河南新乡市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

高二期末 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.过点(-1,2)且斜率为7的直线的方程为 A.2x-3y+4=0 B.2x-3y+8=0 C.3x-2y+5=0 D.3x-2y+7=0 2.已知向量a=（-1,2,x),b=(2,-4,2),若a⊥b,则x= A.5 B.3 C.1 D.-1 3.已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn,若S3=7,则S6= A.21 B.42 C.63 D.84 4.已知F是抛物线y2=2px(p>2)的焦点，点P(xo,2√2)在该抛物线上，|PF1=3,则该抛物 线的准线方程为 A.x=-3 B.x=-2 C.x=-1 D.x=- 2 5.已知数列{an}满足3am+1-an+2a+1an=0,a1=1,则 A}是等差数列 B侣}是等老数列 c位+2等比数列 D+1是等比数列 数学第1页（共4页） 6.如图，在三棱台ABC-A,B,C1中，AB=2AB1,AB=a,AC=b,AA=c,E,F分别为CC1,A,B 的中点，则E?= B. A.1a-3b+ 1 4- 2a+b-3。 B. 4 41 b C3a+上b+C 40+2 4a+ D 7.若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为该双曲线的伴生椭 圆，已知双曲线C:号-)=1的左焦点为F,C的伴生椭圆E与C在第一象限的交点为M 则IMFI= A.4 B.32 C.42 D.6 8.若函数f(x)=√-x2+4x-2-x-t恰有2个零点，则实数t的取值范围是 A.（-4,0) B.[2-2,0) C.[-2-2,2-√2) D.（-2-√2,2-√2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知点M在直线m:x-y-t=0上，点P(-2,0),Q(3,2),若存在实数入∈[0,1]，满足 PM=入P可，则实数t的可能取值为 A.-3 B.-2 C.0 D.1 10.已知O为坐标原点，动点M到点F(1,0)的距离比它到直线x+3=0的距离小2，记动点 M的轨迹为曲线C,过点F的直线交C于A,B两点（点A在第一象限），且IAFI=4,则 A.C的方程为y2=4x B.直线AB的方程为y=√3x-√3 C.1AB1=14 D△40B的面积为 数学第2页（共4页） 11.在正项数列{an}中，a1+a2=10,且对任意m,n∈N,mnam+m=(m+n)aman,数列{bn}的 前n项和为Sn,b.=11an-An-t(n2+6)2+1,则下列说法正确的是 A.a2=6 B.a10=10240 C.若t=0,且{bn}是递增数列，则入的取值范围为(-∞，44) D.若入=0，t=1,则S。-S,(p>q)的最大值为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知点A(0,0,5),C(0,1,0),直线l过点A且方向向量为m=(3,0,4),则点C到1的距 离为 13.已知数列{an}满足a1=1,a+1+（-1)”an=2n+1,则a2+ag= 4,已知F,上，是椭圆C。+冷1(a>6>0)的左右焦点，M为桶圆上在y轴右侧的一动点 且IMFI-1MF2I=1MO1(O为坐标原点)，则该椭圆离心率的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6=a1,a3+a6=2. (1)求{an}的通项公式； (2)求使n>an成立的n的最小值. 16.(15分) 已知圆C:(x-a)2+(y-2a)2=r2(a>0,r>0)过原点，且与直线2x+y-9=0相切. (1)求圆C的方程； (2)判断圆C与圆M:x2+y2+2y-2=0是否相交，若相交，请求出公共弦的长， 数学第3页（共4页） 17.(15分) 记Tn是数列{an}的前n项和，已知a1=1,an+1=3Tn+1. (1)求an; (2)设bn=(2n+1)an,求数列{bn}的前n项和Sn 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=4, E,F分别为AB,AD的中点，点N在棱PA上，且PA=4NA. (1)求证：PC∥平面NEF. (2)球M的球心在棱PC上，点E,F,B,D都在球M的球面上. (i)求球M的表面积： (ⅱ)求二面角B-NM-D的正弦值 A E 19.(17分) 知双曲线6：-(a>0.6>0)的右焦点为P2,0),一条渐近线的方程为y=32 (1)求E的方程. (2)过直线y=√3x上一点P作直线l,与E交于A,B两点. (i)证明：当|PA1=IPB1时，P必与原点重合； (iⅱ)求IPAI·IPBI的最小值， 数学·第4页（共4页）高二期末 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.BCD 10.ABD 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.10 13.5 4[3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)设{a.}的公差为d. rS6=6a1+15d=a1, 「a1=-6, 由题可得 解得 (4分) la3+a6=2a1+7d=2, ld=2. 所以an=2n-8. (6分)】 (2)由(1)可知s.=-6n+nn,业x2=-7 2 ，…(9分） 由Sn>am,得n2-7n>2n-8, 整理得n2-9n+8>0,解得n<1或n>8, 所以n的最小值为9.… (13分) 16.解析(1)：圆C过原点，.(-a)2+(-2a)2=2,① (2分) .圆C与直线2x+y-9=0相切， :2a+2a-91=r,② (4分) /12+22 ①②联立，解得a=1,r=√5 .圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.… (7分) (2)圆M:x2+(y+1)2=3,圆心M(0,-1),半径R=5.…(8分) 5-5=r-R<1MC1=√/+[2-(-1)予=10<r+R=5+5, .圆M与圆C相交.…(I0分) 圆M的方程与圆C的方程相减，得公共弦所在直线方程为x+3y-1=0,…(12分) 一1 ·圆M的圆心M到公共弦所在直线的距离d=1×0+3×(-1)-山=2四 …(13分） 1+32 5 公共孩的长为25-(P02 5 (15分) 17.解析(1)当n=1时，a2=3T1+1=3a1+1=4. (1分) 当n≥2时，am+1-an=3Tn+1-(3Tm-1+1)=3(Tn-Tn-1）=3am,…(3分】 =......................... (4分) 又a2=4a1, ∴.{an}是首项为1，公比为4的等比数列，… (6分) .0n=4-. (7分) (2)由(1)知，b.=(2n+1)×4“-1,… (8分) .Sm=3×4°+5×4+7×42+…+(2n+1)×4m-1,① .4S。=3×4+5×42+7×43+…+(2n-1)×4"-1+(2n+1)×4",②…(10分) ①-②得， -3S.=3×4°+2×4+2×42+…+2×4-1-(2n+1)×4“ =1+2×1-4 -(2m+Dx4=分0× (14分) 放8-0gx4-g 9 (15分) 18.解析(1)如图，连接BD,AC,设AC与BD交于点O,与EF交于点G,连接NG. E,F分别是AB,AD的中点，∴.EF∥BD, AG=740=}4C …(们分） 4 又由题意知NM=子P1,所以在△PAC中，有NG/PC (2分) N B 2 .NGC平面NEF,PC丈平面NEF, .PC∥平面NEF.… …(4分) (2)(i)以A为坐标原点，以AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。 …(5分） 由已知可得E(1,0,0),F(0,1,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,4),C(2,2,0), 则C2=(-2,-2,4),设Ci=AC=（-2入，-2入，4)，Ae[0,1]. ∴.M(2-2x,2-2λ，4). …(7分)》 :E,F,B,D都在球M的球面上，观察图可知E,F关于平面PAC对称，点B,D关于平面PAC对称， ∴.只需ME=MB,即(2-2A-1)2+(2-2A)2+(4入)2=(-2A)2+(2-2A)2+(4A)2, 解得=子子号 …(9分）) 设球w的半径为R,则广=MB=(-2)+(侵)广+1=子， 故球M的表面积为4πR2=14π. (11分) (i)(i)可得0.0,1)…d=(3号0)=(-2.0,1). 设平面BMN的法向量为m=(x,y,z), m-子+子=0 则 令x=1,则m=(1,-1,2),…(13分) m.B=-2x+z=0, 同理可得平面DMW的一个法向量为n=(-1,1,2).…(15分) m·n 21 cos(m,n〉=1m·1n6×63, 放二面角8-NW-D的正弦值为 (17分) 19.解析(1)设E的半焦距为c(c>0). 由题知c=2,名=5， .b=5a,.a2+b2=a2+(3a)2=4a2=c2=4, .a2=1,b2=3a2=3, 小E的方程为三1…(3分) (2)(1)方法一：设P(t,3t),易知直线l的斜率一定存在，设l:y=k(x-t)+3t.…(4分) r3x2-y2-3=0, 得(3-2)x2-2kt(5-k)x-(5-k)2-3=0, Ly=k(x-t)+31, 一3一 3-2≠0， 4>0, 设A(x1,少1)，B(2,y2),则 (6分) 2ht(5-k) 1+为= 3-k2 IPAI IPBI,..+= 2(5-2=2,整理得(5k-3)t=0, 3-2 3-k2≠0，.k≠±5，t=0, 即点P与原点重合.… (9分) 方法二：设P(xo,y%),A(x1,y1),B(x2,y2). 由-营=1.G-号=1，作差可得(-)(+)=3（名-）(+.《(6分) 1P1=1P816=5。='(为=3-， 又y%=√3x0,.(y1-y2)0=3(x1-x2)x0…… …(7分) 由题意知，直线1的斜率一定存在，且斜率不能等于3，即y-2≠5(x-,), x0=0,y0=0,即点P与原点重合。…(9分) (iⅱ)设P(t,3t). 当l与x轴垂直时，l:x=t(1t>1),设点A(t,y1),则B(t,-y1), .IPAI.IPBI=13t-yII3t+yI=131-yl. 又点4在E上f-号=1，即3r-=3, .|PA||PB|=3.…（12分） r3x2-y2-3=0, 当的斜率存在时，由 得(3-k2)x2-2t(5-k)x-(5-k)2-3=0, ly=k(x-t)+t 3-2≠0， 4>0, 设A),B(),则+625：2 3-k2 4=二5-)-3 3-2 IPA1·1PB1=√1+k2It-xI·1+1t-x2l=(1+k2)I2-(x1+x2)t+x2I =(1+2) 2 2m(5-1+-(5-k)P-3 3+3k2 3-k2 3-2 k2-3 =3+21,当长=0时，等号成立 …(16分)】 综上，IPA1·IPB1的最小值为1. …(17分) 一4