表面涂色的正方体（教学设计）2025-2026学年苏教版数学五年级下册

《表面涂色的正方体》教案（3课时）-2025-2026学年苏教版（2026修订）小学数学五年级下册 1、 学情分析 五年级学生已掌握正方体的基本特征（8个顶点、12条棱、6个面），具备一定的观察、操作和简单推理能力，对动手探究类数学活动兴趣浓厚。但学生空间想象力存在差异，对“立体图形内部结构”“位置与数量关联”的抽象理解较弱，易混淆不同涂色小正方体的位置；同时，从具体实例归纳一般规律、用字母表示规律的能力不足，需依托直观操作、逐步递进的探究活动，突破“从具象到抽象”的认知难点，积累空间探究与归纳推理的活动经验。 2、 教材分析 本节课选自2026修订苏教版小学数学五年级下册“综合与实践”领域（教材第106-107页），是在学生学习“长方体和正方体的认识”“表面积与体积”后安排的规律探究课。教材以“表面涂色大正方体切割成小正方体”为核心情境，按“棱分2份→棱分3份→棱分4份→归纳一般规律”的逻辑编排，通过4个递进式探究任务，引导学生研究三面涂色、两面涂色、一面涂色、无涂色小正方体的位置与数量规律。本课是正方体特征的延伸应用，承载“化繁为简、分类计数、数形结合、归纳推理”的数学思想，既是对前期立体图形知识的深化，也为后续立体图形进阶学习、代数规律探究奠定基础，在空间与图形领域起承上启下作用。 3、 核心素养教学目标 1. 空间观念：通过观察、操作、想象，精准定位三面、两面、一面涂色及无涂色小正方体的位置，建立三维立体图形的表象，理解立体图形“顶点—棱—面—内部”的结构关联。 2. 推理意识：经历“操作观察→数据记录→对比分析→归纳猜想→验证规律”的完整过程，从棱分2、3、4份的特殊案例，归纳出棱分n份的一般规律，掌握“从特殊到一般”的推理方法。 3. 模型意识：能结合正方体特征，抽象出不同涂色小正方体数量的数学模型，用含字母n的式子表示规律，理解“位置决定数量”的模型本质，提升数学抽象与符号表达能力。 4. 应用意识：能运用归纳的规律，解决棱分任意份数的涂色计数问题，感受数学规律的简洁性与实用性，激发空间图形探究兴趣，培养严谨的思维习惯。 4、 教学重难点 1. 教学重点：探究并掌握三面、两面、一面涂色及无涂色小正方体的位置特征与数量规律，理解规律的推导过程。 1. 教学难点：理解“棱分份数n”与“各类涂色小正方体数量”的关联，归纳并灵活运用含字母n的一般规律，突破立体图形内部结构的想象障碍。 5、 教学过程 第一课时：探究棱分2份、3份的涂色规律 （1） 复习旧知，情境导入 师：同学们，我们已经认识了正方体，谁能说说正方体有哪些基本特征？ 生：正方体有8个顶点、12条棱、6个完全相同的面，12条棱长度相等。 师：掌握得很扎实！今天我们来玩一个“涂色切正方体”的数学游戏，探究藏在正方体里的涂色奥秘——《表面涂色的正方体》（板书课题）。 师：请看教材第106页情境图：一个正方体表面涂上红色，再把每条棱平均分成2份，然后切开，能切成多少个小正方体？ 生：每条棱分2份，切成的小正方体个数是2×2×2=8个。 师：这8个小正方体的涂色情况一样吗？都有几个面涂色？今天我们就从简单情况入手，一步步探究规律。 （2） 探究棱分2份的正方体（教材第106页例1） 1. 直观操作，感知涂色情况 师：请大家拿出棱长2等分的涂色正方体学具（或观察课件演示），数一数：切成的8个小正方体，每个小正方体有几个面涂色？ 学生观察、触摸学具，小组内交流。 师：谁来分享你的发现？ 生1：每个小正方体都有3个面涂色。 生2：因为它们都在原来大正方体的顶点位置，顶点处的小正方体有3个面露在外面。 2. 记录数据，初步梳理 师：我们把观察结果记录在表格里（板书表格，对应教材第106页记录表）： 大正方体棱平均分的份数 2份 切成小正方体总个数 8 三面涂色的小正方体个数 8 两面涂色的小正方体个数 0 一面涂色的小正方体个数 0 无涂色的小正方体个数 0 师：为什么两面、一面、无涂色的都是0？ 生：棱分2份时，所有小正方体都在顶点上，没有在棱中间、面中间和内部的，所以只有三面涂色的。 设计意图：从最简单的棱分2份入手，降低探究难度，让学生初步感知“顶点处小正方体三面涂色”的位置特征，为后续探究铺垫。 （3） 探究棱分3份的正方体（教材第106页例2） 1. 提出问题，动手探究 师：如果把正方体每条棱平均分成3份（教材第106页下图），再切开，能切成多少个小正方体？ 生：3×3×3=27个。 师：这27个小正方体的涂色情况会有几种？请小组合作，用学具拆一拆、分一分，数一数：三面涂色、两面涂色、一面涂色、无涂色的小正方体各有多少个？并填写教材第106页的表格。 学生小组操作：拆分棱3等分的涂色正方体，分类计数，教师巡视指导，重点引导学生按“顶点→棱→面→内部”的顺序观察。 2. 汇报交流，明确位置与数量 师：哪个小组来汇报你们的结果？先说说三面涂色的小正方体有几个，在什么位置？ 生1：三面涂色的有8个，都在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以是8个。 师：非常准确！不管棱分几份，顶点数量不变，所以三面涂色的小正方体个数永远是8个（板书：三面涂色：顶点处，8个）。 师：两面涂色的小正方体有几个？在什么位置？ 生2：两面涂色的有12个，在每条棱的中间，不在顶点上。正方体有12条棱，每条棱中间有1个，12×1=12个。 师：说得很清晰！棱分3份时，每条棱去掉两端的2个顶点，中间剩1个，12条棱就是12个（板书：两面涂色：棱中间，12×(3-2)=12个）。 师：一面涂色的呢？ 生3：一面涂色的有6个，在每个面的中间，不在棱上。正方体有6个面，每个面中间有1个，6×1=6个。 师：没错！每个面去掉周边的棱，中间形成1个小正方体，6个面就是6个（板书：一面涂色：面中间，6×(3-2)²=6个）。 师：最后，没有涂色的小正方体有几个？在哪里？ 生4：没有涂色的有1个，在大正方体的最内部，被外面的小正方体包围着，没有面露在外面。 师：太会观察了！内部的小正方体，棱长比大正方体少2份（去掉左右、前后、上下各1层），所以是(3-2)³=1个（板书：无涂色：内部，(3-2)³=1个）。 3. 完善表格，对比总结 师：我们把棱分3份的数据补充到表格里： 大正方体棱平均分的份数 2份 3份 切成小正方体总个数 8 27 三面涂色的小正方体个数 8 8 两面涂色的小正方体个数 0 12 一面涂色的小正方体个数 0 6 无涂色的小正方体个数 0 1 师：对比棱分2份和3份的情况，你发现了什么？ 生1：三面涂色的都是8个，和棱分几份没关系。 生2：棱分3份时，出现了两面、一面、无涂色的小正方体，位置分别在棱中间、面中间、内部。 设计意图：通过小组合作操作、汇报交流，让学生直观感知棱分3份时四类小正方体的位置，结合正方体特征推导数量，初步建立“位置—数量”的关联，突破“两面、一面涂色”的认知难点。 （4） 课堂小结，梳理收获 师：这节课我们探究了棱分2份和3份的表面涂色正方体，谁来总结一下学到的知识？ 生1：三面涂色的小正方体在顶点处，都是8个。 生2：两面涂色的在棱中间，一面涂色的在面中间，无涂色的在内部。 生3：棱分3份时，两面涂色12个，一面涂色6个，无涂色1个。 师：总结得很全面！下节课我们继续探究棱分4份的情况，看看能不能找到更通用的规律。 第二课时：探究棱分4份的涂色规律，归纳一般规律 （1） 复习回顾，导入新课 师：上节课我们探究了棱分2份、3份的涂色正方体，谁能快速回答：棱分3份时，三面、两面、一面、无涂色的小正方体各有多少个？ 生：三面涂色8个，两面涂色12个，一面涂色6个，无涂色1个。 师：很棒！如果把正方体每条棱平均分成4份（教材第107页例3），切成的小正方体中，四类涂色的各有多少个？我们继续用“观察—计数—分析”的方法探究。 （2） 探究棱分4份的正方体（教材第107页例3） 1. 猜想预判，验证探究 师：先猜一猜，棱分4份时，三面涂色的还是8个吗？ 生：是，因为顶点还是8个。 师：那两面涂色、一面涂色、无涂色的大概有多少？请小组合作，结合学具或课件演示，数一数、算一算，填写教材第107页表格。 学生小组探究：先算总个数4×4×4=64个；再按顶点、棱、面、内部的顺序计数，教师引导学生用“减法”思考：每条棱去掉2个顶点，剩4-2=2个两面涂色的；每个面去掉周边棱，剩(4-2)×(4-2)=4个一面涂色的；内部棱长4-2=2，个数2×2×2=8个。 2. 汇报推导，深化规律理解 师：谁来汇报棱分4份的结果，并说说你是怎么算的？ 生1：三面涂色8个（顶点）；两面涂色：12×(4-2)=24个（12条棱，每条棱中间2个）；一面涂色：6×(4-2)²=24个（6个面，每个面中间4个）；无涂色：(4-2)³=8个（内部棱长2）；总个数64个。 师：说得太有条理了！我们把数据补充到表格里： 大正方体棱平均分的份数 2份 3份 4份 切成小正方体总个数 8 27 64 三面涂色的小正方体个数 8 8 8 两面涂色的小正方体个数 0 12 24 一面涂色的小正方体个数 0 6 24 无涂色的小正方体个数 0 1 8 师：对比棱分3份和4份的两面涂色数量：3份时12×1，4份时12×2；一面涂色：3份时6×1²，4份时6×2²；无涂色：3份时1³，4份时2³。这里的1和2，和棱分的份数有什么关系？ 生：1=3-2，2=4-2，都是棱分份数减2。 设计意图：通过棱分4份的探究，让学生从“直观计数”过渡到“算式推导”，初步感知“n-2”的核心关联，为归纳一般规律铺垫。 （3） 归纳棱分n份的一般规律（教材第107页“想一想”） 1. 提出问题，抽象建模 师：如果把正方体每条棱平均分成n份（n≥2，n是自然数），你能用含n的式子表示四类小正方体的数量吗？结合前面的探究，小组讨论，完成表格最后一列（n份）。 学生小组讨论：结合2、3、4份的规律，推导n份的表达式，教师引导关联正方体特征与位置。 2. 汇报总结，明确一般规律 师：谁来分享你们推导的n份规律？ 生1：三面涂色：永远8个，和n无关（顶点固定8个）。 生2：两面涂色：12×(n-2)个（12条棱，每条棱去掉2个顶点，剩n-2个）。 生3：一面涂色：6×(n-2)²个（6个面，每个面中间是边长为n-2的正方形，面积(n-2)²）。 生4：无涂色：(n-2)³个（内部是棱长为n-2的小正方体，体积(n-2)³）。 生5：总个数：n³个（大正方体棱长n，体积n³）。 师：板书完整一般规律（核心结论，教材重点）： 1. 三面涂色：8个（顶点处，与n无关） 1. 两面涂色：12(n-2)个（棱中间，12条棱） 1. 一面涂色：6(n-2)²个（面中间，6个面） 1. 无涂色：(n-2)³个（内部） 1. 总个数：n³个 师：这里的n可以是2、3、4、5……任意大于等于2的自然数，我们从2、3、4份的特殊情况，归纳出了n份的一般规律，这就是“从特殊到一般”的推理方法。 设计意图：通过小组讨论，从具体数据抽象出字母表达式，完成“具象→抽象”的认知跨越，建立数学模型，落实推理意识与模型意识的核心素养。 （4） 巩固验证，深化规律应用 师：请用我们总结的规律，验证棱分5份时，四类小正方体的数量各是多少？ 学生独立计算，汇报： 1. 三面涂色：8个 1. 两面涂色：12×(5-2)=36个 1. 一面涂色：6×(5-2)²=54个 1. 无涂色：(5-2)³=27个 1. 总个数：5³=125个 师：大家算得又快又准！验证结果符合规律，说明我们归纳的一般规律是正确的。 （5） 课堂小结，梳理规律 师：这节课我们探究了棱分4份的涂色正方体，还归纳出了棱分n份的一般规律，谁来再复述一遍规律？ 生：三面涂色8个；两面涂色12(n-2)个；一面涂色6(n-2)²个；无涂色(n-2)³个；总个数n³个。 师：记住位置特征，就能轻松记住规律：顶点三面、棱中两面、面中一面、内部无涂色（板书口诀）。下节课我们将运用规律解决实际问题。 第三课时：规律应用与综合练习 （1） 复习规律，夯实基础 师：前两节课我们探究了表面涂色正方体的涂色规律，谁能快速说出核心规律？（结合板书口诀） 生：顶点三面（8个）、棱中两面（12(n-2)）、面中一面（6(n-2)²）、内部无涂色（(n-2)³）。 师：今天我们就运用这些规律，解决教材中的练习题和实际问题，巩固所学知识。 （2） 基础练习，教材习题巩固（教材第107页“练一练”） 1. 练一练第1题：一个正方体表面涂色，每条棱平均分成6份，切开后： （1） 三面涂色的小正方体有______个； （2） 两面涂色的小正方体有______个； （3） 一面涂色的小正方体有______个； （4） 无涂色的小正方体有______个。 师：请大家独立完成，说说你是怎么算的？ 生：n=6，三面涂色8个；两面涂色12×(6-2)=48个；一面涂色6×(6-2)²=6×16=96个；无涂色(6-2)³=64个。 2. 练一练第2题：一个表面涂色的正方体，切开后两面涂色的小正方体有36个，这个正方体的每条棱平均分成了几份？ 师：这道题是逆向思考，已知两面涂色数量，求n。谁来分析？ 生：两面涂色数量=12(n-2)=36，先算n-2=36÷12=3，再算n=3+2=5，所以每条棱平均分成5份。 设计意图：通过教材基础练习，正向、逆向应用规律，强化对公式的理解与计算能力，夯实核心知识点。 （3） 变式练习，深化理解 1. 变式1：一个正方体表面涂黄色，每条棱平均分成n份，切开后无涂色的小正方体有27个，求n的值及一面涂色的小正方体数量。 师：无涂色数量=(n-2)³=27，27是3³，所以n-2=3，n=5；一面涂色=6×(5-2)²=54个。 2. 变式2：把一个长5cm、宽5cm、高5cm的正方体表面涂红色，切成棱长1cm的小正方体，一面涂色的小正方体有多少个？ 师：棱长5cm，切成1cm小正方体，棱分5份（n=5）；一面涂色=6×(5-2)²=54个。 设计意图：通过变式练习，结合正方体棱长与切割份数的关联，灵活应用规律，突破逆向思维难点，提升知识迁移能力。 （4） 拓展思考，内化思想 师：如果把正方体表面涂色后，每条棱平均分成10份，你能快速说出四类小正方体的数量吗？ 生：三面涂色8个；两面涂色12×8=96个；一面涂色6×64=384个；无涂色8³=512个。 师：我们今天解决了棱分任意份数的涂色问题，其实用到了“化繁为简”的数学思想——遇到复杂问题，先从简单情况入手，找到规律后再解决复杂问题。这种思想在数学学习中非常重要。 （5） 课堂小结，系统梳理 师：三节课的探究结束了，我们系统梳理一下： 1. 位置特征：三面涂色（顶点）、两面涂色（棱中间）、一面涂色（面中间）、无涂色（内部）； 2. 核心规律：n为棱平均分的份数（n≥2） 三面涂色：8个 两面涂色：12(n-2)个 一面涂色：6(n-2)²个 无涂色：(n-2)³个 总个数：n³个 3. 数学思想：化繁为简、从特殊到一般、数形结合。 6、 小结 本设计紧扣2026修订苏教版五年级下册教材内容，以“表面涂色正方体切割”为核心情境，分三课时层层递进展开教学：第一课时从棱分2份、3份的简单情况入手，直观感知四类小正方体的位置与数量；第二课时探究棱分4份的情况，归纳出棱分n份的一般规律，完成从具象到抽象的建模；第三课时通过基础练习、变式练习，正向与逆向应用规律，内化数学思想。 教学过程始终围绕“正方体特征”展开，依托学具操作、课件演示、小组合作等活动，引导学生经历“观察—计数—分析—归纳—应用”的完整探究过程，落实空间观念、推理意识、模型意识、应用意识的核心素养目标。同时，突出“位置决定数量”的核心逻辑，用口诀简化规律记忆，贴合五年级学生认知特点，实用性强，主次逻辑清晰，帮助学生扎实掌握涂色规律及探究方法，为后续数学学习积累活动经验与思想方法。 2 学科网（北京）股份有限公司 $