多边形的内角和讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

该小学数学“多边形的内角和”举一反三讲义通过“概念-推导-公式-应用”的逻辑链条构建知识体系，从多边形定义、三角形内角和验证入手，通过四边形到六边形的推导过程呈现“n边形内角和=(n-2)×180°”的公式形成，并用易错点提醒强化重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于结合正六边形窗户、蜂巢等现实情境设计典例与变式训练，通过“拼一拼、量一量”等操作活动引导学生经历推导过程，培养几何直观和推理意识。分层练习覆盖基础应用与综合拓展，助力不同学生提升，为教师实施精准复习提供系统支持。

多边形的内角和 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基础概念 1 二、三角形内角和（推导基础） 1 三、多边形内角和推导过程 2 四、公式总结 2 五、公式应用 2 六、易错点提醒 3 考点讲练 3 考点一：多边形的内角和 3 综合训练 7 知识梳理 一、基础概念 1.多边形的定义：由三条或三条以上线段首尾顺次相连围成的封闭图形叫做多边形。其中，组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两条边的夹角叫做多边形的内角（简称“内角”）。四年级主要学习凸多边形（每个内角都小于180°，且任意一边向两方延长，其他各边都在延长线所在直线的同一侧）。 2.多边形的命名：根据边数命名，如3条边的是三角形，4条边的是四边形，5条边的是五边形……n条边的是n边形（n≥3，n为整数）。 二、三角形内角和（推导基础） 1.内角和定义：三角形三个内角的度数之和叫做三角形的内角和。 2.内角和结论：任意三角形的内角和都是180°。 3.验证方法： o拼一拼：将三角形的三个内角剪下来，顶点重合拼在一起，可组成一个平角（180°）。 o量一量：测量任意三角形三个内角的度数并相加，结果接近180°（因测量误差可能略有偏差）。 o折一折：将三角形的三个内角向中间对折，三个顶点重合，也能组成一个平角。 三、多边形内角和推导过程 1. 四边形内角和推导 方法：从四边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画对角线，可将四边形分成2个三角形。 计算：因为每个三角形内角和是180°，所以四边形内角和=2×180°=360°。 2. 五边形内角和推导 方法：从五边形的一个顶点出发画对角线，可将五边形分成3个三角形（对角线数量=边数-3=5-3=2条，分成三角形个数=边数-2=5-2=3个）。 计算：五边形内角和=3×180°=540°。 3. 六边形内角和推导 方法：从六边形一个顶点出发画对角线，分成4个三角形（分成三角形个数=6-2=4个）。 计算：六边形内角和=4×180°=720°。 4. 规律总结 通过上述推导发现：n边形（n≥3）从一个顶点出发画对角线，可分成（n-2）个三角形，因此n边形内角和=（n-2）×180°。 四、公式总结 n边形内角和公式：内角和=（边数-2）×180°，用字母表示为：（其中n表示多边形的边数，n≥3，且n为整数）。 五、公式应用 1. 已知边数求内角和 例：求七边形的内角和。 解答：n=7，内角和=(7-2)×180°=5×180°=900°。 2. 已知内角和求边数 例：一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？ 解答：根据公，解得n-2=1080°÷180°=6，n=6+2=8，所以是八边形。 3. 求多边形中未知角的度数 例：在一个四边形中，三个内角分别是70°、85°、100°，求第四个内角的度数。 解答：四边形内角和=360°，第四个内角=360°-70°-85°-100°=105°。 六、易错点提醒 1.推导时对角线引法错误：若从多边形内部一点向各顶点引线段，会分成n个三角形，此时内角和需减去中间的周角（360°），即但四年级重点掌握“从一个顶点引对角线分成（n-2）个三角形”的方法，避免混淆。 2.公式混淆：注意区分“内角和”与“外角和”（多边形外角和恒为360°，四年级暂不深入，但需避免与内角和公式混淆）。 3.边数取值错误：n必须是大于或等于3的整数，计算时需先确认边数是否合理（如“内角和是100°的多边形”不存在，因最小的三角形内角和为180°）。 考点讲练 考点一：多边形的内角和 【典例精讲】我们知道三角形的内角和是180°，请你用“写一写”、“画一画”、“算一算”等方式说明下边这个五边形的内角和。 这个五边形的内角和是（    ）°，因为（    ）。 【变式训练】正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 【变式训练】如图，已知，那么在三角形中是多少度？若沿图中的虚线剪去，则的度数是多少？ 【变式训练】看图填空或画图。    （1）如图①，如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（    ）°，请在图①中分一分。 （2）如图②，如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（    ）°＝（    ）°，请在图②中分一分。 综合训练 1．下面四种探索五边形内角和的方法和过程，其中错误的是（     ）。 A． B． C． D． 2．蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 3．在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下面是小明、小青、小红、小军四名同学的作品，小明使用的是算式180°×4－180°。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． D． 4．计算多边形内角和时，我们可以将多边形分成若干个三角形，当然也有其他方法。小明用自己的方法也计算出了六边形的内角和，并根据图列出了相应的算式180°×6－360°。根据算式，她画出的图可能是（    ）。 A． B． C． D． 5．下面探索五边形的内角和计算方法中，错误的是（    ）。 A． B． C． D． 6．如图在一个三角形中剪去了一个35°的内角，剩下图形的内角和是（    ）°。 A．180 B．360 C．145 D．155 7．如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 8．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝( )°，∠4＝( )°。 9．传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 10．把四个完全相同的等边三角形拼成一个平行四边形（如图），三角形的边长是6厘米。这个平行四边形的周长是( )厘米，内角和是( )°。 11．根据“多边形的内角和＝（边数－2）×180°”，八边形的内角和是( )，1800°是( )边形的内角和。 12．如图，在三角形ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2＝( )。    13．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 14．（1）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是多少厘米？ （2）从这个三角形上截去一个角，求剩下的图形的内角和。 15．通过本学期的学习，我们知道可以将多边形分成若干个三角形来求出它的内角和。请在下图这个多边形中先分一分，再列式求出它的内角和。 列式：（    ）。 16．将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能是多少度？ 17．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？我们可以这样探索：把四边形分为两个三角形（如图），发现四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝（    ）°。用同样的方法可以得出五边形的内角和是（    ）°。（请在图中画出来） 18．已知三角形的内角和是180°。下面的五边形的内角和是多少度？我们可以先把这个五边形分成几个三角形后，就能方便地算出它的内角和。请你在图上画一画，然后再一算。 19．三角形的内角和是180°，将这个四边形这样分割如图1，就可以算出四边形内角和：180°×2＝360° 我也用这样的方法计算五边形的内角：180°×3＝540°，如图2。 请你用同样的方法计算图3六边形的内角和。 20．（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 多边形的内角和 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基础概念 1 二、三角形内角和（推导基础） 1 三、多边形内角和推导过程 2 四、公式总结 2 五、公式应用 2 六、易错点提醒 3 考点讲练 3 考点一：多边形的内角和 3 综合训练 7 知识梳理 一、基础概念 1.多边形的定义：由三条或三条以上线段首尾顺次相连围成的封闭图形叫做多边形。其中，组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两条边的夹角叫做多边形的内角（简称“内角”）。四年级主要学习凸多边形（每个内角都小于180°，且任意一边向两方延长，其他各边都在延长线所在直线的同一侧）。 2.多边形的命名：根据边数命名，如3条边的是三角形，4条边的是四边形，5条边的是五边形……n条边的是n边形（n≥3，n为整数）。 二、三角形内角和（推导基础） 1.内角和定义：三角形三个内角的度数之和叫做三角形的内角和。 2.内角和结论：任意三角形的内角和都是180°。 3.验证方法： o拼一拼：将三角形的三个内角剪下来，顶点重合拼在一起，可组成一个平角（180°）。 o量一量：测量任意三角形三个内角的度数并相加，结果接近180°（因测量误差可能略有偏差）。 o折一折：将三角形的三个内角向中间对折，三个顶点重合，也能组成一个平角。 三、多边形内角和推导过程 1. 四边形内角和推导 方法：从四边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画对角线，可将四边形分成2个三角形。 计算：因为每个三角形内角和是180°，所以四边形内角和=2×180°=360°。 2. 五边形内角和推导 方法：从五边形的一个顶点出发画对角线，可将五边形分成3个三角形（对角线数量=边数-3=5-3=2条，分成三角形个数=边数-2=5-2=3个）。 计算：五边形内角和=3×180°=540°。 3. 六边形内角和推导 方法：从六边形一个顶点出发画对角线，分成4个三角形（分成三角形个数=6-2=4个）。 计算：六边形内角和=4×180°=720°。 4. 规律总结 通过上述推导发现：n边形（n≥3）从一个顶点出发画对角线，可分成（n-2）个三角形，因此n边形内角和=（n-2）×180°。 四、公式总结 n边形内角和公式：内角和=（边数-2）×180°，用字母表示为：（其中n表示多边形的边数，n≥3，且n为整数）。 五、公式应用 1. 已知边数求内角和 例：求七边形的内角和。 解答：n=7，内角和=(7-2)×180°=5×180°=900°。 2. 已知内角和求边数 例：一个多边形的内角和是1080°，它是几边形？ 解答：根据公，解得n-2=1080°÷180°=6，n=6+2=8，所以是八边形。 3. 求多边形中未知角的度数 例：在一个四边形中，三个内角分别是70°、85°、100°，求第四个内角的度数。 解答：四边形内角和=360°，第四个内角=360°-70°-85°-100°=105°。 六、易错点提醒 1.推导时对角线引法错误：若从多边形内部一点向各顶点引线段，会分成n个三角形，此时内角和需减去中间的周角（360°），即但四年级重点掌握“从一个顶点引对角线分成（n-2）个三角形”的方法，避免混淆。 2.公式混淆：注意区分“内角和”与“外角和”（多边形外角和恒为360°，四年级暂不深入，但需避免与内角和公式混淆）。 3.边数取值错误：n必须是大于或等于3的整数，计算时需先确认边数是否合理（如“内角和是100°的多边形”不存在，因最小的三角形内角和为180°）。 考点讲练 考点一：多边形的内角和 【典例精讲】我们知道三角形的内角和是180°，请你用“写一写”、“画一画”、“算一算”等方式说明下边这个五边形的内角和。 这个五边形的内角和是（    ）°，因为（    ）。 【答案】540；五边形由3个三角形组成，三角形的内角和是180°；见详解 【分析】本题主要考查学生的综合分析和动手作图能力。首先要明确三角形的内角和等于180°。如下图，把五边形分成3个三角形，可知3个三角形的内角和等于五边形的内角和，据此即可解答。 【详解】根据分析可知： 上图把五边形分成3个三角形。 180°×3＝540° 这个五边形的内角和是540°，因为五边形由3个三角形组成，三角形的内角和是180°。 【变式训练】正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 【答案】 6 720 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，找出它的对称轴，要使对称轴左右两边的图形完全相同。可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，或过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度。 【详解】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。 因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2）180°×4＝720° 因此这个正六边形的内角和是720°。 【变式训练】如图，已知，那么在三角形中是多少度？若沿图中的虚线剪去，则的度数是多少？ 【答案】122°；238° 【分析】 根据三角形内角和是180°，用三角形的内角和度数减去的度数，即可求出的度数；将三角形剪去后得四边形，如图：连接EN，四边形MNGE分成两个三角形，用三角形的内角和×2即可求出四边形的内角和，再用四边形的内角和减去的度数和，即可求出的度数和。据此解答即可。 【详解】＝180°－58°＝122° 180°×2＝360° 360°－122°＝238° 答：是122°，的度数是238°。 【变式训练】看图填空或画图。    （1）如图①，如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（    ）°，请在图①中分一分。 （2）如图②，如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（    ）°＝（    ）°，请在图②中分一分。 【答案】（1）540；图见详解 （2）360；540；图见详解 【分析】从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画虚线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。或者从多边形内一点向它的两个顶点画需线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°再减360°即是多边形的内角和。 【详解】（1）    180°×3＝540° 如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（540）° （2）    180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（360）°＝（540） 【点睛】边形的内角和公式是（n－2）×180°，n表示多边形的边数。 综合训练 1．下面四种探索五边形内角和的方法和过程，其中错误的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，三角形的内角和为180°，四边形的内角和是360°。探索多边形内角和的常见思路是将多边形转化为三角形或四边形，或者通过剪拼等方法来确定其内角和。我们需要对每个选项所描述的方法进行分析，判断其是否能正确得出五边形内角和。 【详解】根据分析可知： A．根据图示可知，五边形分割成2个四边形，但是分割后在五边形边上的2个角不是五边形的内角，所以用2个四边形内角和减去边上的2个角，360°×2－180°＝720°－180°＝540°，原选项错误。 B．根据图示可知，从五边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，分成3个三角形，所以五边形的内角和是3个三角形内角和相加，即180°×3＝540°，正确。 C．根据图示可知，从五边形中心引出5条线段形成5个三角形，先求总和180°×5＝900°，再减去中心的360°，可得到540°，正确。 D．根据图示可知，画一条对角线，将五边形分成一个三角形（180°）和一个四边形（360°），相加也正好是 540°，正确。 故答案为：A 2．蜜蜂的蜂巢构造非常精巧，每个小房间的横截面都是一个完美的正六边形。算一算正六边形的内角和是（    ）°。 A．540 B．720 C．900 D．1080 【答案】B 【分析】多边形的内角和＝180°×（边数－2），所以正六边形的内角和＝180°×（6－2），据此即可解答。 【详解】180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 正六边形的内角和是720° 故答案为：B 3．在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。下面是小明、小青、小红、小军四名同学的作品，小明使用的是算式180°×4－180°。你认为图（    ）是小明的作品。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察算式可知，三角形的内角和是180°，180°×4，说明图中有四个三角形，再减去一个180°，说明是减去一个平角或者是一个三角形的内角和。据此解答。 【详解】A．观察图形可知，图形中有4个三角形，且这四个三角形中各有一个角，共同组成了一个平角，计算五边形内角和时，要减去这个平角，列式为：180°×4－180°，符合题意； B．观察图形可知，图中有3个三角形，计算五边形内角和时，列式为：180°×3，不符合题意； C．观察图形可知，图中有5个三角形，且这五个三角形中各有一个角，共同组成了一个周角，计算五边形内角和时，要减去这个周角，列式为：180°×5－360°，不符合题意； D．观察图形可知，图中被分成了一个三角形和一个四边形，四边形内角和是360°，计算五边形内角和时，列式为：360°＋180°＝540°，不符合题意。 故答案为：A 4．计算多边形内角和时，我们可以将多边形分成若干个三角形，当然也有其他方法。小明用自己的方法也计算出了六边形的内角和，并根据图列出了相应的算式180°×6－360°。根据算式，她画出的图可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的内角和是180°，180°×6也就是6个三角形的内角和，再减去360°，可以是一个周角，还可以是两个三角形的内角和。据此解题。 【详解】A．此图计算六边形的内角和，列式为：180°×4。 B．此图计算六边形的内角和，列式为：180°×4。 C．此图计算六边形的内角和，分成了两个四边形，两个三角形，然后再减去中间的一个周角，四边形内角和是360°，360°×2＋180°×2－360°； D．此图计算六边形的内角和，分成了6个三角形，然后再减去中间的一个周角，列式为：180°×6－360°。 故答案为：D 5．下面探索五边形的内角和计算方法中，错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。 【详解】 A．，五边形的内角和是180°×3＝540°； B．，中间的周角不是五边形的内角，五边形的内角和是180°×5－360°＝900°－360°＝540°； C．，分割后在五边形边上的2个角不是五边形的内角； D．，四边形内角和是360° 五边形内角和是360°＋180°＝540°。 探索五边形的内角和计算方法中，错误的是。 故答案为：C 【点睛】多边形的内角和公式是（n－2）×180°，n表示多边形的边数。 6．如图在一个三角形中剪去了一个35°的内角，剩下图形的内角和是（    ）°。 A．180 B．360 C．145 D．155 【答案】B 【分析】如上图，在一个三角形中剪去了一个35°的内角，剩下的图形是一个四边形，四边形的内角和是360°。 【详解】由分析得： 剩下图形的内角和是360°。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握四边形的内角和是360°是解答此题的关键。 7．如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是( )度，剪去的涂色部分是( )三角形。 【答案】 540 直角 【分析】如图，一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形是一个五边形，根据多边形内角和＝（多边形边数－2）×180°，剪去的涂色部分是一个有直角的三角形，因为长方形的角是直角，所以有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 由分析可知：图中一个长方形沿虚线剪去涂色部分，剩下的图形的内角和是540度，剪去的涂色部分是直角三角形。 8．如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 50 100 【分析】梯形可以分成2个三角形，所以梯形内角和是360°，所以∠1、∠2、∠3、∠4度数之和是360°，∠4＝2∠2，∠4＋∠2＝3∠2，∠4＋∠2＝360°－（∠1＋∠3），据此先计算出∠4＋∠2的和，然后再除以3即为∠2的度数，∠2的度数乘2即为∠4的度数，据此解题。 【详解】180°×2＝360° 360°－210°＝150° 150°÷3＝50° 50°×2＝100° 如图，园艺师规划梯形花坛，花坛的四个角分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。已知∠1＋∠3＝210°，∠4＝2∠2，则∠2＝50°，∠4＝100°。 9．传统木雕窗花常用正多边形图案，工匠把一个正八边形通过中心连线分割成若干个三角形（如图）。这个正八边形的内角和是( )。 【答案】1080°/1080度 【分析】把一个正八边形通过中心连线分割成八个三角形，三角形内角和为180°，求正八边形的内角和可以用分割成的三角形的内角和减去中间的360°。 【详解】180°×8－360° ＝1440°－360° ＝1080° 因此这个正八边形的内角和是1080°。 10．把四个完全相同的等边三角形拼成一个平行四边形（如图），三角形的边长是6厘米。这个平行四边形的周长是( )厘米，内角和是( )°。 【答案】 36 360 【分析】根据题图可知，平行四边形的一条边长度为三角形边长的2倍，即6×2＝12厘米，与这条边相邻的边长度为三角形的边长，即6厘米。平行四边形的周长是相邻两条边的长度和的2倍，据此求出平行四边形的周长。平行四边形是一个四边形，内角和是360°。 【详解】（6×2＋6）×2 ＝（12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 所以，这个平行四边形的周长是36厘米，内角和是360°。 11．根据“多边形的内角和＝（边数－2）×180°”，八边形的内角和是( )，1800°是( )边形的内角和。 【答案】 1080° 十二 【分析】根据多边形内角和公式可知，八边形的内角和是（8－2）×180°。一个图形的内角和是1800°，这个图形有（1800÷180＋2）条边，再进行解答。 【详解】（8－2）×180° ＝6×180° ＝1080° 1800÷180＋2 ＝10＋2 ＝12（条） 八边形的内角和是1080°，1800°是十二边形的内角和。 【点睛】本题考查多边形的内角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式。 12．如图，在三角形ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2＝( )。    【答案】250° 【分析】三角形的内角和是180°，∠B＝70°，则∠A＋∠C＝180°－70°；沿图中虚线剪去∠B，剩下的是一个四边形，四边形的内角和是（4－2）×180°，四边形的内角和减去∠A和∠C的度数和，即可算出∠1＋∠2的度数。 【详解】∠A＋∠C＝180°－∠B ＝180°－70° ＝110° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠C） ＝360°－110° ＝250° 如图，在三角形ABC中，∠B＝70°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠＋∠2＝（250°）。    【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，要注意分析三角形剪角后剩下的图形形状。 13．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【分析】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【详解】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【点睛】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 14．（1）一个等腰三角形的周长是30厘米，底比腰长3厘米。它的底是多少厘米？ （2）从这个三角形上截去一个角，求剩下的图形的内角和。 【答案】（1）12厘米 （2）360° 【分析】（1）等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一个等腰三角形的周长是30厘米，那么两条腰的长度加上底的长度等于30厘米。底比腰长3厘米，直接用30厘米减去3厘米先算出腰长的3倍是多少厘米，然后除以3算出一条腰的长度。最后再加上3厘米即可算出等腰三角形的底是多少厘米。 （2）从这个三角形上截去一个角，剩下的图形是一个四边形。四边形可以分成两个三角形，那么四边形内角和就等于两个三角形的内角和。三角形的内角和为180°，直接用180°乘2即可算出四边形的内角和。据此解答。 【详解】（1）（30－3）÷3 ＝27÷3 ＝9（厘米） 9＋3＝12（厘米） 答：它的底是12厘米。 （2） 180°×2＝360° 答：剩下的图形的内角和是360°。 15．通过本学期的学习，我们知道可以将多边形分成若干个三角形来求出它的内角和。请在下图这个多边形中先分一分，再列式求出它的内角和。 列式：（    ）。 【答案】 图见详解； 【分析】三角形的内角和是180°；从这个八边形的一个顶点出发，和它不相邻的顶点连线，可以把这个八边形分成6个三角形，所以八边形的内角和是6个三角形内角和相加，也就是（边数－2）个180°的和，据此解答。 【详解】 根据分析可知，八边形的内角和是6个三角形内角和相加，。 16．将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能是多少度？ 【答案】360°或540°或720° 【分析】一个五边形剪去一个角后，分三种情况：变为四边形，变为五边形，变为六边形。如图所示，分别求出它们的内角和即可。 【详解】情况一：沿对角线剪去一个角此时五边形的边数减少1，剩下的图形是四边形。可得内角和为 （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 情况二：经过一个顶点剪去一个角此时五边形的边数不变，剩下的图形还是五边形。可得内角和为 （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 情况三：不经过顶点剪去一个角此时五边形的边数增加1，剩下的图形是六边形。内角和为 （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 答：将下面的五边形剪去一个角，剩下的多边形的内角和可能360°或540°或720°。 17．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？我们可以这样探索：把四边形分为两个三角形（如图），发现四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝（    ）°。用同样的方法可以得出五边形的内角和是（    ）°。（请在图中画出来） 【答案】360；540；图见分析 【分析】根据上图可知，∠1＋∠3＋∠6＝180°，∠2＋∠4＋∠5＝180°，所以四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°×2＝360°；如下图，五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和是180°×3＝540°。 【详解】根据分析可知，四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°。用同样的方法可以得出五边形的内角和是540°。 【点睛】本题主要考查学生对多边形内角知识的掌握和灵活运用。 18．已知三角形的内角和是180°。下面的五边形的内角和是多少度？我们可以先把这个五边形分成几个三角形后，就能方便地算出它的内角和。请你在图上画一画，然后再一算。 【答案】图见分析；540° 【分析】如下图，把五边形分成3个三角形，3个三角形的内角和等于五边形的内角和，据此即可解答。 【详解】如上图，把五边形分成3个三角形。 180°×3＝540° 答：五边形的内角和是540°。 【点睛】本题主要考查学生的综合分析和动手作图能力。 19．三角形的内角和是180°，将这个四边形这样分割如图1，就可以算出四边形内角和：180°×2＝360° 我也用这样的方法计算五边形的内角：180°×3＝540°，如图2。 请你用同样的方法计算图3六边形的内角和。 【答案】720° 【分析】六边形分割成了4个三角形，然后根据n边形的内角的和公式（n－2）×180°解答即可。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 答：六边形的内角和是720°。 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式的推导，求出过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点。 20．（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解；720度 【分析】（1）将∠3的顶点与∠2的顶点重合，并将∠3的一条边与∠2的外面一条边重合，则∠3的另一条边与∠1的一条边成一条直线，可知三角形的三个内角和是180°。据此画图。 （2）从图中可以看出，△ABC剪去三个内角后，剩下的图形是六边形；分别连接六边形的一个顶点与相对的顶点，则把六边形分成了4个三角形，六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，每个三角形的内角和是180°，所以，六边形的内角和等于4个180°的和；据此画图并解答。 【详解】（1）根据分析，画图如下： （2）根据分析，画图如下： 180°×4＝720° 答：剩下的图形内角和是720度。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $