专题08 四边形相关动点压轴题分类训练（6种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题08 四边形相关动点压轴题分类训练 （6种类型48道） 1．如图1，在中，，以为边在其右侧作正方形， 地 城 类型01 动点定值问题             (1)求的长； (2)如图2，若E是线段上一动点，为等腰直角三角形，且为直角，当点E沿方向由P运动到C点时，求F点经过的路径长； (3)如图3，若E是线段上一动点，连接，与交于点G，判断是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)为定值， 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，正方形的性质，动点问题及等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （2）当点E与点P重合时，点F位置如图，过点F作，利用全等三角形的判定和性质得出当点E移动到点B时，点F与点C重合，此时运动路径为线段，再由勾股定理求解；当点E从点B开始到点C时，运动路径为线段，继续利用勾股定理求解即可得出结果； （3）连接，根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，设，分别利用三角形内角和定理及外角的性质得出各角之间的关系，再由等角对等边及等腰直角三角形的性质确定点G为中点，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以为边在其右侧作正方形， ∴； （2）如图所示，当点E与点P重合时，点F位置如图，过点F作，如图所示： ∴， ∴， 根据题意得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点E移动到点B时，点F与点C重合，此时运动路径为线段， ∴， 当点E从点B开始到点C时，运动路径为线段， 此时， ∴F点经过的路径长为； （3）连接，如图所示： ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G为中点， ∵， ∴， ∴． 2．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是定值，定值为 【分析】（）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． 3．如图，矩形中，，，P是上不与A和D重合的一动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F；的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值．      【答案】的值是定值，定值为 【分析】连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可． 【详解】解：的值是定值，定值为， 如图所示，连接，过点A作于G，   ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴由勾股定理可得， ∵， ∴， 解得：， 在矩形中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键． 4．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，这个定值为1 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，根据翻转变换的性质得到是解题的关键． （1）根据折叠性质可得，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）由可得，由折叠可得，由此证明； 作，容易证明，得，，进而可得；可得，，由在中，，可得，对等式变形即可得出结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为， ∴，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为； （2）①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②作， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 的值为定值，这个定值是1. 5．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，其中，满足．点是轴正半轴上一动点（不与点重合）． (1)直接写出点的坐标______________． (2)如图，当点运动到点右侧时，连接、，若，求的面积． (3)在点运动过程中，直线与直线交于点，以、、、为顶点的四边形的面积记为，的面积记为．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)为定值， 【分析】本题主要考查非负数的性质，三角形面积公式的应用等知识，正确进行分类讨论是解答本题的关键． （1）运用非负数的性质可求出，的值即可得出点B的坐标； （2）根据点B的坐标结合矩形的性质得，由可求出，从而可求出的面积； （3）分点在点右侧和左侧两种情况结合三角形面积差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：轴，轴， ，， 又，即， ， ， （3）解：是为定值，如图，当点在点右侧时， 如图，当点在点左侧时， ， ， ， ， ， ， 综上所述，为定值，． 6．如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）3，3；（2）3；（3）见解析，定值为3 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形和中位线性质，通过构造全等三角形转化线段求解定值． （1）利用三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合等边三角形三边相等，求出、、的长度，进而计算的值． （2）根据等边三角形性质（三线合一等）和角的关系，得出平分，再利用特殊角度求出，结合线段关系计算的值． （3）通过在上构造点，使，利用全等三角形的判定证明和，将、、进行转化，从而证明为定值并求出该定值． 【详解】（1）∵点、、分别为边、、的中点，是等边三角形，边长为， ∴，，， ∴， 故答案为：3，3； （2）为等边三角形，点为中点， ， ， ， 为等边三角形， ， 即平分， ， ； （3）如图，在上取点，使 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 7．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 8．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【分析】（1）由菱形的性质得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由菱形的性质得，，结合是的中点时，由平行四边形的判定方法，即可得证； （3）过作交的延长线于，由菱形的性质和等腰三角形的判定及性质得，结合菱形的性质，设，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的特征，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，掌握菱形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 9．【问题呈现】我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图①，小明在正方形的边上取一动点E，在的延长线上取一动点 F，使，并连接、．小明发现：线段、之间存在数量关系，请直接写出线段、之间的数量关系：______．地 城 类型02 探究线段数量关系 【问题探索】如图②，小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点G，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段、、之间也存在数量关系．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为6时，请求出的长． 【问题解决】如图③，小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点G作于点P，连接，请帮助小明求出的面积． 【答案】[问题呈现]；[问题探索]（1），理由见解析；（2）的长度为5；[问题解决]． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意找出全等三角形是解题关键． [问题呈现]根据正方形的性质证明，即可求解； [问题探索]（1）证明出，得到，即可得出结论； （2）设，在中，利用勾股定理求解即可； [问题解决] 过点作于点，交于点，证明，得到，，设，利用线段的和差求出，由（2）可知，，即可求出的面积． 【详解】解：[问题呈现]： 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ； [问题探索] （1），理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）设， 点为的中点，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得 ， 解得， 的长度为5； [问题解决] 如图，过点作于点，交于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， ， ， 解得，即， 由（2）可知，， ． 10．【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）不成立，理由见解析（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是旋转三角形，构造全等三角形． （1）由旋转的性质可得，进而证得，从而得出，进一步得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合，可证得，进而证得，进一步得出结果； （3）与（2）的证法类似，可得到结论； 【详解】解：（1）证明：由旋转的性质可得， ． 又，三点共线． ， ， ， ． 又， ， ． （2）不成立． 理由：如图，把绕点A顺时针旋转至，使AB与AD重合． ， F，G，D三点共线． 由旋转的性质可知， ， ． 又， ， ； ∴（1）中的结论不成立． （3）． 理由：如图，把绕点A逆时针旋转至，使与重合． ， B，G，E三点共线． 同理可证：， ∴， ． 11．【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点．则与的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一动点，过点P分别作，，垂足分别为E、F，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，延长交于点与交于点Q，点H为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见详解；②的最小值为；（3）的形状为直角三角形 【分析】（1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； （2）①根据矩形的性质，证明，再利用（2）的结论，进而得证； ②当时，最小，此时，则可得出答案； （3）为的中点，，进而求得，即可得答案． 【详解】（1）， 证明：∵四边形是正方形， 在与中， ， ， ； （2）解：①猜想：． 证明：由（1）可知，， ∵，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ②连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为． （3）解：∵为的中点，， ， 在中，， 在与中， ， ， ， ， ， ∴的形状为直角三角形； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．在正方形，点P是直线上一个动点，连接，分别过点B，D作，．垂足分别为E，F． (1)如图1，当点P在边上时，，，这三条线段长度之间的数量关系是______． (2)如图2，如果点P在的延长线上，那么，，这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请证明你的结论． (3)若点P在的延长线上，则，，这三条线段的长度之间的数量关系又是怎样的呢？画出图形，并直接写出你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见详解； (3)见详解，。 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，再证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得然后结合图形求解即可； （2）同（1）证明两个三角形全等，再结合图形求解； （3）同（1）证明两个三角形全等，再结合图形求解． 【详解】（1）解：； 证明：， 四边形是正方形， ， ， 在和中 ， 故答案为：； （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3），，之间的数量关系是． 画出图形如图所示． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 13．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时： ①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由； ②请写出，之间的数量关系并说明理由； ③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________. 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，理由见解析；③ 【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，则是等腰直角三角形，即可得结论； ②证明，利用全等三角形性质即可得到； ③过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ． ，， ， ， ． 四边形是平行四边形； （2）①，理由如下： 连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，则， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ②，理由如下： 由上可知是等腰直角三角形， ∴，， ， ． ， ． ，， ， ， ． ③． 理由如下：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， ． 四边形是平行四边形，， ． ，， ， ，， ， ， ． 在中，，则． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得到； （2）延长至点N，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接，证明，得到，，再证明，在、和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E，F分别是的中点， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴； （2）解：三条线段的数量关系为， 理由如下：延长至点N，使，连接． ∵， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，有 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三条线段的数量关系为； （3）解：过点A作，与相交于点G，延长到点K，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M在上，G，E在上， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，由勾股定理得： ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 15．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，． (1)①求证； ②求的度数． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）①由轴对称的性质可知，，，利用即可得； ②根据全等三角形的性质可得，即可解决问题． （2）证得，设，，则，推出，，根据，构建关系式即可解决问题． （3）如图3中，过点作直线交，于，．证明，推出，，设．，推出，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形，点关于对称， ，，， ， ， ②解：， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2中， ， ，， ， ， ， ， 设，，则， ，， ， ， ， ， ，即； （3）解：结论：． 理由：如图3中，过点作直线交，于，． ，， ， ，， ， ， ， ，， 设．， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 16．四边形是正方形，点是射线上一动点，且，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，请写出，和之间的数量关系； (3)如图2，连接交于点，交于点，请探索，，之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等即可得到结论； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取点G，使得，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，则，即可得到； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，   ， ， ， ， ； （2）解：如图， ，，， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，证明如下； 在上截取点，使得，连接，，如图， 在和中，， ， ，， ， ， ， 的平分线交直线于点， ， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，勾股定理余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 17．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．地 城 类型03 探究角的数量关系    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 【答案】(1)； (2)； (3)不会发生变化，证明见解析； (4)． 【分析】（1）由平移的性质可得，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得线段，的关系； （2）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而可得，，之间的数量关系； （3）过点作交于点，易得，由平行线的性质可得，，由得到，以此即可求解； （4）由平行线的性质可得，由三角形外角性质可得，进而得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段是由线段平移得到的， ，， 四边形为平行四边形， ，； 故答案为：，； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ， ， ； 故答案为：； （3）解：当点在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下： 如图，过点作交于点，    ∵， ∴， ，， ， ； （4）解：如图，设交于点，    ∵， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 18．正方形中，点E为上一动点（不与端点重合），连接，过点B作于点F，过点D作于点G． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，连结，，判断和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H，I分别为，中点，连接；判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用证明即可． （2）利用证明即可． （3）设的交点是，取的中点，连接，则分别是的中位线，设的交点为，的交点为，的交点为，根据矩形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：．理由如下： ∵， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： 设的交点是，取的中点，连接， 则分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， 设的交点为，的交点为，的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的证明和应用，等腰直角三角形的判定和性质，角的和，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 19．已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由折叠的性质和中点直接可得出； （2）观察和，发现它们是一组内错角，所以证出即可，折叠会出现边相等、角相等，特别是有平角的关系需要利用，由折叠得到，由平角得，再利用关系推导即可得证； （3）由折叠可知，所以过C作构造平行四边形，从而再证即可得证. 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵点是边的中点， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：，理由如下： 过C作，交于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， ∴，， ∵折叠性质， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴. 20．如图1，直线，直线分别交直线于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． (1)直接写出与的数量关系，与的数量关系； (2)猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； 【答案】(1)， (2)菱形，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合作图过程得是的角平分线，即可作答． （2）先得出，再整理得，根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】（1）解：根据作图可知，是的角平分线， ∴； （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 21．【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出，证明，得到，进而求出的度数即可； （2）在上截取，易得为等腰三角形，进而求出的度数，证明，得到，进而求出的度数即可； （3）过点作，设，证明为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的值，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）在上截取， ∵正方形， ∴， ∴，即：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）在上截取， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴设， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 22．在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点． (1)当点O在四边形的内部时．如图①，若，，，则 °， (2)如图②，试探索、和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出、和之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了三角形及多边形内角和，平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于的知识点． （1）由平行线可得，，再根据，得出，，根据角平分线的定义即可得出，，进而得出答案； （2）由平行线可得，，再根据角平分线的定义即可得出，，又由外角的性质得出答案； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据四边形的内角和得出，最后根据三角形的内角和得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 的平分线交边于点，的平分线交直线于点， ，， ， 故答案为：125． （2）解：，理由如下： ， ，， ，， 的平分线交边于点，的平分线交直线于点， ，， ， ． （3）解：，理由如下： 的平分线交边于点，的平分线交直线于点， ，， 在四边形中， ， ， ， ， ． 23．【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系　　　　． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】(1)根据，，，得到，证明，，结合，得到，可证明，可得证． （2）如图2，延长到，使，连结，根据，得到，证明，再证明，可得证． （3）延长到点，使．连接，仿照(2)证明即可． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． （2）证明：如图2，延长到，使，连结， ∵， ∴， 在和中， , ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 故结论仍然成立． （3）如图，延长到点，使．连接． ∵， ∴， 在和中， , ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等判定和性质，补角的性质，半角全等模型，熟练掌握半角全等模型的意义是解题的关键． 24．问题提出：如图1，是菱形的边上的一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接． ①请说明； ②求出的度数． (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①在上截取，使得．连接，根据三角形外角性质推出，再利用即可证明； ②根据，推出．据此即可求解； （2）在上截取，使，连接．证明，得到，利用即可求解． 【详解】（1）解：①在上截取，使得．连接． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取，使，连接． ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 即． 25．如图，在菱形中，、交于点．地 城 类型04 动点最值问题 (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 26．数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 27．【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【分析】（1）由已知条件得，即可得． （2）连接，过点F作，交延长线于点G，求出，，,得，由，可得 ，故的最小值即为． [方法运用] 连接，设交于点O，证明，可得，可得，得，得，即得的最小值是． [拓展迁移]过点A作，使，连接，证明，可得，证明，，得，得的最小值是． 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，等边三角形性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，菱形性质，是解题的关键． 28．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题解决】小明想通过利用平行四边形解决问题，将双动点问题转化为单动点问题． 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．根据平行四边形的性质可推出，再得出的度数不变，即可发现点的运动轨迹，进而解决上述几何问题． 在【问题解决】的分析下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为__________度，线段长度的最小值为__________． 【方法运用】如图③，在等边中，，点、分别在边、上，且，则周长的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）45；；方法运用：6 【分析】（1）过点D、N分别作、的平行线，并交于点P，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论；再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； 方法运用：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用等边三角形的性质和平行线的性质得到，再利用外角的性质和等腰三角形的性质得到，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点D、N分别作、的平行线，并交于点P，作射线，如图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 由题意：点P为上一动点， ∴当时，取得最小值为， ∵， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：45；； 方法运用：解：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线，如图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由题意：点P为上一动点， ∴当时，取得最小值为， ∵， ∴的最小值为2， ∵周长， ∴周长的最小值为． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 29．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1：如图，过作，与交于点，   四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 30．已知在中, ，点为边上的动点． (1)如图1所示，平分，E、F分别为线段，上的动点． ①当时，求的最小值； ②点在运动过程中，求的最小值； (2)如图2所示，P，Q分别为边BC，AB上的点，，M为边上的动点，M，E在运动过程中，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①６；②； (2)． 【分析】（1）①作点E关于直线的对称点，如图，由“两点之间，线段最短”可知，当共线时，最小，然后根据直角三角形的性质可得解； ②作点E关于直线的对称点，如图，由“点到直线的距离，垂线段最短”可知，当与共线时，的值最小，从而的值最小，然后由等面积法求得答案； （2）如图2所示，当点M、E分别为与的交点时，的值最小，然后根据勾股定理求得答案． 【详解】（1）解：在中, ， ， ①平分， 所在直线是的对称轴， ，作点E关于直线的对称点，如图， 点在上，且，， ， ， 由“两点之间，线段最短”可知 当共线时，最小，且最小值为的长， ， ， 的最小值为6； ②点在运动过程中，作点E关于直线的对称点，如图， 点在上，且，， 由“点到直线的距离，垂线段最短”可知， 当与共线且时，的值最小，从而的值最小， 此时， ， 的最小值为； （2）解：作点P关于直线的对称点，点Q关于直线的对称点，如图２所示， 则， 连接，由“两点之间线段最短”可知： 当点M、E分别为与的交点时，的值最小， 从而的值最小，最小值为线段的长， 此时，连接，由对称性可知， ，， ， 故在中， 的最小值为． 【点睛】此题考查了轴对称的性质、“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、勾股定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是把求直线同一侧的两点到直线上一点的距离之和的最小值，通过轴对称转化为直线两侧的两点，再利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求出最小值． 31．古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线上找一点P使得的值最小． (1)如图1，点A到直线的距离，点B到直线的距离，，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时P即为所求点，则的最小值为______； (2)如图3，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图4，正方形的边长是6，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称原理，构造对称点，后构造直角三角形运用勾股定理计算即可． （2）作出 点D关于直线的对称点F，连接，交于点G，当点E与点G重合时，有最小值，且为线段的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时P即为所求点， 过点作，交延长的延长线于点C， 则四边形是矩形， 因为， ，， 所以， 所以， 所以的最小值为， 故答案为：． （2）如图，作出 点D关于直线的对称点F，连接， 交于点G，当点E与点G重合时，有最小值，且为线段的长． ． 因为，，D是边的中点， 所以， 所以， 所以． 所以的最小值为． 故答案为：． （3）如图，作出 点C关于直线的对称点G，以的中点O为圆心作半圆，因为，所以点F在半圆上运动，连接，交于点N，交半圆于点M，当点E与点N重合，F与点M重合时，有最小值，且为线段的长． 过点O作于点H，因为正方形的边长是6， 所以，四边形是矩形， 所以，， 所以． 因为， 所以有最小值，为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了将军饮马河原理求最值，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握原理和勾股定理是解题的关键． 32．在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： (1)在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在中，，，则到边的距离是___________． (2)如图2有一张三角形纸片，在上，且，点为边上一个动点．将纸片沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，求点到边距离的最小值． (3)如图3，有一矩形纸片，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．做点关于点的对称点，连接，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接，试求面积的最小值． 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】（1）过点A作，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据垂线段最短，作出图形，根据折叠的性质求解即可； （3）连接， 过点D作的于点G，根据平行线间的距离及三角形面积得出，当且仅当点E到的距离最小时，面积的最小，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理确定，，结合题意得出点E的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的弧，当点D、E、G三点共线时，点E到的距离最小值为，利用三角形面积即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， 故答案为：4； （2）∵垂线段最短， ∴当时，点到边距离的最小， 如图所示： 由（1）得， ∵折叠， ∴， ∴， ∴点到边距离的最小值为2； （3）连接， 过点D作于点G． ∵， ∴． ∴． ∴当且仅当点E到的距离最小时，面积的最小． 由对称可知，． ∴为等腰直角三角形，且． ∴． ∵点C的对应点为点E， ∴， ∴点E的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的弧， ∴当点D、E、G三点共线时，点E到的距离最小值为． ∴面积的最小值为， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，运动轨迹问题及勾股定理解三角形等知识，第三个问题解题的关键是确定点E的运动轨迹，属于中考压轴题． 33．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）．地 城 类型05 动点存在性问题 (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)或15秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意已知，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，然后利用时间、路程、速度的关系求解即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点P、Q分别沿运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即，因为Q、P点的速度已知，的长度已知，用t可分别表示的长，即可求得时间t； （3）当时，点P向点C运动，使是等腰三角形，可分三种情况，即；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴ ∴P从B运动到C，即：，， ∴，解得：， ∴当秒时，四边形是平行四边形； （2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，， ∴，解得：（秒）； 若点P返回时，，， ∴，解得：（秒）． 故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等； （3）解：如图：当时，作于H，则，， ∵， ∵， ∴，解得： 秒； 当时，， ∵， ∴，解得（秒）； 当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 34．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 35．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)，，， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点和的坐标可得结论； （2）先得，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． （2）解：∵ 四边形是矩形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况： ①当时，点在边上，四边形是梯形， ， ∴以点为顶点的四边形的面积， ， ， ； ②当时，点在的延长线上， ∴以 点为顶点的四边形的面积， ， ， 综上，点的坐标为或． （4）解：∵， ∴， 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，． 【点睛】该题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 36．如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（）． (1)=_______ ，=_______度． (2)当时，_______， _______．（用含t的式子表示） (3)是否存在t值，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，120 (2)， (3)t的值为或 【分析】本题考查了平行四边形的性质含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和动态的思想解决问题是解题的关键． （1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，则，即可求解； （2）根据已知和平行四边形的性质可得，，结合已知时间即可知即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，结合平行四边形的性质得；当为对角线时，由平行四边形得，列出方程可求解； 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，， ，，， ，， ， ∴，， 则， 故答案为：16，120； （2）解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：，； （3）解：存在， 当为边时， 四边形是平行四边形， ， ， ∴； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动， ∴， ∴， 综上所述：的值为或． 37．如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①结合题意，根据矩形和含角直角三角形的性质计算，即可得到答案；②正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接，证明，进而推出四边形是正方形，求出，设，则，在中，，求出的值，结合图形即可解答； （2）根据题意，推导得，根据平行四边形和含角直角三角形的性质，推导得，再通过列一元一次方程并求解，即可得到答案； （3）结合题意，分点P在线段上和点P在的延长线上两种情况分析；结合（1）的结论，根据菱形的性质，通过列绝对值方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②如图，正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴，即，, 解得：或， 当时，则，， 此时，； 当时，则（舍去）， 综上，M点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵以和为边作平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在线段上时，，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴ ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，即，如图， ∴， 此时，点P在延长线上，不符合题意； 当点P在的延长线上时，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，和矛盾，故舍去； ∴存在点Q，使是菱形，t的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、直角三角形、平行线、菱形、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、含角直角三角形的性质，从而完成求解． 38．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当为何值时，四边形为平行四边形； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)将沿翻折，得到在运动过程中，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）根据，构建方程求解； （2）过点作于点．证明，由此构建方程求解； （3）根据求解； （4）根据，构建方程求解． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 则有， ； （2）如图，过点作于点． 平分，，， ， ， ，， ， ， ：：， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， 由题意， ； （4）存在． 理由如下：将沿翻折得， ，， 当时有四边形为菱形， ， 解得， ，四边形为菱形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 39．如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以的速度沿A→B方向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为t． (1)___________（用含t的代数式表示） (2)连接、、，求当t为何值时，的面积为？ (3)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等展三角形？若存在，请求出符合条件的t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)当为1秒或秒时，的面积为； 【分析】（1）根据题意可知，，即可得出． （2）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （3）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以为腰的等腰三角形即可说明． 【详解】（1）解：根据题意：，， ∴． （2）解：当在上时， 如图：根据题意，得， ，，，， ， ， 整理，得， 解得． 当在上时，此时， ， ， ， ∴当为1秒或秒时，的面积为； （3）解：①当时，根据勾股定理，得， ， 解得，（不符合题意，舍去）； ②当时，根据勾股定理，得， ， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）． ∴存在这样的秒或秒，使得是以为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了特殊四边形的动点问题，正方形的性质、一元二次方程、等腰三角形，以及用代数式表示式相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． 40．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 【答案】(1)；； (2) (3)不存在，证明见解析； 点速度为每秒个单位长度，能使四边形在某一时刻成为菱形 【分析】（1）可用表示出、的长，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，的长； （2）由平行四边形的性质可得，列方程求出即可； （3）当时，求出，故不存在的值，使四边形为菱形，设点的速度为每秒个单位长度，根据菱形的性质得到＝＝，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ， ，， ； 故答案为：；；． （2）若四边形是平行四边形，则有， 即， 解得：； （3）不存在； 证明：由（2）得，当时，四边形是平行四边形， 此时， 不存在的值，使四边形为菱形， 设点的速度为每秒个单位长度， 则， 要使四边形为菱形，则， 当时，即， 解得：， 当，时，即， 解得： 当点的速度为每秒个单位长度时，在某一时刻可以使四边形是菱形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 41．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动．地 城 类型06 动点求值 (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)的值为2或6或 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据直角的不同分情况讨论求解． （1）先根据菱形的性质得出，再根据，可得为等边三角形，从而可得出； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，从而可得为直角三角形，再利用勾股定理求得，然后利用求解； （3）分，，三种情况，分别得到关于的一元一次方程求解，求得的值． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为 ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为； （2）如图1，12秒后点走过的路程为， 则12秒后点到达点， 即点与点重合； 12秒后点走过的路程为，而， ∴点到点的距离为， 此时点到达的中点，即点为的中点 是等边三角形，而为中线， ， 为直角三角形， 在中， ； （3）为等边三角形， ， 经过3秒后，点运动的路程为、点运动的路程为， 点从点开始运动， ∴， 点为的中点， ∴， ①若，且点在上，如图1， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ②若，且点在上，如图2， 则， ， 在中，， ， ， ， ； ③若，即， ， 点在的垂直平分线上， 此时点在点处， ， ， ， 综上所述，的值为2或6或． 42．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 43．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 【答案】(1)， (2)2 (3)24 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识； （1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． （3）根据梯形面积公式解答即可； 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． （3）解：， ∴无论为何值，四边形的面积都不变，面积为． 44．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接． (1)求的大小； (2)问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． (3)问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)能，满足条件的的值为10或； (3)． 【分析】（1）取的中点O，连接，利用直角三角形的性质求得，证明是等边三角形，据此计算即可解决问题； （2）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，取的中点O，连接， ∵矩形，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图一（1）中，当时， ∵，，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图一（2）中，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为10或； （3）解：如图二中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 45．数学活动课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动．矩形中，，，是射线上一动点． (1)如图1，移动点的位置，使折叠后，点的对应点落在线段上，求线段的长； (2)如图2，直线是线段的垂直平分线，将折叠后，点的对应点恰好落在上，画出所有可能的图形，并求线段的长． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）先证明，然后中，由勾股定理求，再由即可求解； （2）分两种情况讨论，点在线段上和点在线段延长线上，先得到四边形是矩形，则，由折叠可得，设，则，在中，由勾股定理求得，再对，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，设， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； ②当点在线段延长线上时，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，设， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上：线段的长为或． 46．如图1，是的对角线，．为上一动点，且，为对角线上一动点，连接，在点的运动过程中，始终满足． (1)求证：； (2)如图2，过点作于，过点作于点，求证：； (3)如图3，连接，当，且时，延长至，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）可证得，从而； （2）作于，交于，可证得，从而，进一步得出结论； （3）作于，作于，作于，可推出平分，从而得出，进而得出，进而得出，作的垂直平分线，交于，连接 则，从而，进而得出和，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明： 如图， 作于， 交于， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （3）如图， 作于， 作于， 作于， 由（）知， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ， 取的中点M，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 作的垂直平分线，交于，连接，则， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 47．在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． （2）解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． （3）解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 48．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动同时Q点也停止，若，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值； (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)t的值为或8或 (3) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 四边形相关动点压轴题分类训练 （6种类型48道） 1．如图1，在中，，以为边在其右侧作正方形， 地 城 类型01 动点定值问题             (1)求的长； (2)如图2，若E是线段上一动点，为等腰直角三角形，且为直角，当点E沿方向由P运动到C点时，求F点经过的路径长； (3)如图3，若E是线段上一动点，连接，与交于点G，判断是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 2．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．如图，矩形中，，，P是上不与A和D重合的一动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F；的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如果是定值请求出这个定值．      4．【问题情境】在数学兴趣小组活动中，同学们对正方形的折叠问题进行了探究．如图，正方形的边长为，是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，交于，折痕为． 【尝试初探】 （1）如图1，若，则_______． 【深入思考】 （2）如图2，连接． ①求证：平分； ②设，，请说明的值为定值，并求出这个定值． 5．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，其中，满足．点是轴正半轴上一动点（不与点重合）． (1)直接写出点的坐标______________． (2)如图，当点运动到点右侧时，连接、，若，求的面积． (3)在点运动过程中，直线与直线交于点，以、、、为顶点的四边形的面积记为，的面积记为．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 6．如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】 （1）如图1，________，________． 【特殊情形】 （2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】 （3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 7．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 8．如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 9．【问题呈现】我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等．如图①，小明在正方形的边上取一动点E，在的延长线上取一动点 F，使，并连接、．小明发现：线段、之间存在数量关系，请直接写出线段、之间的数量关系：______．地 城 类型02 探究线段数量关系 【问题探索】如图②，小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形的边上取了该边的中点G，并连接，． （1）小明又发现：当时，线段、、之间也存在数量关系．请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． （2）在（1）的条件下，当正方形的边长为6时，请求出的长． 【问题解决】如图③，小明在【问题探索】及其（1）和（2）的条件下，过点G作于点P，连接，请帮助小明求出的面积． 10．【发现问题】 （1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且．试判断，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转至，使与重合，发现．请你给出证明过程． 【类比延伸】 （2）如图②，在正方形中，若，分别是边延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，如果分别是边延长线上的动点，且，直接写出之间的数量关系． 11．【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点．则与的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一动点，过点P分别作，，垂足分别为E、F，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，延长交于点与交于点Q，点H为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 12．在正方形，点P是直线上一个动点，连接，分别过点B，D作，．垂足分别为E，F． (1)如图1，当点P在边上时，，，这三条线段长度之间的数量关系是______． (2)如图2，如果点P在的延长线上，那么，，这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？请证明你的结论． (3)若点P在的延长线上，则，，这三条线段的长度之间的数量关系又是怎样的呢？画出图形，并直接写出你的结论． 13．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时： ①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由； ②请写出，之间的数量关系并说明理由； ③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________. 14．如图，在正方形中，E是上的一个动点（E不与B，C重合），F是上的一个动点（F不与D，C重合）． (1)如图1，当E，F分别是的中点时，连接．求证：； (2)如图2，当时，连接，判断三条线段的数量关系，并说明理由； (3)如图3，M是上的一个动点，连接，当，，时，求的长． 15．如图1，已知正方形，是边上的一个动点（不与点、重合），连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交于点，连接，． (1)①求证； ②求的度数． (2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，过点作于点，连接，直接写出线段与的数量关系． 16．四边形是正方形，点是射线上一动点，且，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，请写出，和之间的数量关系； (3)如图2，连接交于点，交于点，请探索，，之间的数量关系：_____． 17．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．地 城 类型03 探究角的数量关系    (1)线段，的关系是_____； (2)如图1，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是_____； (3)如图2，当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由； (4)如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系：_____． 18．正方形中，点E为上一动点（不与端点重合），连接，过点B作于点F，过点D作于点G． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，连结，，判断和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H，I分别为，中点，连接；判断和的数量关系，并说明理由． 19．已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 20．如图1，直线，直线分别交直线于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． (1)直接写出与的数量关系，与的数量关系； (2)猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； 21．【问题提出】 如图1， E是菱形边上一点， 是等腰三角形，，，探究 与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2， 当时，直接写出的大小：______； （2）再探究一般情形，如图1，求 与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，如图3，当时， ，．求菱形的面积． 22．在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点． (1)当点O在四边形的内部时．如图①，若，，，则 °， (2)如图②，试探索、和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出、和之间的数量关系． 23．【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，之间的数量关系　　　　． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 24．问题提出：如图1，是菱形的边上的一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接． ①请说明； ②求出的度数． (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 25．如图，在菱形中，、交于点．地 城 类型04 动点最值问题 (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 26．数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 27．【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 28．【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题解决】小明想通过利用平行四边形解决问题，将双动点问题转化为单动点问题． 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．根据平行四边形的性质可推出，再得出的度数不变，即可发现点的运动轨迹，进而解决上述几何问题． 在【问题解决】的分析下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为__________度，线段长度的最小值为__________． 【方法运用】如图③，在等边中，，点、分别在边、上，且，则周长的最小值为__________． 29．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 30．已知在中, ，点为边上的动点． (1)如图1所示，平分，E、F分别为线段，上的动点． ①当时，求的最小值； ②点在运动过程中，求的最小值； (2)如图2所示，P，Q分别为边BC，AB上的点，，M为边上的动点，M，E在运动过程中，请直接写出的最小值． 31．古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线上找一点P使得的值最小． (1)如图1，点A到直线的距离，点B到直线的距离，，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时P即为所求点，则的最小值为______； (2)如图3，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图4，正方形的边长是6，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为______． 32．在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作： (1)在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在中，，，则到边的距离是___________． (2)如图2有一张三角形纸片，在上，且，点为边上一个动点．将纸片沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点，求点到边距离的最小值． (3)如图3，有一矩形纸片，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．做点关于点的对称点，连接，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接，试求面积的最小值． 33．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）．地 城 类型05 动点存在性问题 (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 34．如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 35．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（）． (1)=_______ ，=_______度． (2)当时，_______， _______．（用含t的式子表示） (3)是否存在t值，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 37．如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 38．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当为何值时，四边形为平行四边形； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)将沿翻折，得到在运动过程中，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 39．如图，已知正方形的边长为，动点P从点B出发，以的速度沿B→C→D方向向点D运动，动点Q从点A出发，以的速度沿A→B方向点B运动，若P、Q两点同时出发运动时间为t． (1)___________（用含t的代数式表示） (2)连接、、，求当t为何值时，的面积为？ (3)当点P在上运动时，是否存在这样的t使得是以为一腰的等展三角形？若存在，请求出符合条件的t的值：若不存在，请说明理由． 40．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作，交于点D，连接．设运动时间为t秒（）． (1)用含t的代数式分别表示的长度：______，______，______． (2)当t取何值时．四边形是平行四边形？ (3)是否存在t，使四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），能使四边形在某一时刻成为菱形． 41．如图，菱形的边长为，，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动．地 城 类型06 动点求值 (1)______； (2)已知动点、运动的速度分别为、．经过12秒后，、分别到达、两点，试判断的形状，并说明理由，同时求出的面积； (3)设问题（2）中的动点、分别从、同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过3秒后，、分别到达、两点，若为直角三角形，试求的值． 42．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 43．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 44．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接． (1)求的大小； (2)问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． (3)问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 45．数学活动课上，同学们开展了以“折叠”为主题的探究活动．矩形中，，，是射线上一动点． (1)如图1，移动点的位置，使折叠后，点的对应点落在线段上，求线段的长； (2)如图2，直线是线段的垂直平分线，将折叠后，点的对应点恰好落在上，画出所有可能的图形，并求线段的长． 46．如图1，是的对角线，．为上一动点，且，为对角线上一动点，连接，在点的运动过程中，始终满足． (1)求证：； (2)如图2，过点作于，过点作于点，求证：； (3)如图3，连接，当，且时，延长至，连接，若，求的长． 47．在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 48．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动同时Q点也停止，若，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值； (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $