精品解析：浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第三次周考数学试题

泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第三次周考 数学学科 试题 姓名：_____班级：_____ 本试题卷考查范围：必修一~选择性必修一 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集可得，进而可求交集. 【详解】因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 2. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的模为4 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数，可得， 对于A，由虚数不能比较大小，所以A错误； 对于B，由，可得，所以，所以B错误； 对于C，由复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以C错误； 对于D，由，可得，所以，所以D正确. 故选：D. 3. 直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角. 【详解】直线的方向向量坐标为，故直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：A 4. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而求得渐近线方程. 【详解】由于为双曲线的右焦点， 故， 则，所以， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：B 5. 如图，在平行六面体中，与相交于点O，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间图形结合空间向量基底法即可得到答案. 【详解】. 故选：B． 6. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 7. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 8. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心，结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断C. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确；   ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确；    设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（ ） A. 7 B. C. 13 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，再由两平行线间的距离公式求解． 【详解】因为两条平行直线与，所以，解得， 所以，而两平行直线间的距离是，则， 所以，得或，解得或. 故选：AD 10. 在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为1、2、3、4的4个神秘书签，书签除编号外完全相同．小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号（　　） A. 第一张书签编号比第二张大的概率是 B. “两书签编号之和为6”的概率是 C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立 D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，求得不放回抽取总的方法数和第一张书签编号比第二张大的抽法数，利用古典概型概率公式计算可判断；对于选项B、C、D，利用列举法求出各事件包含的基本事件数，进而计算出相应概率，最后结合事件独立性定义和概率加法公式进行判断即可. 【详解】选项A，依次不放回地抽取两张书签有， 共12种， 第一张书签编号比第二张大的抽法有共6种， 所以第一张书签编号比第二张大的概率是，故A正确； 选项B，“两书签编号之和为6”的有序数对为和，共2种结果， 故“两书签编号之和为6”的概率是，所以B错误； 选项C，设事件“抽到第一张书签编号为奇数”，事件“两书签编号和为5”， 对事件：第一张书签编号为奇数（1或3），有2种可能， 第二张书签编号无要求，共种结果，所以； 对事件：两书签编号和为5的有序数对为，共4种结果，所以. 因此事件：抽到第一张书签编号为奇数且两书签编号和为5，有，共2种结果， 所以. 由于， 所以“抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立，故C正确； 选项D，根据上述分析，，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，，，点是圆上的任意一点，过点作于，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 点的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆上存在唯一点，使得取到最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断； 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上（与B不重合）， 所以点M的轨迹方程为，故B正确； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设在轴上一点，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误； 故选：ABC. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，进而得到点的轨迹方程. 【详解】由点，，可得， 因为，即，可得点三点共线， 且点的轨迹方程为. 故答案为： 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解. 【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记焦点，则的最小值是_____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据旋转前后的关系，设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点，由椭圆的定义，得到，再设，得到，根据，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由椭圆绕坐标原点逆时针旋转角后得到曲线的焦点为， 可得，且， 如图（1）所示，联立方程组 ，解得， 所以， 又因为，可得点关于原点对称， 设点对应旋转前的点，则关于原点对称，且对应旋转前的点， 再设椭圆的另一个焦点为， 如图（2）所示，分别连接， 根据椭圆的对称性，可得， 由椭圆的定义，可得，即， 设，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. 【小问1详解】 设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由的长度为，则， ①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合； ②若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 16. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . （1）求的方程； （2）设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，结合已知条件求出的值，进而得抛物线的方程； （2）先求出焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用向量关系得到坐标关系，再结合韦达定理求出直线方程中的参数，最后根据弦长公式求出. 【小问1详解】 设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，抛物线的方程为，所以， 又过点的直线与交于、两点， 设直线：，，， 则，联立化简得， 所以，，， 又，则， 所以联立方程，解得， 根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长， 得， 将，，代入上式， 可得， 又，得. 17. 锐角中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若的周长为6，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理角化边，再余弦定理求解即可； （2）正弦定理结合三角函数求范围即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，， 即， 由余弦定理可得， 由于，则. 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 所以周长， 由于为锐角三角形，所以，, 所以，所以， ， . 18. 已知七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形，如图所示， （1）求证：平面； （2）若，，平面平面， （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）将以为折痕进行翻折得到，且平面.在翻折的过程中，棱与棱所形成的曲面与平面所围成的图形记为，记的内切球体积为，七面体的体积为，求的值. 【答案】（1） 证明：因为四边形与四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明平面平面，然后利用面面平行的性质可证平面. （2）（i）先构建空间直角坐标系，再利用向量的数量积求出线面夹角的余弦值.（ii）先找出的形状及内切球所在位置，根据三角形内切圆性质求出半径，算得；将七面体视为棱柱与棱锥组合，分别求出棱柱和棱锥的体积并相加，得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由（1）可知且，所以四边形是平行四边形，则， 又因为，所以是正三角形，则是菱形且， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，， 因此以为原点，，，平面的法向量分别为轴，轴，轴的正方向，如图建系， （i）设，则， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，即， 取，得，，则， 设直线与平面所成角为， 则， 则， 即直线与平面所成角的余弦值为. （ii）设，，， 所以， 所以， 又，， 所以，的周长为， 因为以为折痕进行翻折得到，且平面 所以为两个等底面圆半径的圆锥拼成的复合体的一半， 设含有，且与平面相垂直的平面为平面， 在平面的截面如图所示， 点为内切球球心，设内切球半径为， 则， ， 易得， 所以. 19. 双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的反向延长线经过另一个焦点，已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，，从焦点沿垂直于轴的方向射出的光线经过双曲线反射后，反射光线与入射光线所成的角为. （1）求双曲线的方程； （2）已知点，，直线交双曲线于，两点，以为直径的圆恒过原点， （i）试问直线上是否存在一点满足?若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由； （ii）若直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，求证：. 【答案】（1） （2）（i）存在一个点； （ii）设，，联立方程组，得， 且，则，，， ①当点，分别在双曲线的左右两支且都在轴上方时，不妨设点从左到右按，，，的顺序排列， 则，所以， 由对称性可得，当点，，，都在轴下方时也有； ②当点，分别双曲线的同支时，不妨设点从下到上按，，，的顺序排列， 若直线的斜率不存在，则，，，或，，，， 都满足，若直线的斜率存在， 则 因为，所以， 因为点，，，四点共线，且的中点重合， 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）由焦距为，反射的性质，以及求解即可. （2）（i）对直线斜率是否存在进行讨论，直线与双曲线联立，再由点到直线的距离求解即可. （ii）直线与双曲线联立，对点，分别在双曲线的左右两支且都在轴上方以及点，分别在双曲线的同支分别进行讨论即可. 【小问1详解】 ，则，设点为反射点，在中，，， 则，所以，又，所以，则双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）当斜率存在时，设直线，则， 得， 且，设，，则，， 则， 从而，所以， 设点，由得，化简得， 因为原点到直线的距离为，所以直线与圆相切，即存在一个点满足， 当斜率不存在时，设直线，因为以为直径的圆过原点，所以直线，与圆相切，即存在一个点满足， 综上所述：直线上存在一个点满足； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第三次周考 数学学科 试题 姓名：_____班级：_____ 本试题卷考查范围：必修一~选择性必修一 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的模为4 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 3. 直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，与相交于点O，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 7. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（ ） A. 7 B. C. 13 D. 10. 在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为1、2、3、4的4个神秘书签，书签除编号外完全相同．小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号（　　） A. 第一张书签编号比第二张大的概率是 B. “两书签编号之和为6”的概率是 C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立 D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，，，点是圆上的任意一点，过点作于，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 点的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆上存在唯一点，使得取到最小值 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 14. 已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记焦点，则的最小值是_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 16. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . （1）求的方程； （2）设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 17. 锐角中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若的周长为6，求的取值范围． 18. 已知七面体中的三个面都是平行四边形，其余四个面都是三角形，如图所示， （1）求证：平面； （2）若，，平面平面， （i）求直线与平面所成角的余弦值； （ii）将以为折痕进行翻折得到，且平面.在翻折的过程中，棱与棱所形成的曲面与平面所围成的图形记为，记的内切球体积为，七面体的体积为，求的值. 19. 双曲线的光学性质：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的反向延长线经过另一个焦点，已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，，从焦点沿垂直于轴的方向射出的光线经过双曲线反射后，反射光线与入射光线所成的角为. （1）求双曲线的方程； （2）已知点，，直线交双曲线于，两点，以为直径的圆恒过原点， （i）试问直线上是否存在一点满足?若存在，求出点的个数，若不存在，请说明理由； （ii）若直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $