精品解析：福建福州市闽清县2025-2026学年八年级上学期期末适应性练习数学试卷

2025—2026学年第一学期八年级期末适应性练习 数学学科 考生须知 1．全卷共6页，25小题；满分150分；考试时间120分钟． 2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效． 3．答题卡上的选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中对称的特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：∵ 点关于x轴对称， ∴ 横坐标不变，为2，纵坐标变为， ∴ 对称点为， 故选：A． 2. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据使分式有意义的条件是分式的分母不等于零即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：D． 3. 已知中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，根据等腰三角形的性质，底角相等，再结合三角形内角和定理计算的度数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 解得， 故选：B． 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，判断选项的等式是否将多项式化为整式的积的形式，即可作答． 【详解】解：A、左边是积，右边是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； B、左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解，故该选项符合题意； C、右边不是积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； D、左边是积，右边是多项式，且左右两边不相等，不属于因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案． 详解】解：A：，故 A错误； B：，故 B错误； C：，故C错误； D：． 故选：D 【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键． 6. 已知，，的面积为24，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．利用的面积和已知直角边求出另一直角边，又因为全等三角形对应边相等，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为24，， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 8. 已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算．工作效率定义为单位时间内完成的工作量，分别计算大拖拉机和小拖拉机的工作效率，再求倍数关系，即可作答． 【详解】解：∵大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地， ∴大拖拉机和小拖拉机的工作效率分别是 则大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为， 故选：B． 9. 两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 10. 已知在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，点到直线垂线段最短等知识，根据题意，作点关于的对称点是解题的关键． 根据题意得到，如图所示，作点关于的对称点，连接并延长，过点作于点，连接，则，由点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，即最小值为的值，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，作点关于的对称点，连接并延长，过点作于点，连接，则， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，即最小值为的值， ∵，折叠， ∴，且， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：C ． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．） 11. 如图，点B，A，D，E在同一直线上，，，要使得，则只需添加一个适当的条件是________（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可利用证明， 添加条件，结合条件，，可利用证明， 添加条件，结合条件，，可利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式．先运算积的乘方，再运算单项式除以单项式，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】40000 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：40000． 14. 下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 15. 已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上性质，并理解新定义． 根据新定义求出,根据等腰三角形以及三角形内角和定理求出相关角的度数，证明，然后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵是黄金三角形， ∴， ∴, ∵为等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 已知，且，则x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的化简与一元一次方程的求解，熟练掌握利用已知等式进行降次代换是解题的关键．先由已知推导出和，再将分式中的高次幂用的低次幂表示，化简分式后得到关于的方程，进而求解的值． 【详解】解：由，得，， ∴， ， ∴化简为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 分别计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据角的和差得出，利用证明三角形全等即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是掌握分式的化简． 先对分式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在中，，，平分交于点E，于点D．求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三线合一，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线得出角的度数，根据等角对等边得出，然后根据三线合一即可得出结论． 【详解】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 21. 下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 18.5分式方程 甲，乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示______________，庆庆同学所列方程中的y表示______________； （2）从冰冰和庆庆所设方法中任选一种，并写出完整过程． 【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路与乙队修路所用的时间 （2）甲队每天修路的长度为，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． （1）根据甲、乙两同学所列的分式方程，找出，表示的意义； （2）选择甲或乙同学的方程，解之经检验后即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意可得冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度， 庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路与乙队修路所用的时间， 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路与乙队修路所用的时间； 【小问2详解】 解：选冰冰同学所列的方程：， 去分母，得， 解得． 经检验是所列分式方程的解，且符合题意． 甲队每天修路的长度为； 选庆庆同学所列的方程：， 去分母，得， 解得． 经检验是所列方程的解，且符合题意． ． 甲队每天修路的长度为． 22. 若一个整数x能表示为两个连续正整数平方差的形式，则称这个数为“连续平方差数”．如：，则5是连续平方差数，叫做5的连续平方差分解形式． （1）写出15的连续平方差分解形式：________； （2）若（a为整数），求证：M不“连续平方差数”． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义． （1）根据新定义进行求解即可； （2）设连续两个正整数为m和，判定平方差的奇偶，然后与原数进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：设连续两个正整数为m和， 则， ∴连续平方差数为奇数， ∵为偶数，与连续平方差数为奇数矛盾， ∴M不是“连续平方差数”． 23. （1）证明命题：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． 已知：如图1，中，是边上的中线，且________． 求证：________．（请写出证明步骤） （2）如图2，已知D，E是平面内两点．请用无刻度的直尺和圆规作图：在的边上找一点F，使得为直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1），，证明见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查线段中点，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，尺规作线段垂直平分线，掌握以上知识是关键． （1）根据线段中点，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理得到，则，即可求证； （2）运用尺规作垂直平分线，结合（1）的结论即可求解． 【详解】解：（1）已知：如图1，中，是边上的中线，且， 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴，则， 即； （2）如图所示， 作线段的垂直平分线，交于点，则， 以点为圆心，以为半径画弧，交于点，则， ∴，即一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，， ∴点即为求作的点的位置． 24. 某综合实践小组准备了如图1所示的三种卡片开展拼图游戏．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． （1）请你利用1个A型卡片，2个B型卡片设计一个轴对称图形，画出图形（只需画一种），并直接写出它的周长（用含a，b的代数式表示）； （2）该综合实践小组用1个A型，2个B型，1个C型卡片拼成如图2所示的正方形，发现可以用一个乘法公式表示这个正方形的面积．请你利用这个乘法公式中的数量关系解决问题：若，，求t的值； （3）现共有10张A型卡片，25张B型卡片和16张C型卡片，请你用这些卡片设计一个面积最大的正方形，写出拼成这个正方形需要的各种型号卡片的数量（不要求画图），并用含a，b的代数式表示这个正方形的面积．（注：以上所有的拼图均不考虑缝隙与重叠） 【答案】（1）见详解 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的应用，完全平方公式的变形，轴对称图形的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，作图，结合周长公式列式计算，即可作答． （2）理解题意，结合，则，又因，，代入数值计算，即可作答． （3）结合现共有10张A型卡片，25张B型卡片和16张C型卡片，用这些卡片设计一个面积最大的正方形，作图，再分析一共用了9张A型卡片，24张B型卡片和16张C型卡片，此时面积为，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 或如图所示： ∴周长， 【小问2详解】 解：依题意，表示这个正方形的面积的乘法公式为， 则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：依题意，现共有10张A型卡片，25张B型卡片和16张C型卡片，用这些卡片设计一个面积最大的正方形，如图所示： 上图一共用了9张A型卡片，24张B型卡片和16张C型卡片， 此时面积为或． 25. 如图，中，，分别平分和． （1）求的度数； （2）如图1，延长交于E，作交于G，作交的延长线于F，垂足为H，求证：； （3）如图2，若，Q是直线上一点，分别关于直线作Q的对称点M，N，它们到直线的距离分别记作m和n，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，由垂直于同一条直线的两直线平行得到，，如图所示，在上取点，使得，可证，得，，，再证明，即可求解； （3）根据题意点关于的对称点在边上，点关于的对称点在边上，过点作于点，过点作于点，过点作于点，作于点，可证，，根据，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴， ∵，即，且， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图所示，在上取点，使得， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； 小问3详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵分别平分和， ∴点关于的对称点在边上，点关于的对称点在边上，如图所示，连接， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，作于点， ∴， 又， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴，则 ∴，且， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对称的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期八年级期末适应性练习 数学学科 考生须知 1．全卷共6页，25小题；满分150分；考试时间120分钟． 2．答案一律填涂或书写在答题卡的相应位置，在试卷上作答无效． 3．答题卡上的选择题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹中性（签字）笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，的面积为24，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（ ） A B. C. D. 9. 两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（ ） A 12 B. 18 C. 24 D. 36 10. 已知在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．） 11. 如图，点B，A，D，E在同一直线上，，，要使得，则只需添加一个适当的条件是________（只填一个即可）． 12. 计算：________． 13. 计算：________． 14. 下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 15. 已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是黄金三角形，D为上一点，且，，则的长为________． 16. 已知，且，则x的值为________． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．） 17. 计算： 18. 如图，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，，平分交于点E，于点D．求证：平分． 21. 下面是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 18.5分式方程 甲，乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 冰冰： 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． （1）冰冰同学所列方程中的x表示______________，庆庆同学所列方程中的y表示______________； （2）从冰冰和庆庆所设方法中任选一种，并写出完整过程． 22. 若一个整数x能表示为两个连续正整数的平方差的形式，则称这个数为“连续平方差数”．如：，则5是连续平方差数，叫做5的连续平方差分解形式． （1）写出15的连续平方差分解形式：________； （2）若（a为整数），求证：M不是“连续平方差数”． 23. （1）证明命题：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． 已知：如图1，中，是边上的中线，且________． 求证：________．（请写出证明步骤） （2）如图2，已知D，E是平面内两点．请用无刻度的直尺和圆规作图：在的边上找一点F，使得为直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 24. 某综合实践小组准备了如图1所示的三种卡片开展拼图游戏．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． （1）请你利用1个A型卡片，2个B型卡片设计一个轴对称图形，画出图形（只需画一种），并直接写出它的周长（用含a，b的代数式表示）； （2）该综合实践小组用1个A型，2个B型，1个C型卡片拼成如图2所示的正方形，发现可以用一个乘法公式表示这个正方形的面积．请你利用这个乘法公式中的数量关系解决问题：若，，求t的值； （3）现共有10张A型卡片，25张B型卡片和16张C型卡片，请你用这些卡片设计一个面积最大的正方形，写出拼成这个正方形需要的各种型号卡片的数量（不要求画图），并用含a，b的代数式表示这个正方形的面积．（注：以上所有的拼图均不考虑缝隙与重叠） 25. 如图，中，，分别平分和． （1）求的度数； （2）如图1，延长交于E，作交于G，作交延长线于F，垂足为H，求证：； （3）如图2，若，Q是直线上一点，分别关于直线作Q的对称点M，N，它们到直线的距离分别记作m和n，请直接写出m与n的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $