精品解析：四川省达州市达川区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

达川区2025年秋季教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答答题卷前，请考生务必将密封线内各项内容填写清楚． 2．用蓝、黑色墨水钢笔或圆珠笔直接将答案写在答题卷上，不能使用铅笔和涂改液． A卷（共100分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，最大的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简给出的实数，然后进行比较即可． 【详解】解：∵（-2）2=4，|-|=，2=，π≈3.14， 又∵4＜5＜6.25，6.25＜8＜9， ∴2＜＜2.5，2.5＜＜3， ∴＜＜π＜4， ∴|-|＜2＜π＜(−2) 2． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2. 已知点，都在直线上，则与关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值的大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴； 故选A． 3. 近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 2 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，根据乙品种产量最稳定即方差最小，且产量不都一样即方差不为零；比较各品种方差，乙的方差a需小于其他品种的最小方差且大于0，即可． 【详解】解：∵乙品种产量最稳定， ∴方差a最小； ∵乙的10棵果树产量不都一样， ∴； 其他品种方差：甲为，丙为2，丁为，最小方差为； ∴ ∴a的值可能是． 故选D． 4. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：． 故选：D． 5. 命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查举反例说明假命题，根据题意，需找反例使成立但不成立，即 ，进行判断即可． 【详解】解：对于选项C：， ， ∵， ， ∴，即成立， 但， ∴，即不成立， 故命题为假命题． 其他选项均不支持反例：A、B、D 中 且均成立； 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，二次根式的运算，根据二次根式的性质，减法法则，乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 已知和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 8. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加，h的增加量相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数的图象理解题目意思是解答本题的关键．根据函数图象，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意； B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶ C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶ D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知实数，满足与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，根据作图得到线段平分，如图所示，过点作于点，则，结合题意可判定是等腰直角三角形，则，由此即可求解． 【详解】解：根据作图得到线段平分，如图所示，过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为： ． 11. 如图，已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线的交点的含义是关键，根据题意，把点代入直线得到，由此即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∵关于，的二元一次方程组变形得，， ∴方程组的解为， 故答案为： ． 12. 如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则________． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，，，等量代换即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：42 ． 13. 如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及规律型．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出规律，即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， 的长度为， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共5个小题，共48分） 14. 计算或解方程组： （1）； （2）． （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二元一次方程组求解，掌握二次根式混合运算法则，加减消元法是关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用二次根式的混合运算法则，完全平方公式去括号，再计算加减即可； （3）将方程组化简得，再运用加减消元法计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 原方程组化简，得， ②－①，得， 解得：， 把代入①，得， ∴原方程组的解为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题． （1）画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）； （2）的面积________； （3）请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标． 【答案】（1） 如图1所示： （2）2 （3） 点位置如图2所示，点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了图形的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题： （1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到关于轴对称的点，连接即可； （2）补全法，将三角形补成长方形，面积即为长方形减去三个直角三角形的面积； （3）根据两点之间线段最短作答，作关于轴的对称点，并与相连接，此时的交点即为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为：2． 【小问3详解】 略 16. 一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题： （1）本次共抽查学生________人，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是________元，中位数是________元； （3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？ 【答案】（1） 60；将条形统计图补充完整如图： （2）10，15 （3）捐款20元及以上的学生估计有345人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，众数和中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）用D：捐款20元的人数所占的比例即可求出抽查了多少学生，抽查人数减去其他几组人数即可得出C的人数，即可将条形统计图补充完整； （2）根据众数和中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘捐款20元及以上的学生人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人）， 的人数：（人）， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：根据题意得：捐款10元的人数最多， ∴众数为10元， 把这60 个数据从小到大排列位于第30位，31位的均为15， ∴中位数为15元， 故答案为：10元，15元； 【小问3详解】 解：（人）， 答：捐款20元及以上的学生估计有345人． 17. 如图，已知，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由． （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1） 解：与平行．理由如下： （同位角相等，两直线平行）， ， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可证明结论成立； （2）求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 平分 ， ， ， ， （垂直的定义）， ． 18. 已知如图，直线与轴、轴相交于点、，坐标分别为和点；直线交直线于点，交轴于，若点的横坐标为． （1）求直线、的表达式； （2）求的面积； （3）点是直线上一点，过点作直线平行于轴，交于，若，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的表达式，将代入直线的解析式可得，推出，将代入直线计算即可得解； （2）求出点的坐标，从而可得，再由三角形的面积公式计算即可得解； （3）设，则，表示出，结合，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为（不为0） 直线分别交轴、轴于点、点， ，解得： 直线的解析式为； 将代入直线的解析式可得，即， ， 直线交直线于点， 将代入直线可得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， ，， ， 的面积， 【小问3详解】 解：设，则， ， ， ， 解得：或， 当时，，当时，， 点的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点E表示的实数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在，由勾股定理可得： ∴， ∵A点表示， ∴点E表示的实数是． 故答案为：． 20. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解，，，是关键，根据题意，，则，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，如图所示， ∴，，，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9 ． 21. 将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为， 由题意，得 ①－②，得， 解得． 故答案为：． 22. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 23. 如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点作的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识，合理作图，数形结合是关键． 根据等腰三角形的三线合一得到，，，运用等量代换得到，证明，由勾股定理得到，再根据等面积法即可得到，最后运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵， ∴， 在中，， 故答案为： ． 二、解答题（本题共3个小题，共30分） 24. 研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． （3）在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生 （2）共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车 （3）最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1） 设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得：，由二元一次方程的解的方法求解即可； （3）根据（2）中的方法，结合题意分别算出各自的费用，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用24辆小客车，4辆大客车； 方案2：租用15辆小客车，8辆大客车； 方案3：租用6辆小客车，12辆大客车． 【小问3详解】 解：方案一所需租金为（元）； 方案二所需租金为（元）； 方案三所需租金为（元）； ， 最省钱的租车方案是方案三，即租用6辆小客车，12辆大客车，最少租车费为3360元． 25. 已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离． 【答案】（1） 解：①，， 证明：、都是等腰直角三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ； 即，． ②证明：是等腰直角三角形，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， ； （2）点到边的距离为 【解析】 【分析】（1）①根据题意证明，得，，由等腰直角三角形的性质得到，则，由此即可求解； ②由等腰直角三角形，勾股定理得到，，结合，等量代换即可求解； （2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质，结合（1）中的②得到，则，，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于， 由②知，， ， ，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ，， ，即， ，即点到边的距离为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求三角形的高等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，若实数、满足，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；直线的解析式： （2） （3）存在，点的坐标为：或或或． 【解析】 【详解】解：（1）中且 ， 点的坐标为，点的坐标为； 设直线的解析式为（不为0） 直线上的点、点， 解得： 直线的解析式： 在中，，， 则有勾股定理得． 由折叠的性质，可知：，， ， 点的坐标为． （2）由折叠的性质，可知： ，， 又 在和中 ， 又由折叠的性质，可知： 设，则 在中有勾股定理 得 点的坐标为， （3）存在，点的坐标为：或或或． 理由： 设点，由点、、的坐标得： ，，， 分三种情况考虑： 当时，则，解得：，即点的坐标为：； 当或时，同理可得：或， 解得：（舍去）或6或， 即点的坐标为：或或； 综上，点的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达川区2025年秋季教学质量检测 八年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答答题卷前，请考生务必将密封线内各项内容填写清楚． 2．用蓝、黑色墨水钢笔或圆珠笔直接将答案写在答题卷上，不能使用铅笔和涂改液． A卷（共100分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，最大的数是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点，都在直线上，则与关系是（ ） A. B. C. D. 3. 近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 2 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 命题“若，则．”下列选项中，的值，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知和关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. v和h均随t的增大而增大 D. t每增加，h的增加量相同 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知实数，满足与互为相反数，则的值为________． 10. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，若点到的距离为，则的长为________． 11. 如图，已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 12. 如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则________． 13. 如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，…，按此规律作下去，则的长度为________． 三、解答题（本题共5个小题，共48分） 14. 计算或解方程组： （1）； （2）． （3） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标为，，，按下列要求作图，并回答下列问题． （1）画出关于轴对称的图形（点，、分别对应）； （2）的面积________； （3）请在轴上找出一点，满足线段的值最小，画出点，并写出点坐标． 16. 一方有难八方支援，感恩奉献是美德．我校开展了爱心助学活动，全体师生齐参与，人人献爱心，用实际行动传递着温暖，随机抽查了部分同学捐款的情况进行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题： （1）本次共抽查学生________人，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是________元，中位数是________元； （3）全校1380名学生中，捐款20元及以上的学生估计有多少人？ 17. 如图，已知，． （1）与有怎样的位置关系？请说明理由． （2）若平分，于点，，求的度数． 18. 已知如图，直线与轴、轴相交于点、，坐标分别为和点；直线交直线于点，交轴于，若点的横坐标为． （1）求直线、的表达式； （2）求的面积； （3）点是直线上一点，过点作直线平行于轴，交于，若，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 20. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若．则图中阴影部分的面积为________． 21. 将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度________． 22. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 23. 如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点作的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，若，，则的长度为________． 二、解答题（本题共3个小题，共30分） 24. 研学是一种很好的体验式学习方式，为拓宽学生视野，增强对自然与社会的认识，直观了解课本知识，学校组织八年级660名学生到郊外参加研学活动．已知用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人，用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． （3）在第（2）问的条件下，若1辆小客车需租金120元/次，1辆大客车需租金220元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 25. 已知和都是等腰直角三角形，，的锐角顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，，点是的中点，求点到线段的距离． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，若实数、满足，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $