表面涂色的正方体讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

表面涂色的正方体讲义通过具体实例分析与规律总结，构建了完整的知识体系。知识梳理涵盖了正方体特征、表面涂色问题定义，以及通过实例推导公式，帮助学生理解和掌握相关知识。 表面涂色的正方体讲义通过具体实例分析与规律总结，构建了完整的知识体系。知识梳理涵盖了正方体特征、表面涂色问题定义，以及通过实例推导公式，帮助学生理解和掌握相关知识。

表面涂色的正方体 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、探索过程（以具体实例分析） 1 三、易错点分析 2 考点讲练 3 考点一：表面涂色的正方体 3 综合训练 3 知识梳理 一、核心概念 1.正方体基本特征 正方体有8个顶点、12条棱（每条棱长度相等）、6个面（每个面都是正方形且面积相等）。 若大正方体由n×n×n个相同小正方体组成（n为正整数，n≥2），则大正方体的棱长为n（每条棱上有n个小正方体）。 2.表面涂色问题定义 将由n×n×n个小正方体组成的大正方体表面全部涂上颜色，研究不同位置的小正方体（顶点处、棱上、面上、内部）涂色面数的规律。 二、探索过程（以具体实例分析） 1. 2×2×2大正方体（n=2） 总小正方体数量：2×2×2=8（个）。 涂色情况： 三面涂色：位于大正方体顶点处，共8个（正方体8个顶点），每个小正方体3个面涂色。 两面涂色/一面涂色/没有涂色：因每条棱上只有2个小正方体，棱中间、面中间及内部均无小正方体，故数量均为0。 2. 3×3×3大正方体（n=3） 总小正方体数量：3×3×3=27（个）。 涂色情况： 三面涂色：顶点处，共8个（8个顶点）。 两面涂色：位于棱上（不含顶点），每条棱上有3-2=1个，12条棱共12×1=12（个），每个小正方体2个面涂色。 一面涂色：位于每个面的中间（不含棱），每个面有(3-2)×(3-2)=1个，6个面共6×1=6（个），每个小正方体1个面涂色。 没有涂色：位于大正方体内部，数量为总数量减去上述三类，即27-8-12-6=1（个）；或直接计算内部棱长为3-2=1，数量为1×1×1=1（个）。 3. 4×4×4大正方体（n=4） 总小正方体数量：4×4×4=64（个）。 涂色情况： 三面涂色：8个（顶点处）。 两面涂色：每条棱上有4-2=2个，12条棱共12×2=24（个）。 一面涂色：每个面有(4-2)×(4-2)=4个，6个面共6×4=24（个）。 没有涂色：内部棱长为4-2=2，数量为2×2×2=8（个）。 三、规律总结（通用公式） 设大正方体棱长为n（每条棱上小正方体个数，n≥2，n为整数），则： 三面涂色小正方体：固定为8个（正方体8个顶点）。 两面涂色小正方体：12×(n-2)个（12条棱，每条棱上除去2个顶点后有n-2个）。 一面涂色小正方体：6×(n-2)²个（6个面，每个面除去边缘后是边长为n-2的正方形，面积为(n-2)²）。 没有涂色小正方体：(n-2)³个（内部形成棱长为n-2的小正方体，体积为(n-2)³）。 三、易错点分析 1.混淆“棱长”与“小正方体个数”：公式中n指“每条棱上小正方体的个数”，非大正方体实际棱长（如n=3表示每条棱上有3个小正方体，而非棱长3厘米）。 2.漏乘“12”或“6”：两面涂色需乘12（棱的数量），一面涂色需乘6（面的数量），易忘记乘数导致结果错误。 3.内部未涂色计算错误：直接用总数量减去涂色数量时，易漏算某类涂色小正方体，建议优先用(n-2)³公式计算。 考点讲练 考点一：表面涂色的正方体 【典例精讲】已知1个棱长为8分米、表面涂色的正方体，可以把它切分成( )个棱长为1分米的小正方体，其中3面涂色的小正方体有( )个；如果切分成125个相同的小正方体，其中2面涂色的小正方体有( )个。 【变式训练】一个正方体的大面包，表面是烤焦的酥皮，将这个大正方体沿长、宽、高切成64块相同的小正方体，三个面有酥皮的有( )块，两个面有酥皮的有( )块，一个面有酥皮的有( )块，六个面都没酥皮的有( )块。 【变式训练】把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 【变式训练】一个表面涂色的几何体，正好切成（如图）7个同样大的正方体，只有2个面涂色的正方体有（    ）个，只有4个面涂色的正方体有（    ）个。 A．1；2 B．2；1 C．3；2 D．1；4 综合训练 1．把一个大正方体表面涂满红色，分割成若干个同样大小的小正方体，使其中两面涂色的有24块，那么要将这个正方体分割成（    ）块。 A．8 B．27 C．216 D．64 2．把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块。这些小木块中，2面涂色的一共有（    ）块。 A．36 B．54 C．90 D．98 3．一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．24 C．36 D．54 4．把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 5．一个大正方体木块，把它的外表都涂成红色，然后切割成棱长1分米的小正方体，这些小正方体中两面涂色的有24块，那么一面涂色的有（    ）块。 A．8 B．12 C．24 D．54 6．一个棱长是5厘米的正方体木块，表面涂满红色。把它切成棱长是1厘米的小正方体，在这些小正方体中，一面涂色的小正方体个数有（    ）个。 A．8 B．12 C．36 D．54 7．一个棱长为4厘米且表面涂色的正方体，如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来增加( )平方厘米；如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，则两面涂色的小正方体有( )个。 8．把一个正方体表面涂色之后，把每条棱平均分成四份，切成64个小正方体，在这些小正方体中，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 9．把一个棱长为5厘米的正方体表面涂色，然后切成棱长是1厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，切成的正方体中，两面涂色的小正方体有( )个。 10．将一个棱长8分米表面橙色的大正方体切成棱长是2分米的小正方体，切开后两面涂色的正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个。 11．把一个表面涂上颜色的正方体，每条棱平均分成若干份，切成64个相等的小正方体。在这些小正方体中，3面涂色的有( )个，1面涂色的有( )个。 12．把一个棱长1分米的正方体表面涂色，再切分成棱长1厘米的小正方体，把这些切分成的小正方体排成一排长( )米，其中两面涂色的小正方体有( )个。 13．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是多少个？ 14．如图，64个棱长1分米的小方块组成了一个大正方体。按图中黑色的部分将大正方体打穿。 （1）剩下的部分共有多少个棱长2分米的正方体？ （2）一共打掉了多少个小方块？ 15．如图是一个棱长5分米的正方体，现将它的前、后、左、右和上面涂上颜色，然后切割成若干个棱长1分米的小正方体。    （1）切得棱长1分米的小正方体共有多少块？ （2）请你算一算，切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有多少块？ 16．用2个长5厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体， （1）若使拼成的大长方体的表面积最大，最大是多少？ （2）若使拼成的大长方体表面积最小，最小是多少？ （3）用哪种方法包装最省材料。 17．如图是由9个棱长为1cm的小正方体组成的。 （1）以“dm”为单位，用分数表示这个长方体的长是________dm，宽是________dm。 （2）这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几？前面的面积占长方体表面积的几分之几？ （3）在图中涂出长方体体积的。 18．一个无盖的正方体铁皮水箱的底面周长是24分米，这个水箱可以盛水多少升？做这样一个水箱要用铁皮多少平方分米？ 19．(2016·江西景德镇)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段，表面积比原来增加了96平方分米，这跟木料原来的体积是多少立方分米? 20．一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中: (1)三面涂红色的有几个? (2)两个面涂红色的有几个? (3)一个面涂红色的有几个? (4)六个面都没有涂色的有几个? 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 表面涂色的正方体 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、核心概念 1 二、探索过程（以具体实例分析） 1 三、易错点分析 2 考点讲练 3 考点一：表面涂色的正方体 3 综合训练 5 知识梳理 一、核心概念 1.正方体基本特征 正方体有8个顶点、12条棱（每条棱长度相等）、6个面（每个面都是正方形且面积相等）。 若大正方体由n×n×n个相同小正方体组成（n为正整数，n≥2），则大正方体的棱长为n（每条棱上有n个小正方体）。 2.表面涂色问题定义 将由n×n×n个小正方体组成的大正方体表面全部涂上颜色，研究不同位置的小正方体（顶点处、棱上、面上、内部）涂色面数的规律。 二、探索过程（以具体实例分析） 1. 2×2×2大正方体（n=2） 总小正方体数量：2×2×2=8（个）。 涂色情况： 三面涂色：位于大正方体顶点处，共8个（正方体8个顶点），每个小正方体3个面涂色。 两面涂色/一面涂色/没有涂色：因每条棱上只有2个小正方体，棱中间、面中间及内部均无小正方体，故数量均为0。 2. 3×3×3大正方体（n=3） 总小正方体数量：3×3×3=27（个）。 涂色情况： 三面涂色：顶点处，共8个（8个顶点）。 两面涂色：位于棱上（不含顶点），每条棱上有3-2=1个，12条棱共12×1=12（个），每个小正方体2个面涂色。 一面涂色：位于每个面的中间（不含棱），每个面有(3-2)×(3-2)=1个，6个面共6×1=6（个），每个小正方体1个面涂色。 没有涂色：位于大正方体内部，数量为总数量减去上述三类，即27-8-12-6=1（个）；或直接计算内部棱长为3-2=1，数量为1×1×1=1（个）。 3. 4×4×4大正方体（n=4） 总小正方体数量：4×4×4=64（个）。 涂色情况： 三面涂色：8个（顶点处）。 两面涂色：每条棱上有4-2=2个，12条棱共12×2=24（个）。 一面涂色：每个面有(4-2)×(4-2)=4个，6个面共6×4=24（个）。 没有涂色：内部棱长为4-2=2，数量为2×2×2=8（个）。 三、规律总结（通用公式） 设大正方体棱长为n（每条棱上小正方体个数，n≥2，n为整数），则： 三面涂色小正方体：固定为8个（正方体8个顶点）。 两面涂色小正方体：12×(n-2)个（12条棱，每条棱上除去2个顶点后有n-2个）。 一面涂色小正方体：6×(n-2)²个（6个面，每个面除去边缘后是边长为n-2的正方形，面积为(n-2)²）。 没有涂色小正方体：(n-2)³个（内部形成棱长为n-2的小正方体，体积为(n-2)³）。 三、易错点分析 1.混淆“棱长”与“小正方体个数”：公式中n指“每条棱上小正方体的个数”，非大正方体实际棱长（如n=3表示每条棱上有3个小正方体，而非棱长3厘米）。 2.漏乘“12”或“6”：两面涂色需乘12（棱的数量），一面涂色需乘6（面的数量），易忘记乘数导致结果错误。 3.内部未涂色计算错误：直接用总数量减去涂色数量时，易漏算某类涂色小正方体，建议优先用(n-2)³公式计算。 考点讲练 考点一：表面涂色的正方体 【典例精讲】已知1个棱长为8分米、表面涂色的正方体，可以把它切分成( )个棱长为1分米的小正方体，其中3面涂色的小正方体有( )个；如果切分成125个相同的小正方体，其中2面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 512 8 36 【分析】根据正方体体积公式：，求出大正方体的体积和小正方体的体积，再用大正方体的体积除以小正方体的体积，求出一共可以切的小正方体的个数；3面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，每个顶点处有1个3面涂色的小正方体，正方体有8个顶点，据此解答； 如果切分成125个相同的小正方体，125＝5×5×5，可知大正方体的每条棱被平均切分成了5个棱长为1分米的小正方体，2面涂色的小正方体在大正方体的棱上，除去两边顶点处的小正方体，每条棱上有（5－2）个2面涂色的小正方体，正方体有12条棱，所以，表面2面涂色的小正方体的个数列式为（5－2）×12，据此解答。 【详解】 （个） 1×8＝8（个） 125＝5×5×5 （个） 已知1个棱长为8分米、表面涂色的正方体，可以把它切分成512个棱长为1分米的小正方体，其中3面涂色的小正方体有8个；如果切分成125个相同的小正方体，其中2面涂色的小正方体有36个。 【点睛】本题考查表面涂色的正方体的特征，掌握3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体在大正方体的位置是解题的关键。 【变式训练】一个正方体的大面包，表面是烤焦的酥皮，将这个大正方体沿长、宽、高切成64块相同的小正方体，三个面有酥皮的有( )块，两个面有酥皮的有( )块，一个面有酥皮的有( )块，六个面都没酥皮的有( )块。 【答案】 8 24 24 8 【分析】已知大正方体沿长、宽、高切成64块相同的小正方体，因为64＝4×4×4，所以这个大正方体每条棱上都切成4块；根据正方体表面涂色的特点可知： 三个面有酥皮的在顶点处，共有8块； 两个面有酥皮的在每条棱上，每条棱上有（4－2）块，共有（4－2）×12块； 一个面有酥皮的在每个面上，每个面中间有（4－2）2块，共有（4－2）2×6块； 六个面都没酥皮的在大正方体内部，共有（4－2）3块。 【详解】因为64＝4×4×4，所以这个大正方体每条棱上都切成4块； 三个面有酥皮的在顶点处，每个顶点上有1块，共有8块； 两个面有酥皮的在每条棱上，（4－2）×12＝2×12＝24（块）； 一个面有酥皮的在每个面上，（4－2）2×6＝22×6＝4×6＝24（块）； 六个面都没酥皮的在大正方体内部，（4－2）3＝23＝8（块） 填空如下： 三个面有酥皮的有（8）块，两个面有酥皮的有（24）块，一个面有酥皮的有（24）块，六个面都没酥皮的有（8）块。 【变式训练】把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 8 36 【分析】正方体有8个顶点，三面涂色的小正方体位于正方体的顶点处，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。 棱长为5厘米，切成棱长为1厘米的小正方体，每条棱上有5个小正方体，正方体有12条棱，两面涂色的小正方体是正方体的棱上的小正方体减去顶点处的2个小正方体。每条棱上两面涂色的小正方体个数为：5－2＝3（个），因此，两面涂色的小正方体总个数为：3×12＝36（个）。 【详解】正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。 5－2＝3（个） 12×3＝36（个） 三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有36个。 【变式训练】一个表面涂色的几何体，正好切成（如图）7个同样大的正方体，只有2个面涂色的正方体有（    ）个，只有4个面涂色的正方体有（    ）个。 A．1；2 B．2；1 C．3；2 D．1；4 【答案】D 【分析】根据题意，要确定只有2个面涂色和只有4个面涂色的正方体个数，需仔细观察由7个同样大的正方体组成的几何体结构，分析每个小正方体暴露在外的面的数量，据此解答。 【详解】只有2个面涂色的正方体：中间层中间的1个正方体，有2个面涂色。 只有4个面涂色的正方体：上层的1个正方体以及底层左右两边的2个正方体，还有中间层左右两边的1个正方体，共4个正方体有4个面涂色。 所以只有2个面涂色的正方体有1个，只有4个面涂色的正方体有4个。 故答案为：D 综合训练 1．把一个大正方体表面涂满红色，分割成若干个同样大小的小正方体，使其中两面涂色的有24块，那么要将这个正方体分割成（    ）块。 A．8 B．27 C．216 D．64 【答案】D 【分析】两面涂色的小正方体在大正方体棱的中间，正方体有12条棱，两面涂色的块数÷12＝每条棱两面涂色的块数，每条棱两面涂色的个数＋2＝每条棱小正方体的块数，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出总块数。 【详解】24÷12＋2 ＝2＋2 ＝4（块） 4×4×4＝64（块） 要将这个正方体分割成64块。 故答案为：D 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，熟悉正方体的特征。 2．把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块。这些小木块中，2面涂色的一共有（    ）块。 A．36 B．54 C．90 D．98 【答案】A 【分析】两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，但不在顶点处，每条棱上两面涂色的小正方体数量等于棱长分割数减2，再乘以棱的数量12。 【详解】5÷1＝5，所以大正方体每条棱长上都有5块小正方体。 （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（块） 把一个棱长5厘米的正方体木块的表面涂色，再把它锯成棱长是1厘米的正方体小木块。这些小木块中，2面涂色的一共有36块。 故答案为：A 3．一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有（    ）个。 A．12 B．24 C．36 D．54 【答案】C 【分析】首先明确两面涂色的小正方体的位置：两面涂色的小正方体出现在正方体的棱上，且不包括顶点处的小正方体（顶点处是三面涂色）； 接着计算每条棱上两面涂色的小正方体数量：正方体每条棱被平均分成5份，因此每条棱上两面涂色的数量为5－2＝3个； 最后计算总数量：正方体有12条棱，因此总数量为3×12＝36个。 【详解】5－2＝3（个） 3×12＝36（个） 因此，一个表面涂色的正方体木块，每条棱被平均分成5份，切成若干个小正方体，其中两面涂色的小正方体有36个。 故答案为：C 4．把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 【答案】C 【分析】2面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（不包括顶点），正方体有12条棱，用2面涂色的小正方体的个数除以12即可求出每条棱上两面涂色的小正方体个数，再加上2（两端顶点处的小正方体个数）即可求出每条棱被分成的份数；1面涂色的小正方体位于大正方体的面上（不包括棱和顶点），在大正方体每个面的中心区域组成一个边长为（每条棱被分成的份数－2）的正方形，正方体有6个面，所以用（每条棱被分成的份数－2）×（每条棱被分成的份数－2）×6即可求出1面涂色的小正方体有多少个。据此解答。 【详解】每条棱上两面涂色的小正方体个数：24÷12＝2（个） 每条棱被分成的份数：2＋2＝4（份） 1面涂色的小正方体个数为： （4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有24个。 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键是用2面涂色的小正方体的个数除以12再加上2求出每条棱被分成的份数，并理解1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中心区域组成一个边长为（每条棱被分成的份数－2）的正方形。 5．一个大正方体木块，把它的外表都涂成红色，然后切割成棱长1分米的小正方体，这些小正方体中两面涂色的有24块，那么一面涂色的有（    ）块。 A．8 B．12 C．24 D．54 【答案】C 【分析】设一条棱上有n个小正方体，两面涂色的正方体是在12条棱上（不包括两个端点的正方体），即（n－2）×12；一面涂色的正方体是在6个面上（不包括棱上的正方体），即（n－2）2×6，即可选择。 【详解】设一条棱上有n个小正方体。 （n－2）×12＝24 n－2＝2 n＝4 所以（n－2）2×6 ＝（4－2）2×6 ＝22×6 ＝4×6 ＝24 所以一面涂色的有24块。 故答案为：C 6．一个棱长是5厘米的正方体木块，表面涂满红色。把它切成棱长是1厘米的小正方体，在这些小正方体中，一面涂色的小正方体个数有（    ）个。 A．8 B．12 C．36 D．54 【答案】D 【分析】将棱长5厘米的正方体切成1厘米的小正方体后，只有一面涂色的小正方体位于除去边缘的中间区域。正方体一共六个面，计算出每个面中间区域的数量再乘6即可。 【详解】只有一面涂色的小正方体中间部分的个数： （个） （个） 所以一面涂色的小正方体个数有54个。 故答案为：D 7．一个棱长为4厘米且表面涂色的正方体，如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来增加( )平方厘米；如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，则两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 32 24 【分析】根据题意，把一个正方体切成两个相同的小长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 如果把棱长为4厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，则每条棱长有4个小正方体；根据正方体表面涂色的特点：两面涂色的小正方体在每条棱上；每条棱上有（4－2）个小正方体两面涂色，共有12条棱，据此求出两面涂色的小正方体个数。 【详解】表面积增加： 4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 每条棱上有小正方体：4÷1＝4（个） 两面涂色的有： （4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） 填空如下： 一个棱长为4厘米且表面涂色的正方体，如果把它切成两个相同的小长方体，表面积比原来增加（32）平方厘米；如果把它切成棱长为1厘米的小正方体，则两面涂色的小正方体有（24）个。 8．把一个正方体表面涂色之后，把每条棱平均分成四份，切成64个小正方体，在这些小正方体中，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 【答案】 24 24 【分析】大正方体平均切成了64个小正方体，那么每条棱上有4个小正方体，分割的小正方体中，根据题意可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外，位于棱上的中间部分的小正方体两面涂色，位于6个面中间的一面涂色，而处于大正方体中心的则没涂色；据此解答即可。 【详解】（4－2）×12 ＝2×12 ＝24（个） （4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 两面涂色的有24个，一面涂色的有24个。 9．把一个棱长为5厘米的正方体表面涂色，然后切成棱长是1厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，切成的正方体中，两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 125 36 【分析】先根据正方体的体积公式V＝a3，分别求出棱长为5厘米、棱长为1厘米的正方体体积，再相除，即可求出棱长为5厘米的正方体可以切成多少个棱长为1厘米的小正方体。 根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在每条棱上；棱长为5厘米的正方体的每条棱上有5个小正方体，每条棱上有5－2＝3个两面涂色的小正方体，则12条棱共有12×3＝36个两面涂色的小正方体。 【详解】（5×5×5）÷（1×1×1） ＝125÷1 ＝125（个） 12×（5－2） ＝12×3 ＝36（个） 可以切成125个小正方体，切成的正方体中，两面涂色的小正方体有36个。 10．将一个棱长8分米表面橙色的大正方体切成棱长是2分米的小正方体，切开后两面涂色的正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个。 【答案】 24 24 【分析】已知棱长8分米表面橙色的大正方体切成棱长是2分米的小正方体，每条棱上有4个小正方体； 根据正方体表面涂色的特点，可知小正方体涂色面的位置：两面涂色的小正方体在每条棱上；一面涂色的小正方体在每个面上； 用n表示大正方体每条棱上小正方体的个数，涂色小正方体的规律是： 两面涂色的小正方体的个数＝12×（n－2）； 一面涂色的小正方体的个数＝6×（n－2）×（n－2）。 【详解】8÷2＝4，每条棱上有4个小正方体； 12×（4－2） ＝12×2 ＝24（个） 6×（4－2）×（4－2） ＝6×2×2 ＝24（个） 切开后两面涂色的正方体24个，一面涂色的小正方体有24个。 11．把一个表面涂上颜色的正方体，每条棱平均分成若干份，切成64个相等的小正方体。在这些小正方体中，3面涂色的有( )个，1面涂色的有( )个。 【答案】 8 24 【分析】根据题意正方体平均切成了64个小正方体，那么大正方体的棱长是4，分割的正方体中，三面涂色的是顶点8个正方体； 一面涂色的是剩下的外表面的正方体，有[（4－2）×（4－2）×6]个正方体，据此解答。 【详解】由分析可知：三面涂色的小正方体个数：8个； 一面涂色的小正方体个数： （4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 把一个表面涂上颜色的正方体，每条棱平均分成若干份，切成64个相等的小正方体，在这些小正方体中，3面涂色的有8个，1面涂色的有24个。 【点睛】本题考查涂色的正方体的个数，弄清楚三面、两面和一面被涂色的小正方体分别在长方体的什么位置是解答本题的关键。 12．把一个棱长1分米的正方体表面涂色，再切分成棱长1厘米的小正方体，把这些切分成的小正方体排成一排长( )米，其中两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 10 96 【分析】因为1分米＝10厘米，所以每条棱长可以切成10个棱长1厘米的小正方体，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可知小正方体的总个数是（10×10×10）个，排成1排，一共有（10×10×10）厘米，化为米要除以100；两面涂色的小正方体在大正方体每条棱的中间，每条棱有（10－2）个小正方体两面涂色，正方体有12条棱，每条棱两面涂色小正方体的个数×12＝两面涂色的小正方体总个数。 【详解】1分米＝10厘米 10÷1＝10（个） 10×10×10＝1000（个） 1000×1＝1000（厘米） 1000厘米＝10米 （10－2）×12 ＝8×12 ＝96（个） 把这些切分成的小正方体排成一排长10米，其中两面涂色的小正方体有96个。 13．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是多少个？ 【答案】104个 【分析】因为10×10×10＝1000，所以大正方体的每条棱上有10个小正方体，三面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，有8个；二面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上除了顶点处，有（10－2）×12个；其他的小正方体是没有涂色的和一面涂色的；所以这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是三面涂色的加上二面涂色的；据此解答。 【详解】10×10×10 ＝100×10 ＝1000（个） （10－2）×12 ＝8×12 ＝96（个） 8＋96＝104（个） 答：这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是104个。 14．如图，64个棱长1分米的小方块组成了一个大正方体。按图中黑色的部分将大正方体打穿。 （1）剩下的部分共有多少个棱长2分米的正方体？ （2）一共打掉了多少个小方块？ 【答案】（1）2 （2）18 【分析】 （1）沿着高将正方体分成4层，只有正面右上角与后面左下角的部分各有一块棱长2分米的正方体，所以一共有2个。 （2）分层切片后第1层剩下了14个，第2层剩下9个，第3层剩下9个，第四层剩下14个。一共有64个，打掉的个数＝一共的个数－剩下的个数。 【详解】 （1）分层切片： 答：棱长2分米的正方体有2个。 （2）第1层有14个，第2层有9个，第3层9个，第4层14个， 14＋9＋9＋14＝46（个） 64－46＝18（个） 答：一共打掉了18个小方块。 15．如图是一个棱长5分米的正方体，现将它的前、后、左、右和上面涂上颜色，然后切割成若干个棱长1分米的小正方体。    （1）切得棱长1分米的小正方体共有多少块？ （2）请你算一算，切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有多少块？ 【答案】（1）125块；（2）45块 【分析】（1）根据分析可知，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用（5×5×5）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数。 （2）在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用（5－2）×（5－2）×5即可求出几个一面涂色的小正方体。 【详解】（1）（5×5×5）÷（1×1×1） ＝125÷1 ＝125（块） 答：切得棱长1分米的小正方体共有125块。 （2）（5－2）×（5－2）×5 ＝3×3×5 ＝45（块） 答：切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有45块。 【点睛】此题主要考查了涂色问题。弄清一面涂色、两面涂色、三面涂色、没有涂色小正方体所处的位置是关键。 16．用2个长5厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体， （1）若使拼成的大长方体的表面积最大，最大是多少？ （2）若使拼成的大长方体表面积最小，最小是多少？ （3）用哪种方法包装最省材料。 【答案】（1）96平方厘米；（2）72平方厘米；（3）用5×4的面重合在一起最省。 【分析】（1）（2）根据两个长方体拼成一个大长方体的表面积变化规律：大长方体表面积＝原来两个长方体的面积和－重合面的面积×2可知，要想大长方体表面最大，需要重合面的面积最小，要想大长方体表面积最小，需要重合面的面积最大，据此计算； （3）想要最省包装材料，就是要大长方体的表面积最小。 【详解】原来长方体的三对面的面积分别为： 5×4＝20（平方厘米） 5×2＝10（平方厘米） 4×2＝8（平方厘米） 表面积为：（20＋10＋8）×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米） （1）大长方体表面积最大，将4×2的面组合在一起： 最大表面积： 56×2－8×2 ＝112－16 ＝96（平方厘米） 答：大长方体的表面积最大为96平方厘米。 （2）大长方体表面积最小，将5×4的面组合在一起； 最小表面积： 56×2－20×2 ＝112－40 ＝72（平方厘米） 答：大长方体的表面积最小为72平方厘米。 （3）想要最省包装材料，需要大长方体表面积最小，将5×4的面重合在一起最省。 答：将5×4的面重合在一起最省。 【点睛】本题主要考查了简单立方体的切拼问题，把握拼在一起时表面积的变化规律是本题解题的关键。 17．如图是由9个棱长为1cm的小正方体组成的。 （1）以“dm”为单位，用分数表示这个长方体的长是________dm，宽是________dm。 （2）这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几？前面的面积占长方体表面积的几分之几？ （3）在图中涂出长方体体积的。 【答案】（1），；（2），；（3）见详解。 【分析】（1）观察图可知这个长方体的长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个长方体的长，再化成以dm为单位的数；宽是由1条小正方体的棱长组成的，即1cm，把它化成以dm为单位的数即可； （2）长方体的上面是一个长方形，它的长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个长方体的长；宽是由1条小正方体的棱长组成的，即1cm，再根据长方形的长面积＝长×宽求解； 长方形的后面是一个正方形，它的边长是由3条小长方体的棱长组成的，用小长方体的棱长乘3就是这个正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，求出后面的面积，然后用上面的面积除以后面的面积即可求出这个长方体上面的面积是后面的面积的几分之几；再求出右面的面积，然后把长方体上面、后面、右面的面积相加，然后乘2，求出这个长方体的表面积，再用前面的面积除以表面积，即可前面的面积占长方体表面积的几分之几； （3）这个长方体是由一共有9个小正方体组成的，用9乘，即可求出这个长方体的是多少个小正方体，再涂色。 【详解】（1）1×3＝3（cm） 3cm＝0.3dm＝dm 1cm＝0.1dm＝dm 以“dm”为单位，用分数表示这个长方体的长是 dm，宽是 dm； （2）长：1×3＝3（cm） 宽：1cm 高：1×3＝3（cm） 上面：1×3＝3（cm2） 后面：3×3＝9（cm2） 右面：1×3＝3（cm2） 3÷9＝ 表面积： （3＋9＋3）×2 ＝15×2 ＝30（cm2） 9÷30＝ 这个长方体上面的面积是后面的面积的，前面的面积占长方体表面积的；（3）9×＝6（个） 在图中涂出长方体体积的如下： 【点睛】本题综合性较强，注意观察图先找出长方体的长、宽、高各是多少，再根据长方体的表面积公式，以及求一个数是另一个数的几分之几，以及分数乘法的意义求解。 18．一个无盖的正方体铁皮水箱的底面周长是24分米，这个水箱可以盛水多少升？做这样一个水箱要用铁皮多少平方分米？ 【答案】216升  180平方分米 【详解】24÷4＝6(分米) 6×6×6＝216(立方分米) 216立方分米＝216升 6×6×5＝180(平方分米) 19．(2016·江西景德镇)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段，表面积比原来增加了96平方分米，这跟木料原来的体积是多少立方分米? 【答案】2.4米=24分米 96÷8×24=288(立方分米) 答：这跟木料原来的体积是288立方分米     【详解】把这根木料锯成5段，增加了8个底面，从而可以求出1个底面的面积，进而求出木料的体积．由题意可知：把这根木料锯成5段，增加了8个底面，再据“表面积增加96平方分米”即可求出这根木料的底面积，从而利用长方体的体积公式即可求出木料的体积． 20．一个正方体的表面涂满了红色,然后如下图切开,切开的小正方体中: (1)三面涂红色的有几个? (2)两个面涂红色的有几个? (3)一个面涂红色的有几个? (4)六个面都没有涂色的有几个? 【答案】(1)8个　(2)36个　(3)54个　(4)27个 【详解】略 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $