福建宁德市2025-2026学年第一学期期末高一质量检测数学试题

宁德市2025-2026学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题 (满分：150分 时间：120分钟) 注意事项： 帽 1.答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一 致 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题 卡上.写在本试卷上无效 3.答题结束后，学生必须将本试卷和答题卡一并交回. u的 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.设a,b∈R,P={1,a},2={-1,0,a+l1},若PsQ,则实数a的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.1<1是“x>1的 F 女 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 第二象限角，其终边与单位圆交于点P,若点P的纵坐标为：，则加 tana 3 4 A.-5 4 B. 5 C.- D. 5 5 馨 4. 若不等式262+-3 <0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 A.(-0,-3)U(0,+o0) B.(-3,0) C.(-0o,-3)U[0,+∞) D.(-3,0] 5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ln(-x),则f(e2) A.-2 B.2 1 C.2 D.2 养 高一数学期末试题第1页（共4页） 6.己知函数f(x)=-x+1,g(x)=(x-1),用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者，记为 M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 7.设函数f)=a-2州-1，g)=cosx,若函数()=f)-g)在区间-1,1)上存在零 点，则实数a的取值范围是 A 2<asl 1 B.a≤1 C. <a≤2 D.a≤2 8.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是“悬链线”.在适当坐标系下，该 曲线的解析式为f)=+e,称为双曲余弦函数，与之对应的函数8()=。一称为 2 双曲正弦函数.若对任意x∈R,都有f(2x)≥ag(x)成立，则实数a的取值范围是 A.a≤-22 B.a<2√5 C.-25≤a≤22D.a≥-2W2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知log3a>logb,则 A.a-b>0 B.分> C.alal>b ab 10.下列各式计算结果为1的是 A.2sinl5cosl5° B.cos tan 8 C. D.tan20°+tan25°+tan20tan25 1-tan 8 11.已知函数f(x)=cosx+√5sinx,则 A.π是f(x)的一个周期 B.f(x)的值域为[-1,2] C.直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴 D.函数g(x)=f(x)-1在区间[-2π，2π]上有7个零点 高一数学期末试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12 27 11π sin 8 6 13.若函数f(x)满足：对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+fy)+1成立.写出函数f(x) 的一个解析式 14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100L 血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80g及以上认定为醉酒驾车.假 设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100mg/100mL.在停止 喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含 量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过 小时才能驾驶， (结果保留整数，参考数据：1g2≈0.3) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 己知集合A={x|x2≤3x+10},B={x22x+4<2“,aeR}. (1)若a=2,求AUB: (2)若“x∈A”是“x∈B的充分条件，求实数a的取值范围. 16.(15分) 已知函数f(x)=log,(3+x)+log,(3-x). (1)求函数f(x)的定义域，判断并证明f(x)的奇偶性： (2)求不等式f(x)<f(I)的解集 17.(15分) 函数f(x)=Asin(mx+p(A>0,o>0,0<p<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求∫(x)的解析式和单调递增区间： (2)将∫(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 2元 纵坐标缩短到原来的。，得到g(x)的图象.若g()= 3 且0<a<π，求cosa的值. 高一数学期末试题第3页（共4页） 18.(17分) f)=ax+b(>0,b>0)是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独 特的“双勾”形状，被称为“对勾函数” (1)若a=b,判断函数f(x)在[1，+o)上的单调性，并用定义证明： (2)若两个不相等的正数m,n满足f)=m,求证：m+n>2后 (3)若a=b=1,是否存在实数s,t,使得f(x)在[s,月上的值域是[2s,21]?若存在， 求出所有s,t的值：若不存在，说明理由 19.(17分) 已知直线I∥I,,DE⊥I于点E,DE⊥I,于点D,A是线段DE上一定点，AE=1 AD=2,B,C分别是L,I2上的动点(B,C均位于线段DE的右侧).设∠ACD=a. (1)如图I,若AB⊥AC,请写出△ABC的面积关于角a的函数解析式S(C),并求 S(a)的最小值： (2)如图2，若△ABC是等边三角形，求sin2au的值： (③)如图3，若∠ACB=香：当a∈（后孕时，求四边形BCDE面积的最小值， E B B I B h 2 图1 图2 图3 高一数学期末试题第4页（共4页）宁德市2025-2026学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题参考答案 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则， 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分， 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一个是符合题目要求的. 1-5.BBCDA 6-8ACC 7.解法一 解析：因为f(x),g(w)均是偶函数，所以只需考虑(x)在[O,1)上的零点情况， (1)当a>0时，f(x)=a:2-1,g(x)=cos7x 2 f(x)在[0,1)上单调递增，g(x)在[0,1)上单调递减， m80a。时os 可得 f(1)>g(1) (2)当a≤0时，f(x)=a-2-1<0,g(x)=cosx>0, 所以两函数图象没有交点，所以h(x)无零点.综上所述，α的取值范围为 解法二 h)=a.2州-1-cosx,x∈(-1，易知h()为偶函数，故只需考虑x∈[01)的零点情况. 2 当a≤0时，h(x)<0恒成立，(x)不存在零点； 当a>0时，h(x)在[0,1)上单调递增，要使h(x)在区间(0,1)内存在零点， 只需0h0<0,即a-22a-1)<0,得<a<2,又(0=0也符合题意，得a=0 综上a的取值范围为 斗 解法三 令h()=0得a-2州=cosx+1,函数h)的零点问题转化为函数y=a2州与y=cos二x+1 2 2 在区间（←1,1）的交点问题. =a2x(a>0) x)+1 -COS- 2x)+1 y=a-2x(a<0) 如图可知，a的取值范围为 8.解析：依题意得 e tex 22ae+e,令t=e'-e,teR,则r=e2+e-2, 2 2 故原式化简为t+2≥a.t 即t2-at+2≥0在R上恒成立， 于是△=d2-8≤0，所以a的取值为[-2√2,2√2] 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.AC 10.BD 11.BCD 11.解析：由f(x)=cosx+√3simx,可得f(x)是偶函数，2π是f(x)的一个周期 当时)=ox5m=2m君 如图画出函数图象 f(0)=1,f(π)=-1，f(0)≠f(π)，所以π不是f(x)的一 个周期，故A错： 2-2T3T/2 斤-T12 T/2 3T/22m5 由图可知f(x)的值域为[-1,2]故B对： f(2π-x)=f(x),所以直线x=π是函数f(x)图象的一条对称轴，故C对： 令g(x)=0,即f(x)=1,由图可得函数y=f(x)与y=1的图像有7个交点，故D对. 12.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置 12 13.f(x)=x-1(形如f(x)=x-1,k∈R的表达式都对，f(x)=-1,y=x-1也对) 14.10 14.解析：因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减， 设t小时后驾驶员体内的酒精含量为f(t)=100·d,t≥0， 依腿意得：刊10.50.解行a=停》 由f(t)<20,得100a<20,整理得 两边取对数 解得t>4×1g3=4×1-g2≈ 4×0728 ≈9.3 1g2 0.33 所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶， 四、解答题：本大题共5小题，共T7分.解窖应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.解：(1)x2≤3x+10,即(x-5)x+2)≤0 ..1分 .-2≤x≤5 ...2分 A={x2≤x≤5} .3分 当a=2时，B={x224<2} .2x+4<2.x<-1 4分 :.B=<-1 5分 AUB={xx≤5 7分 (2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件 ..ACB .9分 :B={x2a4< -4 }K<2 11分 a-4 >5 ...12分 2 ∴.a>14所以a的取值范围是14，+o) .13分 16.解法一 (1)依题意得 [3+x>0 .2分 3-x>01 解得x∈(-3,3)，所以函数(x)的定义域为(3,3) .3分 判断f(x)为偶函数， f(-x)=log2(3-x)+log2(3+x)=f(x).… .5分 又(x)的定义域关于原点对称， 所以f(x)是偶函数.... .7分 注：若没有说明定义域关于原点对称，不扣分。 (2)f(x)=10g2[3+x)3-x]=1og2(9-x2).. 9分 所以f(x)<f0)可化为1og2(9-x2)<1og28.… .10分 因为y=log2x在定义域内单调递增， 11分 故有9-x2<8,解得x<-1或x>113分 又因为f(x)的定义域为(-3,3)，所以f(x)<f)的解集为(-3，-1)U1,3)....15分 解法二 (1)同解法一 （2）f(x)=l0g2[(3+x3-x]=1og2(9-x2)9分 因为y=9-x2在(0,3)上单调递减，y=log2x在(0,3)上单调递增， 所以fx)=10g,(9-x2)在(0,3)上单调递减10分 故fx)<f)可化为fx)<f四)， .11分 所以>1，即x<-1或x>1,… 14分 又因为f(x)的定义域为(3,3)，故f(x)<f)的解集为(-3，-1)U4,3)..15分 17.解：(1)由图可得A=2.… …1分 且T-2π元元 2362 T=π 7 ’os0 2π .0=2.. .2分 ..f(x)=2sin(2x+o) 代爱习 :.2-2sin 2xto π ∴.sn +p=1 6 3 若+0-+2xe2列 π 2 .0<p<π ∴.p= .4分 6 f6)=2n2x+6 5分 令牙+2：s2x+名+2krke2☑ 62 -管-虹sxg+tea列 6 ∴∫(x)的单调递增区间为 7分 注：从图象得到f(x)的单调递增区间不扣分 (2)依题意得g)=simx+区 6 9分 8(a网=sima+g）-1 63 a∈(0，π) a+∈ π7π .10分 6 66 11分 12分 /sin飞 6 .14分 2W2V5,1、11-2W6 …15分 3232 6 所以的值为1-2V6 6 注：答案为1±26的扣2分. 6 18.解法一 (1)判断f(x)在[L,+w)上单调递增. 证明：任取x1<x2,且x,x2∈[1，+∞)， 则)-J)=是-低+骨ad-0+a之 1分 =a,-x)+a=a,-x)0-)=a,-x马 3分 XX2 XX2 因为1≤x1<X2,故x2-X>0且X2-1>04分 于是f)-fG)>0,即f,)>f6),所以f()在，+o)单调递增5分 (2)依愿意得，侧=f0m,即am+b=m+为，整理得01-ma-）=0…6分 nin 因为m≠n,所以a b=0,即mw1= b .7分 a 又依题意，n>0,故m+n≥2√m=2, a 9分 因为m≠n,故等号不成立，所以m+n>2, 6 ...10分 (3)假设存在实数s,t,使得f(x)在[s,门的值域是[2s,2], 因为f(x)定义域为(-n,0)U(0,+o),区间[s,]是连续区间，故5，t符号相同 当0<5<1时，因为f0)=x+≥2，故2s≥2，即52112分 [f(S)=2s +-2 [s2=1 由(1)可知，f(x)在，+o)单调递增，于是 (f0=2t'即 1+ ,故有=1 t 得5=t=1,这与1≤5<t矛盾，故无解… .14分 同理，当s<t<0时，2t≤-2可得t≤-1. 由()=-x三二/)，可得)是奇函数，由对称性可知了)在（←0，-可单调递增 f(s)=2s 任-1解得5=1=-1，这与<1≤-1矛盾，放无解…16分 s2=1 于是 f0=2r'得 综上所述，不存在符合要求的实数S,t.… .17分 解法二 (1)(2)同解法一 (3)假设存在实数S,t,使得f(x)在[s,]的值域是[2s,2], 因为f(-)=-x-1=-f), 所以(x)是奇函数，由对称性只需考虑0<s<t的情况. 11分 f(s)=2t +1=2 (i)当0<s<t≤1时，f(x)单调递减，于是 f0=2x' 即 两式相加， 1 t+-=2s t 得上+5+1，即1=1，解得5=1=1，这与0<5<1≤1矛盾，故无解13分 s t 「f(s)=2s 12s s+ [s2=1 (i)当1≤s<t时，f(x)单调递增，于是 即 故有 f(t)=2t 1 t2=1 ,解得 i+ =2t t 5=t=1,这与1≤s<t矛盾，故无解. .......15分 (ii)当s<1<t时，f(x)在[s,]上的最小值为f1)=2,于是f)=2=2s,即s=1, 这与了<1<t矛盾，故无解。17分 综上所述，不存在符合要求的实数5，t. 19.解：（1)依题意得：∠EAB= 2 所以AC= -,AB=- 1 sin coS a 2分 则a)=1ABAC= 1 2 sin acos a sin2ae0 2 4分 当=严时，S)取到最小值2. 5分 (2)∠DAC=-g-a,∠EAB=+a 2 6 2 1 故有AC= -,AB= sina cOs(+ 6 因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC,即2= 1 sin a cos(+ ，7分 6 整理得2cos(+）=V3c0s-sima2,所以2sina=5c0sa.8分 6 故有tana=V5 所以sin2a=2 sin a cos a= 2tana 3 4V3 1+tam'a1+37 10分 4 所以sin2a的值为 > (3)过B作BF⊥l交2于点F, 则∠BCn=3江-a,故CF= 3 -,DC= 2 4 ’11分 -) 4 所以四边形BCDE的面积 B l S四边形BCDE=S矩形BRDg一S△BCF 2 1 3 =3( 一十 ×3× -a）tana& 3π 21 3π 12分 tan( tan( 4 、6 tana … 13分 2tan(3z-a) 4 =6+ 9(tana-1) 14分 tana 2(tana+1) 6 tanatana+1 2 15分 6(tana+1)9tana 21 16分 tan a tana+1 2 ≥6V6-21 ,当且仅当tan a=√6+2时取到等号 17分 所以四边形BCDB面积的最小值为6√后-2斗国口口口 宁德市2025-2026学年第一学期期末高一质量检测 考生严禁填涂，监考教师填 数学答题卡 涂，缺考标志 [] 准考证号： 学校 班级 姓名 贴条形码区域 座号 考场号 注 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、座号和准考证号填写清楚。 正确填涂 2.考生作答时，请将答案写在答题卡上，并按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区 事 域书写的答案无效。 涂样 错误填涂 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：非选 项 择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 ☑X■ L一0中 4.保持卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。 一、 单项选择题 二、多项选择题 01 [A][B][C][D] O5[A][B][C][D] O9[A][B][C][D] O2[A][B][C][D O6[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] O3[A][B][C][D] O7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D O4[A][B][C][D] O8[A][B][C[D] 三、填空题：（本题满分15分） 12. 13. 14. (此区域请勿答题) 四、解答题： 15.(13分) 圆 16.(15分) 山 圆 国 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) E B E B l E B l D D 图1 图2 图3 由