精品解析：山东青岛五十八中高新学校2025-2026学年上学期高三年级期末检测数学试题

2023级青岛五十八中高新校区高三年级期末检测 数学 本试卷共8页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题：“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 过点的抛物线的标准方程是( ) A. 或 B. C. 或 D. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（　　）． A. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 6. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则（ ） A. 有且仅有一点使二面角取得最小值 B. 有且仅有两点使二面角取得最小值 C. 有且仅有一点使二面角取得最大值 D. 有且仅有两点使二面角取得最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 11. 圆C过抛物线：上的两点、，则（ ） A. 圆C面积的最小值为 B. 圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则与的夹角为__________． 13. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 14. 数列的前项和为，若，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 16. 已知椭圆：的右焦点为，且过点. （1）求的方程； （2）设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 17. 如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，． （1）证明：； （2）已知点为线段上的点，且，求当最短时，直线和平面所成的角的正弦值． 18. 已知函数，为的导数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）设为的零点，证明：当时，． 19. 已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． （1）求和； （2）求与的递推关系式； （3）求的数学期望（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级青岛五十八中高新校区高三年级期末检测 数学 本试卷共8页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题：“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得. 【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以的否定为. 故选：A 2. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是. 故选：D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的二项式写出二项式展开式的通项，整理通项到最简形式，使得的指数等于0，求出对应的的值，得到结果． 【详解】二项式展开式通项是 得， 展开式中的常数项为 故选：D． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是写出展开式的通项，是一个基础题． 4. 过点的抛物线的标准方程是( ) A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据抛物线的标准方程，代点可得答案. 【详解】由于点在第四象限，故抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则标准方程可分别设为，， 代入点，分别可得，， 所以抛物线方程为或. 故选：C. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（　　）． A. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】D 【解析】 【分析】由对图象的影响可得. 【详解】先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍， 横坐标不变，得到函数的图象， 再将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的， 横坐标不变，得到函数的图象， 即将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的， 横坐标不变，得到函数的图象， 故选：D. 6. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，由题意可得，，进一步求出，的通项公式，即可得出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，则， 所以是首项为和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到的相关推递式，从而得解. 7. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先由奇偶性求得在上的解析式，把不等式转化为等价不等式组，结合指数函数单调性，求解不等式组的解集即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则（ ） A. 有且仅有一点使二面角取得最小值 B. 有且仅有两点使二面角取得最小值 C. 有且仅有一点使二面角取得最大值 D. 有且仅有两点使二面角取得最大值 【答案】D 【解析】 【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断． 【详解】过A作于M，连接MB、MC，如图所示， 因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线在平面内，且直线BC交单位圆于点A， 所以，平面，，所以平面， 平面，所以，， 所以是二面角的平面角， 设，，，，则， 由已知得，， ，，， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则， 所以，当时，取最大值，没有最小值， 即当时取最大值，从而取最大值， 由对称性知当时，对应P点有且仅有两个点， 所以有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值．故D正确. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D. 【详解】对A：取，，此时，但，故A错误； 对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：取，，此时，但，故C错误； 对D： ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，直接用奇函数的定义验证；对于B，直接说明不是周期；对于C，利用正弦二倍角公式证明，再由可得最小值；对于D，直接计算得到，即可否定结论. 【详解】对于A，函数定义域为，有， 所以是奇函数，A正确； 对于B，有，. 所以，这表明不是的周期，B错误； 对于C，我们有， 而之前已计算得到，故的最小值为，C正确； 对于D，由于，， 故，所以在上并不是单调递增的，D错误. 故选：AC. 11. 圆C过抛物线：上的两点、，则（ ） A. 圆C面积的最小值为 B. 圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知求得抛物线的方程，对于A，圆C以为直径时，圆的面积最小，求出半径，可得圆C的面积；对于B，写出过、、的圆C的方程，与抛物线方程联立，消元后的方程有3个解，则B错误；对于D，写出直线的方程，设出直线的方程为，设出过、P、Q的曲线方程，由方程中的系数为0，可求得直线PQ的斜率的值；对于C，由直线的方程与联立，消元后利用韦达定理可得P、Q的纵坐标之和. 【详解】因为点在抛物线：上， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 对于A，因为圆C过抛物线上的两点、， 则以为直径时，圆的面积最小，半径， 此时圆C的面积为，故A正确； 对于B，过、、的圆C的方程为， 与联立，得， 所以或，解得或， 则圆C与抛物线的公共点为，个数为3，故B错误； 对于D，直线的方程为， 由已知可知直线的斜率存在，设为， 则直线的方程设为， 设过、P、Q的曲线方程为， 方程左边的系数为， 因为、P、Q的曲线方程为圆， 所以，即，故D正确； 对于C，直线的方程为，与联立， 得，设的纵坐标为，则，故C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角的坐标公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性列出参数的不等式，求出不等式的解集. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 数列的前项和为，若，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分为为奇数和为偶数两种情况分别对题目中的递推公式进行化简，可得到的奇数项为常数列，偶数项为等比数列，利用分组求和法即可求解. 【详解】当为奇数时，，， 则可化为， 因为，所以， 当为偶数时，，， 则可化为， 因为，所以的偶数项是首项为，公比为的等比数列， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析： (1)利用题意结合余弦定理可得； (2)利用题意结合正弦定理可得：. 试题解析： （I）在中，由余弦定理得 (II)设 在中，由正弦定理， 故 点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 16. 已知椭圆：的右焦点为，且过点. （1）求的方程； （2）设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得； （2）由椭圆的性质得到当，，三点共线时取得最大值，再直曲联立，由弦长公式计算可得. 【小问1详解】 设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆的几何性质有， 故，. 所以的方程为. 【小问2详解】 设的左焦点为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时. 因为，故直线的方程为. 与的方程联立有， 整理有，，解得，. 故直线被截得的弦长为. 17. 如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，． （1）证明：； （2）已知点为线段上的点，且，求当最短时，直线和平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）连接，因为弧是半径为的半圆， 为直径，点为弧的中点，所以． 在中，． 在中， ，且点是底边的中点， 所以，； 在中，，所以 又因为，，所以平面， 又面，所以． 又因为，所以平面， 而面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得； （2）建立空间直角坐标系，求出的表达式，并根据二次函数的最值求出其最小值，进而求出点的坐标，并利用向量法求出直线和平面所成的角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点C作交弧BC于G， 以点为原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 设，则由，可得， 即，所以， 则， 所以， 当时，取得最小值．此时． 由(1)知，平面的一个法向量为，又 所以， 则直线和平面所成的角的正弦值为． 18. 已知函数，为的导数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）设为的零点，证明：当时，． 【答案】（1） （2） 当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． （3） （i）若，由（2）可知，在区间没有零点，且， 故在区间单调递增，，且此时． 因为，故． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故． 故当时，． （ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点， 即在存在唯一极大值点，故当时，． 由（2）可知，，且， 故当时，都有． 又因为，且在区间单调递增， 故存在唯一零点，且满足． 设， 则，． 由上可知，在区间单调递减，且， 故，此时也有． 综上，由（i），（ii）可知，当时，． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率即可求得切线方程； （2）由题意得，等价于在零点的个数，分，两种情况判断单调性，进而可得零点个数； （3）（i）若，结合（2）的单调性，可得，可得，构造函数，求导可得结论；（ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点，可得，可得，进而构造函数，进而有，，可得结论. 【小问1详解】 当时，，则， 故，，曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，且，故零点的个数等价于函数在零点的个数． 当时，，没有零点． 当时，，令，则， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增． 又，当时，，此时没有零点； 当时，，此时有一个零点． 若，则，又，，， 结合的单调性可知，在区间和各恰有一个零点， 即在区间存在一个零点，在区间存在一个零点． 综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． 【小问3详解】 略 19. 已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． （1）求和； （2）求与的递推关系式； （3）求的数学期望（用表示）． 【答案】（1）；；； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据独立事件概率乘法公式和全概率公式求结论. (2)具体见详解. (3)对递推式进行变形，构造等比数列求解，具体见详解. 【小问1详解】 ； ； ； 【小问2详解】 记第次操作后，甲袋黑球数的分布为：，，， 第次操作结果是由第次操作后甲袋黑球数(可能值为、、)决定； 当时(甲黑白，乙黑白)：取和的概率分别为和，取的概率为； 当时(甲黑白，乙黑白)：取，，的概率分别为，，； 当时(甲黑白，乙黑白)，取，的概率分别为和，取的概率为； 用全概率公式可得，； 所以， 所以， 【小问3详解】 由（2）， 所以，又， 所以， 因为随机变量的分布列为 0 1 2 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $