40分－2时＝40分 40÷60＝（时） （时），所以，2时40分＝时 5.08×10000＝50800（平方米），所以，5.08公顷＝50800平方米 3米8厘米－3米＝8厘米 8÷100＝0.08（米） 3＋0.08＝3.08（米），所以，3米8厘米＝3.08米 【变式训练】在括号里填上适当的计量单位。 一间教室的占地面积是48( )    一个火柴盒的体积约8( ) 一种保温瓶的容积是1.2( )    长江全长约6300( ) 【答案】 L km 【分析】生活实际和对长度、面积、容积单位的认识，选择合适的单位名称填空。据此解答。 【详解】根据分析得： 一间教室的占地面积是48m          一个火柴盒的体积约8cm 一种保温瓶的容积是1.2L                     长江全长约6300km 【变式训练】在括号里填上合适的单位。 橡皮的体积大约是8( )    汽车油箱的容积大约是50( ) 一间教室大约占地48( )    数学书封面的周长约是90( ) 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 平方米/m2 厘米/cm 【分析】需根据物体实际大小及所描述的量（体积、容积、面积、周长），结合生活实际选择合适的单位。 体积单位有立方厘米、立方分米、立方米等；容积单位常用升和毫升；占地面积指面积，面积单位有平方厘米、平方分米、平方米等；周长是长度，长度单位有厘米、分米、米等。 【详解】（1）橡皮是较小的物体，1立方厘米大概是一个手指尖的大小，橡皮的体积和这个尺度匹配，8立方厘米符合橡皮的实际大小，故填立方厘米（cm3）。 （2）毫升通常用于小容量容器（如一瓶矿泉水500毫升），汽车油箱需要储存足够的燃油，50升是家用汽车油箱的常见容量，故填升（L）。 （3）1平方米是边长1米的正方形面积，教室的长和宽一般以米为单位（比如长8米、宽6米，面积48平方米）； 48平方米符合教室的实际占地面积，故填平方米（m2）。 （4）数学书封面周长较小，数学书封面的长约25厘米，宽约20厘米，周长计算为（25＋20）×2＝90厘米，90厘米符合其实际周长，故填厘米（cm）。 考点十六：体积（容积）的大小比较 【典例精讲】根据左边小瓶的果汁含量，估计下图大瓶里大约有果汁（    ）。 A．800毫升 B．1500毫升 C．3000毫升 【答案】B 【分析】根据题图可知，大瓶果汁的容量大约是小瓶果汁容量的3倍，即大瓶里果汁容量大约是（500×3）毫升。 【详解】500×3＝1500（毫升） 则估计下图大瓶里大约有果汁1500毫升。 故答案为：B。 【点睛】本题关键是明确大瓶里果汁容量与小瓶里果汁容量的关系。 【变式训练】以下哪个容器能装下水？（    ）。 A．长方体容器，底面积，高 B．长方体容器，长，宽，高 C．正方体容器，棱长 D．一个量杯（最高刻度见图） 【答案】C 【分析】根据“长方体容积＝长×宽×高”、“正方体的容积＝棱长×棱长×棱长”分别求出容器的容积，再根据1L＝1 dm3，1 dm3＝1000cm3转化单位即可。 【详解】A．30×20＝600（cm3） 600cm3＝0.6L＜6L B．30×10×10 ＝300×10 ＝3000（cm3） 3000cm3＝3L＜6L C．20×20×20＝8000（cm3） 8000cm3＝8L＞6L D．量杯的容积为5000L＝5L＜6L 故答案为：C 【点睛】熟记长方体和正方体容器容积的计算公式是解答本题的关键。 【变式训练】一个鱼缸最多能容纳100升的水，这个鱼缸的体积可能是（    ）。 A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米 【答案】D 【分析】体积指物体所占空间的大小，而容积指容器所能容纳物体体积的大小，据此解答。 【详解】一个鱼缸最多能容纳100升的水，100升指鱼缸的容积，鱼缸的体积要大于它的容积，故大于100升，也就是大于100立方分米。只有D符合题意。 故答案为：D 【点睛】掌握物体的体积和容积概念是解题关键，一般情况下物体的体积大于它的容积。 【变式训练】按从小到大的顺序排列 1升      800毫升      1升200毫升      1020毫升 【答案】800毫升＜1升＜1020毫升＜1升200毫升 【分析】先把1升和1升200毫升换算成毫升数，进而再按从小到大的顺序排列即可解决 【详解】1升＝1000毫升，1升200毫升＝1200毫升， 因为：800毫升＜1000毫升＜1020毫升＜1200毫升， 所以：800毫升＜1升＜1020毫升＜1升200毫升 【点评】此题考查名数的大小比较，先把名数化成统一的单位后再进行比较 考点十七：长方体、正方体的容积 【典例精讲】一种果汁采用长方体塑料盒密封包装，从里面量，盒子长6.5厘米，宽4厘米，高9.5厘米，盒面注明“净含量240毫升”，这项说明是否真实？（    ） A．真实 B．绝对不真实 C．无法确定 【答案】A 【分析】先根据“长方体的容积＝长×宽×高”求出长方体塑料盒的容积，再把体积单位转化为容积单位，最后和净含量240毫升比较大小，如果容积大于240毫升，这项说明真实，如果容积小于240毫升，这项说明不真实，据此解答。 【详解】6.5×4×9.5 ＝26×9.5 ＝247（立方厘米） 247立方厘米＝247毫升 因为247毫升＞240毫升，所以这项说明真实。 故答案为：A 【变式训练】求做一个长方体纸箱需要多少纸板，是求长方体纸箱的（    ）。 A．表面积 B．体积 C．容积 D．质量 【答案】A 【分析】表面积：指立体图形所有面的面积之和。体积：表示物体所占空间的大小。容积：是容器内部能容纳物体的体积。质量：是物体所含物质的多少。据此分析各选项解答即可。 【详解】A．长方体的表面积是指长方体6个面的总面积。做一个长方体纸箱需要的纸板，就是要覆盖纸箱的所有外表面，所以就是求长方体的表面积。 B．体积是指所占空间的大小，与“用多少纸板”（覆盖表面的面积）无关。 C．容积是表示纸箱内部能装多少东西，不是“用多少纸板”。 D．质量和纸板的面积没有直接关系。 所以求做一个长方体纸箱需要多少纸板，是求长方体纸箱的表面积。 故答案为：A 【变式训练】一个长方体油箱，从里面量，底面是边长2.5分米的正方形，高是3.6分米，把这样一箱油装入容积是750毫升的瓶子里，可以装多少瓶？ 【答案】30瓶 【分析】长方体容积＝底面积×高，据此先求出油箱里面有多少立方分米的油，再根据“1立方分米＝1000毫升”将单位换算为毫升。将油的总量除以750，求出可以装多少瓶。 【详解】2.5×2.5×3.6＝22.5（立方分米） 22.5立方分米＝22500毫升 22500÷750＝30（瓶） 答：可以装30瓶。 【变式训练】一个密封的长方体容器（如图），从里面量，长6分米，宽和高都是2分米，水深1.8分米。 （1）水与容器接触的面积是多少平方分米？ （2）现在把这个容器的右侧放在桌面上，这时水深多少分米？ 【答案】（1）40.8平方分米   （2）5.4分米 【分析】（1）水与容器接触的部分包括容器的底面以及四周水浸没的部分，分别计算出底面积、前后两个面水浸没的面积和左右两个面水浸没的面积，即可求出水与容器接触的面积为40.8平方分米。 （2）先计算出水的体积，把这个容器的右侧放在桌面上，因为水的体积不变，则此时的水深＝，即可求出水深为5.4分米。 【详解】（1）长6分米，宽2分米，水深1.8分米 底面积：（分米） 前后两个面的面积：（平方分米） 左右两个面的面积：（平方分米） 则水与容器接触的面积为：(平方分米) 答：水与容器接触的面积是40.8平方分米。 （2）水的体积：（立方分米） 把这个容器的右侧放在桌面上，此时的底面积： 因为水的体积不变，则这时水深：(分米) 答：把这个容器的右侧放在桌面上，这时水深5.4分米。 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】如图，长方体容器中原来水面高度为5.4分米，在容器中竖直放入一根长、宽、高分别为5分米、4分米、10分米的铁块后，水是否会溢出容器？请说明理由。 【答案】不会溢出；理由见详解 【分析】要判断水是否溢出，需先算出容器剩余容积（容器的容积减去原有水的体积），再算出铁块浸入水中部分的体积（铁块长、宽与容器内可容纳高度对应的体积），比较两者大小，若铁块体积小于等于剩余容积，水不溢出，反之溢出，利用长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高）计算。 【详解】容器剩余容积： 10×8×（8－5.4） ＝10×8×2.6 ＝80×2.6 ＝208（立方分米） 铁块浸入体积： 5×4×10 ＝20×10 ＝200（立方分米） 比较：200＜208，所以水不会溢出。 答：水不会溢出容器。理由：铁块浸入体积小于剩余容积，所以水不会溢出。 【变式训练】一个长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米，如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸内的水会溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】由题意可知，放入正方体铁块后溢出水的体积＝正方体铁块的体积－鱼缸内空白部分的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把鱼缸内空白部分看作一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，分别利用公式求出正方体铁块的体积和鱼缸内空白部分的体积，最后求出它们的差，据此解答。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝4×4×4－8×6×1.2 ＝16×4－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸内的水会溢出6.4升。 【变式训练】一个长方体容器，从里面量长10厘米，宽8厘米、高15厘米，小明向这个容器里倒了一些水，正好出现两个面是正方形，这时放入石块，恰好又出现了两个面是正方形（如下图），石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】水面上升的体积就是石块的体积。当第一次出现两个面是正方形时，此时水的高度是8厘米，当第二次出现两个面是正方形时，此时水的高度是10厘米，即放入石块，水面上升了（10－8）厘米，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式解答。 【详解】10×8×（10－8） ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：石块的体积是160立方厘米。 【变式训练】一个长方体的鱼缸，从里面量长是40厘米，宽是35厘米，水深是15厘米。放进一个假山石后，假山石浸没在水中，水面高度是17厘米（水没有溢出）。求假山石的体积。 【答案】2800立方厘米 【分析】当假山石浸没在水中时，水面会上升，上升的这部分水的体积就等于假山石的体积；已知鱼缸从里面量长40厘米，宽35厘米，即上升的水形成的长方体的长是40厘米，宽是35厘米，放入假山石前水深15厘米，放入后水深17厘米，那么水面上升的高度为17－15＝2厘米，这就是上升的水形成的长方体的高，然后根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出上升的水的体积，即假山石的体积。 【详解】40×35×（17－15） ＝40×35×2 ＝1400×2 ＝2800（立方厘米） 答：假山石的体积是2800立方厘米。 综合训练 1．在下面的正方体展开图中，只有当大熊猫与竹子在正方体的相对面上时，大熊猫才能吃到竹子。下面图（    ）的大熊猫不能吃到竹子。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图中“相对的面不相邻”的特点进行分析。 【详解】A．大熊猫与数字3所在的面相对，竹子与数字1所在的面相对，大熊猫和竹子所在的面是相邻面，不是相对面，所以大熊猫不能吃到竹子。 B．大熊猫与竹子所在的面是相对面，所以大熊猫能吃到竹子。 C．大熊猫与竹子所在的面是相对面，所以大熊猫能吃到竹子。 D．大熊猫与竹子所在的面是相对面，所以大熊猫能吃到竹子。 故答案为：A。 2．一个长8分米、宽8分米、高5分米的长方体收纳盒，最多能放入（    ）块棱长为2分米的正方体积木块。 A．30 B．32 C．45 D．40 【答案】B 【分析】需要分别计算长、宽、高的摆放数量，长方体长8分米，小正方体棱长2分米，8÷2＝4，即长能摆4块；长方体宽8分米，8÷2＝4，即宽能摆4块；长方体高5分米，5÷2＝2……1，商为2表示高能摆2层，余数1分米的空间无法容纳完整小正方体，故高只能摆2块。根据“总数量＝长数量×宽数量×高数量”，计算总数量。据此解答。 【详解】长：8÷2＝4（块） 宽：8÷2＝4（块） 高：5÷2＝2（块）……1（分米），余数部分无法容纳完整的小正方体，故只能放2块。 总数量：4×4×2 ＝16×2 ＝32（块） 所以最多能放入32块棱长为2分米的正方体积木块。 故答案为：B 3．用长方体纸盒装牛奶，从外面量得包装盒的长是6厘米，宽是4厘米，高是10厘米。根据以上数据信息，你认为这盒牛奶的“净含量”可能是（    ）。 A．250毫升 B．240毫升 C．230毫升 D．都有可能 【答案】C 【分析】包装盒的外部尺寸为长6厘米、宽4厘米、高10厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出外部体积为6×4×10＝240立方厘米（即240毫升）。净含量指内部牛奶体积，由于包装盒有厚度，内部体积小于外部体积，因此净含量应小于240毫升。据此逐一比较。 【详解】6×4×10 ＝24×10 ＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 A．250＞240，不符合； B．240＝240，不符合； C．230＜240，符合。 所以这盒牛奶的“净含量”可能是230毫升。 故答案为：C 4．如下图，在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．54 B．72 C．84 D．90 【答案】D 【分析】根据题意可知，长方体的长可以放6个小正方体，宽可以放5个小正方体，高可以放3个小正方体，所以用6×5×3即可计算出一共可以放多少个小正方体，一个小正方体体积是1立方厘米，然后用1×小正方体的个数即可解题。 【详解】6×5×3 ＝30×3 ＝90（个） 1×90＝90（立方厘米） 这个玻璃容器的容积是90立方厘米。 故答案为：D 5．如下图，在由8个棱长是1厘米的小正方体组成的大正方体中拿走1个小正方体，这时它的表面积是（    ）平方厘米。 A．7 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，现在图形的表面积就等于原来大正方体的表面积，首先用1×2计算出大正方体的棱长，然后再求出其表面积即可。 【详解】1×2＝2（厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 在由8个棱长是1厘米的小正方体组成的大正方体中拿去1个小正方体，这时它的表面积是24平方厘米。 故答案为：C 6．如图，如果一个长方体的高减少2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少40平方厘米。原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．105 B．140 C．175 D．180 【答案】C 【分析】根据高减少2厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少了4个长为正方体棱长、宽为2厘米的长方形的面积，根据已知表面积减少40平方厘米，求出减少面的长，也就是剩下的正方体的棱长，即：40÷4÷2＝5（厘米），然后求出原长方体的高，即：5＋2＝7（厘米），再根据长方体体积公式：V＝abh，计算原来长方体的体积即可。 【详解】减少后正方体棱长：40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 原长方体高：5＋2＝7（厘米） 原长方体的体积：5×5×7 ＝25×7 ＝175（立方厘米） 故答案为：C 7．一个长方体，如果高增加4厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加192平方厘米。原来这个长方体高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 8 1152 【分析】已知高增加4厘米变成正方体，则这个长方体的长和宽是相等的，且原来的高比长（或宽）少4厘米。表面积增加的192平方厘米，是高增加4厘米后新增的4个侧面的面积（上下底面未变化），因为长和宽相等，所以新增的4个侧面完全相同，用192平方厘米除以4求出1个新增面的面积，根据“长方形面积＝长×宽”，用长方形面积除以增加的高求出长方体的长（或宽）；再用求出的长（或宽）减去4厘米，求出原来长方体的高；最后，根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出原来长方体的体积。据此解答。 【详解】192÷4＝48（平方厘米） 48÷4＝12（厘米） 12－4＝8（厘米） 12×12×8 ＝144×8 ＝1152（立方厘米） 所以原来这个长方体高是8厘米，体积是1152立方厘米。 【点睛】本题关键在于抓住“高增加4厘米变成正方体”得出长和宽相等，且表面积增加量仅为新增4个侧面面积，以此求出长和高，进而计算体积。 8．把一个长7厘米，宽5厘米、高3厘米的大长方体木块锯成两个小长方体木块，表面积至少增加( )平方厘米，最多增加( )平方厘米。 【答案】 30 70 【分析】将长方体锯成两个小长方体木块，要使表面积增加得最少，则沿着面积最小的面锯，增加得面积是两个最小的面，即宽和高组成的面；要使表面积增加最多，则沿着面积最大的面锯，即长和宽组成的面。根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 【详解】5×3×2 ＝15×2 ＝30（平方厘米） 7×5×2 ＝35×2 ＝70（平方厘米） 所以表面积至少增加30平方厘米，最多增加70平方厘米。 9．丁家有一个长方体盒子，从前面、上面看到的形状都是长10厘米、宽6厘米的长方形这个长方体盒子的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 360 312 【分析】已知从前面和上面看到的都是长10厘米、宽6厘米的长方形，则长方体的长为10厘米，宽和高中，一个是6厘米，另一个也是6厘米（即这个长方体有两个面是正方形），因此，长方体的长为10厘米，宽为6厘米，高为6厘米。根据长方体体积＝长×宽×高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入长宽高的数值，分别求出长方体的体积和表面积。 【详解】体积：10×6×6 ＝60×6 ＝360（立方厘米） 表面积：（10×6＋10×6＋6×6）×2 ＝（60＋60＋36）×2 ＝（120＋36）×2 ＝156×2 ＝312（平方厘米） 所以这个长方体盒子的体积是360立方厘米，表面积是312平方厘米。 【点睛】本题关键在于：通过“前面、上面的视图都是长10厘米、宽6厘米的长方形”这一条件，抓住“长是两个视图共有的边长”这一关键，推导出长方体的宽和高均为6厘米，从而快速确定长、宽、高的具体数值，为计算体积和表面积奠定基础。 10．劳动课上，小明用一根72cm的铁丝做成一个长方体框架，如果长方体的长是10cm，宽是5cm，那么高是( )cm。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，外面糊上彩纸，彩纸面积是( )cm2。 【答案】 3 216 【分析】72cm的铁丝长度等于长方体框架的棱长之和；长方体棱长和＝长×4＋宽×4＋高×4；用72减去4个长，再减去4个宽就是4个高的长度，最后除以4即可求出长方体的高； 同样的铁丝做成正方体框架，72cm就是正方体的棱长和；正方体棱长＝72÷12；彩纸面积＝正方体的表面积＝棱长×棱长×6； 【详解】①10×4＋5×4＝60（cm） 72－60＝12（cm） 高：12÷4＝3（cm） 小明用一根72cm的铁丝做成一个长方体框架，如果长方体的长是10cm，宽是5cm，那么高是3cm； ②正方体：72÷12＝6（cm） 表面积：6×6×6＝216（cm2） 如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，外面糊上彩纸，彩纸面积是216cm2。 【点睛】关键找准铁丝的长度等于长方体（正方体）的棱长之和。 11．妈妈将一瓶2升的雪碧倒入4个小杯和2个大杯中，正好都倒满且无剩余。已知1个大杯正好能倒满2个小杯，则1个大杯的容积是( )毫升，1个小杯的容积是( )毫升。 【答案】 500 250 【分析】1个大杯正好能倒满2个小杯，说明1个大杯的容积＝1个小杯的容积×2，1个小杯的容积＝1个大杯的容积÷2。则一瓶2升的雪碧能倒满4大杯或8小杯。 ①求1个大杯的容积，就是求把2升雪碧平均倒在4个大杯中，求1大杯的容积，用除法计算； ②求1个小杯的容积，就是求把2升雪碧平均倒在8个小杯中，求1小杯的容积，用除法计算。 【详解】2升＝2000毫升 ①2000÷（4÷2＋2） ＝2000÷（2＋2） ＝2000÷4 ＝500（毫升） ②2000÷（4＋2×2） ＝2000÷（4＋4） ＝2000÷8 ＝250（毫升） 12．一个正方体容器，从里面量，棱长为4分米。先放入一个不规则铁块，再把28升水倒入容器内，正好浸没铁块，这时测得水深2.5分米，这个铁块的体积是( )立方分米。 【答案】12 【分析】用“排水法”来求不规则铁块的体积。先算出放入铁块和水后容器内的总体积为4×4×2.5＝40立方分米，已知倒入的水是28升，换算为28立方分米，用总体积减去水的体积，就能得到铁块的体积为40－28＝12立方分米。 【详解】28升＝28立方分米 4×4×2.5－28 ＝16×2.5－28 ＝40－28 ＝12（立方分米） 所以，这个铁块的体积是12立方分米。 【点睛】利用排水法，通过计算容器内水和铁块的总体积，减去水的体积得到不规则铁块的体积。 13．计算下面长方体和正方体的表面积和体积。 【答案】1360m2； 3200m3 150cm2；125cm3 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出它的表面积和体积。 根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出它的表面积和体积。 【详解】长方体的表面积： （20×10＋20×16＋10×16）×2 ＝（200＋320＋160）×2 ＝680×2 ＝1360（m2） 长方体的体积： 20×16×10 ＝320×10 ＝3200（m3） 正方体的表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 所以，长方体的表面积是1360m2，它的体积是3200m3。正方体的表面积是150cm2；它的体积是125cm3。 14．求①号、②号图形的表面积，③号图形的体积（单位：cm）。 【答案】①360cm2；②486cm2；③280cm3 【分析】①观察图形可知，长方体长12cm，宽6cm，高6cm。根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可； ②观察图形可知，正方体棱长为9cm。根据正方体的表面积公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可； ③观察图形可知，图形的体积是由一个长为10cm，宽为6cm，高为2cm的长方体和一个长为10cm，宽为2cm，高为8cm的长方体的体积之和。根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据算出各自的体积，再相加即可得解。 【详解】①（12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝（144＋36）×2 ＝180×2 ＝360（cm2） 所以①号图形的表面积是360cm2； ②9×9×6 ＝81×6 ＝486（cm2） 所以②号图形的表面积是486cm2； ③10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm3） 10×2×8 ＝20×8 ＝160（cm3） 120＋160＝280（cm3） 所以③号图形的体积是280cm3。 15．如下图，把一个棱长是12cm的正方体切成两个完全一样的长方体。这两个长方体的总棱长比原来的正方体的总棱长增加了多少？ 【答案】96厘米 【分析】正方体切成两个完全一样的长方体，多出两个正方形面，先算出一个正方形周长，再乘2即可解答。 【详解】（厘米） 答：这两个长方体的总棱长比原来的正方体的总棱长增加了96厘米。 16．一根2米长的通风管，横截面是边长为2分米的正方形，制作2根这样的通风管至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】320平方分米 【分析】通风管为空心长方体，无底面和顶面，只需计算侧面，长方体的侧面积＝底面周长×高；底面是边长为2分米的正方形，根据正方形的周长＝边长×4得出底面周长，再计算出一个通风管的侧面面积；最后乘2就是制作两个通风管所需要的铁皮的面积。计算时要先把2米换算成20分米。据此解答。 【详解】2米＝20分米 4×2×20×2 ＝8×20×2 ＝160×2 ＝320（平方分米） 答：制作2根这样的通风管至少需要铁皮320平方分米。 17．拥有“不用一颗钉，能用50年”之称的官渡木椅制作技艺入选十堰市非物质文化遗产名录。如图，鲁班木材加工厂将一根2.5米长的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了48平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 【答案】300立方分米 【分析】由题意可知，把这根长方体木料锯成3段后，表面积增加了4个截面的面积，先根据增加的表面积求出一个截面的面积，再根据“长方体的体积＝底面积×高”求出原来这根木料的体积，据此解答。 【详解】2.5米＝25分米 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 48÷4×25 ＝12×25 ＝300（立方分米） 答：原来这根木料的体积是300立方分米。 18．有一个完全密封的长方体容器，从里面量，长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米。平放时里面水高8厘米，如果把这个容器竖起来放，里面的水高多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】平放时，容器的长为20厘米，宽为16厘米，水高为8厘米，根据长方体体积＝长×宽×高计算出水的体积。竖放时，容器的底面变为宽16厘米和高10厘米组成的面，用宽乘高计算出竖放时的底面积，水的体积不变，根据水的体积÷竖放时的底面积＝水高，计算出水高。据此解答。 【详解】20×16×8÷（16×10） ＝320×8÷160 ＝2560÷160 ＝16（厘米） 答：里面的水高16厘米。 19．商店售货员用丝带包扎一个长30厘米、宽15厘米、高10厘米的礼品盒，接头处为2分米。包扎这个礼品盒至少需要多少厘米的丝带？ 【答案】150厘米 【分析】先统一单位2分米＝20厘米；由图可知，丝带长度包含2条长、2条宽、4条高，以及接头处的长度，将所有长度相加即可。 【详解】2分米＝20厘米 30×2＋15×2＋10×4＋20 ＝60＋30＋40＋20 ＝90＋40＋20 ＝130＋20 ＝150（厘米） 答：包扎这个礼品盒至少需要150厘米的丝带。 20．李大叔家挖了一个长方体的蓄水池，从里面量长3.5米，宽2米，深1.5米。 （1）这个蓄水池占地多少平方米？ （2）如果蓄水池里有8.4吨水。那么这个蓄水池的水深是多少米？（每立方米水的质量是1吨） （3）如果给蓄水池的四周和底部贴上边长1分米的瓷砖，那么需要多少块瓷砖？ 【答案】（1）7平方米 （2）1.2米 （3）2350块 【分析】（1）根据题意，这个蓄水池是一个长方体，求蓄水池的占地面积，就是求这个蓄水池的底面面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可计算； （2）每立方米水重1吨，则8.4吨水的体积是8.4立方米，根据长方体的体积＝长×宽×高可知，高＝长方体体积÷长÷宽，代入数据计算即可； （3）给蓄水池的四周和底部贴瓷砖，先求这个蓄水池的表面积（不含上面），根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算出表面积；然后计算瓷砖的面积；最后用表面积除以瓷砖面积，即可求出瓷砖数量，注意统一单位； 据此解答。 【详解】（1）3.5×2＝7（平方米） 答：这个蓄水池占地7平方米。 （2）8.4吨水的体积是8.4立方米。 8.4÷3.5÷2 ＝2.4÷2 ＝1.2（米） 答：蓄水池的水深是1.2米。 （3）1分米＝0.1米 [3.5×2＋（3.5×1.5＋2×1.5）×2]÷（0.1×0.1） ＝[7＋（5.25＋3）×2]÷0.01 ＝[7＋8.25×2]÷0.01 ＝[7＋16.5]÷0.01 ＝23.5÷0.01 ＝2350（块） 答：需要2350块瓷砖。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体和正方体 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、长方体和正方体的认识 2 二、长方体和正方体的表面积 2 三、长方体和正方体的体积 2 四、容积和容积单位 3 五、重要概念辨析 3 六、解决问题的关键步骤 3 考点讲练 3 考点一：长方体和正方体的认识 3 考点二：长方体表面积的计算 4 考点三：长方体表面积的应用 5 考点四：正方体表面积的计算 6 考点五：正方体表面积的应用 7 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 7 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 8 考点八：表面涂色的正方体 9 考点九：长方体的体积 9 考点十：正方体的体积 10 考点十一：体积单位之间的进率 11 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 11 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 12 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 12 考点十五：容积和容积单位 14 考点十六：体积（容积）的大小比较 14 考点十七：长方体、正方体的容积 15 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 16 综合训练 18 知识梳理 一、长方体和正方体的认识 1.长方体的特征 有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形） 相对的面完全相同 有12条棱，相对的棱长度相等（可分为长、宽、高三组，每组4条） 有8个顶点 2.正方体的特征 有6个面，都是完全相同的正方形 有12条棱，所有棱的长度都相等 有8个顶点 正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体） 3.棱长总和计算公式 长方体棱长总和 =（长+宽+高）×4 正方体棱长总和 = 棱长×12 二、长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积 2.计算公式 长方体表面积 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 特殊情况：无盖或无底的长方体表面积计算（如游泳池、鱼缸等），需减去相应面的面积 三、长方体和正方体的体积 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积 2.体积单位 常用单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³） 单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 3.计算公式 长方体体积 = 长×宽×高（V=abh） 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长（V=a³） 统一公式：长方体（或正方体）体积 = 底面积×高（V=Sh） 四、容积和容积单位 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积 2.容积单位 常用单位：升（L）、毫升（mL） 单位换算：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3.容积计算方法：与体积计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高 五、重要概念辨析 1.体积与表面积的区别：体积表示物体所占空间大小，单位是体积单位；表面积表示物体表面面积总和，单位是面积单位 2.长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体 3.棱长变化对表面积和体积的影响：棱长扩大n倍，表面积扩大n²倍，体积扩大n³倍 六、解决问题的关键步骤 1.认真审题，明确是求表面积、体积还是容积 2.确定图形是长方体还是正方体，找出相应的已知条件 3.选择正确的计算公式进行计算 4.注意单位的统一和换算 5.结合实际情况判断是否需要计算所有面的面积（如无盖、无底等情况） 考点讲练 考点一：长方体和正方体的认识 【典例精讲】把一个没有开口的长方体纸盒剪开，平铺在桌面上，需要剪开7条边。( ) 【变式训练】为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要 m长的彩灯线。 【变式训练】劳动课上小华想用铁丝做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架，他至少需要( )厘米的铁丝。 【变式训练】一个长方体共顶点的三条棱长分别是5分米、4分米和3分米，这个长方体的最小占地面积是( )平方分米，最大占地面积是( )平方分米。 考点二：长方体表面积的计算 【典例精讲】如图把一个长方体分成两个正方体后，表面积比原来增加了18平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式训练】求下图的表面积。（单位厘米） 【变式训练】一种长方体铁皮通风管长1.2米，横截面是边长为2分米的正方形，做10个这样的通风管至少需要铁皮( )平方分米。 【变式训练】小恒想做一个封套，把《中华上下五千年》的三册书（尺寸完全相同）都装进去。做这个封套需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度及接缝忽略不计） 考点三：长方体表面积的应用 【典例精讲】一个长、宽、高分别为4cm，3cm，3cm的长方体，在它的一角挖掉一个棱长为1cm正方体，它的表面积与原来长方体的表面积相比（    ）。 A．比原来小 B．比原来大 C．大小相等 D．无法比较 【变式训练】做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长6分米的正方形，高7分米，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 【变式训练】灵宝光明果园用长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体快递盒运输苹果，如果要给快递盒包上包装纸，一个盒子至少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） 【变式训练】生丝是桑蚕茧缫丝后所得的产品，俗称真丝。中国生丝有悠久的历史，现代的产量占世界首位。用真丝制成的围巾具有柔软薄透的特性。某围巾店制作一批礼品袋来装真丝围巾，制作30个下面这样的礼品袋需要多少平方分米的白卡纸？（不计损耗） 考点四：正方体表面积的计算 【典例精讲】一个长20厘米、宽15厘米、高10厘米的长方体木料切成棱长为5厘米的小正方体，一共可以切成( )个。它们的表面积之和比原来长方体的表面积增加了( )平方厘米。 【变式训练】李明将三个正方体木块黏合成一个模型（如下图），它们的棱长分别是1分米、2分米、3分米。这个模型的表面积是（    ）。 A．84平方分米 B．80平方分米 C．74平方分米 D．70平方分米 【变式训练】美术课上，晓玥从一张长20cm、宽15cm的长方形纸上剪去空白部分（如图），剩下部分做成一个正方体纸盒。这个纸盒的表面积是( ) cm2。 【变式训练】下图是用若干个棱长为1厘米的小正方体搭建的大正方体。美术老师要求从它正面的中间挖去一个棱长为1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是( )平方厘米。 考点五：正方体表面积的应用 【典例精讲】一个正方体和一个长方体正好可以拼成一个新的长方体，它的表面积比原来长方体增加了4平方厘米，原来正方体的表面积是（    ）。 A．10cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 【变式训练】用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 【变式训练】中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【变式训练】用一根铁丝围成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体框架，如果用同样长的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的表面积是（    ）。 A．192平方厘米 B．216平方厘米 C．72厘米 D．216厘米 考点六：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【变式训练】用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【变式训练】把一个长方体切割成两个相同的长方体，原来长方体长18cm，宽15cm，高12cm。切割后表面积最多增加( )，最少增加( )。 【变式训练】王老师把两块长10厘米、宽4厘米、高7厘米的长方体木块拼成一个大长方体，表面积最少减少多少平方厘米？（先画图，再列式解答） 考点七：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】库房管理员将一些棱长为的正方体纸箱放在墙角（如下图），这些纸箱共有( )个，露在外面的面积是( )dm2。 【变式训练】如图是棱长2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】如图所示两个立体图形都是由棱长为1cm的正方体搭成。 ①号表面积是( )，②号表面积是( )。 【变式训练】计算如图图形的表面积。（单位：cm） 考点八：表面涂色的正方体 【典例精讲】有一个棱长10厘米的正方体，用红色染料对其表面染色，然后切成棱长为1厘米的小正方体，那么两个面染色的正方体有( )个。 【变式训练】用棱长1cm的小正方体拼成下图的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色，则两面涂色的小正方体有( )个。    【变式训练】用棱长1cm的小正方体拼成棱长是4cm的大正方体，然后把大正方体的表面涂上颜色。那么小正方体中，三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个。 【变式训练】在一块棱长为16cm的正方体蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长为4cm的小正方体蛋糕，在这些小正方体蛋糕中，2面涂奶油的有( )块。 考点九：长方体的体积 【典例精讲】课外活动中，小杰用橡皮泥制作造型，他将一块底面积是12平方厘米，高是8厘米的长方体橡皮泥重新揉搓，做成了一个新的长方体。已知新长方体的底面积是16平方厘米，它的高是（    ）厘米。 A．4 B．6 C．8 【变式训练】泥塑艺术是我国古老的、流传地域广泛的民间传统艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小轩爱好捏泥塑，他将一个棱长是6分米的正方体彩泥塑捏成一个长9分米、宽6分米的长方体，捏成的长方体的高是( )分米。 【变式训练】从一个体积是30立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的（    ）。 A．表面积不变、体积变小 B．表面积变大，体积变小 C．表面积变小，体积变大 【变式训练】如图，把一根长6米的长方体木料截成3段，表面积增加了0.6平方米，原来这根木料的体积是( )立方米。 考点十：正方体的体积 【典例精讲】把一个棱长6cm的正方体铁块铸造成一个长9cm，宽6cm的长方体，这个长方体的表面积是( )dm2。 【变式训练】一个正方体的棱长总和是72dm，它的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【变式训练】一个长方体长3dm，宽和高都是2dm，在这个长方体挖一个棱长1dm的正方体（如图所示）。剩余部分的体积是( )dm3，表面积是( )dm2。 【变式训练】从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 考点十一：体积单位之间的进率 【典例精讲】360dm2＝( )m2   7100dm3＝( )m3  2.08m3＝( )m3( )dm3 【变式训练】( )              ( ) 80分( )时                        ( ) 【变式训练】837mL＝( )L    5.7m3＝( )L 12dm3＝( )cm3    9.08dm3＝( )dm3( )cm3 【变式训练】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5m3( )500dm3          8.35dm3( )835cm3        2550cm3( )25.5dm3 400cm3( )0.4dm3        8.1m3( )8000dm3        240dm3( )2m3 考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】把两块棱长为1分米的正方体方钢熔铸成一根横截面面积是20平方厘米的长方体钢材，这根钢材的长是多少分米？ 【变式训练】把一块棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（只列综合算式不计算） 【变式训练】把棱长是3分米的正方体钢材锻造成一块横截面是0.06平方米的长方体，这块长方体钢材的长多少分米？ 【变式训练】中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木”，“鼓山铁”。齐国工匠将一块0.8米的正方体铁块，熔铸成一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少？ 考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】一个正方体，从顶点处切去一个小正方体后，体积和表面积都不变。( ) 【变式训练】用3个棱长2cm的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 【变式训练】用三个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的棱长和是8m，则每个正方体的体积是（    ）dm3。 A．0.064 B．4.096 C．64 D．4096 【变式训练】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的体积( )；若将它切割成两个长方体，体积( )，表面积( )了。（选填“增加”“减少”或“不变”） 考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】计算下面立体图形的表面积和体积。 【变式训练】乐乐用8个小正方体拼成一个大正方体，被弟弟拿走了一个小正方体，如图，下面说法正确的是（    ）。 A．体积减小，表面积不变 B．体积不变，表面积也不变 C．体积减小，表面积减少 D．体积减小，表面积增加 【变式训练】计算下面几何体的体积。（不写答语） 【变式训练】计算下面图形的表面积和体积。 考点十五：容积和容积单位 【典例精讲】在横线上填上合适的数。 2.08平方千米＝ 公顷＝ 平方米 8.02吨＝ 吨 千克 3升240毫升＝ 升 【变式训练】2.05升＝( )毫升              2时40分＝( )时 5.08公顷＝( )平方米                3米8厘米＝( )米 【变式训练】在括号里填上适当的计量单位。 一间教室的占地面积是48( )    一个火柴盒的体积约8( ) 一种保温瓶的容积是1.2( )    长江全长约6300( ) 【变式训练】在括号里填上合适的单位。 橡皮的体积大约是8( )    汽车油箱的容积大约是50( ) 一间教室大约占地48( )    数学书封面的周长约是90( ) 考点十六：体积（容积）的大小比较 【典例精讲】根据左边小瓶的果汁含量，估计下图大瓶里大约有果汁（    ）。 A．800毫升 B．1500毫升 C．3000毫升 【变式训练】以下哪个容器能装下水？（    ）。 A．长方体容器，底面积，高 B．长方体容器，长，宽，高 C．正方体容器，棱长 D．一个量杯（最高刻度见图） 【变式训练】一个鱼缸最多能容纳100升的水，这个鱼缸的体积可能是（    ）。 A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米 【变式训练】按从小到大的顺序排列 1升      800毫升      1升200毫升      1020毫升 考点十七：长方体、正方体的容积 【典例精讲】一种果汁采用长方体塑料盒密封包装，从里面量，盒子长6.5厘米，宽4厘米，高9.5厘米，盒面注明“净含量240毫升”，这项说明是否真实？（    ） A．真实 B．绝对不真实 C．无法确定 【变式训练】求做一个长方体纸箱需要多少纸板，是求长方体纸箱的（    ）。 A．表面积 B．体积 C．容积 D．质量 【变式训练】一个长方体油箱，从里面量，底面是边长2.5分米的正方形，高是3.6分米，把这样一箱油装入容积是750毫升的瓶子里，可以装多少瓶？ 【变式训练】一个密封的长方体容器（如图），从里面量，长6分米，宽和高都是2分米，水深1.8分米。 （1）水与容器接触的面积是多少平方分米？ （2）现在把这个容器的右侧放在桌面上，这时水深多少分米？ 考点十八：不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】如图，长方体容器中原来水面高度为5.4分米，在容器中竖直放入一根长、宽、高分别为5分米、4分米、10分米的铁块后，水是否会溢出容器？请说明理由。 【变式训练】一个长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米，如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸内的水会溢出多少升？ 【变式训练】一个长方体容器，从里面量长10厘米，宽8厘米、高15厘米，小明向这个容器里倒了一些水，正好出现两个面是正方形，这时放入石块，恰好又出现了两个面是正方形（如下图），石块的体积是多少立方厘米？ 【变式训练】一个长方体的鱼缸，从里面量长是40厘米，宽是35厘米，水深是15厘米。放进一个假山石后，假山石浸没在水中，水面高度是17厘米（水没有溢出）。求假山石的体积。 综合训练 1．在下面的正方体展开图中，只有当大熊猫与竹子在正方体的相对面上时，大熊猫才能吃到竹子。下面图（    ）的大熊猫不能吃到竹子。 A． B． C． D． 2．一个长8分米、宽8分米、高5分米的长方体收纳盒，最多能放入（    ）块棱长为2分米的正方体积木块。 A．30 B．32 C．45 D．40 3．用长方体纸盒装牛奶，从外面量得包装盒的长是6厘米，宽是4厘米，高是10厘米。根据以上数据信息，你认为这盒牛奶的“净含量”可能是（    ）。 A．250毫升 B．240毫升 C．230毫升 D．都有可能 4．如下图，在一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．54 B．72 C．84 D．90 5．如下图，在由8个棱长是1厘米的小正方体组成的大正方体中拿走1个小正方体，这时它的表面积是（    ）平方厘米。 A．7 B．21 C．24 D．27 6．如图，如果一个长方体的高减少2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少40平方厘米。原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．105 B．140 C．175 D．180 7．一个长方体，如果高增加4厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加192平方厘米。原来这个长方体高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 8．把一个长7厘米，宽5厘米、高3厘米的大长方体木块锯成两个小长方体木块，表面积至少增加( )平方厘米，最多增加( )平方厘米。 9．丁家有一个长方体盒子，从前面、上面看到的形状都是长10厘米、宽6厘米的长方形这个长方体盒子的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 10．劳动课上，小明用一根72cm的铁丝做成一个长方体框架，如果长方体的长是10cm，宽是5cm，那么高是( )cm。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，外面糊上彩纸，彩纸面积是( )cm2。 11．妈妈将一瓶2升的雪碧倒入4个小杯和2个大杯中，正好都倒满且无剩余。已知1个大杯正好能倒满2个小杯，则1个大杯的容积是( )毫升，1个小杯的容积是( )毫升。 12．一个正方体容器，从里面量，棱长为4分米。先放入一个不规则铁块，再把28升水倒入容器内，正好浸没铁块，这时测得水深2.5分米，这个铁块的体积是( )立方分米。 13．计算下面长方体和正方体的表面积和体积。 14．求①号、②号图形的表面积，③号图形的体积（单位：cm）。 15．如下图，把一个棱长是12cm的正方体切成两个完全一样的长方体。这两个长方体的总棱长比原来的正方体的总棱长增加了多少？ 16．一根2米长的通风管，横截面是边长为2分米的正方形，制作2根这样的通风管至少需要铁皮多少平方分米？ 17．拥有“不用一颗钉，能用50年”之称的官渡木椅制作技艺入选十堰市非物质文化遗产名录。如图，鲁班木材加工厂将一根2.5米长的长方体木料锯成3段后，表面积比原来增加了48平方分米。原来这根木料的体积是多少立方分米？ 18．有一个完全密封的长方体容器，从里面量，长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米。平放时里面水高8厘米，如果把这个容器竖起来放，里面的水高多少厘米？ 19．商店售货员用丝带包扎一个长30厘米、宽15厘米、高10厘米的礼品盒，接头处为2分米。包扎这个礼品盒至少需要多少厘米的丝带？ 20．李大叔家挖了一个长方体的蓄水池，从里面量长3.5米，宽2米，深1.5米。 （1）这个蓄水池占地多少平方米？ （2）如果蓄水池里有8.4吨水。那么这个蓄水池的水深是多少米？（每立方米水的质量是1吨） （3）如果给蓄水池的四周和底部贴上边长1分米的瓷砖，那么需要多少块瓷砖？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $