第五单元 运算律讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

该小学数学第五单元运算律举一反三讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖加法与乘法的交换律、结合律、分配律等基本运算律，拓展至简便计算与实际问题应用，并提炼易错点，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层设计的考点讲练，如相遇问题结合行程模型培养运算能力与模型意识，变式训练兼顾基础与提升。易错点分析助力学生规避错误，综合训练覆盖选择、计算等题型，支持学生自主复习，便于教师实施精准教学。

第五单元 运算律 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本运算律（加法与乘法） 1 二、运算律的拓展应用 3 三、易错点与注意事项 4 考点讲练 4 考点一：整数加法交换律 4 考点二：整数加法结合律 7 考点三：整数减法的性质 9 考点四：整数乘法交换律 11 考点五：整数乘法结合律 13 考点六：整数乘法分配律 16 考点七：整数除法的性质 19 考点八：相遇问题 23 综合训练 26 知识梳理 一、基本运算律（加法与乘法） （一）加法交换律 1.定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 2.字母表达式：(a + b = b + a)（其中(a)、(b)为任意数）。 3.典型例题： 数字计算：(25 + 36 = 36 + 25)（(25 + 36 = 61)，(36 + 25 = 61)，和相等）。 实际场景：小红上午摘了(48)个草莓，下午摘了(52)个，全天摘的草莓总数与“下午摘(52)个，上午摘(48)个”相同，即(48 + 52 = 52 + 48 = 100)（个）。 （二）加法结合律 1.定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 2.字母表达式：((a + b) + c = a + (b + c))（其中(a)、(b)、(c)为任意数）。 3.典型例题： 数字计算：((18 + 27) + 33 = 18 + (27 + 33))（左边：(45 + 33 = 78)；右边：(18 + 60 = 78)，和相等）。 凑整应用：计算(28 + 17 + 72)，可利用结合律先算(28 + 72 = 100)，再算(100 + 17 = 117)。 （三）乘法交换律 1.定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 2.字母表达式：其中(a)、(b)为任意数，(0)除外，(0)乘任何数都得(0)，交换后积仍为(0)）。 3.典型例题： 数字计算）。 实际场景：每盒铅笔有(12)支，买了(5)盒，总数量与“每盒(5)支，买(12)盒”相同，即）。 （四）乘法结合律 1.定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 2.字母表达式：。 3.典型例题： 数字计算： （五）乘法分配律 1.定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 2.字母表达式： 3.典型例题： 正向应用： 反向应用： 特殊形式（拆数凑整）： 二、运算律的拓展应用 （一）简便计算方法 1.加法简便计算：利用加法交换律和结合律，将能凑成整十、整百、整千的数先相加。 例：(37 + 58 + 63 + 42 = (37 + 63) + (58 + 42) = 100 + 100 = 200)（同时用交换律和结合律）。 2.乘法简便计算： 利用乘法交换律和结合律凑整： 利用乘法分配律拆分：。 3.连减/连除的简便计算（拓展性质）： 连减：(a - b - c = a - (b + c))（一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和）。例：(150 - 76 - 24 = 150 - (76 + 24) = 150 - 100 = 50)。 连除：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积）。例： （二）实际问题中的应用 1.购物问题：计算总价时，利用乘法分配律简化计算。 例：每支钢笔(12)元，每本笔记本(8)元，买(5)支钢笔和(5)本笔记本，一共需要多少元？ 解： 2.行程问题：计算路程时，利用乘法分配律合并同类项。 例：一辆车上午行驶(4)小时，每小时(60)千米；下午行驶(5)小时，每小时(60)千米。全天共行驶多少千米？ 解： 三、易错点与注意事项 1.混淆乘法结合律与乘法分配律： 乘法结合律是“连乘”，只涉及乘法： 乘法分配律是“和与积”，涉及加法和乘法 错误示例：。 2.运算律不适用于减法和除法： 减法和除法没有交换律和结合律，例如： 3.乘法分配律反向应用漏项： 例：计算。 4.拆数时符号错误： 计算。 考点讲练 考点一：整数加法交换律 【典例精讲】某服装厂四月份生产了378套服装，五月份生产了446套服装，六月份生产的比四、五月份生产的总数量还多122套。六月份生产了多少套服装？ 【答案】946套 【分析】某服装厂四月份生产了378套服装，五月份生产了446套服装，据此用加法先算出四、五月份生产的总数量；又已知六月份生产的比四、五月份生产的总数量还多122套，则用加法即可求出六月份生产的服装套数。计算时根据加法交换律进行计算即可。据此解答。 【详解】378＋446＋122 ＝378＋122＋446 ＝500＋446 ＝946（套） 答：六月份生产了946套服。 【变式训练】海海应用加法交换律写了一道等式：3＋5＝5＋7。若这两个数的和是124，则这两个加数分别是多少？ 【答案】73；51 【分析】加法交换律：a＋b＝b＋a，通过观察等式，可知是两位数加两位数，等式左边第一个数的个位是3，换到等式右边应该是等式右边第二个数，所以十位是7，也就是73；加数＝和－另一个加数，据此用124－73即可求出另一个加数。 【详解】 由3＋5＝5＋7可知，左边3是73； 124－73＝51 答：这两个加数是73和51。 【变式训练】李叔叔家有23棵苹果树，其中4棵树的产量分别是：119千克、142千克、181千克、158千克。按照这4棵的平均产量来计算，李叔叔家一共可以收获苹果约多少千克？（注意运用简便方法） 【答案】3450千克 【分析】其中4棵树的产量已知，把这4个数相加，即119加142加181，再加158，计算时根据加法交换律，交换181与142的位置，再根据加法结合律，分别先计算119与181的和、142与158的和，最后把这两个和相加，因为平均数＝总数量÷总份数，再用这个和除以4即为1棵树的平均产量，最后用这个商乘23即可解答。 【详解】119＋142＋181＋158 ＝119＋181＋142＋158 ＝（119＋181）＋（142＋158） ＝300＋300 ＝600（千克） 600÷4＝150（千克） 150×23＝3450（千克） 答：李叔叔家一共可以收获苹果约3450千克。 【变式训练】实验小学四、五、六年级同学参加人工智能创意编程比赛的人数见表，三个年级一共有多少人参加比赛？ 四年级 五年级 六年级 38人 46人 62人 【答案】146人 【分析】解答本题时已知三个年级分别有多少人参加人工智能创意编程比赛，那么我们只需要将它们相加求和，这样就能求出三个年级一共有多少人参加人工智能创意编程比赛；运算时可以把38和62进行结合，这样运算比较简便。 【详解】 ＝ ＝ ＝146（人） 答：三个年级一共有146人参加比赛。 考点二：整数加法结合律 【典例精讲】丹尼斯新进五筐苹果，各筐的质量分别为184千克、154千克、125千克、146千克、116千克，这五筐苹果一共重多少千克？ 【答案】725千克 【分析】据题意可知丹尼斯新进五筐苹果各筐的质量，求这五筐苹果一共重多少千克，即这五筐苹果的总质量，则将丹尼斯新进五筐苹果各筐的质量相加即可，计算时我们可以根据加法的交换律和结合律，进行简便计算。 【详解】184＋154＋125＋146＋116 ＝184＋116＋154＋146＋125 ＝（184＋116）＋（154＋146）＋125 ＝300＋300＋125 ＝600＋125 ＝725（千克） 答：这五筐苹果一共重725千克。 【变式训练】同学们为失学儿童捐款，三年级捐了258元。四年级捐了369元。五年级捐了442元。三个年级一共捐款多少元？ 【答案】1069元 【分析】根据题意，把三个年级的捐款数相加就是一共捐款多少元。计算时，根据加法交换律和加法结合律把258和442相加，算出结果再和442相加，使得计算简便。 【详解】258＋369＋442 ＝（258＋442）＋369 ＝700＋369 ＝1069（元） 答：三个年级一共捐款1069元。 【变式训练】国庆节期间，王兵开车去甲、乙两个景区旅游。第一天从家到甲景区行了78千米，第二天从甲景区到乙景区行了125千米，第三天从乙景区回家行了122千米。这三天王兵开车一共行了多少千米？ 【答案】 325千米 【分析】根据加法的意义，把三天一共行驶的路程相加，求出这三天王兵开车一共行了多少千米，计算时可以根据加法交换律和结合律进行简算。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 78＋125＋122 ＝125＋（78＋122）   ＝125＋200 ＝325（千米） 答：这三天王兵开车一共行了325千米。 【变式训练】一只青蛙第一天捉了138只害虫，第二天捉了157只害虫，第三天捉了62只害虫。这只青蛙三天一共捉了多少只害虫？ 【答案】357只 【分析】根据题意，将这个三天捕捉害虫的数量相加即可，再计算时，根据加法交换律和交换律，先将138与62相加，计算更简便，据此作答。 【详解】138＋157＋62 ＝157＋（138＋62） ＝157＋200 ＝357（只） 答：一共捉了357只害虫。 考点三：整数减法的性质 【典例精讲】王军在使用计算器计算734－198时，发现“8”键坏了，怎样按键可以算出结果？把你的想法用算式写出来：( )。 【答案】734－200＋2 【分析】在使用计算器计算734－198时，发现“8”键坏了，那么可以把减数198拆成200－2，算式变成734－（200－2），然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）去掉括号后再计算，得数不变。 【详解】734－198 ＝734－（200－2） ＝734－200＋2 ＝534＋2 ＝536 所以，在使用计算器计算734－198时，发现“8”键坏了，可以用算式（734－200＋2）替代。（答案不唯一） 【变式训练】不计算，在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 746÷16( )846÷16                       87＋168÷17( )168÷17＋87 61＋3×3( )（61＋3）×3                 389－（88－9）( )389－（88＋9） 54×（100－2）( )54×102                226－74＋36( )226－（74＋36） 【答案】 ＜ ＝ ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】（1）在除法算式中，除数相同，被除数较大，则商也较大； （2）87＋168÷17、168÷17＋87都是先算除法，再算加法，并且数据都相同，则结果也相等； （3）（61＋3）×3＝61×3＋3×3，再与61＋3×3比较大小； （4）在减法算式中，被减数相同，减数越大，则差越小； （5）54×（100－2）＝54×98，在乘法算式中，一个因数相同，另一个因数较大，则积也较大； （6）226－（74＋36）＝226－74－36，一个数加上36大于这个数减去36。 【详解】（1）746÷16＜846÷16； （2）87＋168÷17＝168÷17＋87； （3）（61＋3）×3＝61×3＋3×3，61＋3×3＜61×3＋3×3，则61＋3×3＜（61＋3）×3； （4）88－9＜88＋9，389－（88－9）＞389－（88＋9）； （5）54×（100－2）＝54×98，54×98＜54×102，则54×（100－2）＜54×102； （6）226－（74＋36）＝226－74－36，226－74＋36＞226－74－36，则226－74＋36 ＞226－（74＋36）。 【点睛】算式的大小比较通常是口算或估算出结果再根据结果进行比较，或先找规律或性质，然后再根据规律或性质进行比较。 【变式训练】小华计算395－298时，先算出395－300＝95。要得到正确的结果，还需再( )。 【答案】计算95＋2＝97 【分析】根据减法的性质简算395－298时，将298看成300－2，先计算395－300，再用差加上2即可。 【详解】395－298 ＝395－（300－2） ＝395－300＋2 ＝95＋2 ＝97 要得到正确的结果，还需再计算95＋2＝97。 【点睛】本题考查学生对整数运算定律的认识和掌握情况，应根据算式中数据特点和运算符号，选择合适的运算定律进行简算。 【变式训练】如果 a＋b＝300，且a－b＝150，那么 a＋（b＋40）＝( )，a－（b－60）＝( )。 【答案】 340 210 【分析】根据题意， a＋（b＋40）＝a＋b＋40，将a＋b＝300带入计算即可；a－（b－60）＝a－b＋60，将a－b＝150带入计算，即可解答。 【详解】因为a＋b＝300， 所以a＋（b＋40） ＝a＋b＋40 ＝300＋40 ＝340 因为a－b＝150， 所以a－（b－60） ＝a－b＋60 ＝150＋60 ＝210 【点睛】本题的关键是先把算式进行化简，再计算解答。 考点四：整数乘法交换律 【典例精讲】园园在用计算器计算125×50×25×29×20×4×8时，发现计算器坏了。你能帮她用简便方法计算吗？ 【答案】 2900000000 【分析】运用乘法交换律和结合律进行简便计算，使计算结果为整十、整百、整千的数，从而简化计算过程。 【详解】125×50×25×29×20×4×8 ＝（125×8）×（50×20）×（25×4）×29 ＝1000×1000×100×29 ＝2900000000 【变式训练】在用简便方法计算这道题时，小云运用了乘法结合律，小华运用了乘法分配律，你知道他们两个是怎样计算的吗？请把计算过程写下来。 小云：        小华： 【答案】见详解 【分析】小云运用了乘法结合律，把44化成11×4进行简算；小华运用了乘法分配律，把44看作40＋4进行简算。 【详解】小云：44×25     ＝11×4×25     ＝11×（4×25）     ＝11×100     ＝1100     小华：44×25 ＝（40＋4）×25 ＝40×25＋4×25 ＝1000＋100 ＝1100 【变式训练】一本画册有25页，每页都有29幅彩图。4本这样的画册有多少幅彩图？ 【答案】2900幅 【分析】一本画册有25页，4本这样的画册共有4个25页，即（25×4＝100）页；每页都有29幅彩图，共有100个29幅，即（29×100）幅。 【详解】25×29×4 ＝25×4×29 ＝100×29 ＝2900（幅） 答：4本这样的画册有2900幅彩图。 【点睛】本题考查两边连乘解决问题。先列出算式，再根据乘法交换律进行简算。 【变式训练】明光小学新建一幢5层的教学楼，每层4个教室，每个教室放24张课桌，一共需要多少张课桌？ 【答案】480张 【分析】先求出一共有多少间教室，再用教室数×每个教室课桌数＝共需多少张课桌。 【详解】5×4×24 ＝20×24 ＝480（张） 答：一共需要480张课桌。 【点睛】本题也可以先求出每层教室有多少张课桌，再乘教学楼的层数求出所需课桌总数。 考点五：整数乘法结合律 【典例精讲】．小力计算器上的数字键“8”因为按的次数太多失灵了。现在小力想用这个计算器计算324×48，你能帮她想出4种不同的计算方法吗？（用算式表示出你的算法） 【答案】见详解 【分析】观察需要计算的算式，发现计算324×48，由于数字按键“8”失灵，所以“48”就不能按出来，所以我们需要把“48”用其余算式进行替代。我们可以把“48”看成（4×12），（3×16）或者（2×24），然后根据乘法结合律来进行计算，我们也可以把“48”看成（50－2），或者（24＋24）等，然后根据乘法分配律来进行计算。据此解答。 【详解】方法一： 324×48 ＝324×（4×12） ＝324×4×12 ＝1296×12 ＝15552 方法二： 324×48 ＝324×（3×16） ＝324×3×16 ＝972×16 ＝15552 方法三： 324×48 ＝324×（2×24） ＝324×2×24 ＝648×24 ＝15552 方法四： 324×48 ＝324×（50－2） ＝324×50－324×2 ＝16200－648 ＝15552 【点睛】本题主要考查乘法分配律与乘法结合律，解决此题的关键是在不需要用到按键“8”的同时，要能够凑出“48”。 【变式训练】幸福家园小区共有8幢设计相同的居民楼，每层有3户，每幢楼都是25层，这个小区一共能入住多少户居民？ 【答案】600户 【分析】首先，我们知道每幢楼有25层，每层有3户，那么每幢楼的总户数就是层数乘以每层的户数。接下来，我们知道小区共有8幢这样的居民楼，所以整个小区的总户数就是每幢楼的户数乘以居民楼的总数。在计算过程中用乘法结合律可使计算简便。 【详解】3×25×8 ＝3×（25×8） ＝3×200 ＝600（户） 答：这个小区一共能入住600户居民。 【变式训练】春光小学举行口算比赛，规定每个班选派15人参加。每个年级有7个班，6个年级一共要选派多少人参加比赛？ 【答案】630人 【分析】根据题意，用7乘6，求出6个年级共有多少个班，再乘15，求出6个年级一共要选派多少人参加比赛。 【详解】7×6×15 ＝7×（6×15） ＝7×90 ＝630（人） 答：6个年级一共要选派630人参加比赛。 【点睛】本题的关键是读懂题意，理清题中的数量关系，再确定先算什么，最后再算什么。 【变式训练】光明小学新建一幢5层的教学楼，每层有8个教室，每个教室需要54张课桌。一共需要多少张课桌？ 【答案】2160张 【分析】先用层数乘每层的教室个数求出有多少个教室，再乘每个教室的课桌数量，求出一共需要多少张课桌。 【详解】5×8×54 ＝40×54 ＝2160（张） 答：一共需要2160张课桌。 【点睛】本题考查连乘的实际应用，连乘的每一步都要有意义。 考点六：整数乘法分配律 【典例精讲】童装店一件上衣54元，一条裤子56元，节日期间这个店里卖出11套这样的服装，一共卖了多少钱？ 【答案】1210元 【分析】根据题意，一套服装就是上衣加上裤子，卖出11套这样的服装就是卖出11件这样的上衣和11条这样的裤子，用每件上衣的钱数乘卖出的件数，求出卖出上衣的钱数，用每件裤子的钱数乘卖出的条数，求出卖出裤子的钱数，最后再把卖出上衣的钱数和卖出裤子的钱数相加，即可求出一共卖了多少钱。计算时利用乘法分配律计算即可。 【详解】54×11＋56×11 ＝（54＋56）×11 ＝110×11 ＝1210（元） 答：一共卖了1210元钱。 【变式训练】某学校开展阳光体育运动，计划购买篮球和足球各60个（如下图），购买这两种球一共需要多少元？ 【答案】 6600元 【分析】总价＝单价×数量，把65与60相乘，可以求出60个篮球的总价，把45与60相乘，可以求出60个足球的总价，最后把这两个积相加，计算时可以逆用乘法分配律，先计算65与45的和，再给这个和乘60，这样计算会简便些，据此计算出共需要多少元。 【详解】65×60＋45×60 ＝（65＋45）×60 ＝110×60 ＝6600（元） 答：购买这两种球一共需要6600元。 【变式训练】哥哥和弟弟两人同时从家出发去上学，弟弟每分钟走50米，哥哥每分钟走60米。经过15分钟哥哥到达学校，这时弟弟距离学校还有多少米？ 【答案】150米 【分析】根据路程＝速度×时间，先用哥哥每分钟走的距离乘到达学校的时间，求出家到学校的距离，用弟弟每分钟走的距离乘哥哥到达学校的时间，求出弟弟此时一共走了多少米，用家到学校的距离减去弟弟走的长度，即可求出这时弟弟距离学校还有多少米，可以利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算简便计算即可。 【详解】60×15－50×15 ＝（60－50）×15 ＝10×15 ＝150（米） 答：这时弟弟距离学校还有150米。 【变式训练】甲、乙两地相距2千米，小美和小丽同时从甲、乙两地出发，相向而行。小美的速度是56米/分，小丽的速度是48米/分。如果经过18分钟，此时两人相距多少米？ 【答案】128米 【分析】因为两人行驶时间相同，根据路程＝速度×时间，用小美的速度与小丽的速度乘经过的时间，再相加即可求出两人一共行驶的路程。再把2千米换算成2000米，用甲乙两地的距离减去两人一共行驶的路程即为所求。 【详解】56×18＋48×18 ＝（56＋48）×18 ＝104×18 ＝1872（米） 2千米＝2000米 2000－1872＝128（米） 答：此时两人相距128米。 考点七：整数除法的性质 【典例精讲】用递等式计算，能简便的要简便。 480－80÷5    360÷15÷2   210÷35 【答案】464；12；6 【分析】（1）先计算除法，再计算减法； （2）除法运算的性质：一个数连续除以两个数等于用这个数除以两个数的乘积，先写成，再计算括号里面的，再用360除以括号里面的结果即为答案。 （3）将35拆分成，再利用除法运算的性质，即一个数连续除以两个数等于用这个数除以两个数的乘积，将算式再写成连除的格式，再按照从左到右的顺序计算即可。 【详解】 【变式训练】计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 1200÷25÷4    360÷45    560÷（7×5） 【答案】12；8；16 【分析】根据除法的性质，将算式改写为1200÷（25×4），然后先算小括号里面的乘法，再算小括号外面的除法即可。 把45看作（9×5），然后根据除法的性质，将算式改写为360÷9÷5，然后从左往右依次计算即可。 根据除法的性质，将算式改写为560÷7÷5，然后从左往右依次计算即可。 【详解】1200÷25÷4         ＝1200÷（25×4）         ＝1200÷100            ＝12                     360÷45 ＝360÷（9×5） ＝360÷9÷5 ＝40÷5 ＝8 560÷（7×5） ＝560÷7÷5 ＝80÷5 ＝16 【变式训练】用简便方法计算。 240÷5÷6          600÷24           720÷（8×3） 【答案】8；25；30 【分析】（1）根据除法的运算性质，a÷b÷c＝a÷（b×c），把原式变为240÷（5×6），再按照运算顺序计算即可。 （2）根据除法的运算性质，a÷b÷c＝a÷（b×c），把原式变为600÷（6×4）＝600÷6÷4，再按照运算顺序计算即可。 （3）根据除法的运算性质，a÷b÷c＝a÷（b×c），把原式变为720÷8÷3，再按照运算顺序计算即可。 【详解】240÷5÷6 ＝240÷（5×6） ＝240÷30 ＝8 600÷24 ＝600÷（6×4） ＝600÷6÷4 ＝100÷4 ＝25 720÷（8×3） ＝720÷8÷3 ＝90÷3 ＝30 【变式训练】用简便方法计算下面各题。 386＋254＋46         504＋536             25×32 35×65＋35×35      75×141－75×41       630÷18÷5 【答案】686；1040；800； 3500；7500；7 【分析】（1）利用加法结合律，先计算254＋46进行凑整，再加386； （2）把504拆成500＋4，利用加法结合律，先计算4＋536，再加500； （3）乘法中利用凑整进行巧算，，将32拆分成4和8相乘，利用乘法结合律，先计算25乘4，再乘8； （4）根据乘法分配律，提取相同的因数35，先计算65加35的和，再乘35即可； （5）根据乘法分配律，提取相同的因数75，先计算141减41的差，再乘75即可； （6）利用除法的性质进行简算，将两个除数相乘，然后再进行除法运算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 考点八：相遇问题 【典例精讲】王老师和张老师同时从家出发去科技馆（如图），王老师步行速度是85米/分，张老师骑行速度是215米/分，12分钟后两人同时到达。沿图中的路线，从王老师家到张老师家的路程是多少米？ 【答案】3600米 【详解】根据速度×时间＝路程，用王老师、张老师的速度之和乘两人同时到达科技馆用的时间，即可求出从王老师家到张老师家的路程是多少米。 【解答】（85＋215）×12 ＝300×12 ＝3600（米） 答：从王老师家到张老师家的路程是3600米。 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 【变式训练】小玉和小华同时从甲乙两地相向而行，小玉每分钟走64米，小华每分钟走75米，8分钟后相遇。 （1）甲乙两地相距多少米？ （2）小玉比小华少走多少米？ 【答案】（1）1112米 （2）88米 【分析】（1）已知小玉每分钟走64米，小华每分钟走75米，8分钟后相遇，根据路程＝速度×时间，即求甲乙两地相距多少米，可列式为：64×8＋75×8，据此解答。 （2）用小华8分钟走的路程减去小玉8分钟走的路程，即是小玉比小华少走多少米，据此解答。 【详解】（1）64×8＋75×8 ＝（64＋75）×8 ＝139×8 ＝1112（米） 答：甲乙两地相距1112米。 （2）75×8—64×8 ＝（75—64）×8 ＝11×8 ＝88（米） 答：小玉比小华少走88米。 【点睛】本题解答的关键是先求出小玉和小华各行走的路程，注意：路程＝速度×时间。 【变式训练】体育强国，我们每个人都要努力。小强和小军在学校的环形跑道上跑步，他们从同地点同时出发，反向而行，小强的速度是4米/秒，小军的速度是6米/秒，经过40秒两人相遇。环形跑道长多少米？ 【答案】400米 【分析】两人的速度和乘相遇的时间等于环形跑道的长度。 【详解】（4＋6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：环形跑道长400米。 【点睛】本题是相遇问题，熟练掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解答本题的关键。 【变式训练】甲、乙两人同时从相距2千米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。如果一只小狗与甲同时出发，同向而行，它每分钟跑400米，当它遇到乙后，立即回头向甲跑去，这样来回不断，直到甲、乙两人相遇，这时小狗一共跑了多少千米？ 【答案】4千米 【分析】由题意可知，狗跑的时间与甲、乙两人相遇所用的时间相同，所以甲、乙两人相遇所用的时间＝两地的距离÷（甲每分钟行的距离＋乙每分钟行的距离），狗跑的距离＝狗每分钟行的距离×甲、乙两人相遇所用的时间，据此代入数据作答即可。 【详解】2千米＝2000米 2000÷（120＋80） ＝2000÷200 ＝10（分钟） 400×10＝4000（米） 4000米＝4千米 答：这时小狗一共跑了4千米。 【点睛】解答此题的关键是明确狗跑的时间与甲、乙两人相遇所用的时间相同，再进一步解答。 综合训练 1．小玲在用计算器计算326×77时，将“77”少按了一个7，如果想得到正确结果，可以再（    ）。 A．加70 B．乘7 C．乘70 D．乘11 【答案】D 【分析】计算326×77时，可将77看成是7×11，然后再根据乘法结合律的特点“a×c×b＝a×（c×b）”进行计算，依此即可选择。 【详解】326×77＝326×（7×11）＝326×7×11 由此可知，小玲在用计算器计算326×77时，将“77”少按了一个7，如果想得到正确结果，可以再乘11。 故答案为：D 2．小芳在计算5×（○＋△）时，看成了5×○＋△，结果比原来要小，下图中能正确表示减少部分的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法分配律可知：5×（○＋△）＝5×○＋5×△，小芳把5×（○＋△）看成了5×○＋△，减少了（5×△－△）。 【详解】5×△－△＝4×△ A．表示减少了○＋2×△。 B．表示减少了2×○＋△。 C．表示减少了4×○。 D．表示减少了4×△。 能正确表示减少部分的是。 故答案为：D 3．口算15×5，先算10×5＝50，再算5×5＝25，最后算50＋25＝75，这里应用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法结合律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加。由题意得，口算15×5时，先把15分成10和5，先算10×5＝50，再算5×5＝25，最后算50＋25＝75，即15×5＝（10＋5）×5＝10×5＋5×5＝50＋25＝75，这个过程应用了乘法分配律。 【详解】由分析得，口算15×5，先算10×5＝50，再算5×5＝25，最后算50＋25＝75，这里应用了乘法分配律。 故答案为：D 4．下i算式中，与540÷45的计算结果不相等的是（    ）。 A．540÷9÷5 B．540÷3÷15 C．540÷40÷50 D．540÷5÷9 【答案】C 【分析】根据除法的性质：一个数除以两位数，可以用这个数分别除以这个两位数的乘积，9×5＝45，3×15＝45，540÷45＝540÷9÷5＝540÷3÷15，据此解题。 【详解】A．540÷9÷5＝540÷45； B．540÷3÷15＝540÷45； C．540÷40÷50≠540÷45； D．540÷5÷9＝540÷45； 下列算式中，与540÷45的计算结果不相等的是540÷40÷50。 故答案为：C 5．海海将（6＋a）×15看成了6＋a×15，他算出的结果比正确的结果少（    ）。 A．15 B．6 C．90 D．84 【答案】D 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。据此先把算式（6＋a）×15进行展开，再与错误的算式进行比较，找出它们的差异相减即可。 【详解】（6＋a）×15＝6×15＋a×15＝90＋a×15 正确的算式90＋a×15与错误的算式6＋a×15相比较，乘法部分相同都是a×15，正确的加数是90，错误的加数是6，少算了：90－6＝84。 因此，海海算出的结果比正确的结果少84。 故答案为：D 6．小华用两种不同的求小正方形总个数的方法，说明了一个运算律的道理，下面是他操作学具的过程，你觉得他想说明的是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】乘法分配律：两个数的和（或差）与第三个数相乘，等于把这个第三个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加（或相减）。第一个图可以看成6×3，第二个图可以看成3×4，即6×3＋3×4＝3×（6＋4）＝3×10，据此解答即可。 【详解】6×3＋3×4 ＝3×（6＋4） ＝3×10 符合乘法分配律的运算方式。 故答案为：C 7．如果A＋B＝30，那么78－A－B＝( )，18×A＋B×18＝( )；如果C×D＝30，那么（C×2）×（D×5）＝( )，240÷D÷C＝( )。 【答案】 48 540 300 8 【分析】根据减法的意义可知，一个数连续减去两个数，等于该数减去这两个数之和；乘法分配律中，a×b＋a×c＝a×（b＋c）；根据乘法交换律：a×b＝b×a和结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）可知，原式可变为：（C×2）×（D×5）＝（2×5）×（C×D）；除法性质：连续除以两个数等于除以它们的乘积，据此计算即可。 【详解】一个数连续减去两个数，等于该数减去这两个数之和，则78－A－B可变式为78－（A＋B），而A＋B＝30，则原式变为78－30＝48； 乘法分配律中，a×b＋a×c＝a×（b＋c），则18×A＋B×18＝18×（A＋B），又A＋B＝30，则原式变为18×30＝540； 根据乘法交换律：a×b＝b×a和结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）可知，原式可变为：（C×2）×（D×5）＝（2×5）×（C×D），而C×D＝30，则原式可变为 （2×5）×30 ＝10×30 ＝300 根据除法性质可知，连续除以两个数等于除以它们的乘积，240÷D÷C＝可变为240÷（D×C），而C×D＝30，则原式等于240÷30＝8。 8．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 300800( )30800              1亿( )1000个一万 560÷40( )560÷8              25×（4×8）( )25×4＋25×8 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞ 【分析】300800（      ）30800：大数比较大小，先看位数，位数越多，数越大，据此判断即可； 1亿（      ）1000个一万：1000个1万就是1千万，1亿大于1千万； 560÷40（      ）560÷8：被除数相同，除数越大，商越小； 25×（4×8）（      ）25×4＋25×8：25×（4×8）等于25×32， 根据乘法分配律， 25×4＋25×8 一个因数相同，另一个因数越大，积越大，据此判断。 【详解】300800是六位数，30800是五位数，所以300800＞30800； 1000个1万就是1千万，1亿大于1千万，所以1亿＞1000个一万； 40＞8，被除数相同，除数越大，商越小，所以560÷40＜560÷8； 25×（4×8）等于25×32，根据分析25×4＋25×8等于25×12，所以 25×（4×8）＞25×4＋25×8 9．如下图：甲乙两人在同一条运动步道跑步锻炼。甲的速度是116米/分，乙的速度是112米/分。两人同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。相遇时甲比乙多跑了( )米，相遇的位置在点( )处（直接填字母） 【答案】 20 D 【分析】两人同时出发，经过5分钟相遇，两人跑的时间相同，都是5分钟。先用甲的速度减去乙的速度，求出两人速度差，再乘跑的时间，求出相遇时甲比乙多跑的路程。甲的速度大于乙的速度，则相同时间甲跑的路程应大于乙跑的路程，相遇的位置一定在C点或D点，再结合两人跑的路程差进行判断。 【详解】（116－112）×5 ＝4×5 ＝20（米） 如果两人在C点相遇，5＋5＝10（米），甲跑步的路程为：跑道总路程的一半＋5米，乙跑步的路程为：跑道总路程的一半－5米，那么两人跑步的路程之差为：5＋5＝10（米）。不满足题意。 如果两人在D点相遇，甲跑步的路程为：跑道总路程的一半＋10米，乙跑步的路程为：跑道总路程的一半－10米，那么两人跑步的路程之差为：10＋10＝20（米）。满足题意。 相遇时甲比乙多跑了20米，相遇的位置在点D处。 10．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 739950( )739750    100个一百万( )1亿    13×4＋5×4( )（13×5）×4 28亿( )280000000    99×76＋99( )100×76    360÷9÷5( )360÷9×5 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＞ ＞ ＜ 【分析】（1）大数的比较：先比较两个数的位数，位数多的数就大。如果两个数的位数相同，就从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。 （2）10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。100个一百万等于10个一千万，10个一千万等于1个亿。据此解答。 （3）根据乘法分配律将算式13×4＋5×4转化为（13＋5）×4，然后对比两个算式并比较它们的大小即可。 （4）先把28亿转化为2800000000，然后再比较它们的大小。 （5）由题意得，在算式99×76＋99中，先把后面的99转化为76＋23，然后根据乘法分配律将算式99×76＋76＋23转化为（99＋1）×76＋23，然后对比两个算式并比较它们的大小即可。 （6）由题意得，先计算括号两边算式的结果，然后再比较它们的大小。 【详解】（1）739950和739750比较大小，它们都是六位数且前三位上的数相同，百位上9＞7，所以739950＞739750。 （2）100个一百万＝10个一千万，10个一千万＝1亿，所以100个一百万＝1亿。 （3）13×4＋5×4＝（13＋5）×4＝18×4。（13×5）×4＝65×4。18＜65，所以18×4＜65×4，即13×4＋5×4＜（13×5）×4。 （4）28亿＝2800000000。2800000000和280000000比较大小，2800000000是十位数，280000000是九位数，所以28亿＞280000000。 （5）99×76＋99＝99×76＋76＋23＝（99＋1）×76＋23＝100×76＋23。100×76＋23＞100×76，所以99×76＋99＞100×76。 （6）360÷9÷5＝40÷5＝8，360÷9×5＝40×5＝200。8＜200，所以360÷9÷5＜360÷9×5。 11．小强的计算器上“3”这个键坏了，你能用小强的计算器计算“527×36”吗？用算式表示操作过程是( )。 【答案】527×9×4（答案不唯一） 【分析】计算器上“3”这个键坏了，所以把36分解成一个用不到数字3的算式，再进一步求解。 【详解】因为36＝9×4所以527×36可以转化成527×9×4（答案不唯一）。 12．小华的计算器上的数字键“4”坏了，如果想用这台计算器计算32×45，你会怎样按键，请你用不同的算式表示出来，( )或( )。 【答案】 32×5×9 32×3×15 【分析】要想计算32×45，而45按不出来，可根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），用算式5×9代替45，也可以用算式3×15代替45。 【详解】小华的计算器上的数字键“4”坏了，如果想用这台计算器计算32×45，你会怎样按键，请你用不同的算式表示出来，（32×5×9）或（32×3×15）。 13．能简便的要简便计算。 125×88            106×47－47×6            652－（69＋52） 720÷45            [236－（157＋23）]×16 【答案】11000；4700；531； 16；896 【分析】（1）88拆成（80＋8），根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，125×（80＋8）变式成125×80＋125×8，再按照运算顺序计算。 （2）根据乘法分配律的逆运算a×b－a×c＝a×（b－c），106×47－47×6变式成47×（106－6），再按照运算顺序计算。 （3）根据减法的性质，将652－（69＋52）变式成652－52－69，再按照运算顺序计算。 （4）45拆成（9×5），根据除法的性质，将720÷45变式成720÷9÷5，再按照运算顺序计算。 （5）先计算小括号中的加法，再计算大括号中的减法，最后计算乘法。 【详解】（1）125×88 ＝125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 （2）106×47－47×6 ＝47×（106－6） ＝47×100 ＝4700 （3）652－（69＋52） ＝652－69－52 ＝652－52－69 ＝600－69 ＝531 （4）720÷45 ＝720÷（9×5） ＝720÷9÷5 ＝80÷5 ＝16 （5）[236－（157＋23）]×16 ＝[236－180]×16 ＝56×16 ＝896 14．计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 732－32×18              540÷15÷4              135×19＋65×19 76＋24×123＋48           44×25             231×[173－（73＋24）] 【答案】156；9；3800 3076；1100；17556 【分析】（1）一个算式中既有减法，又有乘法，要先算乘法，再算减法。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）将原式转化为540÷（15×4）可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，利用乘法分配律将原式转化为（135＋65）×19可使计算简便。 （4）一个算式中既有加法，又有乘法，要先算乘法，再算加法。在算式76＋24×123＋48中，要先算24×123＝2952，然后利用加法结合律将原式转化为76＋（2952＋48）可使计算简便。 （5）仔细观察算式及数据特点可知，先将44转化为11×4，再利用乘法结合律将原式转化为11×（4×25）可使计算简便。 （6）一个算式中，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。在算式231×[173－（73＋24）]中，可以利用减法的性质将原式转化为231×[173－73－24] 可使计算简便。 【详解】732－32×18 ＝732－576 ＝156 540÷15÷4 ＝540÷（15×4） ＝540÷60 ＝9 135×19＋65×19 ＝（135＋65）×19 ＝200×19 ＝3800 76＋24×123＋48 ＝76＋2952＋48 ＝76＋（2952＋48） ＝76＋3000 ＝3076 44×25 ＝（11×4）×25 ＝11×（4×25） ＝11×100 ＝1100 231×[173－（73＋24）] ＝231×[173－73－24] ＝231×[100－24] ＝231×76 ＝17556 15．计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 436＋73＋27         125×28×8            82×38＋18×38 78×101－78         329－186－14          32×25 【答案】 536；28000；3800； 7800；129；800 【分析】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变算式为：436＋（73＋27），再进行计算即可。 （2）根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：125×8×28，再进行计算。 （3）根据乘法分配律的逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，变算式为：（82＋18）×38，再进行计算。 （4）根据乘法分配律的逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，变算式为：78×（101－1），再进行计算。   （5）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：329－（186＋14），再进行计算。 （6）先把32改写成4×8，根据乘法交换律：a×b＝b×a和乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c），变算式为：8×（4×25），再进行计算。 【详解】436＋73＋27 ＝436＋（73＋27） ＝436＋100 ＝536 125×28×8 ＝125×8×28 ＝1000×28 ＝28000 82×38＋18×38 ＝（82＋18）×38 ＝100×38 ＝3800 78×101－78 ＝78×（101－1） ＝78×100 ＝7800 329－186－14 ＝329－（186＋14） ＝329－200 ＝129 32×25 ＝8×4×25 ＝8×（4×25） ＝8×100 ＝800 16．计算下面各题，能简便的要简便计算。 127＋47＋73＋53        418－156－44            130×99 270÷45÷2             32×25×125             13×98＋26 【答案】300；218；12870 3；100000；1300 【分析】127＋47＋73＋53，利用加法交换律a＋b＝b＋a和结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），变算式为：（127＋73）＋（47＋53）进行简算； 418－156－44，根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），变算式为418－（156＋44）进行简算； 130×99，先把99变成（100－1），即130×（100－1），再利用乘法分配律a×b－a×c＝a×（b－c），变算式为：130×100－130×1进行简算； 270÷45÷2，根据除法的性质，a÷b÷c＝a÷（b×c），变式为270÷（45×2）进行简算； 32×25×125，把32拆分为8×4，即4×8×25×125，再利用乘法结合律a×b×c＝a×（b×c），变算式为：（25×4）×（8×125）进行简便计算； 13×98＋26，把26拆分为13×2，即13×98＋13×2再利用乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c），变算式为：13×（98＋2）进行简便计算； 【详解】127＋47＋73＋53 ＝（127＋73）＋（47＋53） ＝200＋100 ＝300 418－156－44 ＝418－（156＋44） ＝418－200 ＝218 130×99 ＝130×（100－1） ＝130×100－130×1 ＝13000－130 ＝12870 270÷45÷2 ＝270÷（45×2） ＝270÷90 ＝3 32×25×125 ＝4×8×25×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 13×98＋26 ＝13×98＋13×2 ＝13×（98＋2） ＝13×100 ＝1300 17．陶艺工作室制作了90个文创陶瓷杯，每个文创陶瓷杯的制作成本（含材料和人工）是42元，在网络平台上以每个79元的价格售卖。当这批陶瓷杯全部售出时，工作室能赚多少元？ 【答案】3330元 【分析】先用售价79元减去成本价42元求出每个陶瓷杯的利润，再乘陶瓷杯的总数，就能得到总利润。 【详解】（79－42）×90 ＝37×90 ＝3330（元） 答：当这批陶瓷杯全部售出时，工作室能赚3330元。 18．小芳和小丽同时从学校400米环形跑道上的同一地点跑步，反向而行。小芳的速度是3米/秒，小丽的速度是5米/秒，经过多少秒两人能第一次相遇？ 【答案】50秒 【分析】分析题意，在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，反向而行，两人在跑道上第一次相遇，因此他们共跑了1圈。求出他们跑的速度之和，用路程除以速度和就是经过多少秒两人能第一次相遇。 【详解】400÷（3＋5） ＝400÷8 ＝50（秒） 答：经过50秒两人能第一次相遇。 19．甲、乙两地相距375千米，一辆汽车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，汽车平均每小时行75千米，货车平均每小时行60千米。出发3小时后，两车相距多少千米？ 【答案】30千米 【分析】根据时间×速度＝路程，用汽车和货车的速度之和乘时间3小时，可算出两车3小时一共行驶了多少千米，甲乙两地总距离375千米与两车一共行驶的路程之差即为两车相距多少千米。 【详解】（75＋60）×3 ＝135×3 ＝405（千米） 405－375＝30（千米） 答：两车相距30千米。 20．豆腐是一种营养丰富又历史悠久的食材。希望小学师生开展了豆腐制作体验活动。下面是两个小组制作豆腐的情况：一组38人，每人制作7块豆腐；二组32人，每人也制作了7块豆腐；一组和二组一共制作了多少块豆腐？（用两种方法） 【答案】490块 【分析】（1）方法一：根据题意，可以用每组的人数乘每人制作的豆腐块数分别算出一组、二组各制作了多少块豆腐，再相加求出一共制作了多少块豆腐。 方法二：用一组的人数加二组的人数，算出两组一共有多少人。再用总人数乘每人制作的块数就是两组一共制作了多少块豆腐。两种解法符合乘法分配律。 【详解】（1）方法一：38×7＋32×7 ＝266＋224 ＝490（块） 方法二：（38＋32）×7 ＝70×7 ＝490（块） 答：一组和二组一共制作490块豆腐。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 运算律 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本运算律（加法与乘法） 1 二、运算律的拓展应用 3 三、易错点与注意事项 4 考点讲练 4 考点一：整数加法交换律 4 考点二：整数加法结合律 6 考点三：整数减法的性质 7 考点四：整数乘法交换律 7 考点五：整数乘法结合律 8 考点六：整数乘法分配律 9 考点七：整数除法的性质 10 考点八：相遇问题 11 综合训练 12 知识梳理 一、基本运算律（加法与乘法） （一）加法交换律 1.定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 2.字母表达式：(a + b = b + a)（其中(a)、(b)为任意数）。 3.典型例题： 数字计算：(25 + 36 = 36 + 25)（(25 + 36 = 61)，(36 + 25 = 61)，和相等）。 实际场景：小红上午摘了(48)个草莓，下午摘了(52)个，全天摘的草莓总数与“下午摘(52)个，上午摘(48)个”相同，即(48 + 52 = 52 + 48 = 100)（个）。 （二）加法结合律 1.定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 2.字母表达式：((a + b) + c = a + (b + c))（其中(a)、(b)、(c)为任意数）。 3.典型例题： 数字计算：((18 + 27) + 33 = 18 + (27 + 33))（左边：(45 + 33 = 78)；右边：(18 + 60 = 78)，和相等）。 凑整应用：计算(28 + 17 + 72)，可利用结合律先算(28 + 72 = 100)，再算(100 + 17 = 117)。 （三）乘法交换律 1.定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 2.字母表达式：其中(a)、(b)为任意数，(0)除外，(0)乘任何数都得(0)，交换后积仍为(0)）。 3.典型例题： 数字计算）。 实际场景：每盒铅笔有(12)支，买了(5)盒，总数量与“每盒(5)支，买(12)盒”相同，即）。 （四）乘法结合律 1.定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 2.字母表达式：。 3.典型例题： 数字计算： （五）乘法分配律 1.定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 2.字母表达式： 3.典型例题： 正向应用： 反向应用： 特殊形式（拆数凑整）： 二、运算律的拓展应用 （一）简便计算方法 1.加法简便计算：利用加法交换律和结合律，将能凑成整十、整百、整千的数先相加。 例：(37 + 58 + 63 + 42 = (37 + 63) + (58 + 42) = 100 + 100 = 200)（同时用交换律和结合律）。 2.乘法简便计算： 利用乘法交换律和结合律凑整： 利用乘法分配律拆分：。 3.连减/连除的简便计算（拓展性质）： 连减：(a - b - c = a - (b + c))（一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和）。例：(150 - 76 - 24 = 150 - (76 + 24) = 150 - 100 = 50)。 连除：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积）。例： （二）实际问题中的应用 1.购物问题：计算总价时，利用乘法分配律简化计算。 例：每支钢笔(12)元，每本笔记本(8)元，买(5)支钢笔和(5)本笔记本，一共需要多少元？ 解： 2.行程问题：计算路程时，利用乘法分配律合并同类项。 例：一辆车上午行驶(4)小时，每小时(60)千米；下午行驶(5)小时，每小时(60)千米。全天共行驶多少千米？ 解： 三、易错点与注意事项 1.混淆乘法结合律与乘法分配律： 乘法结合律是“连乘”，只涉及乘法： 乘法分配律是“和与积”，涉及加法和乘法 错误示例：。 2.运算律不适用于减法和除法： 减法和除法没有交换律和结合律，例如： 3.乘法分配律反向应用漏项： 例：计算。 4.拆数时符号错误： 计算。 考点讲练 考点一：整数加法交换律 【典例精讲】某服装厂四月份生产了378套服装，五月份生产了446套服装，六月份生产的比四、五月份生产的总数量还多122套。六月份生产了多少套服装？ 【变式训练】海海应用加法交换律写了一道等式：3＋5＝5＋7。若这两个数的和是124，则这两个加数分别是多少？ 【变式训练】李叔叔家有23棵苹果树，其中4棵树的产量分别是：119千克、142千克、181千克、158千克。按照这4棵的平均产量来计算，李叔叔家一共可以收获苹果约多少千克？（注意运用简便方法） 【变式训练】实验小学四、五、六年级同学参加人工智能创意编程比赛的人数见表，三个年级一共有多少人参加比赛？ 四年级 五年级 六年级 38人 46人 62人 考点二：整数加法结合律 【典例精讲】丹尼斯新进五筐苹果，各筐的质量分别为184千克、154千克、125千克、146千克、116千克，这五筐苹果一共重多少千克？ 【变式训练】同学们为失学儿童捐款，三年级捐了258元。四年级捐了369元。五年级捐了442元。三个年级一共捐款多少元？ 【变式训练】国庆节期间，王兵开车去甲、乙两个景区旅游。第一天从家到甲景区行了78千米，第二天从甲景区到乙景区行了125千米，第三天从乙景区回家行了122千米。这三天王兵开车一共行了多少千米？ 【变式训练】一只青蛙第一天捉了138只害虫，第二天捉了157只害虫，第三天捉了62只害虫。这只青蛙三天一共捉了多少只害虫？ 考点三：整数减法的性质 【典例精讲】王军在使用计算器计算734－198时，发现“8”键坏了，怎样按键可以算出结果？把你的想法用算式写出来：( )。 【变式训练】不计算，在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 746÷16( )846÷16                       87＋168÷17( )168÷17＋87 61＋3×3( )（61＋3）×3                 389－（88－9）( )389－（88＋9） 54×（100－2）( )54×102                226－74＋36( )226－（74＋36） 【变式训练】小华计算395－298时，先算出395－300＝95。要得到正确的结果，还需再( )。 【变式训练】如果 a＋b＝300，且a－b＝150，那么 a＋（b＋40）＝( )，a－（b－60）＝( )。 考点四：整数乘法交换律 【典例精讲】园园在用计算器计算125×50×25×29×20×4×8时，发现计算器坏了。你能帮她用简便方法计算吗？ 【变式训练】在用简便方法计算这道题时，小云运用了乘法结合律，小华运用了乘法分配律，你知道他们两个是怎样计算的吗？请把计算过程写下来。 小云：        小华： 【变式训练】一本画册有25页，每页都有29幅彩图。4本这样的画册有多少幅彩图？ 【变式训练】明光小学新建一幢5层的教学楼，每层4个教室，每个教室放24张课桌，一共需要多少张课桌？ 考点五：整数乘法结合律 【典例精讲】．小力计算器上的数字键“8”因为按的次数太多失灵了。现在小力想用这个计算器计算324×48，你能帮她想出4种不同的计算方法吗？（用算式表示出你的算法） 【变式训练】幸福家园小区共有8幢设计相同的居民楼，每层有3户，每幢楼都是25层，这个小区一共能入住多少户居民？ 【变式训练】春光小学举行口算比赛，规定每个班选派15人参加。每个年级有7个班，6个年级一共要选派多少人参加比赛？ 【变式训练】光明小学新建一幢5层的教学楼，每层有8个教室，每个教室需要54张课桌。一共需要多少张课桌？ 考点六：整数乘法分配律 【典例精讲】童装店一件上衣54元，一条裤子56元，节日期间这个店里卖出11套这样的服装，一共卖了多少钱？ 【变式训练】某学校开展阳光体育运动，计划购买篮球和足球各60个（如下图），购买这两种球一共需要多少元？ 【变式训练】哥哥和弟弟两人同时从家出发去上学，弟弟每分钟走50米，哥哥每分钟走60米。经过15分钟哥哥到达学校，这时弟弟距离学校还有多少米？ 【变式训练】甲、乙两地相距2千米，小美和小丽同时从甲、乙两地出发，相向而行。小美的速度是56米/分，小丽的速度是48米/分。如果经过18分钟，此时两人相距多少米？ 考点七：整数除法的性质 【典例精讲】用递等式计算，能简便的要简便。 480－80÷5    360÷15÷2   210÷35 【变式训练】计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 1200÷25÷4    360÷45    560÷（7×5） 【变式训练】用简便方法计算。 240÷5÷6          600÷24           720÷（8×3） 【变式训练】用简便方法计算下面各题。 386＋254＋46         504＋536             25×32 35×65＋35×35      75×141－75×41       630÷18÷5 考点八：相遇问题 【典例精讲】王老师和张老师同时从家出发去科技馆（如图），王老师步行速度是85米/分，张老师骑行速度是215米/分，12分钟后两人同时到达。沿图中的路线，从王老师家到张老师家的路程是多少米？ 【变式训练】小玉和小华同时从甲乙两地相向而行，小玉每分钟走64米，小华每分钟走75米，8分钟后相遇。 （1）甲乙两地相距多少米？ （2）小玉比小华少走多少米？ 【变式训练】体育强国，我们每个人都要努力。小强和小军在学校的环形跑道上跑步，他们从同地点同时出发，反向而行，小强的速度是4米/秒，小军的速度是6米/秒，经过40秒两人相遇。环形跑道长多少米？ 【变式训练】甲、乙两人同时从相距2千米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。如果一只小狗与甲同时出发，同向而行，它每分钟跑400米，当它遇到乙后，立即回头向甲跑去，这样来回不断，直到甲、乙两人相遇，这时小狗一共跑了多少千米？ 综合训练 1．小玲在用计算器计算326×77时，将“77”少按了一个7，如果想得到正确结果，可以再（    ）。 A．加70 B．乘7 C．乘70 D．乘11 2．小芳在计算5×（○＋△）时，看成了5×○＋△，结果比原来要小，下图中能正确表示减少部分的是（    ）。 A． B． C． D． 3．口算15×5，先算10×5＝50，再算5×5＝25，最后算50＋25＝75，这里应用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法结合律 D．乘法分配律 4．下i算式中，与540÷45的计算结果不相等的是（    ）。 A．540÷9÷5 B．540÷3÷15 C．540÷40÷50 D．540÷5÷9 5．海海将（6＋a）×15看成了6＋a×15，他算出的结果比正确的结果少（    ）。 A．15 B．6 C．90 D．84 6．小华用两种不同的求小正方形总个数的方法，说明了一个运算律的道理，下面是他操作学具的过程，你觉得他想说明的是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 7．如果A＋B＝30，那么78－A－B＝( )，18×A＋B×18＝( )；如果C×D＝30，那么（C×2）×（D×5）＝( )，240÷D÷C＝( )。 8．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 300800( )30800              1亿( )1000个一万 560÷40( )560÷8              25×（4×8）( )25×4＋25×8 9．如下图：甲乙两人在同一条运动步道跑步锻炼。甲的速度是116米/分，乙的速度是112米/分。两人同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。相遇时甲比乙多跑了( )米，相遇的位置在点( )处（直接填字母） 10．在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 739950( )739750    100个一百万( )1亿    13×4＋5×4( )（13×5）×4 28亿( )280000000    99×76＋99( )100×76    360÷9÷5( )360÷9×5 11．小强的计算器上“3”这个键坏了，你能用小强的计算器计算“527×36”吗？用算式表示操作过程是( )。 12．小华的计算器上的数字键“4”坏了，如果想用这台计算器计算32×45，你会怎样按键，请你用不同的算式表示出来，( )或( )。 13．能简便的要简便计算。 125×88            106×47－47×6            652－（69＋52） 720÷45            [236－（157＋23）]×16 14．计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 732－32×18              540÷15÷4              135×19＋65×19 76＋24×123＋48           44×25             231×[173－（73＋24）] 15．计算下面各题，能简便计算的要简便计算。 436＋73＋27         125×28×8            82×38＋18×38 78×101－78         329－186－14          32×25 16．计算下面各题，能简便的要简便计算。 127＋47＋73＋53        418－156－44            130×99 270÷45÷2             32×25×125             13×98＋26 17．陶艺工作室制作了90个文创陶瓷杯，每个文创陶瓷杯的制作成本（含材料和人工）是42元，在网络平台上以每个79元的价格售卖。当这批陶瓷杯全部售出时，工作室能赚多少元？ 18．小芳和小丽同时从学校400米环形跑道上的同一地点跑步，反向而行。小芳的速度是3米/秒，小丽的速度是5米/秒，经过多少秒两人能第一次相遇？ 19．甲、乙两地相距375千米，一辆汽车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，汽车平均每小时行75千米，货车平均每小时行60千米。出发3小时后，两车相距多少千米？ 20．豆腐是一种营养丰富又历史悠久的食材。希望小学师生开展了豆腐制作体验活动。下面是两个小组制作豆腐的情况：一组38人，每人制作7块豆腐；二组32人，每人也制作了7块豆腐；一组和二组一共制作了多少块豆腐？（用两种方法） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $