山东青岛五十八中高新学校2025-2026学年上学期高三年级期末检测数学试题

2023级青岛五十八中高新校区高三年级期末检测 数学 本试卷共8页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题：“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 4. 过点的抛物线的标准方程是( ) A. 或 B. C. 或 D. 5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（　　）． A. 横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 6. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线垂直单位圆所在的平面，且直线交单位圆于点，，为单位圆上除外的任意一点，为过点的单位圆的切线，则（ ） A. 有且仅有一点使二面角取得最小值 B. 有且仅有两点使二面角取得最小值 C. 有且仅有一点使二面角取得最大值 D. 有且仅有两点使二面角取得最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 11. 圆C过抛物线：上的两点、，则（ ） A. 圆C面积的最小值为 B. 圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则与的夹角为__________． 13. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 14. 数列的前项和为，若，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝. （1）求cos∠CAD的值； （2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长． 16. 已知椭圆：的右焦点为，且过点. （1）求的方程； （2）设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 17. 如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，． （1）证明：； （2）已知点为线段上的点，且，求当最短时，直线和平面所成的角的正弦值． 18. 已知函数，为的导数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论零点的个数； （3）设为的零点，证明：当时，． 19. 已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． （1）求和； （2）求与的递推关系式； （3）求的数学期望（用表示）． 2023级青岛五十八中高新校区高三年级期末检测 数学 本试卷共8页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】(1) (2) 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）连接，因为弧是半径为的半圆， 为直径，点为弧的中点，所以． 在中，． 在中， ，且点是底边的中点， 所以，； 在中，，所以 又因为，，所以平面， 又面，所以． 又因为，所以平面， 而面，所以； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点． （3） （i）若，由（2）可知，在区间没有零点，且， 故在区间单调递增，，且此时． 因为，故． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故． 故当时，． （ii）若，由（2）可知，在区间存在一个零点， 即在存在唯一极大值点，故当时，． 由（2）可知，，且， 故当时，都有． 又因为，且在区间单调递增， 故存在唯一零点，且满足． 设， 则，． 由上可知，在区间单调递减，且， 故，此时也有． 综上，由（i），（ii）可知，当时，． 【19题答案】 【答案】（1）；；； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $