河北省2025-2026学年高二第一学期期末名师原创数学试卷

2025-2026河北省高二第一学期期末名师原创 数学试卷 【命题范围】选择性必修第一册（第一章：空间向量与立体几何，第二章直线与圆的方程，第三章 圆锥曲线的方程）；选择性必修第二册（第四章 数列） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.直线的倾斜角为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】直线可化为，这是垂直于轴的直线，所以倾斜角为. 故选:C. 2.两平行直线与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】由直线与平行，得，即.若，两直线重合，不符合题意，应舍去。若，两平行线为与，则距离为. 故选:C. 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】由题意知，双曲线焦点在轴上，其中一条渐近线方程为，所以，解得. 解法一：（利用双曲线标准形式的渐近线公式）.对于焦点在轴上的，其渐近线方程为.由题意知，双曲线焦点在轴上，可知，即，，即.因此该双曲线的渐近线方程为，已知一条渐近线方程为，所以，解得. 解法二：（令双曲线右边为0求渐近线），对于双曲线，令，得，，已知一条渐近线方程为，所以，解得. 故选:A. 4．已知，均为等差数列，且，，　　 A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】A. 【解析】由于，均为等差数列，则为等差数列，因此，， 所以的公差为1，故. 故选:A. 5.若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】圆上恰有四个点到直线的距离为1，则圆心到直线，则，解得. 故选:B. 6.设是椭圆上的点，若，是该椭圆的两个焦点，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】因为，所以，因为（为点的纵坐标），而椭圆上的点的纵坐标的最大值为，因此最大面积为. 故选:B. 7.AI算力芯片的散热基座采用《九章算术》“阳马”结构（底面为矩形、侧棱垂直底面的四棱锥），利用其表面积优势优化散热，通过打印制成。已知阳马形基座中，建模设，，，棱上的分流节点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】选A. 故选:A. 8.已知圆和圆的两条公切线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D. 【解析】选D.因为，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 则，所以两圆相交，有两条公切线. 设，垂足为，，垂足为， 则，，， 所以.所以，，， 所以. 故选:D. 二、选择题：本题共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知是递增的等比数列，前项和为，若， A. B. 是等差数列 C. D. 是等比数列 【答案】ABD. 【解析】（本题源于人教A版·选择性必修第二册·P32[例5]） 选ABD.设的公比为，由，递增，得. 因为，所以， 整理得，，解得或（舍去）. 对于A，，故A正确； 对于B，由，得，因此是公差为1的等差数列，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，所以是首项为，公比为的等比数列，故D正确.故选ABD. 故选:ABD. 10．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是两条直线 B．若，则是椭圆 C．若，则的离心率为 D．若，则渐近线方程为 【答案】ACD. 【解析】本题源于教材P145第3题 对于A，若，则可化为，此时曲线C表示两条平行于轴的直线，故A正确； 对于B，若，则曲线C表示圆，故B错误； 对于C，若,则可化为，，所以， 所以，故C正确； 对于D. 因为，则可化为，曲线表示焦点在轴的双曲线，，，即，，所以渐近线方程为，故D正确. 故选:ACD. 11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则 （ ） A． B． C．点到平面的距离为 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD. 【解析】（本题源于人教A版·选择性必修第一册·P34【例6】） 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 对于A. ，， ，所以，故A正确. 对于B. ，，显然与不平行.故B不正确. 对于C. ，,设平面的一个法向量为， 则，令，则，即； ,设点到平面的距离为，则，故C正确. 对于D.连接，，因为为中点，所以， 由正方体的性质可得，所以，即共面， 连接，所以平面截正方体所得的截面为梯形. 因为,所以等腰梯形的高为， 其面积为，故D正确. 故选:BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.抛物线上一点到准线的距离为___________. 【答案】. 【解析】（本题源于人教A版·选择性必修第一册·P133练习第3题） 解法一：由题意得，，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到准线的距离为. 解法二：由题意得，，则，抛物线的方程为，焦点坐标为为，点到准线的距离为转化为点到焦点的距离，即. 故答案案为： 13.已知圆台的高为，其母线与底面所成的角为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为 _____________. 【答案】. 【解析】设圆台上底半径为，则下底半径为，由题意，得，即圆台的上底面半径为，圆台的体积为. 故答案案为： 14.在计算机编程中，函数的功能是“取不超过的最大整数”，（如）.现定义数列： ；数列满足，且当时，，则________. 【答案】. 【解析】因为,循环节为142587，长度为6., 所以，，…. ，时，， ，，同理可得，，，，，…， 所以的周期为，序列为1，4，2，8，5，7循环，. 故答案案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)已知列中， ，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 【解析】（1）设等差的首项为，公差为，由，， 可得，即，解得，. 所以，所以数列的通项公式为. （2）证明：因为， 所以 因为,所以，所以 故. 16.（15分）设为坐标原点，圆的半径,圆心在直线上, ,且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若过原点的直线与圆交于,两点，且满足，求直线的方程； （3）若为圆所在平面内的动点，且满足，求的最大值. 【解析】（1）易得圆心，由题意得，解得（，舍去）， 所以圆的标准方程为. （2）由题意可知，此时圆心到直线的距离为.如图所示， 可知当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线距离为1，符合条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 此时圆心到直线距离为，化简得， 解得，此时直线方程为， 综上可知，直线的方程为或. （3）解法一：设点，已知，则， 则 由得，化简得， 可得点的轨迹方程为. 即. 的最大值为：C到轨迹圆圆心的距离+轨迹圆的半径. 到轨迹圆圆心的距离为. 所以. 解法二：且满足，两边平方得，解得，故，所以点的轨迹是以为直径的圆，因为，. 的中点坐标为，. 所以点的轨迹方程为. 的最大值为：C到轨迹圆圆心的距离+轨迹圆的半径. 到轨迹圆圆心的距离为. 所以. 17（15分）如图，在正四棱锥中，底面是边长的正方形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设，，，，均在球的球面上，且球的体积最小时. （i）证明：平面； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（本题源于人教A版·选择性必修第一册·P39【例10】） （1）证明:连接交于点，连接.---------------------------1分 因为底面是正方形，所以为的中点. 是的中点，所以.------------------------------------------------4分 有平面,平面, 所以平面.----------------------------------------------------------5分 （2）（i）正棱锥的外接球的球心在底面中心与顶点的连线上。底面正方形对角线长为， 所以.设，球的半径为. 则,所有，当且仅当时取“”. 故球的体积最小时，,. ,，故为等边三角形，是的中点，所以，同理可得. （或底面正方形中，底面，故，因为,所以平面，平面，所以） （ii）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系. 则，，，， 由（i）知，平面，所以平面的法向量可以是，. 设平面的法向量为， ，, 则，即， 令，得，设平面与平面的夹角为， 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18.（17分） 设双曲线，其离心率 （1）当时，求双曲线的标准方程； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前项和. 【解析】（1）当时，得，由，得. 由，所以，解得. 所以当时，双曲线的标准方程为. （2）对于双曲线，，. 由，结合，得，故，所以. 故数列的通项公式为. （3）解法一：由（2）得. 设……………………………………………① 两边乘以得，……………② 由①②得， 记……………………………………………③ ……………………………④ 由③④得， 故 将代入，得 整理得， 解法二：由（2）得. . 令，，，解得，，. 所以， 所以 . 所以数列的前项和为 19.（17分）已知椭圆的右焦点为，点在上，过点且不与坐标轴垂直的直线交于，两点. （1）求的方程； （2）过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，与交于,证明点在定直线上； （3）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，直线交于，， 且四边形的面积为3，求直线的方程. 【解析】（1）因为椭圆右焦点为，所以，---------------------------------1分 由，得.-----------------------------------------------------2分 因为椭圆过点，所以，则，------------------------3分 解得，.--------------------------------------------------------------4分 故椭圆的方程为.-----------------------------------------------------5分 （2）设直线的方程为，------------------------------------------6分 联立，消去得， 化简得，--------------------------------------------7分 设，，由韦达定理知， ，，-----------------------------------------------8分 由题意，设，,则 直线的方程为，直线的方程为，----------9分 联立直线与直线的方程，可得， 解得，因为，. 代入得-----------------------------10分 ，， 解得，即. 所以点在定直线上运动.----------------------------------------------------11分 （3）由（2）知，，，. 所以线段的中点 所以直线的斜率，直线:交直线于点，-----12分 因此直线的斜率，故，即.------------13分 因为 ，------------------------------------14分 直线的方程为，同理得，.---------15分 所以四边形的面积， 即，化简得，即，解得.------16分 代入，所以直线的方程为或.-----------------17分 14 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026河北省高二第一学期期末名师原创 数学试卷 【命题范围】选择性必修第一册（第一章：空间向量与立体几何，第二章直线与圆的方程，第三章 圆锥曲线的方程）；选择性必修第二册（第四章 数列） 命题多维细目表 题型 题号 分值 试题难度 考查的主要知识点 预期 得分率 易 中 难 选择题 1 5 √ 直线的倾斜角求解 0.85 选择题 2 5 √ 两平行直线间的距离公式应用 0.80 选择题 3 5 √ 双曲线的渐近线方程与参数求解 0.80 选择题 4 5 √ 等差数列的性质 0.75 选择题 5 5 √ 圆上点到直线距离的综合应用 0.70 选择题 6 5 √ 椭圆中焦点三角形的面积最大值求解 0.65 选择题 7 5 √ 空间向量的运算（阳马结构下的向量表示与计算） 0.55 选择题 8 5 √ 抛物线的定义与弦长最值问题（中点到准线距离与焦点弦性质结合） 0.50 选择题 9 6 √ 等比数列的性质（递增等比数列的公比求解、通项公式、前 n 项和及衍生数列判定） 0.60 选择题 10 6 √ 圆锥曲线的分类与性质（含参数曲线的形式判断、椭圆离心率、双曲线渐近线） 0.65 选择题 11 6 √ 空间几何与向量应用（正方体中异面直线关系、点到平面距离、截面面积求解） 0.45 填空题 12 5 √ 等差数列的前 n 项和公式与通项公式综合应用（已知前 n 项和求通项） 0.80 填空题 13 5 √ 圆台的体积公式应用（结合母线与底面夹角求上下底半径） 0.65 填空题 14 5 √ 新定义数列的周期性与通项求解（取整函数衍生数列的循环规律分析） 0.40 解答题 15 13 √ （1）等差数列的判定与数列通项公式求解；（2）数列不等式的证明（裂项相消求和应用） 0.70 解答题 16 15 √ （1）圆的标准方程求解（圆心位置、半径与直线相切条件结合）；（2）直线与圆的位置关系（过原点直线与圆相交的弦长问题）；（3）动点轨迹与距离最大值求解 0.60 解答题 17 15 √ （1）线面平行的判定（正方形性质与中位线定理应用）；（2）（i）外接球体积最小条件下的线面垂直证明；（ii）空间向量求平面与平面夹角的余弦值 0.50 解答题 18 17 √ （1）双曲线的标准方程求解（离心率条件应用）；（2）数列通项公式推导（结合双曲线参数关系）；（3）数列前 n 项和求解（错位相减法与裂项相消法综合） 0.45 解答题 19 17 √ （1）椭圆的标准方程求解（焦点与椭圆上点的条件应用）；（2）直线与椭圆相交的定点问题证明；（3）直线方程求解（结合四边形面积条件） 0.40 2025-2026河北省高二第一学期期末名师原创 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.直线的倾斜角为（ ）. A． B． C． D． 2.两平行直线与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，均为等差数列，且，，　　 A．2028 B．2027 C．2026 D．2025 5.若圆上恰有四个点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.设是椭圆上的点，若，是该椭圆的两个焦点，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7.AI算力芯片的散热基座采用《九章算术》“阳马”结构（底面为矩形、侧棱垂直底面的四棱锥），利用其表面积优势优化散热，通过打印制成。已知阳马形基座中，建模设，，，棱上的分流节点满足，则（ ） A. B. C. D. 8.已知圆和圆的两条公切线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知是递增的等比数列，前项和为，若， A. B. 是等差数列 C. D. 是等比数列 10．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是两条直线 B．若，则是椭圆 C．若，则的离心率为 D．若，则渐近线方程为 11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则 （ ） A． B． C．点到平面的距离为 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.抛物线上一点到准线的距离为___________. 13.已知圆台的高为，其母线与底面所成的角为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为 _____________. 14.在计算机编程中，函数的功能是“取不超过的最大整数”，（如）.现定义数列： ；数列满足，且当时，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)已知列中， ，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 16.（15分）设为坐标原点，圆的半径,圆心在直线上, ,且直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若过原点的直线与圆交于,两点，且满足，求直线的方程； （3）若为圆所在平面内的动点，且满足，求的最大值. 17.（15分）如图，在正四棱锥中，底面是边长的正方形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设，，，，均在球的球面上，且球的体积最小时. （i）证明：平面； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 18.（17分） 设双曲线，其离心率 （1）当时，求双曲线的标准方程； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前项和. 19.（17分）已知椭圆的右焦点为，点在上，过点且不与坐标轴垂直的直线交于，两点. （1）求的方程； （2）过，分别作轴的垂线，垂足分别为，，与交于,证明点在定直线上； （3）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，直线交于，， 且四边形的面积为3，求直线的方程. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $