专题06平行四边形寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固) 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题06平行四边形寒假预习讲义（2） · 解锁平行四边形的核心特征 · 玩转平行四边形的边与角性质 · 会用性质轻松解几何基础题 · 练就平行四边形的识图本领 · 掌握性质应用的解题小技巧 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的核心性质 3.平行四边形常用的推论 4.平行四边形的面积公式 5.易错点与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.运用平行四边形性质求解问题 2.运用平行四边形性质证明结论 3.平行四边形性质的综合拓展应用 4.数图形:统计平行四边形的数量 5.四边形的不稳定性 6.平行线间距离的计算方法 7.平行线间距离的实际应用 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示方法：用符号▱表示，如平行四边形ABCD记作▱，顶点按顺时针 / 逆时针依次书写，不可随意颠倒。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 【知识点02.平行四边形的核心性质】 平行四边形的性质围绕边、角、对角线三大维度展开，是几何计算和证明的核心依据，且所有性质均适用于任意平行四边形。 （1）边的性质 平行四边形的对边平行且相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC。 （2）角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补。 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（其余邻角同理）。 （3）对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分（对角线的交点为两条对角线的中点）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，对角线AC、BD交于点O，∴OA=OC，OB=OD。 【知识点03.平行四边形的常用推论】 由核心性质推导而来，是解题的高频结论： 1.夹在两条平行线间的平行线段相等；夹在两条平行线间的垂线段相等（平行线间的距离处处相等）。 2.平行四边形的一条对角线，将其分成两个面积相等、形状全等的三角形；两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。 3.过平行四边形对角线交点的任意一条直线，都能将平行四边形分成两个面积相等、形状全等的图形（直线平分平行四边形的面积和周长）。 【知识点04.平行四边形的面积公式】 1.核心公式：S平行四边形=底高（S=ah）。 注意：底和高必须相互对应，即高是从对应底的对边上任意一点向该底作的垂线段的长度。 2.拓展结论：等底等高的平行四边形，面积相等；若两个平行四边形的底相等，面积比等于对应高的比，高相等则面积比等于对应底的比。 【知识点05.易错点与注意事项】 1.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等（对角线相等是矩形的特有性质，切勿混淆）。 2.判定一个四边形是平行四边形需紧扣定义（两组对边分别平行），仅一组对边平行的四边形不是平行四边形（如梯形）。 3.利用平行四边形性质证明线段 / 角相等时，需先明确 “四边形是平行四边形” 这一前提，再推导结论。 4.计算平行四边形面积时，切勿用 “邻边相乘”（仅矩形可用长 × 宽，因矩形的邻边互相垂直，邻边为底和对应高）。 【题型1.运用平行四边形性质求解问题】 【典例】在中，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，于，则 度． 【跟踪专练2】如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【题型2.运用平行四边形性质证明结论】 【典例】在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 【跟踪专练2】如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【跟踪专练3】如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【题型3.平行四边形性质的综合拓展应用】 【典例】已知是平行四边形，以下说法不正确的是（    ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【跟踪专练1】如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为 m2． 【跟踪专练2】如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，那么的面积是（    ） A． B． C． D．8 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4.数图形:统计平行四边形的数量】 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【跟踪专练2】如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【跟踪专练3】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【题型5.四边形的不稳定性】 【典例】．电动伸缩门是依据平行四边形的（　　 ） A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性 【跟踪专练1】在下列四个图形中，①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形；具有稳定性的是 （填序号） 【跟踪专练2】四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【跟踪专练3】如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【题型6.平行线间距离的计算方法】 【典例】如图，直线，则直线，之间的距离是（    ）    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是线段 的长度．（填图中已有线段）    【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，点M在边上，，垂足分别为E、N，则平行线与之间的距离是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【跟踪专练3】如图，已知ABCD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ． 【题型7.平行线间距离的实际应用】 【典例】如图a、b是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【跟踪专练1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（   ） A．3 cm B．7 cm C．3 cm或7 cm D．以上都不对 【跟踪专练2】如图，点E是梯形下底的中点，与阴影部分面积相等的三角形（包括阴影部分本身）一共有 个． 【跟踪专练3】如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 1．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 2．如下图，在中，过点作于点，过点作于点．求证：． 3．如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 4．如图，平行四边形的周长为，，相交于点，的周长比的周长小，求，的长． 5．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形寒假预习讲义（2） · 解锁平行四边形的核心特征 · 玩转平行四边形的边与角性质 · 会用性质轻松解几何基础题 · 练就平行四边形的识图本领 · 掌握性质应用的解题小技巧 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的核心性质 3.平行四边形常用的推论 4.平行四边形的面积公式 5.易错点与注意事项 常考题型 精讲精炼 1.运用平行四边形性质求解问题 2.运用平行四边形性质证明结论 3.平行四边形性质的综合拓展应用 4.数图形:统计平行四边形的数量 5.四边形的不稳定性 6.平行线间距离的计算方法 7.平行线间距离的实际应用 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示方法：用符号▱表示，如平行四边形ABCD记作▱，顶点按顺时针 / 逆时针依次书写，不可随意颠倒。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 【知识点02.平行四边形的核心性质】 平行四边形的性质围绕边、角、对角线三大维度展开，是几何计算和证明的核心依据，且所有性质均适用于任意平行四边形。 （1）边的性质 平行四边形的对边平行且相等。 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC。 （2）角的性质 平行四边形的对角相等，邻角互补。 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘（其余邻角同理）。 （3）对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分（对角线的交点为两条对角线的中点）。 几何语言：∵ 四边形ABCD是▱，对角线AC、BD交于点O，∴OA=OC，OB=OD。 【知识点03.平行四边形的常用推论】 由核心性质推导而来，是解题的高频结论： 1.夹在两条平行线间的平行线段相等；夹在两条平行线间的垂线段相等（平行线间的距离处处相等）。 2.平行四边形的一条对角线，将其分成两个面积相等、形状全等的三角形；两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形。 3.过平行四边形对角线交点的任意一条直线，都能将平行四边形分成两个面积相等、形状全等的图形（直线平分平行四边形的面积和周长）。 【知识点04.平行四边形的面积公式】 1.核心公式：S平行四边形=底高（S=ah）。 注意：底和高必须相互对应，即高是从对应底的对边上任意一点向该底作的垂线段的长度。 2.拓展结论：等底等高的平行四边形，面积相等；若两个平行四边形的底相等，面积比等于对应高的比，高相等则面积比等于对应底的比。 【知识点05.易错点与注意事项】 1.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等（对角线相等是矩形的特有性质，切勿混淆）。 2.判定一个四边形是平行四边形需紧扣定义（两组对边分别平行），仅一组对边平行的四边形不是平行四边形（如梯形）。 3.利用平行四边形性质证明线段 / 角相等时，需先明确 “四边形是平行四边形” 这一前提，再推导结论。 4.计算平行四边形面积时，切勿用 “邻边相乘”（仅矩形可用长 × 宽，因矩形的邻边互相垂直，邻边为底和对应高）。 【题型1.运用平行四边形性质求解问题】 【典例】在中，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，计算周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，cm，cm， ∴cm，cm， ∴cm． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，，于，则 度． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行四边形的基本性质．由，可以得到，又由推得，而，由此可以求出． 【详解】解：，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【答案】62° 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型2.运用平行四边形性质证明结论】 【典例】在平行四边形中，对角线和相交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，牢记平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 故选项符合题意， 与不一定相等，与不一定相等，与不一定相等， 故选项，，不符合题意， 故选：． 【跟踪专练1】在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 【跟踪专练2】如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，是平行四边形内的一点，沿着，，和，将平行四边形裁成四部分，面积分别为，，，，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 嘉嘉：一定存在，与点的位置无关； 淇淇：当时，点一定在对角线上．    A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 由于平行四边形两组对边分别相等，的边上的高的和是两平行线之间的距离，所以，同理可得：，可判断嘉嘉的说法；根据已知进行变形，求出，可判断淇淇的说法． 【详解】过点O作的垂线，分别交，于，   四边形是平行四边形 同理 ，故嘉嘉说法正确； ∵， ∴， 此时， 即P点一定在对角线上．故淇淇正确． 故选C． 【题型3.平行四边形性质的综合拓展应用】 【典例】已知是平行四边形，以下说法不正确的是（    ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键． 【跟踪专练1】如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为 m2． 【答案】48 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，且，那么的面积是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据等高模型，可知S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△BOC，求出△AOB的面积即可． 【详解】解：∵△ABO是等边三角形，AB， ∠AOB=60°，OA=OB=AB=2． 作OE⊥AB于点E，则∠AOE=30°， ∴AE=1， ∴OE=， ∴S△AOB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△BOC． ∴的面积= 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【题型4.数图形:统计平行四边形的数量】 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 【跟踪专练2】如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（    ） A．9个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案． 【详解】解：设EF与NH交于点O， ∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB， ∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD， 则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 【题型5.四边形的不稳定性】 【典例】．电动伸缩门是依据平行四边形的（　　 ） A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性 【答案】D 【分析】根据四边形的不稳定性解答． 【详解】解：电动伸缩门是依据平行四边形的不稳定性， 故选：D． 【点睛】此题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握性质，正确理解四边形的可变性是解题的关键． 【跟踪专练1】在下列四个图形中，①正方形；②长方形；③直角三角形；④平行四边形；具有稳定性的是 （填序号） 【答案】③ 【分析】根据三角形具有稳定性对个图分析即可解答． 【详解】解：在下列四个图形中，具有稳定性的是三角形， 故答案为③． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 【跟踪专练2】四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 【跟踪专练3】如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【题型6.平行线间距离的计算方法】 【典例】如图，直线，则直线，之间的距离是（    ）    A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】从一条平行线上的任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴直线a与直线b之间的距离是线段的长度． 故选：B． 【点睛】本题考查了两平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，于点，于点，则直线与间的距离是线段 的长度．（填图中已有线段）    【答案】/ 【分析】先证明，再结合平行线间的距离的含义可得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴直线与间的距离是线段的长度， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，平行线间的距离的概念，熟记平行线间的距离的含义是解本题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，点M在边上，，垂足分别为E、N，则平行线与之间的距离是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线之间的距离等知识点，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质和平行线之间的距离可求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平行线与之间的距离是的长． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，已知ABCD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ． 【答案】3 【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3，即可求解． 【详解】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N， ∵ABCD， ∴ON⊥CD，OM⊥AB， ∵AO平分∠MAC，OE⊥AC， ∴OM＝OE， ∵OC平分∠ACD，OE⊥AC， ∴OE＝ON， ∴OM＝ON， ∵OE＝1.5， ∴MN＝OM+ON＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行线间的距离，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【题型7.平行线间距离的实际应用】 【典例】如图a、b是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键． 根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案． 【详解】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条， 故选：D． 【跟踪专练1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（   ） A．3 cm B．7 cm C．3 cm或7 cm D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解： 如图①，a与c之间的距离为； 如图②，a与c之间的距离为． ∴a与c之间的距离为或， 故选C． 【跟踪专练2】如图，点E是梯形下底的中点，与阴影部分面积相等的三角形（包括阴影部分本身）一共有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求三角形的面积， 先标注图形，再根据等（同）底同（等）高的两个三角形面积相等得出答案． 【详解】解：因为点E是梯形下底的中点， 所以，与平行， 所以和和和的面积相等． 所以与阴影部分面积相等的三角形一共有4个． 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 1．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，    (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)和之间的距离，和之间的距离 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握以下知识点：（1）平行四边形的两组对边分别相等；（2）平行四边形的面积等于边长乘以高． （1）根据平行线间的距离求解即可； （2）已知平行四边形的高，，根据“等面积法”列方程，求出BC＝8，根据平行四边形的面积＝底乘以高可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴和之间的距离，和之间的距离； （2）∵的周长为， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如下图，在中，过点作于点，过点作于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是利用平行四边形的性质找到全等三角形的条件，从而证明线段相等． 要证，可通过证明线段所在的三角形全等实现。利用平行四边形性质得到边和角的条件，结合垂直得到直角，满足全等判定． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ， ． 3．如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 4．如图，平行四边形的周长为，，相交于点，的周长比的周长小，求，的长． 【答案】 【分析】由四边形是平行四边形，即可得，然后由平行四边形的周长为的周长比的周长多，可得，继而可求得、的长． 此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形对边相等与对角线互相平分的定理的应用，注意数形结合思想与方程思想的应用． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的周长比的周长多， ， 即 平行四边形的周长为， 由得到：． 5．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $