杭州2025-2026学年第一学期期末学业水平测试高三数学试题

2025学年第一学期期末学业水平测试 高三数学试题卷 考生须知： 1.本科考试分为试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟， 2.请用黑色宇迹的钢笔或签宇笔在答题卡指定的区域（R色边框)内作答，超出答题区域的作 答无效 3.考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={xx2-2x≤0}，则A∩B=（) A.{0} B.{-1,0} C.{01} D.{-1,0,1} 2.设复数z满足z(2-)=1+2i,则2=（) A.1 B.√5 C.2 D.5 3.已知k为实数，a=(k,2),=(1,k-1),则“k=2”是“向量a,b共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽 个频率/组距 0.03 取了100名学生的成缋（单位：分)作为样本进行统计，得 0.02 到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为卫，中 0.01 5060708090100成饿 位数为m,平均数为x,则() A.m<p<x B.x<p<m C.m<x<p D.x<m<卫 5.设f倒是定义在R上的偶函数，且满足f)=f0-x刘，当x∈[0，力]时，f)=2x+1, 则f白)=() 2-3 A. B D. 6.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=4,D为BC边上的中点，且AD=3,则△ABC的面积为 A. 月 B. 5V5 C.33 D. 5w5 2 4 2 2 7. 已厕，，B6,为两点均在双面线C:三卡=a>0>0的右支上，若45> 恒成立，则双曲线C的离心率的取值范围为() A.L,V②) B.1,V2] C.(V2+o) D.[V2,+o) 8.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点(：，)，(x2,2),…,(x),n∈N, 每个点P均在函数y=x2(x>0)的图象上.已知以点 Pn为圆心的⊙P,均与x轴相切，⊙P,与⊙Pn外切，且 xn<xn,则（) A。}是容比数列，且公比为号 B.化}是等比数列，且公比为月 C.{一}是等差数列，且公差为2 x D.{.}是等差数列，且公差为4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=sin2x-V3cos2x,则（) A.f(x)的周期为π B.f(x)在区间 上单调递增 C.f()的图象关于直线x=音对称 D.f(x)在区间[0，x]上有3个零点 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线1与x轴交于点K,过K的一条直线与C交于 A,B两点，过A,B作I的垂线，垂足分别为M,N,则（) A.AF BK BF.AK B.∠FMK=∠FMA C.直线FA与FB的斜率之和为0 D.△ABF与△MNWF的面积相等 11.二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数 可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为(101)2,12表 示为(1100)2·自然数n可表示为二进制表达式(aak-…aa)2(k∈N)，则 n=a42*+ak2+…+a12+a,其中当n>0时，a4=1,a,=0或1(i=0,1,,k-1), 记F(回)=立a(keNn∈N),G()为整数n的二进制表达式中0的个数，则以下说法中 正确的是（) A.G(35)=3 B.对任意neN°，F(2n+1)=F(n)+1 63 C.存在，n∈N',F(m+)>F(m)+F(n) P. 20m=364 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为？的扇形，则该圆锥的体积为 13.已如sin(a+)=72ama=mg,则eo92a-20- 14,公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数f(x)=1+l血x,g(x)=a√：-1 的图象存在两条不同的公切线，则实数α的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知数列{a}是等差数列，其前n项和Sn,数列他，}是等比数列，若 a2=5,S3=40,b3=4,b=a3. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式： (2)设数列{cn}满足cn= a,n是奇数 求{cn}的前2n项和. bnn是偶数 16.（本小题满分15分)冬季是流感高发季，某卫生部门为宜传如何预防流感病毒制定了两种 宜传方法，为了解两种宜传方法的宜传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宜传，其 中30人采用宜传方法一，30人采用宣传方法二，宜传后的人群对预防流感病毒的方法的了 解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宜传方法一宜传后的人中有24 人是“比较了解”，采用宜传方法二宜传后的人中有12人是“比较了解”. (1)以频率估计概率，现给2人采用宜传方法一宜传如何预防流感病毒，记宜传后“比较 了解”的人数为X，,求X的分布列和数学期望： (2)若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依 次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宜传方法一 宜传且了解程度为“比铰了解”的人的概率 17.（本小题满分15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,∠BAD=∠BAP=90°， AD=CD=2AB=2,△PAD是正三角形. (1)设E为AC与BD的交点，F为棱PA上一点，且EF1/平面PBC,求二的值： (2)设G是棱PC的中点，求证：BG⊥平面PCD: (3)设M是棱PC上一个动点，若直线DM与平面PBD所成角的正弦值是 S,求线段C 的长度， 18.(本小题满分17分)已知圆C:之+京=(a>b>0)的离心率为22 号，从B分别是椭圆 C的右顶点，上顶点，且AB=V0. (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点P(3,1)的直线l与椭圆C交于M,N两点，其中点M在第一象限，点N不在y轴 上，设直线BM,BN的斜率分别为k,k2· ()求证：店k 1,1 为定值：()设直线BM与x轴交于点T,求△BNT的面积S的最大值. 19.（本小题满分17分)已知函数f(x)=x-mx+m-1,m∈R. (1)当x=-1时，求f(x)在区间(0，+o)上的极值： (2)当a=2时，若∫(x)≥e-1对任意x∈(-o,1]恒成立，求m的取值范围： (3)设p20,9≥0，s>0,t>0,且s+t=1,证明：pg≤ps+qt.2025学年第一学期期末学业水平测试 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的： 题号 1 2 3 ￥ 5 6 7 8 答案 C A A D B D B C 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 22 3交 14.(0,2) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.【答案】(1)设数列{a}的公差为d,b}的公比为q, a+d=5 由题意得 5×4 解得9=2 所以a=3n-1,-----3分 5a1+ d=40 d=3 又bg=4, 解得6=1 所以b=21: -6分 lba=8 (9-2 (2)由条件得cn= [3n-2,n为奇数 -8分 2-，n为偶数 所以{C,}的前2n项和c+C2+c3+c4+…+C2m1+C2m =(（q+4+…+a2w-)+(b2+b+…+b2)-10分 =[2+8++(6m-4]+2+8++22-)=3-n+2-2 -13分 3 6。【答案】1)采用宜传方法一宜传后的人是“比较了解的概率为， -2分 期Px=0防=g言x-c云P-2-目 所以X的分布列为 X 0 1 2 8 16 25 25 25 -5分 故E(K)=0x +1× 25 +2x168 8 2 -7分 255 (2)抽取的10人中，了解程度为比较了解的有10×36=6人，且采用方法一宜传的有6×4=4人， 60 36 12 采用方法二宣传的有6× =2人. --9分 36 宣传方法 了解程度 合计 比铰了解 有点了解 方法二 4 5 方法二 2 3 5 合计 6 4 10 记事件A表示“第一次抽到比较了解的人”， 事件B表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”， 则4)0-房4)-C9Ctc9号 Aio -12分 2 所以P(B1A)=PL4B)_9_10 P(A)327 ---15分 5 17.【答案】(1)，EF∥平面PBC,EFC平面PAC，,平面PAC∩平面PBC=PC ∴.EF/PC --1分 .'AE EC=AF:FP,AB//CD,CD=2AB,.AE:EC=AB:CD=1:2 .Ar1 -----3分 FP 2 (2)取PD的中点H,连接4H、GH,iGCD,HG=cD, 2 :CDAB,AB=CD,HG/AB且HG=AB,即四边形ABGH为平行四边形， 2 .AHBG4分 在△PAD中，H为PD中点，AH⊥PD AB⊥AD,AB⊥PA,PA∩AD=A,AB⊥平面PAD,∴AB⊥AH 又，CDIIAB,AH⊥CD,,CD∩PD=D,AH⊥平面PCD -6分 :AH/BG∴.BG⊥平面PCD.--------7分 G M B B C∈二二二二 - D (3)取AD的中点O,BC的中点Q,连接OQ,OP,由条件知OD,OQ,OP两两垂直，以O为坐标 原点，OD,O9,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-3z, 则D1,0,0),B(-1,1,0),P0,0,√5)，C1,2,0).-- -8分 所以BD=(2,-1,0),B严=1，-1，√3)，设平面PBD的一条法向量为n=(x,y,). x=3 由 n.BP=0 到{x-y+5:=0取y=25,即n=,2.D. n.BD=0(2x-y=0 得到 -10分 s=1 设CM=2C,e[0,1], 则DM=DC+CP=(0,2,0)+2(-1,-2,V3)=(-2,2-22N3),----11分 设直线DM与平面PBD的所成角为日， DM.32+4W3-4W52+V3才 则sin8= 52-1 DM7V3+12+1V2+(2-22}+322/2z2-2n+15 -13分 化简得3-2-1-0，解得=或2=1《合去)， 所以网c-}o-0+0-2+65-0-25 故线段cM的长度为2 -15分 3 18. 【答案】(1)椭圆C的离心率为2y5,所以9-2 ,即c=8a. -------1分 3 3 9 因为AB=a2+b2=10, -2分 又2=b2+c2,解得a=3,b=1, 所以椭圆C的标准方程为 9+y2=1. -4分 (2)(i)设直线1的方程为y-1=k(x-2,其中>0，且≠子，M(y),(s,) [y-1=k(x-3) 联立方程组 +2=1 x2 ，整理得(9k÷+1x2-(54:-18k)x+81k2-54k=0, 所以x+x2= 92+1,55=81-54k 54k2-18k -6分 9k2+1 以是+1=+正、+，=+》 ①所以+店+6-3压，-3)k国35-3 是25+-255+型128341 9k2+1 3915=6 k(G-3(-3)k-3(+)+9无8k-54k-3x5418k+99% 9k2+1 9k2+1 11 故龙+左为定值. ---9分 1 《m)直线的方程为=+1，令=0，得=方，故T 设直线BN与x轴交于点Q,直线BN的方程为y=x+1,令y=0,得x=- 1.1 由()可知， +龙 6,故天6，所以点A3.0)是线段Q的中息 故aBMI的面积S=2Saw=2xAB×d=V1Dd,其中d为点N到直线AB的距离 21 .--12分 显然，当过点N且与直线AB平行的直线'与椭圆C相切时，d取最大值. 设直线I的方程为y=了+m(<,即x+3y-3m=0, -x+m 联立 ，整理得2x2-6mx+9m2-9=0,由△=0，解得m=-√2.14分 9+2=1 所以平行直线：+3+35-0与1：x+3-3=0之间的距离为B5-(3到5+3】 √10 10 即1的最大值为35+3 10, --15分 此时ABT的面积为S=0×5+3=3W5+3,即ABT的面积S的最大值为3√2+3.-17分 10 答案】)f)=x-+m-1,f国)三m=(x公 -2分 当m≥0时，f'(x)<0,f(x)在(0，+o)上单调递减，故f(x)无极值：- 3分 当m<0时，由f'()=0解得x= -1 1 且在0，√上单调递减，在（ +0)上单调递增， 时.)有极小值f）-2m+m-1,无极大值.5分 故当x=厂m (2)由f(x)≥e1-1整理得e1-2+x-m≤0，令f(x)=e1-X+x-,则f'(x)=e1-2.x+m, 注意到fQ)=0,故由必要条件知f'(I)≥0，解得m≥1.-7分 下面证明充分性：当m≥1时，由于x≤1，故f(x)=e1-x2+m(x-1)≤e1-x+x-1, 令g(x)=e-1-x+x-1g'(x)=e1-2x+1,由于e-1≥x,于是g'(x)=e1-2x+1≥1-x20, 所以g(x)在区间(-0,1]上单调递增，故g(x)≤g(1)=0,充分性得证. 故实数m的取值范围为m≥1.-----10分 (2)不妨设0≤p≤q, 当p=0时，左边=0，右边=qt,所以左边≤右边： 当0<p=q时，左边=卫，右边=卫，所以左边=右边；--11分 当0<p<g,因为5>0，t>0,s+t=1,所以t=1-5,0<5<1. 要证p4≤p5+qt,即证pq≤ps+q1-S),--12分 即证2g5s+g0-,即证2s2s+1-,-14分 令&=b=5,则f(x)=x-sx+s-1,f()=s(x1-1) 因为0<s<1,所以s-1<0,所以y=x在区间(0，+∞)上单调递减， 所以当0<x<1时，x1>1,所以f"(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增， --16分 因为0P<g,所以0<号1，所以/八号f0=0. 所以 2-s+s-1<0,即2≤2+1-s. 99 综上可知，p￠≤p5+qt. ---17分