第三单元 因数与倍数讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

该小学数学“因数与倍数”单元复习讲义通过知识框架系统梳理核心概念、重要性质及方法技巧，用表格归纳100以内质数表、2/5/3倍数特征，以思维导图呈现因数与倍数、质数与合数等概念的内在联系，突出分解质因数、最大公因数等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，每个考点设典例精讲与变式训练，如“用最大公因数解决分粽子问题”培养运算能力与应用意识，易错点辨析帮助学生规避概念混淆等问题，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准教学。

第三单元 因数与倍数 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、重要性质：2、5、3的倍数特征 2 三、方法技巧 2 四、易错点辨析 4 考点讲练 4 考点一：因数和倍数的认识 4 考点二：找一个数的因数及因数的特征 5 考点三：根据因数的特征解决问题 7 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 9 考点五：根据倍数的特征解决问题 11 考点六：倍数和因数的综合运用 13 考点七：2,3,5的倍数的特征 15 考点八：奇数与偶数的认识 17 考点九：质数和合数的认识 19 考点十：质数与合数的综合应用 21 考点十一：质因数的含义 23 考点十二：分解质因数 25 考点十三：公因数与最大公因数 28 考点十四：用最大公因数解决实际问题 30 考点十五：公倍数与最小公倍数 32 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 34 综合训练 37 知识梳理 一、核心概念 1.因数与倍数的意义 在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如：12÷3=4，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。 注意：研究因数和倍数时，所指的数是不包括0的自然数。 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 2.奇数与偶数 是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），例如：0、2、4、6、8… 不是2的倍数的数叫作奇数，例如：1、3、5、7、9… 3.质数与合数 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），例如：2、3、5、7… 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，例如：4、6、8、9… 1既不是质数也不是合数。 100以内的质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共25个）。 二、重要性质：2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，例如：10、12、14… 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数，例如：10、15、20… 3.3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12（1+2=3，3是3的倍数）、105（1+0+5=6，6是3的倍数）。 既是2的倍数又是5的倍数的数：个位上必须是0，例如：10、20、30… 三、方法技巧 1.分解质因数 定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 方法： ① 塔式分解法：例如分解12，先写成12=2×6，再分解6=2×3，所以12=2×2×3。 ② 短除法：用质数作除数，除到商是质数为止，把除数和商连乘。例如分解18： 2 | 18 ---- 3 | 9 ---- 3 所以18=2×3×3。 2.公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 求法： ① 列举法：例如求12和18的最大公因数，12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18，公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 ② 短除法：用公有的质因数作除数，除到商只有公因数1为止，把所有除数相乘。例如求12和18的最大公因数： 2 | 12 18 ------- 3 | 6 9 ------- 2 3 最大公因数是2×3=6。 特殊情况：如果两个数是互质数（公因数只有1的两个数），它们的最大公因数是1，例如5和7；如果一个数是另一个数的倍数，它们的最大公因数是较小数，例如12和24的最大公因数是12。 3.公倍数与最小公倍数 公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 求法： ① 列举法：例如求4和6的最小公倍数，4的倍数有4、8、12、16…；6的倍数有6、12、18…，公倍数有12、24…，最小公倍数是12。 ② 短除法：用公有的质因数和各自独有的质因数相乘。例如求4和6的最小公倍数： 2 | 4 6 ------- 2 3 最小公倍数是2×2×3=12。 特殊情况：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积，例如5和7的最小公倍数是35；如果一个数是另一个数的倍数，它们的最小公倍数是较大数，例如12和24的最小公倍数是24。 四、易错点辨析 1.混淆“因数”和“倍数”的概念：因数和倍数是相互依存的，不能单独说“12是倍数”“3是因数”，应说“12是3的倍数”“3是12的因数”。 2.忽略“1既不是质数也不是合数”：判断质数、合数时，易误将1归为质数或合数，需牢记1的特殊性。 3.分解质因数时出现合数：例如将12分解为12=3×4，其中4是合数，正确应为12=2×2×3。 4.求最大公因数和最小公倍数时混淆方法：短除法求最大公因数是乘除数，求最小公倍数是乘除数和商，需注意区分。 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】研究因数与倍数时，所说的数一般指不是（    ）的自然数。 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】我们在研究因数和倍数的时候，所说的数是指非0自然数，0也属于自然数，不能说它有几个因数；另外，自然数1只有一个因数，就是它本身。 【详解】研究因数与倍数时，所说的数一般指不是（0）的自然数。 故答案为：A 【变式训练】因为3×5＝15，所以3是因数，15是倍数。( ) 【答案】× 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 【详解】因为3×5＝15，所以3和5是15的因数，15是3和5的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】30÷5＝6，( )是5和6的倍数，( )和( )是30的因数。 【答案】 30 5 6 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。据此解答。 【详解】30÷5＝6，即5×6＝30；30是5和6的倍数，5和6是30的因数。 【变式训练】4×7＝28，( )和( )都是28的因数，28是( )和( )的倍数。 【答案】 4 7 4 7 【分析】在整数除法中，若商是整数且没有余数，则除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。乘法算式改写成，所以4和7是28的因数，28是4和7的倍数，据此解答。 【详解】，4和7是28的因数，28是4和7的倍数。 考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】所有的非零自然数都有因数1。( ) 【答案】√ 【分析】所有的非零自然数都可以拆成1乘它本身的形式，所以所有非零自然数都有因数1，据此解答。 【详解】所有的非零自然数都可以拆成1乘它本身的形式，所以所有的非零自然数都有因数1。 故答案为：√ 【变式训练】24的因数有( )，其中质数有( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 1，2，3，4，6，8，12，24 2，3 1 【分析】找24的因数可以一对一对的地找，即乘积为24的两个整数为其因数；只有1和它本身两个因数的就是质数，只有1既不是质数也不是合数。 【详解】①，所以1和24是24的因数；，所以2和12是24的因数；，所以3和8是24的因数；，所以4和6是24的因数。因此24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 ②1不符合质数的要求；2的因数为1和2，符合质数的要求；3的因数为1和3，符合质数的要求；4的因数有1、2、4，三个因数不符合质数的要求；6的因数有1、2、3、6，四个因数不符合质数的要求；8的因数有1、2、4、8，四个因数不符合质数的要求；12的因数有1、2、3、4、6、12，六个因数不符合质数的要求；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，八个因数不符合质数的要求。所以24的因数中质数有：2、3。 ③1只有1个因数既不是质数也不是合数。 【变式训练】6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系用加法算式表示是1＋2＋3＝6。古希腊的毕达哥拉斯把像6这样的数叫做完美数，下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．10 C．20 D．28 【答案】D 【分析】由题可知，除自身外的所有因数之和等于它本身的数是完美数，据此逐一计算各选项的因数之和即可判断。 【详解】A．9的因数有1、3、9，除自身外的所有因数之和为1＋3＝4≠9，此选项错误； B．10的因数有1、2、5、10，除自身外的所有因数之和为1＋2＋5＝8≠10，此选项错误； C．20的因数有1、2、4、5、10、20，除自身外的所有因数之和为1＋2＋4＋5＋10＝22≠20，此选项错误； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，除自身外的所有因数之和为1＋2＋4＋7＋14＝28，等于原数，此选项正确。 故答案为：D 【变式训练】你能分别说出下面各数的因数吗？ 10    12    15    23    24    30    49 【答案】见详解 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此解答。 【详解】10＝1×10＝2×5 12＝1×12＝2×6＝3×4 15＝1×15＝3×5 23＝1×23 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 49＝1×49＝7×7 所以 10的因数：1、2、5、10； 12的因数：1、2、3、4、6、12； 15的因数：1、3、5、15； 23的因数：1、23； 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24； 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30； 49的因数：1、7、49。 考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 【答案】10种；1盒，48个；2盒，24个；3盒，16个；4盒，12个； 6盒，8个；24盒，2个； 16盒，3个；12盒，4个；8盒，6个；48盒，1个 【分析】盒子个数与每盒球的个数都是总数48的因数，因此直接考虑48的因数有哪些即可。 【详解】48的因数：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 48＝1×48所以装1盒，每盒装48个； 48＝2×24所以装2盒，每盒装24个； 48＝3×16所以装3盒，每盒装16个； 48＝4×12所以装4盒，每盒装12个； 48＝6×8所以装6盒，每盒装8个； 48＝8×6所以装8盒，每盒装6个； 48＝12×4所以装12盒，每盒装4个； 48＝16×3所以装16盒，每盒装3个； 48＝24×2所以装24盒，每盒装2个； 48＝48×1所以装48盒，每盒装1个； 答：有10种装法；装1盒，每盒装48个；装2盒，每盒装24个；装3盒，每盒装16个；装4盒，每盒装12个；装6盒，每盒装8个；装8盒，每盒装6个；装12盒，每盒装4个；装16盒，每盒装3个；装24盒，每盒装2个；装48盒，每盒装1个。 【变式训练】儋州调声是儋州市民间音乐国家级非物质文化遗产之一。学校合唱团的36人准备排练一个关于儋州调声的节目，如果将这36人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人，有几种分法？（写出具体的分法） 【答案】3种；分法见详解 【分析】先把36写成两个因数的积，求出36的所以因数，根据每组人数不少于4人，不多于10人，其中大于或等于4而小于或等于10的因数就是一组的人数，再用36分别除以每组的人数确定有几种分法即可。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36； 其中大于或等于4小于或等于10的因数有4、6、9； 36÷4＝9（组） 36÷6＝6（组） 36÷9＝4（组） 答：有3种分法；分法为：每组4人，分9组；每组6人，分6组；每组9人，分4组。 【变式训练】105个同学参加团体操表演。如果要求每排人数相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？ 【答案】2种 【分析】分析题目，先根据乘法的方法找出105的所有因数，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即105的一个因数应大于或等于10人且小于或等于30，据此解答。 【详解】105＝1×105＝3×35＝5×21＝7×15 10＜15＜21＜30 答：符合要求的队列有2种，①每排15人，排成7排；②每排21人，排成5排。 【变式训练】五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【答案】 3 24 【分析】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】7的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【答案】 无数 7 【分析】一个数的倍数是指这个数分别乘1、2、3、4…，所得的数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。一个数的最小倍数是它本身，所以7的最小倍数是7。 【详解】因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。一个数的最小倍数是它本身。 7的倍数有无数个，其中最小的是7。 【变式训练】一个两位数既是2的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )。一个数既是36的因数，又是18的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 96 18 【分析】2的倍数特征：个位是偶数；3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数；最大的两位数是99，但99不是2的倍数，从大到小依次验证即可； 找出36的所有因数，再从中找出18的最小倍数即可。 【详解】最大的两位数是99，但99不是2的倍数； 98是2的倍数，但不是3的倍数； 97既不是2的倍数，也不是3的倍数； 96既是2的倍数，又是3的倍数。 所以一个两位数既是2的倍数，又是3的倍数，这个数最大是96。 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，其中18的倍数有18和36，最小倍数是18，所以一个数既是36的因数，又是18的倍数，这个数最小是18。 【变式训练】以下（    ）图可以表示4的倍数和8的倍数之间的关系。 A． B． C． 【答案】C 【分析】8÷4＝2，即8是4的倍数，则是8的倍数就一定是4的倍数，但是4的倍数不一定是8的倍数，如：16是8的倍数，也是4的倍数；12是4的倍数，但不是8的倍数。即两者是包含关系，即4的倍数包含8的倍数。据此可分别分析选项得出答案。 【详解】A.图中两个图形不相交表示两种量之间没有关系，不符合题意； B.图中两个图形相交且不完全重合，表示两个量存在一部分相同的，也都有不同的部分，不符合题意； C.图中是包含关系，可将里面的图形看作8的倍数，外面大的图形看作4的倍数，符合题意。 故答案为：C 【变式训练】五（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，而且比40多、比50少。五（1）班可能有( )人。 【答案】42或48 【分析】五（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，则五（1）班的人数一定是2和3的公倍数且比40多比50少。罗列出2和3的公倍数，两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。选出符合条件的数据即可解决本题。 【详解】2的倍数有：2、4、6、8…；3的倍数有：3、6、9… 2和3的最小公倍数为：6 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54… 又知总人数比40多、比50少，所以五（1）班可能有42或48人。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】李明过春节时获得了相同张数5元和1元的压岁钱若干张，那么李明可能有（    ）。 A．48元 B．38元 C．28元 D．8元 【答案】A 【分析】根据题意知道李明获得的5元和1元的张数相同，因此获得钱的总数是（5＋1）的整数倍，因此再看所给出的选项哪个数是（5＋1）的倍数即可。 【详解】A．48÷6＝8，48是6的倍数，符合题意； B．38÷6＝6……2，38不是6的倍数，不符合题意； C．28÷6＝4……4，28不是6的倍数，不符合题意； D．8÷6＝1……2，8不是6的倍数，不符合题意； 故答案为：A 【点睛】明确获得钱的总数是（5＋1）的整数倍是解题的关键。 【变式训练】小明有若干张2元和5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么小明可能有（    ）元钱。 A．20 B．50 C．91 D．100 【答案】C 【分析】先求出1张2元和5元的共有多少钱，再从选项中找出这个数的倍数即可。 【详解】2＋5＝7（元） A．20÷7＝2……6，20不是7的倍数，不符合要求。 B．50÷7＝7……1，50不是7的倍数，不符合要求。 C．91÷7＝13，91是7的倍数，符合要求。 D．100÷7＝14……2，100不是7的倍数，不符合要求。 故答案为：C 【点睛】本题先求出各一张的总钱数，只要是这个钱数的整数倍的数就符合要求。 【变式训练】某公交车早上6：20发出第一辆车，以后每隔15分钟发一辆，下面（    ）时间不是发车时间。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：50 【答案】C 【解析】由“每隔15分钟发一辆”可知，每辆车发车的时间与第一辆车间隔的时间是15的倍数，用每个选项的时间减去第一辆发车的时间，进行判断即可。 【详解】A．6：50－6：20＝30分钟，是15的倍数； B．7：05 －6：20＝45分钟，是15的倍数； C．7：15 －6：20＝55分钟，不是15的倍数； D．7：50－6：20＝90分钟，是15的倍数； 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键是抓住“每隔15分钟发一辆”，明确每辆车发车的时间与第一辆车间隔的时间的特点。 【变式训练】用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？ 【答案】48张 【分析】正方形的边长可以剪出24÷4＝6个长，同理正方形的边长可以剪出24÷3＝8个宽，据此即可求出小长方形有6×8＝48个。据此解答。 【详解】（24÷4）×（24÷3） ＝6×8 ＝48（张） 答：一共能够裁剪成48张。 【点睛】解答此题的关键是求出分别以长边和宽边剪出的小正方形的个数，再相乘即可。 考点六：倍数和因数的综合运用 【典例精讲】一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 【答案】 18 6 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 列举出18的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】18的因数：1、2、3、6、9、18；共有6个。 一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是18，这个数的因数有6个。 【点睛】本题考查因数和倍数的知识，掌握求一个数的因数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数是它本身。 【变式训练】小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是（    ）岁。 A．20 B．35 C．45 D．50 【答案】B 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。据此找到既是70的因数，又是5的倍数的选项即可。 【详解】A．20不是70的因数，排除； B．35是70的因数，也是5的倍数，她今年35岁。 C．45不是70的因数，排除； D．50不是70的因数，排除。 故答案为：B 【点睛】关键是理解因数和倍数的含义，解决选择题的方法多种多样，排除法是常用的一种方法。 【变式训练】猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【变式训练】今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或63元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 考点七：2,3,5的倍数的特征 【典例精讲】376至少减去（    ）后，能同时有因数2、3和5。 A．6 B．16 C．26 D．36 【答案】B 【分析】要使376减去一个数后能同时被2、3、5整除，则该数必须是30的倍数。计算376除以30，求出余数，即用376－余数，即可解答。 【详解】376÷30＝12……16 376－16＝360 360是2的倍数； 3＋6＋0＝9；9能被3整除，是3的倍数； 360是5的倍数。 376至少减去16后，能同时有因数2、3和5。 故答案为：B 【变式训练】一个三位数4□□，既是3的倍数，又含有因数5，还是一个偶数，这个三位数最小是 ，最大是 。 【答案】 420 480 【分析】是2的倍数的数叫作偶数。 2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数：一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数。 5的倍数：个位上是0或5的数。 因为既是5的倍数又是偶数，个位只能是0，然后再根据是3的倍数，通过调整百位是4的情况下十位上的数字，找出最小和最大的三位数。 【详解】由分析知，既是5的倍数又是偶数，个位只能是0，所以这个三位数是4□0。 找最小的三位数，从最小的数字开始试，当十位上的数字是0时，4＋0＋0＝4，4不是3的倍数，所以400不满足条件；当十位上的数字是1时，4＋1＋0＝5，5不是3的倍数，所以410不满足条件；当十位上的数字是2时，4＋2＋0＝6，6是3的倍数，所以420满足条件，因此这个三位数最小是420。 找最大的三位数，从大的数字开始试，当十位上的数字是9时，4＋9＋0＝13，13不是3的倍数，所以490不满足条件；当十位上的数字是8时，4＋8＋0＝12，12是3的倍数，所以480满足条件，因此这个三位数最大是480。 即一个三位数4□□，既是3的倍数，又含有因数5，还是一个偶数，这个三位数最小是420，最大是480。 【变式训练】年龄称谓是古人指代年龄的称呼，如“六十花甲、七十古稀……”。奶奶今年已过“花甲之年”，未及“古稀之年”，她的岁数既是2的倍数又有因数3，奶奶的年龄是( )岁。 【答案】66 【分析】奶奶今年已过“花甲之年”，未及“古稀之年”，说明奶奶的年龄在60岁至70岁之间。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此找到60至70之间既是2的倍数又是3的倍数的数就是奶奶的年龄。 【详解】60至70之间既是2的倍数又是3的倍数的是66，所以奶奶的年龄是66岁。 【变式训练】思思妈妈在超市存包，不小心把密码纸弄丢了，但记得其中的四个数字，还有两个数字忘了（如下图），已知这个六位数密码是2、3、5的倍数，这个六位数密码可能是（    ）。 A．728360 B．728265 C．728160 D．728560 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是0或5的数。3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。由于这个数是2和5的倍数，所以个位数字一定是0，据此可先排除选项B（个位是5）。再依次计算其他三项的各个数位上的数字之和，若是3的倍数，则就是正确的密码。据此作答。 【详解】A．各位数字之和为7＋2＋8＋3＋6＋0＝26，26÷3＝8……2，26不是3的倍数，所以该数不是密码； B．个位数字不是0，不是2的倍数，所以该数不是密码； C．各位数字之和为7＋2＋8＋1＋6＋0＝24，24÷3＝8，24是3的倍数，所以该数是3的倍数，同时个位是0，也是2和5的倍数，所以该数是密码； D．各位数字之和为7＋2＋8＋5＋6＋0＝28，28÷3＝9……1，28不是3的倍数，所以该数不是密码。 故答案为：C 考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】在6，10，15，22，35这些数中，偶数有( )个，同时是2和3的倍数的数是( )。 【答案】 3 6 【分析】自然数，能被2整除的数为偶数；一个数的个位数字是0、2、4、6、8且各个数位上的数字之和是3的倍数，即满足同时是2和3的倍数。 【详解】由分析可知： 1＋0＝1，不是3的倍数。 2＋2＝4，不是3的倍数。 在6，10，15，22，35这些数中，偶数有6，10，22共3个，同时是2和3的倍数的数是6。 【变式训练】下面说法中，错误的是（    ）。 A．方程是等式的一种 B．一个自然数不是奇数就是偶数 C．1既不是质数也不是合数 D．一个分数不是带分数就是真分数 【答案】D 【分析】含有未知数的等式叫做方程； 自然数是表示物体的个数或事物次序的数，即用0，1，2，3，4…所表示的数，而是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数； 质数是指只有1和它本身两个因数的数，合数是指除了1和它本身之外还有别的因数的数； 分数包括真分数和假分数，带分数是假分数的一种形式。 【详解】A．含有未知数的等式叫做方程，方程也是等式，正确； B．在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，所以一个自然数不是奇数就是偶数，正确； C．1只有一个因数1，是它本身，所以1既不是质数也不是合数，正确； D．带分数是假分数的一种形式，所以一个分数不是真分数就是假分数，错误。 故答案为：D 【变式训练】在2、6、11、15、30、42中，偶数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。 【详解】2、6、11、15、30、42中，偶数有2、6、30、42，一共4个。 在2、6、11、15、30、42中，偶数有4个。 故答案为：C 【变式训练】著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想的内容是任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。下面符合这个猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．36＝17＋19 C．60＝3＋57 D．32＝15＋17 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．8＝1＋7中，1不是质数，不符合哥德巴赫猜想； B．36＝17＋19中，36是大于2的偶数，17、19都是质数，符合哥德巴赫猜想； C．60＝3＋57中，57是合数，不是质数，不符合哥德巴赫猜想； D．32＝15＋17中，15是合数，不是质数，不符合哥德巴赫猜想。 故答案为：B 考点九：质数和合数的认识 【典例精讲】1.76的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位，再添上( )个这样的计数单位就是最小的质数。 【答案】 百分之一/0.01/ 176 24 【分析】根据小数的意义，两位小数表示百分之几，其计数单位是百分之一，也就是0.01；求1.76包含多少个计数单位，看1.76里有多少个0.01即可；明确最小的质数是2，2相当于200个0.01，再计算需要添加多少个计数单位即可。 【详解】1.76是两位小数，所以计数单位是百分之一，也就是0.01；1.76里有176个0.01； 最小的质数是2，2＝2.00，2.00表示200个0.01，200－176＝24，因此需要添上24个这样的计数单位。 填空如下： 1.76的计数单位是（百分之一），它有（176）个这样的计数单位，再添上（24）个这样的计数单位就是最小的质数。 【变式训练】把36分解质因数可以写成（    ）。 A．36＝4×9 B．36＝1×2×3×2×3 C．36＝2×3×2×3 【答案】C 【分析】分解质因数是将合数表示为几个质数相乘的形式，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，需逐一分析选项是否符合这一要求。 【详解】A.4和9均不是质数，，，所以此项错误； B.1既不是质数也不是合数，所以此项错误； C.2和3均为质数，并且，所以符合题意正确。 故答案为：C 【变式训练】丽丽的QQ密码从左往右的数字（均为非0自然数）依次是①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。丽丽的QQ密码是( )。 【答案】9127456 【分析】质数：在大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫质数； 合数：在大于1的自然数中，除了1和它本身还有其它因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数。 偶数：整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数叫作奇数。在自然数中，0是最小的偶数，1是最小的奇数。 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。据此分析出每个数，解决本题即可。 【详解】①既是奇数又是合数的数，这个数是9； ②既不是质数，也不是合数，这个数是1； ③既是质数，又是偶数，这个数是2； ④10以内最大的质数，这个数是7； ⑤最小的合数，这个数是4； ⑥最小奇数的5倍，1×5＝5，这个数是5； ⑦有因数3的偶数，这个数是6。 所以，丽丽的QQ密码是9127456。 【变式训练】数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下面是孪生质数的是（    ）。 A．1和3 B．19和21 C．27和29 D．41和43 【答案】D 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此逐项判断两数是否质数，且相差2即可。 【详解】A．1不是质数，不符合题意。 B．21不是质数，不符合题意。 C．27不是质数，不符合题意。 D．41和43都是质数，且相差2，符合题意。 故答案为：D 考点十：质数与合数的综合应用 【典例精讲】在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝___”这道题时，乐乐是这样想的：因为( )＋( )＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数( )。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是( )。 【答案】 偶数 奇数 2 7 【分析】根据和的奇偶性，偶数＋奇数＝奇数，则3a和7b中一定有一个数是偶数，分别假设3a是偶数或者7b是偶数，再结合3a＋7b＝41进行计算解答即可。 【详解】由分析可知，3a和7b中一定有一个数是偶数，a、b均为质数，a和b中一定有一个是质数2， 假设3a是偶数，且a是质数，那么a＝2，把a＝2代入3a＋7b＝41， 3×2＋7b＝41 6＋7b＝41 6＋7b－6＝41－6 7b＝35 7b÷7＝35÷7 b＝5 则a＋b＝7。 假设7b是偶数，且b是质数，则b＝2，把b＝2代入3a＋7b＝41， 3a＋7×2＝41 3a＋14＝41 3a＋14－14＝41－14 3a＝27 3a÷3＝27÷3 a＝9 9是合数，不符合题意； 所以a＝2，b＝5，a＋b＝7。 因为偶数＋奇数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数2。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是7。 【变式训练】任意两个不同的非零自然数的积是（    ）。 A．质数 B．合数 C．质数或合数 【答案】C 【分析】除了1和它本身没有其他因数的数为质数；除了1和它本身外，还有其他因数的数为合数；如果两个数一个数是质数，另一个数为1的话，这两个数的积仍为质数；如果一个数是质数，另一个数为1和0以外的数，它们的积是合数，合数除了与0之外的任何自然数的积都是合数，所以任意两个不同的非零自然数的积是质数或合数，据此解答。 【详解】根据分析可知，任意两个不同的非自然数的积是质数或合数。 故答案为：C 【变式训练】贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是 。 【答案】84254451 【分析】 第三位数字是最小的质数，则是2；六位数字是最小的合数，是4，第一位数字是第六位数字的2倍，第一位就8；第八位数字是8个数字的公因数，是1。设这个数的第二位和第五位是a，第四位和第七位是b，则这个8位数是，观察后设，根据运算的算理则＝8020＋x，，再根据前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477列出方程求出a和b的值。 【详解】设 则a是4，b是5 贝贝家的电话是84254451。 【点睛】要熟练掌握加减乘除的运算的算理。 【变式训练】黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 【答案】 百灵鸟社团 航模社团 器乐社团 益智社团 【分析】人数是合数的数是可以分成排成方队展示的，而人数是质数的数是不可以排成方队的。只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数）；除了1和它本身，还有其他因数的数叫作合数。 【详解】39的因数：1、3、13、39，故39是合数，百灵鸟社团能排成3排，每排13个人的方队； 91的因数：1、7、13、91，故91是合数，航模社团能排成7排，每排13个人的方队； 41的因数：1、41，故41是质数，器乐社团不能排成方队； 23的因数：1、23，故23是质数，益智社团不能排成方队。 考点十一：质因数的含义 【典例精讲】36的因数有( )，其中是质数的有( )，这几个质数叫作36的( )。 【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36 2、3 质因数 【分析】因数是指整数a除以整数b（b≠0） 的商正好是整数而没有余数，称b是a的因数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质因数是指能整除给定正整数的质数。 先找出36的所有因数，再从这些因数中找出质数，这些质数就是36的质因数。 【详解】因为36÷1＝36、36÷2＝18、36÷3＝12、36÷4＝9、36÷6＝6，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。在这些因数中，1既不是质数也不是合数，4、6、9、12、18、36是合数，2、3是质数。2、3叫作36的质因数。 即36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，其中是质数的有2、3，这几个质数叫作36的质因数。 【变式训练】用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数，这个三位数是（    ）的可能性最大。 A．质数 B．质因数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 奇数：不能被2整除的数。 偶数：能被2整除的数。 根据对质数、合数、奇数、偶数的理解，以及通过列举法分析可能性大小。 【详解】由分析可得：用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数有245、254、425、452、524、542，这其中没有质数，奇数有2个，偶数有4个。 4＞2 这个三位数是偶数的可能性最大。 故答案为：D 【变式训练】（1），5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2），3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 【答案】（1），所以5和7都是35的因数，因为5与7都是质数，所以都是35的质因数。 （2），所以3和9都是27的因数，又因为，说明9是合数，所以9不是27的质因数。 【分析】因数：因数是指整数a除以整数b（）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，而这个因数一定是一个质数。据此解答。 【详解】（1），所以5和7都是35的因数，因为5与7都是质数，所以都是35的质因数。 （2），所以3和9都是27的因数，又因为，说明9是合数，所以9不是27的质因数。 【变式训练】下列说法（    ）是正确的。 A．42分解质因数是42＝2×21 B．，。数B一定是A的质因数 C．等式的两边各加上一个数，所得到的结果仍然是等式 D．当时，和相等 【答案】D 【分析】根据学过的相关知识逐项分析。 【详解】A．把一个合数分解成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，42＝2×21中，21不是质数，此选项错误； B．数B不一定是质数，则数B一定是A的因数，不一定是A的质因数，此选项错误； C．根据等式的性质，等式的两边各加上一个相同的数，等式仍然成立，此选项错误； D．＝，则当时，和相等，此选项正确。 故答案为：D 【点睛】本题考查了分解质因数、质因数的认识、等式的性质等，要牢固掌握相关知识并熟练运用。 考点十二：分解质因数 【典例精讲】在数1，5，19，21，28，35，47，51中，最大质数是( )，最小合数是( )，最小合数分解质因数是( )。 【答案】 47 21 21＝3×7 【分析】根据质数、合数以及质因数的概念，然后根据这些概念对给定的数进行逐一分析，找出最大质数和最小合数，并对最小合数进行质因数分解。 在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数是质数。 自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数是合数。 分解质因数是将一个合数表示为若干个质数相乘的形式（这些质数称为该合数的质因数）。 【详解】1既不是质数也不是合数； 5＝1×5，5的因数只有1和5，所以5是质数； 19＝1×19，19的因数只有1和19，所以19是质数； 21＝1×21＝3×7，21的因数有1、3、7、21，所以21是合数； 28＝1×28＝2×14＝4×7，28的因数有1、2、4、7、14、28，所以28是合数； 35＝1×35＝5×7，35的因数有1、5、7、35，所以35是合数； 47＝1×47，47的因数只有1和47，所以47是质数； 51＝1×51＝3×17，51的因数有1、3、17、51，所以51是合数。 在数1，5，19，21，28，35，47，51中，质数有5、19、47，因为5＜19＜47，所以最大质数是47，合数有21、28、35、51，因为21＜28＜35＜51，所以最小合数是21，将21分解质因数：21＝3×7。 填空如下： 在数1，5，19，21，28，35，47，51中，最大质数是（47），最小合数是（21），最小合数分解质因数是（21＝3×7）。 【变式训练】小华和小明都去参加篮球训练。小华每4天去一次，小明每6天去一次。7月21日两人都去参加了篮球训练，下一次一起参加篮球训练的日期是( )月( )日。 【答案】 8 2 【分析】小华每4天去一次，小明每6天去一次，4和6的最小公倍数就是他们一起参加篮球训练间隔的天数；先计算出4和6的最小公倍数，再用7月21日向后推算这个天数即可。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 即他们每12天会一起参加篮球训练。 7月21日＋12天＝8月2日 因此，他们下一次一起参加篮球训练的日期是8月2日。 【变式训练】先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 【答案】 见详解 【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后找出合数，再把合数分解成几个质数相乘的形式，这就是分解质因数。 【详解】49除了能被1和49整除外，还能被7整除，所以49是合数。 73只能被1和73整除，所以73是质数。 91除了能被1和91整除外，还能被7和13整除，所以91是合数。 89只能被1和89整除，所以89是质数。 60除了能被1和60整除外，还能被2、3、4、5、6等数整除，所以60是合数。 综上，合数有49、91、60。 49＝7×7 91＝7×13 60＝2×2×3×5 【变式训练】找出下面的合数，并把它们分解质因数。 13   23    24    43 53     63    19   57 37 【答案】合数：24，63，57 ；； 【解析】直接根据100以内的质数表进行筛选，找出质数，剩下的即为合数，分解质因数需要把合数写成质数相乘的形式，必须分解彻底。 【详解】合数：24，63，57； 【点睛】对于100以内的25个质数要非常熟悉，能够快速分辨出到底是质数还是合数。 考点十三：公因数与最大公因数 【典例精讲】1是所有非零自然数的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．质因数 【答案】A 【分析】需明确各概念的定义，结合“1与非零自然数的关系”判断。公因数：能同时整除多个数的数；公倍数：多个数公有的倍数；倍数：一个数是另一个数的几倍；质因数：既是质数又是某个数的因数。 【详解】A．1能整除所有非零自然数，因此1是所有非零自然数的公因数，符合定义。 B．1是最小的数，不是其他非零自然数的倍数，因此不是公倍数。 C．1不是其他非零自然数的倍数（如2的倍数是2、4等），因此不是倍数。 D．1不是质数，因此不能作为质因数。 故答案为：A 【变式训练】端午节红星社区给辖区内的清洁工人发放小礼包，社区准备了96个粽子、120个鸭蛋，打包成若干份（无剩余），每份粽子个数相同，鸭蛋的个数也相同。红星社区最多能发给 位清洁工人。 【答案】24 【分析】要将96个粽子和120个鸭蛋打包成若干份且无剩余，每份粽子个数相同、鸭蛋个数也相同，求最多能发给多少位清洁工人，就是求96和120的最大公因数。将96和120分解质因数，公有质因数的积就是这两个数的最大公因数。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 120＝2×2×2×3×5 两个数的最大公因数2×2×2×3＝24。 红星社区最多能发给24位清洁工人。 【变式训练】用48朵玫瑰和36朵铃兰扎成花束，要求每束花里玫瑰的朵数相同，铃兰的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰和铃兰各有多少朵？ 【答案】12束；玫瑰4朵；铃兰3朵 【分析】有48朵玫瑰和36朵铃兰，要扎成花束，每束花中玫瑰和铃兰的朵数分别相同，且花无剩余。“最多可以扎多少束花”实际是求48和36的最大公因数（因为每束花中两种花的朵数固定，束数越多，每束的朵数越少，最大束数即两数的最大公因数）。先利用分解质因数法求出48和36的最大公因数，即最多可扎的花束数；再用玫瑰和铃兰的总朵数分别除以花束数，得到每束中两种花的朵数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（束） 每束玫瑰的朵数：48÷12＝4（朵） 每束铃兰的朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多可以扎12束花，每束花中玫瑰有4朵，铃兰有3朵。 【变式训练】《水浒传》是我国古典四大名著之一，书中梁山泊共有108位好汉，分为36位天罡星和72位地煞星。数字36和72的公因数共有( )个，108的最小倍数是( )。 【答案】 9 108 【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先求出36和72的因数，再确定它们的公因数，数一数即可；一个数的最小倍数是它本身，据此分析。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 36和72的公因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 数字36和72的公因数共有（9）个，108的最小倍数是（108）。 考点十四：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】端午节，邗上街道将39盒绿豆糕和52颗粽子平均分给了百祥园小区今年所有的中、高考考生，祝福他们“高中状元”。百祥园小区今年最多有( )名毕业生，每人分得( )盒糕，( )颗粽子。 【答案】 13 3 4 【分析】要将39盒绿豆糕和52颗粽子平均分给所有中、高考考生，那么考生人数是39和52的公因数，要求最多有多少名毕业生，就是求39和52的最大公因数，两个数公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；然后分别用绿豆糕和粽子数量除以人数即可得每人分得的绿豆糕数量和粽子数量。 【详解】39＝3×13 52＝4×13 39和52的最大公因数是13 39÷13＝3（盒） 52÷13＝4（颗） 所以百祥园小区今年最多有13名毕业生，每人分得3盒糕，4颗粽子。 【变式训练】花店里有郁金香36枝，百合花30枝。小美准备将这些花扎成同样的花束，使得每束花里的郁金香枝数相同，百合花的枝数也相同，并且没有剩余。请问，最多可以扎成多少束？每束花中共有多少枝？ 【答案】6束；11枝 【分析】根据题意，找出36和30的最大公因数，即最多的花束数量；两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；分别用36和30除以花束数量即可求出玫瑰花和康乃馨在每束花中的数量，相加即可。 【详解】36＝2×2×3×3 30＝2×3×5 36和30的最大公倍数是2×3＝6；最多可以扎成6束。 36÷6＋30÷6 ＝6＋5 ＝11（枝） 答：最多可以扎成6束，每束花中共有11枝。 【变式训练】学校艺术团为庆祝中华人民共和国成立76周年编排节目，需要用彩带制作花篮。如果把下边两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？ 【答案】12厘米；5根 【分析】先求出36和24的最大公因数，从而确定每根短彩带的最长长度，再分别计算两根彩带能剪成的短彩带数量，最后求和。 求36和24的最大公因数：可以用分解质因数的方法，36＝2×2×3×3，24＝2×2×2×3。两个数公有的质因数相乘就是它们的最大公因数（即每根短彩带最长的厘米），进而以此可以求出能剪成短彩带的根数。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12，所以每根短彩带最长是12厘米。 36÷12＋24÷12 ＝3＋2 ＝5（根） 答：每根短彩带最长是12厘米；一共可以剪成这样的短彩带5根。 【变式训练】为了迎接“六一”，同学们做了24朵红花和36朵黄花。用这些花扎成相同的花束，要求每束里的红花朵数一样，黄花朵数也一样。最多可以扎成多少束花？每束里的红花和黄花分别有多少朵？ 【答案】红花2朵；黄花3朵 【分析】要使每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，则扎成的花束的数量是24和36的公因数，最多扎的束数就是24和36的最大公因数。用质因数分解法可以求两个数的最大公因数，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。 分别用24和36除以求得的最大公因数，即最多扎的束数，再用红花和黄花的朵数分别除以扎的束数即可求出每束花中红花和黄花各有多少朵。 【详解】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以24和36的最大公因数是：2×2×3＝12； 24÷12＝2（朵） 36÷12＝3（朵） 答：最多可以扎成12束花，每束里的红花有2朵，黄花有3朵。 考点十五：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】甲、乙两人都参加了少年宫活动，甲每2天去训练一次，乙每5天去训练一次。若12月28日这天他们两人在少年宫碰面，则他们下一次在少年宫碰面是（    ）。 A．1月3日 B．1月5日 C．1月6日 D．1月7日 【答案】D 【分析】甲每2天去一次，乙每5天去一次，两人要再次相遇，经过的天数必须是2和5的公倍数，求“下一次”相遇，就是求它们的最小公倍数。因为2和5是互质数（只有公因数1），所以最小公倍数 ＝2×5＝10，即两人再过10天会再次相遇。12月是大月，有31天。从12月28日到12月31日，经过的天数：31－28＝3天。总共需要等10天，已经过了3天，还需要等：10－3＝7 天。因此，相遇日期就是次年的1月7日。 【详解】求2和5的最小公倍数：2×5＝10（天），即再过10天相遇。 12月有31天，31－28＝3（天） 剩余天数：10－3＝7（天），即次年1月7日。 所以他们下一次在少年宫碰面是1月7日。 故答案为：D 【变式训练】暑假期间，小芳和小芸定期去乒乓馆参加乒乓球训练。小芳从7月1日起，每三天训练一次；小芸从7月1日起，每五天训练一次。在下表中接着排一排，得出她们第二次共同训练的日期是（    ）月（    ）日。 小芳 1日 小芸 1日 【答案】填表见详解；7；16 【分析】小芳从7月1日起，每三天训练一次；小芸从7月1日起，每五天训练一次，因此小芳的训练日期从1日起依次加3，小芸的训练日期从1日起依次加5，排一排直到第二次出现两人共同训练的日期即可。 【详解】根据分析，填表如下： 小芳 1日 4日 7日 10日 13日 16日 小芸 1日 6日 11日 16日 由表可知，她们第二次共同训练的日期是7月16日。 【变式训练】暑假期间，欢欢每隔3天去一次游泳馆，乐乐每隔4天去一次游泳馆。7月22日两人在游泳馆相遇，他们( )月( )日再次在游泳馆相遇。 【答案】 8 3 【分析】欢欢每隔3天去一次游泳馆，乐乐每隔4天去一次游泳馆，需求3和4的最小公倍数，就是他们再过多少天再相遇，由此推断即可。 【详解】3和4的最小公倍数为12。 22＋12－31＝3 所以他们8月3日再次在游泳馆相遇。 【变式训练】如果甲×2025＝乙，（甲、乙都是非零自然数），那么甲和乙的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 甲 乙 【分析】根据题意，已知甲×2025＝乙（甲、乙都是非零自然数），说明乙是甲的2025倍，即甲和乙是倍数关系。根据倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的性质来求解。据此解答。 【详解】因为甲×2025＝乙，所以乙是甲的2025倍，甲和乙是倍数关系。根据“当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数”。因为甲＜乙，所以甲和乙的最大公因数是甲，最小公倍数是乙。 那么甲和乙的最大公因数是甲，最小公倍数是乙。 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】五年（二）班的学生参加跳绳比赛，每6人一组或每8人一组，都没有剩余，且该班学生在40～50人之间，五年（二）班有学生多少人？ 【答案】48人 【分析】由题意可知，该班的学生人数同时是6和8的倍数，先求出6和8的最小公倍数，再找出符合条件的最小公倍数的倍数，据此解答。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数：2×3×2×2＝24 24×1＝24，不符合题意； 24×2＝48，符合题意； 24×3＝72，不符合题意。 答：五年（二）班有学生48人。 【变式训练】五年级学生参加活动，分为8人一组或9人一组，都多出1人。五年级至少有多少人？ 【答案】73人 【分析】由题意可知，五年级学生的人数减1，就是8和9的公倍数，求至少有多少人，即可先求8和9的最小公倍数再加1即可得解，因为8和9是相邻的数，相邻的数互为质数，它们的最小公倍数就是它们的积，据此解答。 【详解】 （人） 答：五年级至少有73人。 【变式训练】五年级同学参加六一节表演活动，每6人或8人站成一行，都正好。参加表演的总人数在100人以内，五年级最多有多少人参加表演活动？ 【答案】96人 【分析】由题意可知，总人数就是6和8在100以内的最大公倍数，可先用短除法求出6和8的最小公倍数，再找出这个最小公倍数100以内的倍数，最大是几，据此解答。 【详解】 6和8的最小公倍数是 24×2＝48 24×3＝72 24×4＝96 24×5＝120 24在100以内最大的倍数是96。 答：五年级最多有96人参加表演活动。 【变式训练】学校五年级有二百多人参加六一合唱表演，无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余。五年级一共有多少人参加团体操表演？ 【答案】240人 【分析】无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余，就是求出20和24的最小公倍数，然后找出最小公倍数在200到300之间的倍数，就是五年级的人数。 【详解】 2×2×5×6＝120 120×2＝240（人） 答：五年级一共有240人参加团体操表演。 综合训练 1．用2和5两张数字卡片摆成两位数，这些两位数都是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】自然数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。像2、3、5...这样只有1和它本身两个因数的数，叫做质数（素数）；像4、6、8.…这样除了1和它本身，还有其他因数的数，叫作合数。1只有一个因数，既不是质数也不是合数。用这两张卡片组成数字，再判断即可。 【详解】2和5组成的两位数是25和52。，25既是奇数又是合数，，52既是偶数又是合数。所以，这两张数字卡片摆出来的两位数一定是合数。 故答案为：D 2．如果a和b是两个连续的非零自然数，那么它们的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 ①a    ②b   ③1    ④ab A．①；② B．③；② C．③；④ D．①；④ 【答案】C 【分析】两个连续非零自然数的最大公因数是1；两个连续非零自然数的最小公倍数是它们的乘积，即。 【详解】根据前面得出的两个连续非零自然数的最大公因数是1，最小公倍数是，对每个选项进行判断。 A.最大公因数是a，最小公倍数是b。因为两个连续非零自然数的最大公因数是1而不是a，所以该选项错误； B.最大公因数是1，最小公倍数是b。因为两个连续非零自然数的最小公倍数是ab而不是b，所以该选项错误； C.最大公因数是1，最小公倍数是ab。与前面得出的结论一致，所以该选项正确； D.最大公因数是a，最小公倍数是ab。两个连续非零自然数的最大公因数是1而不是a，所以该选项错误。 故答案为：C 3．体育课上，48名同学面向老师站成一排，按1—48号编号。按如下步骤操作：编号是2的倍数的同学向后转，编号是3的倍数的同学向后转。经过两次操作后，面向老师的还有（    ）人。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】根据题目，第一次操作：编号是2的倍数的同学向后转。第二次操作：编号是3的倍数的同学向后转。如果一个同学既是2的倍数又是3的倍数，也就是6的倍数，他会被操作两次：第一次和第二次都转，所以转两次，相当于没转，仍然面向老师。因此，没有被操作：方向不变，面向老师。操作一次：方向改变，背对老师。操作两次：方向改变两次，相当于没变，面向老师。 【详解】48÷2＝24（人），第一次有24名同学向后转，此时背向老师的有24人，面向老师的有48−24＝24（人）； 48÷3＝16（人），有16名同学编号是3的倍数。 其中既是2的倍数又是3的倍数，在第一次操作时已经转过一次，第二次操作又会转回来。48÷6＝8（人），有8名同学既是2的倍数又是3的倍数。 16−8＝8（人） 对于这8人，他们在第一次操作后面向老师，第二次操作后背向老师；而那8名既是2的倍数又是3的倍数的同学，转了两次后又面向老师了。 所以现在背向老师的同学有24−8＋8＝24人。 48−24＝24（人） 面向老师的还有24人。 故答案为：C 4．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等，则总人数一定能被每排的人数整除，即每排的人数是105的因数，再根据“不能少于10人，也不能多于30人”，选择合适的情况即可。 【详解】105的因数有：1、3、5、7、15、21、35、105；符合题意的有：15人、21人。 所以105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有2种。 故答案为：B 5．小亮在一条板凳上做摆卡片游戏，他分别用三种摆法（如下图）都正好从板凳的一端摆到另一端而无剩余。每张卡片长12厘米，宽8厘米，这条板凳最短长（    ）厘米。 A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【分析】摆法一：说明板凳的长是8的倍数；摆法二：说明板凳的长是12的倍数；摆法三：说明板凳的长是的倍数。由题意可知，要求8、12、的最小公倍数，可用短除法计算。 【详解】（厘米） （厘米） 小亮在一条板凳上做摆卡片游戏，他分别用三种摆法（如下图）都正好从板凳的一端摆到另一端而无剩余。每张卡片长12厘米，宽8厘米，这条板凳最短长120厘米。 故答案为：A 6．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”，小华一家一共包了24个豆沙粽和18个蜜枣粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒个数相等，每盒最多放（    ）个。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】24个豆沙粽和18个蜜枣粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒个数相等，求每盒最多放多少个，就是求24和18的最大公因数，把24和18分解质因数后，把公有的相同质因数相乘得到的积就是24和18的最大公因数，据此解答。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是：2×3＝6，即要使每盒个数相等，每盒最多放6个。 故答案为：B 7．一个数的最小倍数是36，把它分解质因数是( )。 【答案】36＝2×2×3×3 【分析】根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，求出这个数，再根据分解质因数是指将一个合数拆成若干个质数相乘的形式，质数是只有1和自身两个因数的数，如2、3、5等，36是偶数，先除以最小的质数2：36÷2＝18；18仍是偶数，继续除以2：18÷2＝9；9不是偶数，除以质数3：9÷3＝3；3是质数，将所有除数和最后的商相乘即可。 【详解】一个数的最小倍数是36，可知这个数就是36 36÷2＝18 18÷2＝9 9÷3＝3 36＝2×2×3×3 一个数的最小倍数是36，把它分解质因数是36＝2×2×3×3。 8．分解质因数，36＝( )，24＝( )。24和36的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 2×2×3×3 2×2×2×3 12 72 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 24和36的最大公因数：2×2×3＝12 24和36的最小公倍数：2×2×2×3×3＝72 填空如下： 分解质因数，36＝（2×2×3×3），24＝（2×2×2×3）。24和36的最大公因数是（12），最小公倍数是（72）。 9．在0、3、5、6、9中选出3个数字，组成三位数。既是3的倍数，又是5的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【答案】 6 360 【分析】既是3的倍数，又是5的倍数的特征是末尾是5或者0，且各个数位加起来的和是3的倍数； 给出的5个数字当中有0和5，则分情况讨论即可。 【详解】个位为0的情况：剩余两位从3、5、6、9中选，且数字之和为3的倍数。 3和6：和为9，组成360、630 3和9：和为12，组成390、930 6和9：和为15，组成690、960 共6个数：360、630、390、930、690、960。 个位为5的情况： 剩余两位从0、3、6、9中选，且数字之和加5为3的倍数。 所有组合（如305、365等）的和均不满足3的倍数，故无符合条件的数。 则既是3的倍数，又是5的倍数有6个，其中最小的是360。 10．一个行李箱的密码是一个六位数：5138☆☆，第五位☆既是偶数又是质数，第六位☆既是奇数又是合数。这个行李箱的密码是( )。 【答案】 513829 【分析】只有1和它本身两个因数叫作质数；因数除了1和它本身，还有其他因数叫作合数。 能被2整除的数叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数。 【详解】2既是偶数也是质数； 9既是奇数也是合数。 则这个行李箱的密码是513829。 11．小军家防盗门的密码是ABCDEF六位数，其中A是最小的奇数，B是最大的一位数，C是8的最大因数，D是最小的合数，E是5的最小倍数，F是最小的质数。小军家的密码是( )。 【答案】198452 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】小军家防盗门的密码是ABCDEF六位数，其中： A是最小的奇数，即1； B是最大的一位数，即9； C是8的最大因数，即8； D是最小的合数，即4； E是5的最小倍数，即5； F是最小的质数，即2； 小军家的密码是198452。 12．暑假期间，小伟和小海都去参加乒乓球训练，小伟每2天去一次，小海每3天去一次。7月5日两人同时参加训练，他们下一次相遇是( )月( )日。 【答案】 7 11 【分析】因为2和3互质（公因数只有1），最小公倍数是它们的乘积，可得2和3的最小公倍数为2×3＝6，即每6天两人相遇一次；已知7月5日两人同时参加训练，再过6天相遇，5＋6＝11，所以他们下一次相遇是7月11日。 【详解】2×3＝6 7月5日＋6天＝7月11日 所以他们下一次相遇是7月11日。 13．找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 【答案】7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78； 16和25的最大公因数是1，最小公倍数是400 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）7和28是倍数关系，所以7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； （2）26＝2×13，39＝3×13 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是2×3×13＝78； （3）16和25是互质数，所以16和25的最大公因数是1，最小公倍数是16×25＝400。 14．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 【答案】最大公因数1；最小公倍数33；最大公因数5；最小公倍数50；最大公因数17；最小公倍数51 【分析】（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积； （2）把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数； （3）如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 【详解】（1）3和11 3×11＝33 3和11是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是33。 （2）10和25 5×2×5＝50 10和25的最大公因数是5，最小公倍数是50。 （3）17和51 51÷17＝3 51是17的倍数，17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 15．在某次活动中，灯光师准备在舞台四周等距离地安装一些彩灯。如果舞台长12米，宽8米，那么至少要装几盏彩灯？ 【答案】 10盏 【分析】要在舞台四周等距离装彩灯且数量最少，需先确定最大的等距间隔，即长和宽的最大公因数，再计算长方形舞台周长＝（长＋宽）×2，最后用周长除以间隔得到彩灯数。 【详解】求长和宽的最大公因数：12和8的最大公因数是4，即最大等距间隔为4米。 计算舞台周长：舞台是长方形，周长为 （米） 计算彩灯数量：用周长除以间隔：（盏）。 答：至少要装10​盏彩灯。 16．植树节时，学校分给六年级的同学一批树苗。如果平均分给8名同学去种，还剩2棵；如果平均分给10名同学去种，也剩2棵。这批树苗至少有多少棵？ 【答案】42棵 【分析】根据题意，如果平均分给8名同学去种，还剩2棵；如果平均分给10名同学去种，也剩2棵；说明树苗的最少棵数比8和10的最小公倍数多2。据此计算出8和10的最小公倍数，再加2即可。 【详解】， 8与10的最小公倍数： （棵） 答：这批树苗至少有42棵。 17．快放假了，王奶奶给乐乐寄过来一盒巧克力糖果，乐乐想和同班同学分享这些巧克力，巧克力无论是6个6个地数，还是8个8个地数，最后都多出3个，请你推测一下乐乐的这盒巧克力糖果至少多少颗？ 【答案】 27颗 【分析】无论是6个6个地数，还是8个8个地数，最后都多出3个，说明巧克力数减去3的数量是6和8的最小公倍数，即可求解。 【详解】 则6和8的最小公倍数为： 24＋3＝27（颗） 答：乐乐的这盒巧克力糖果至少27颗。 18．把75厘米、60厘米的两根彩带分别剪成长度一样的短彩带，每根短彩带长为整厘米，且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成多少根这样的短彩带？ 【答案】15厘米；9根 【分析】分解75的质因数：75＝3×5×5。分解60的质因数：60＝2×2×3×5。75和60公有的质因数是3和5。最大公因数就是公有的质因数相乘，即3×5＝15。即每根短彩带最长是15厘米。 对于75厘米的彩带：总长度是75厘米，每段短彩带长15厘米，那么能剪成的段数就是75÷15＝5（根）。 对于60厘米的彩带：总长度60厘米，每段15厘米，能剪成的段数是60÷15＝4（根）。 那么一共剪成的短彩带数量把两根彩带剪成的段数相加即可。 【详解】75＝3×5×5 60＝2×2×3×5 3×5＝15（厘米） 75÷15＝5（根） 60÷15＝4（根） 5＋4＝9（根） 答：每根短彩带最长是15厘米，可以剪成9根这样的短彩带。 19．一个游泳池长35米，宽14米。在泳池的每条边上隔相等的距离放置防滑垫（每个角上都要放），已知每个防滑垫之间的距离是整米数且为质数，泳池边一共放置了多少个防滑垫？（防滑垫的长度忽略不计） 【答案】14个 【分析】如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”，分别求出35和14的因数，确定35和14的公因数，再找出是质数的公因数，就是防滑垫的距离。根据封闭图形里植树，棵数＝段数，用泳池的周长÷防滑垫的距离＝防滑垫的个数。 【详解】35＝1×35＝5×7 35的因数有：1、5、7、35。 14＝1×14＝2×7 14的因数有：1、2、7、14。 35和14的公因数有：1、7 其中质数为：7 （35＋14）×2÷7 ＝49×2÷7 ＝14（个） 答：泳池边一共放置了14个防滑垫。 20．母亲节，花店购进一批鲜花，其中康乃馨90朵，百合花54朵。扎成花束时要使每束花中的康乃馨都一样多，每束花中的百合花也一样多。 （1）将这些花最多扎成多少束可以将这些花正好用完？ （2）这样每束花中有几枝康乃馨？有几枝百合花？ 【答案】 （1）18束；（2）康乃馨5枝；百合花3枝 【分析】（1）由题意可知，就是要求90和54的最大公因数，可用短除法计算。 （2）分别用90和54除以90和54的最大公因数，即可得解。 【详解】（1） 90和54的最大公因数是：（束） 答：将这些花最多扎成18束可以将这些花正好用完。 （2）（枝） （枝） 答：这样每束花中有5枝康乃馨，有3枝百合花。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数与倍数 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、核心概念 2 二、重要性质：2、5、3的倍数特征 2 三、方法技巧 2 四、易错点辨析 4 考点讲练 4 考点一：因数和倍数的认识 4 考点二：找一个数的因数及因数的特征 4 考点三：根据因数的特征解决问题 5 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 6 考点五：根据倍数的特征解决问题 6 考点六：倍数和因数的综合运用 7 考点七：2,3,5的倍数的特征 8 考点八：奇数与偶数的认识 8 考点九：质数和合数的认识 9 考点十：质数与合数的综合应用 9 考点十一：质因数的含义 10 考点十二：分解质因数 10 考点十三：公因数与最大公因数 11 考点十四：用最大公因数解决实际问题 12 考点十五：公倍数与最小公倍数 13 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 13 综合训练 14 知识梳理 一、核心概念 1.因数与倍数的意义 在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如：12÷3=4，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。 注意：研究因数和倍数时，所指的数是不包括0的自然数。 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 2.奇数与偶数 是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），例如：0、2、4、6、8… 不是2的倍数的数叫作奇数，例如：1、3、5、7、9… 3.质数与合数 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数），例如：2、3、5、7… 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，例如：4、6、8、9… 1既不是质数也不是合数。 100以内的质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（共25个）。 二、重要性质：2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，例如：10、12、14… 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数，例如：10、15、20… 3.3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12（1+2=3，3是3的倍数）、105（1+0+5=6，6是3的倍数）。 既是2的倍数又是5的倍数的数：个位上必须是0，例如：10、20、30… 三、方法技巧 1.分解质因数 定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 方法： ① 塔式分解法：例如分解12，先写成12=2×6，再分解6=2×3，所以12=2×2×3。 ② 短除法：用质数作除数，除到商是质数为止，把除数和商连乘。例如分解18： 2 | 18 ---- 3 | 9 ---- 3 所以18=2×3×3。 2.公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。 最大公因数：公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 求法： ① 列举法：例如求12和18的最大公因数，12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18，公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 ② 短除法：用公有的质因数作除数，除到商只有公因数1为止，把所有除数相乘。例如求12和18的最大公因数： 2 | 12 18 ------- 3 | 6 9 ------- 2 3 最大公因数是2×3=6。 特殊情况：如果两个数是互质数（公因数只有1的两个数），它们的最大公因数是1，例如5和7；如果一个数是另一个数的倍数，它们的最大公因数是较小数，例如12和24的最大公因数是12。 3.公倍数与最小公倍数 公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。 最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 求法： ① 列举法：例如求4和6的最小公倍数，4的倍数有4、8、12、16…；6的倍数有6、12、18…，公倍数有12、24…，最小公倍数是12。 ② 短除法：用公有的质因数和各自独有的质因数相乘。例如求4和6的最小公倍数： 2 | 4 6 ------- 2 3 最小公倍数是2×2×3=12。 特殊情况：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积，例如5和7的最小公倍数是35；如果一个数是另一个数的倍数，它们的最小公倍数是较大数，例如12和24的最小公倍数是24。 四、易错点辨析 1.混淆“因数”和“倍数”的概念：因数和倍数是相互依存的，不能单独说“12是倍数”“3是因数”，应说“12是3的倍数”“3是12的因数”。 2.忽略“1既不是质数也不是合数”：判断质数、合数时，易误将1归为质数或合数，需牢记1的特殊性。 3.分解质因数时出现合数：例如将12分解为12=3×4，其中4是合数，正确应为12=2×2×3。 4.求最大公因数和最小公倍数时混淆方法：短除法求最大公因数是乘除数，求最小公倍数是乘除数和商，需注意区分。 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】研究因数与倍数时，所说的数一般指不是（    ）的自然数。 A．0 B．1 C．2 D．4 【变式训练】因为3×5＝15，所以3是因数，15是倍数。( ) 【变式训练】30÷5＝6，( )是5和6的倍数，( )和( )是30的因数。 【变式训练】4×7＝28，( )和( )都是28的因数，28是( )和( )的倍数。 考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】所有的非零自然数都有因数1。( ) 【变式训练】24的因数有( )，其中质数有( )，( )既不是质数也不是合数。 【变式训练】6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系用加法算式表示是1＋2＋3＝6。古希腊的毕达哥拉斯把像6这样的数叫做完美数，下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．10 C．20 D．28 【变式训练】你能分别说出下面各数的因数吗？ 10    12    15    23    24    30    49 考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 【变式训练】儋州调声是儋州市民间音乐国家级非物质文化遗产之一。学校合唱团的36人准备排练一个关于儋州调声的节目，如果将这36人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人，有几种分法？（写出具体的分法） 【变式训练】105个同学参加团体操表演。如果要求每排人数相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？ 【变式训练】五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】7的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【变式训练】一个两位数既是2的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )。一个数既是36的因数，又是18的倍数，这个数最小是( )。 【变式训练】以下（    ）图可以表示4的倍数和8的倍数之间的关系。 A． B． C． 【变式训练】五（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，而且比40多、比50少。五（1）班可能有( )人。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】李明过春节时获得了相同张数5元和1元的压岁钱若干张，那么李明可能有（    ）。 A．48元 B．38元 C．28元 D．8元 【变式训练】小明有若干张2元和5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么小明可能有（    ）元钱。 A．20 B．50 C．91 D．100 【变式训练】某公交车早上6：20发出第一辆车，以后每隔15分钟发一辆，下面（    ）时间不是发车时间。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：50 【变式训练】用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？ 考点六：倍数和因数的综合运用 【典例精讲】一个数既是18的倍数，也是18的因数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 【变式训练】小明妈妈今年的年龄既是70的因数，又是5的倍数，她今年是（    ）岁。 A．20 B．35 C．45 D．50 【变式训练】猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【变式训练】今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 考点七：2,3,5的倍数的特征 【典例精讲】376至少减去（    ）后，能同时有因数2、3和5。 A．6 B．16 C．26 D．36 【变式训练】一个三位数4□□，既是3的倍数，又含有因数5，还是一个偶数，这个三位数最小是 ，最大是 。 【变式训练】年龄称谓是古人指代年龄的称呼，如“六十花甲、七十古稀……”。奶奶今年已过“花甲之年”，未及“古稀之年”，她的岁数既是2的倍数又有因数3，奶奶的年龄是( )岁。 【变式训练】思思妈妈在超市存包，不小心把密码纸弄丢了，但记得其中的四个数字，还有两个数字忘了（如下图），已知这个六位数密码是2、3、5的倍数，这个六位数密码可能是（    ）。 A．728360 B．728265 C．728160 D．728560 考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】在6，10，15，22，35这些数中，偶数有( )个，同时是2和3的倍数的数是( )。 【变式训练】下面说法中，错误的是（    ）。 A．方程是等式的一种 B．一个自然数不是奇数就是偶数 C．1既不是质数也不是合数 D．一个分数不是带分数就是真分数 【变式训练】在2、6、11、15、30、42中，偶数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想的内容是任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。下面符合这个猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．36＝17＋19 C．60＝3＋57 D．32＝15＋17 考点九：质数和合数的认识 【典例精讲】1.76的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位，再添上( )个这样的计数单位就是最小的质数。 【变式训练】把36分解质因数可以写成（    ）。 A．36＝4×9 B．36＝1×2×3×2×3 C．36＝2×3×2×3 【变式训练】丽丽的QQ密码从左往右的数字（均为非0自然数）依次是①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。丽丽的QQ密码是( )。 【变式训练】数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下面是孪生质数的是（    ）。 A．1和3 B．19和21 C．27和29 D．41和43 考点十：质数与合数的综合应用 【典例精讲】在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝___”这道题时，乐乐是这样想的：因为( )＋( )＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数，那么a和b中一定有一个是质数( )。根据以上思考，乐乐算出a＋b的和是( )。 【变式训练】任意两个不同的非零自然数的积是（    ）。 A．质数 B．合数 C．质数或合数 【变式训练】贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是 。 【变式训练】黎明小学进行社团展示，百灵鸟社团有39人，器乐社团有41人，益智社团有23人，航模社团有91人，各社团全体成员排队展示才艺。能排成方队展示的社团是( )和( )，不能排成方队展示的社团是( )和( )。 考点十一：质因数的含义 【典例精讲】36的因数有( )，其中是质数的有( )，这几个质数叫作36的( )。 【变式训练】用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数，这个三位数是（    ）的可能性最大。 A．质数 B．质因数 C．奇数 D．偶数 【变式训练】（1），5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2），3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 【变式训练】下列说法（    ）是正确的。 A．42分解质因数是42＝2×21 B．，。数B一定是A的质因数 C．等式的两边各加上一个数，所得到的结果仍然是等式 D．当时，和相等 考点十二：分解质因数 【典例精讲】在数1，5，19，21，28，35，47，51中，最大质数是( )，最小合数是( )，最小合数分解质因数是( )。 【变式训练】小华和小明都去参加篮球训练。小华每4天去一次，小明每6天去一次。7月21日两人都去参加了篮球训练，下一次一起参加篮球训练的日期是( )月( )日。 【变式训练】先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 【变式训练】找出下面的合数，并把它们分解质因数。 13   23    24    43 53     63    19   57 37 考点十三：公因数与最大公因数 【典例精讲】1是所有非零自然数的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．质因数 【变式训练】端午节红星社区给辖区内的清洁工人发放小礼包，社区准备了96个粽子、120个鸭蛋，打包成若干份（无剩余），每份粽子个数相同，鸭蛋的个数也相同。红星社区最多能发给 位清洁工人。 【变式训练】用48朵玫瑰和36朵铃兰扎成花束，要求每束花里玫瑰的朵数相同，铃兰的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰和铃兰各有多少朵？ 【变式训练】《水浒传》是我国古典四大名著之一，书中梁山泊共有108位好汉，分为36位天罡星和72位地煞星。数字36和72的公因数共有( )个，108的最小倍数是( )。 考点十四：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】端午节，邗上街道将39盒绿豆糕和52颗粽子平均分给了百祥园小区今年所有的中、高考考生，祝福他们“高中状元”。百祥园小区今年最多有( )名毕业生，每人分得( )盒糕，( )颗粽子。 【变式训练】花店里有郁金香36枝，百合花30枝。小美准备将这些花扎成同样的花束，使得每束花里的郁金香枝数相同，百合花的枝数也相同，并且没有剩余。请问，最多可以扎成多少束？每束花中共有多少枝？ 【变式训练】学校艺术团为庆祝中华人民共和国成立76周年编排节目，需要用彩带制作花篮。如果把下边两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？ 【变式训练】为了迎接“六一”，同学们做了24朵红花和36朵黄花。用这些花扎成相同的花束，要求每束里的红花朵数一样，黄花朵数也一样。最多可以扎成多少束花？每束里的红花和黄花分别有多少朵？ 考点十五：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】甲、乙两人都参加了少年宫活动，甲每2天去训练一次，乙每5天去训练一次。若12月28日这天他们两人在少年宫碰面，则他们下一次在少年宫碰面是（    ）。 A．1月3日 B．1月5日 C．1月6日 D．1月7日 【变式训练】暑假期间，小芳和小芸定期去乒乓馆参加乒乓球训练。小芳从7月1日起，每三天训练一次；小芸从7月1日起，每五天训练一次。在下表中接着排一排，得出她们第二次共同训练的日期是（    ）月（    ）日。 小芳 1日 小芸 1日 小芳 1日 4日 7日 10日 13日 16日 小芸 1日 6日 11日 16日 【变式训练】暑假期间，欢欢每隔3天去一次游泳馆，乐乐每隔4天去一次游泳馆。7月22日两人在游泳馆相遇，他们( )月( )日再次在游泳馆相遇。 【变式训练】如果甲×2025＝乙，（甲、乙都是非零自然数），那么甲和乙的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】五年（二）班的学生参加跳绳比赛，每6人一组或每8人一组，都没有剩余，且该班学生在40～50人之间，五年（二）班有学生多少人？ 【变式训练】五年级学生参加活动，分为8人一组或9人一组，都多出1人。五年级至少有多少人？ 【变式训练】五年级同学参加六一节表演活动，每6人或8人站成一行，都正好。参加表演的总人数在100人以内，五年级最多有多少人参加表演活动？ 【变式训练】学校五年级有二百多人参加六一合唱表演，无论每行排20人还是24人，都能够排成整数行且没有剩余。五年级一共有多少人参加团体操表演？ 综合训练 1．用2和5两张数字卡片摆成两位数，这些两位数都是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．如果a和b是两个连续的非零自然数，那么它们的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 ①a    ②b   ③1    ④ab A．①；② B．③；② C．③；④ D．①；④ 3．体育课上，48名同学面向老师站成一排，按1—48号编号。按如下步骤操作：编号是2的倍数的同学向后转，编号是3的倍数的同学向后转。经过两次操作后，面向老师的还有（    ）人。 A．8 B．16 C．24 D．32 4．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．小亮在一条板凳上做摆卡片游戏，他分别用三种摆法（如下图）都正好从板凳的一端摆到另一端而无剩余。每张卡片长12厘米，宽8厘米，这条板凳最短长（    ）厘米。 A．120 B．72 C．48 D．24 6．“五月五，过端午，粽香艾香飘满堂”，小华一家一共包了24个豆沙粽和18个蜜枣粽，把它们分别放在包装盒里，要使每盒个数相等，每盒最多放（    ）个。 A．4 B．6 C．8 D．12 7．一个数的最小倍数是36，把它分解质因数是( )。 8．分解质因数，36＝( )，24＝( )。24和36的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 9．在0、3、5、6、9中选出3个数字，组成三位数。既是3的倍数，又是5的倍数有( )个，其中最小的是( )。 10．一个行李箱的密码是一个六位数：5138☆☆，第五位☆既是偶数又是质数，第六位☆既是奇数又是合数。这个行李箱的密码是( )。 11．小军家防盗门的密码是ABCDEF六位数，其中A是最小的奇数，B是最大的一位数，C是8的最大因数，D是最小的合数，E是5的最小倍数，F是最小的质数。小军家的密码是( )。 12．暑假期间，小伟和小海都去参加乒乓球训练，小伟每2天去一次，小海每3天去一次。7月5日两人同时参加训练，他们下一次相遇是( )月( )日。 13．找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 14．求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 15．在某次活动中，灯光师准备在舞台四周等距离地安装一些彩灯。如果舞台长12米，宽8米，那么至少要装几盏彩灯？ 16．植树节时，学校分给六年级的同学一批树苗。如果平均分给8名同学去种，还剩2棵；如果平均分给10名同学去种，也剩2棵。这批树苗至少有多少棵？ 17．快放假了，王奶奶给乐乐寄过来一盒巧克力糖果，乐乐想和同班同学分享这些巧克力，巧克力无论是6个6个地数，还是8个8个地数，最后都多出3个，请你推测一下乐乐的这盒巧克力糖果至少多少颗？ 18．把75厘米、60厘米的两根彩带分别剪成长度一样的短彩带，每根短彩带长为整厘米，且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成多少根这样的短彩带？ 19．一个游泳池长35米，宽14米。在泳池的每条边上隔相等的距离放置防滑垫（每个角上都要放），已知每个防滑垫之间的距离是整米数且为质数，泳池边一共放置了多少个防滑垫？（防滑垫的长度忽略不计） 20．母亲节，花店购进一批鲜花，其中康乃馨90朵，百合花54朵。扎成花束时要使每束花中的康乃馨都一样多，每束花中的百合花也一样多。 （1）将这些花最多扎成多少束可以将这些花正好用完？ （2）这样每束花中有几枝康乃馨？有几枝百合花？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $