专题07 四边形相关折叠问题分类训练（8种类型64道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题07 四边形相关折叠问题分类训练 （8种类型64道） 1．如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ）地 城 类型01 平行四边形相关折叠问题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据平行线的性质得，，根据对称的性质得，，，，继而得到，然后在中，根据三角形内角和定理列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将平行四边形沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∵将边沿进行折叠，点又恰好落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴平行四边形的较小内角为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，对称的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握：两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应边相等，对应角相等． 2．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 4．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查折叠性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠性质，证明是等边三角形是解答的关键．先根据平行四边形的性质得，，再由折叠性质得，，，证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为， 故答案为：C． 5．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点，当恰好为的中点时，则平行四边形的面积为（   ） A．30 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理及翻折变换．由折叠得，，进而得出，求得的长，根据平行四边形面积公式求面积即可 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得，， ， ， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的面积为． 故选：D． 6．如图所示，折叠平行四边形的一边，使点A落在边上的点E处，已知，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠问题，平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 利用平行四边形的性质得到，，再由折叠的性质得到，由求出的长即可． 【详解】解：由折叠及平行四边形的性质得：，， 则， 故选：B． 7．如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等角对等边．根据平行四边形的性质和折叠的性质可求出，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在线段上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，过点O的直线分别交和于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点处，点D落在点处，若，则的长为（   ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【答案】C 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，则，再根据平行线四边形的性质，可知，即可求得结果． 本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，理解中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，根据题意， 则点E和点F关于O中心对称 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 故选：C． 9．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（    ）地 城 类型02 矩形相关折叠问题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、最短路径问题，先根据两点之间线段最短得到线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，根据矩形和折叠性质得到，，在中，由勾股定理求得即可． 【详解】解：连接， ∵，当D、F、B共线时取等号， ∴线段的值最小时，点F在上的点处，此时点E在点处，如图： 在矩形中，，，则， 由折叠性质得，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即线段的值最小时，的长度为， 故选：D． 10．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即线段的长为， 故选：C． 11．矩形纸片的边，，将其折叠，使点与点重合，则折叠后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，设，由翻折的性质可知：，则，最后在中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知：，则． 中，由勾股定理可知：， 即． 解得：． 则． 故选B． 12．如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，设，则，由折叠的性质得到，，进而得到，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 解得， ， 故选：A． 13．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设 ，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， 由折叠可得：，，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设 ，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 故选：C． 14．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上．现将矩形沿折叠，点对应的点记为点，点恰好落在边上．若，，则图中的长为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 由矩形，可得，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：A． 15．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先证四边形是平行四边形，得出，推出，由勾股定理求出，设，则，再由折叠的性质得，，，，，，得出，，，求出，然后由勾股定理求出，最后由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ， 由折叠性质得：，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 在中，， 设，则， 由折叠的性质得：，，，，，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， 故选：B． 16．如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质及其应用． 证明≌，推出，再证明，再通过线段和差即可得结论． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，，，， ， ， ， ， 故选：C． 17．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ）地 城 类型03 菱形相关折叠问题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 18．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 19．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 20．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作，先证明为等边三角形，进而得到为含30度角的直角三角形，设，得到，折叠得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 作于点，设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴； 故选B． 21．如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了菱形的性质、勾股定理、翻折变换的性质等知识，利用折叠性质结合三角形三边不等关系确定取最小值的位置，再结合角度关系推导边长是解题的关键． 由菱形的边得，，由高得，进而得，求得，则，由折叠得，由，可知当点落在上时，取得最小值，此时，则，得即可判断． 【详解】 解：如图1， ∵菱形的边， ∴，， ∵高，即， ∴， ∴，， ∴， ∵将四边形沿直线折叠，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，取得最小值，最小值为， 如图2， 点在上，则， ∴， ∴． 故选：D． 22．如图，在菱形中，，E是边上一动点，将沿折叠得到，则面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质．由三角形底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大，即当时，三角形有最大面积． 【详解】解：在菱形中，， 又∵将沿折叠得到， ∴， 由此，的底边是定长，所以当的高最大时，的面积最大， 即当时，三角形有最大面积 ∴面积的最大值是， 故选：A． 23．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 24．如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，连接，，设的边上的高为h，与于点O，先证明，得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，设的边上的高为h，与于点O， ∵折叠，使点C与点A重合， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即的边上的高是， 故选：A． 25．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ）地 城 类型04 正方形相关折叠问题 A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 26．如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上， ∴， 在中，由勾股定理有：， 即， 整理得出， 则， 故选：B． 27．如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵面积为16的正方形纸片， ∴，，, ∵正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处， ∴，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，说明点是的中点是解答本题的关键． 28．如图，将边长为3的正方形折叠，使点A恰好落在边上的处（不与C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，则的周长为（     ）    A． B． C．6 D．不确定 【答案】C 【分析】连接、，作于．判定，可得，，即可得出，，再判定，即可得到，进而得到的周长． 【详解】解：如图，连接、，作于．   ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 29．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（    ） A． B．－1 C．2－ D．3－ 【答案】C 【分析】设AD=a，由折叠的性质可得AM=DN=DC=AD=a，∠EFD=90°，利用勾股定理解出FN，设EF=AE=b，则EM=，在Rt△EMF中，ME2+MF2=EF2，从而求出a，b之间的关系，进而得出的值． 【详解】解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，设AD=MN=a， ∴AM=DN=DC=AD=a， ∵四边形ABCD为正方形，过点D折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FD=AD=a，∠DNF=90°，∠FME=90°， 在Rt△DFN中，FN===， ∴MF=MN-FN=a-=， 设EF=AE=b，则ME=， 在Rt△EMF中， ME2+MF2=EF2， 即+=b2， 解得：b=(2-)a， ∴==2-． 故选∶C． 【点睛】此题考查了正方形与折叠、勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质． 30．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，交于点，先根据正方形的性质和矩形的判定与性质可得，再结合折叠性质可证得，由此可得，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于点， 则， ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形CDHF为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 31．如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O，根据角平分线的性质得EO=EM，利用等面积法，求出OE的长，进而即可求解． 【详解】解：连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O， 由菱形和正方形的轴对称性，可知：E、F在BD上， ∵正方形的边长为2， ∴BO=DO=AO=CO=2÷= ， ∵折叠， ∴AE是∠BAC的平分线， 又∵EO⊥AC，EM⊥AB， ∴EO=EM， ∴，即：， ∴OE=， ∴EF=， ∴菱形的面积=××=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质以及折叠的性质，掌握正方形的对角线互相平分且垂直，相等，是解题的关键． 32．如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．如图，长方形纸片ABCD中，AD=7，CD=4，将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，再沿DF折叠，使点C落在点G处，连接CG，交DF于点I．则线段CG的长度为 ．在折痕DF上有一动点P，连接PC，过点P作PH⊥DC交DC于H．则PC+PH的最小值为 ．地 城 类型05 折叠相关最值问题 【答案】 【分析】由勾股定理可求DF的长，由折叠的性质和面积法可求GC的长、由线段垂直平分线的性质可求GP=PC，当点G、P、H三点共线且时，由PC+PH的最小值，由面积法即可得解． 【详解】解：∵将长方形纸片折叠， 使点B落在AD上的点E处， ∴， ∴， ∴， ∴DF5． ∵沿DF折叠，使点C落在点G处， ∴， ∴DF垂直平分GC， ∴， ∴S△CDFDF×CIDC×CF， ∴CI， ∴CG， 如图，连接GP，GH， ∵DI， ∴S△DGCGC×DI． ∵DF垂直平分GC， ∴GP=PC， ∴PH+PC=GP+PH， ∴当点G，点P，点H三点共线，且时，PH+PC有最小值为GH， 此时GH． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、最短路径问题、勾股定理；灵活运用这些性质解决问题时本题的关键． 34．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD， ∵∠BAD=45°，AB=10 ∴为等腰直角三角形， 由题意可得，垂直平分，， ∴， ∴， 在中，，当、两点重合时， 即的最小值为 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解． 35．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键．连接，可知当点落在上时，取得最小值．根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即为所求． 【详解】解：如图，连接，可知当点落在上时，取得最小值． 根据折叠的性质，， ， 是边的中点，， ， ∴ ，， ， ． 的最小值是， 故选：C． 36．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当，，三点共线时，最小．根据两点之间线段最短得：当，，三点共线时，最小，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，当，，三点共线时取等号， 的最小值为的值， 在矩形中，，，点E是边的中点， ∴，则， 将沿所在直线折叠到，则， ， 故的最小值是8， 故选：A． 37．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接，若、、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为， 故选：． 38．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 39．如图，在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要利用矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质来求解周长的最小值．通过计算矩形对角线的长度和的长度，再根据折叠的性质找到的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，连接，当点F固定时，连接交于G，连接，此时的周长最小，最小值． 四边形是矩形， ，，． ． 的周长的最小值． 当最小时，的周长最小， ， ． ， ． 的最小值为， 的周长的最小值为． 故答案为： 40．如图，在长方形纸片中，，E是的中点，F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，′，′，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题结合长方形性质、折叠性质及勾股定理求解周长的最小值．关键在于利用折叠的对称性（）将周长转化为，再通过分析的最小值（由三角形三边关系确定），结合勾股定理计算相关线段长度，进而得到周长最小值． 【详解】解：． 由折叠性质知，是的垂直平分线， 故， ， 四边形是长方形， ，，， 根据勾股定理，， 当在与的交点时，取得最小值， 即的最小值为， 点是中点， ， 由折叠性质，， 在中，，， ， 根据三角形三边关系，， 的最小值为， 周长的最小值为． 【点睛】本题核心是利用折叠的对称性将转化为，把周长问题转化为线段和的最小值问题；再结合长方形性质（对边相等、直角）、勾股定理（计算对角线与线段长度）及三角形三边关系（确定的最小值），最终求得周长最小值． 41．如图，直角三角形纸片中，，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕，若，，则的长为（   ）地 城 类型06 多次折叠问题 A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形内角和等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可知且，且，再根据以及四边形内角和为解得，进而确定，然后根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可求得答案． 【详解】解：根据题意，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕， 则且，且， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：B． 42．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 43．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 44．折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片，点，分别是线段，上的点，先将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，与线段交于点，点是线段上一点，再将纸片沿折叠，点的对应点为点，点恰好在上，若测得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了长方形和翻折的结合，翻折的性质，平行线的性质，对顶角的性质等内容，解题的关键是掌握翻折的性质． 利用平行线的性质和翻折的性质求出，再利用对顶角相等和翻折的性质求出． 【详解】解：由长方形的性质得，， ，， 由翻折的性质得，， ∴， ∵， ∴， 由翻折后点的共线位置可得，， 由翻折的性质得，， 故选：A． 45．如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 46．如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题． 47．如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其沿折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得到全等可得，结合角平分线可得，根据，可求出即可得到，最后根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是折叠得到，是折叠得到， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， 故选B． 【点睛】本题考查矩形折叠求角度及角平分线定义，解题的关键是根据折叠及角平分线求出． 48．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（　　） A． B．2 C．2 D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=PB，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP=180°， ∴∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB=180°， ∵∠DQR+∠CQR=180°， ∴∠DQA+∠CQP=90°， ∴∠AQP=90°， ∴∠B=∠AQP=90°， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°， 由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD=PC， ∴AR=PR， 又∵∠AQP=90°， ∴QR=AP， ∵∠PAB=30°，∠B=90°， ∴AP=2PB，AB=PB， ∴PB=QR， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 49．如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ．地 城 类型07 折叠相关综合性问题 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】在矩形中，， ∵B，P两点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，①是正确的； ∵点B，P的对应点分别为，，折痕为l， ∴，②是正确的； 由第一次折叠可得：， 由矩形得：， ∴， ∴，④是正确的； 由第一次折叠可得：， 由第二次折叠可得：， ∴，⑤是正确的； 不能判定③，正确的有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 50．如图，矩形纸片中，，，点E、点F分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点B落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点C落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题提考查了折叠问题，矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识点的应用是本题的解题关键． 本题由折叠得，，得，即可证明①正确；证明，由相似的性质即可求出，证明②正确；当点与重合时，在中，利用勾股定理求出，即可证明③正确；若是以为腰的等腰三角形，分两种情况：时和时，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可证明④正确． 【详解】解：由折叠得，，， ∴， 即，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 若， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 设，则， 当点与重合时，如图， 则， 在中，，即， ∴，故③正确； 若是以为腰的等腰三角形，且时，如图，连接， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 若是以为腰的等腰三角形，且时， 设，则， 在中，，即， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 51．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下4个结论：①；②；③；④．在以上4个结论中，正确的有 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，即可判定①；依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到，即可判定③；再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，则可判定②；由的面积与面积的比等于，即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可知，，， ，而， ，故①正确； ， 由折叠可得，， ，故③正确； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②错误； ，，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．熟练运用知识点是解题的关键． 52．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③是直角三角形；④．在以上4个结论中，正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，故①正确；由全等三角形的性质可设，则，，利用勾股定理建立方程求出，，故②正确；由折叠的性质可设，得出，，进而得出，故③正确；先求出，再根据，可求出，故④正确. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质得，，， ∴，， 在与中 ∴ 故①正确； ∵正方形的边长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中， 即 解得 ∴，， ∴， 故②正确； 由折叠的性质得，， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故④正确， 故答案为：①②③④. 53．如图，将正方形纸片沿折叠，使点落在边的点处（不与重合）点落在点处，交于点，连接，交于点，连接．①垂直平分；②平分：③：④． 上述结论正确的有 （只填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，做题时，通过折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识求解是解题的关键． 通过折叠的性质得到是的垂直平分线，，，可推出，即可判断①②，作，证明全等三角形，即可判断③，通过已知条件证明是等腰三角形，设正方形的边长为，当P为中点时，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理得出，解方程求出，再根据勾股定理求出，即可判断． 【详解】解：由折叠的性质可得是的垂直平分线，故①正确； 折叠， ，， ， ，， ， 由题意可得：， ， 平分， 故②正确； 作， ， 在和中，， ， ，， 四边形为正方形， ， 又， ， ， ， 故③正确； 设正方形的边长为，当P为中点时，如图， 则， 在中，， 是的垂直平分线， ， ，， ，， ， 即， ， 为等腰直角三角形， ，即， ， 在中，， ， ， ， 而， ， 故④错误， 故正确的有：①②③， 故答案为：①②③． 54．如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，延长，交于点N，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得；易求得，则可得；易求得，即可得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比；利用全等三角形的性质可判断④，进而可求得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，将沿折叠，点D恰好落在上M点处， ∴，．， ∴， ∵平分， ∴． ∴；故①正确． ∵，，平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴．即，故②正确． 在和中， ， ∴． ∴；故④正确． ∴． ∵，，点E是的中点， ∴． ∴． ∴；故③正确． 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 55．【数学活动】：如图，用一张正方形的纸片按如下方式折叠：先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接、，与交于点．则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， 而， ∴，故④错误， 故正确的有：①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，综合性较强，难度较大． 56．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有 ．（填序号） ； 若，则； 若，，则； 若，，则． 【答案】 【分析】是的中线，即可求解；，则则 ，即可求解；勾股定理求得，，即可求解；勾股定理求得 ，进而根据是的中线，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，， ∴， 则，故正确； ， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴ ∴， 解得：， ∴，故不正确； ，， 则由勾股定理得， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形中线定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 57．如图，长方形中，，，点为边中点，点为线段上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ）地 城 类型08 折叠相关动点问题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，过点作于，则，根据勾股定理求得，设，则，，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：A． 58．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，为边上一个动点（不与点，重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当是等腰三角形时，分两种情况，情况一、当时，过点作，根据矩形的性质和，可知是等边三角形，利用勾股定理可以求出，，，根据即可求出结果；情况二、当时，利用勾股定理可以求出，根据即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，当时， 过点作， 则， 四边形是矩形， ， ， 又， 是等边三角形，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 由折叠可知， ； 如下图所示，当时， 过点作， 可知，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，的长是或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是构造直角三角形应用勾股定理求线段长． 59．如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠，直角三角形的性质，正方形的证明，全等三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．当时，根据折叠的性质得到，，可判断①结论；当时，过点作于点，根据折叠的性质和含30度角的直角三角形求解，可判断②结论；当时，根据折叠的性质，得出、、三点共线，设，再利用勾股定理求解，可判断③结论；当点运动到与重合时，过点作于点，与交于点，根据折叠的性质，证明，设，利用勾股定理和三角形面积公式求解，可判断④结论． 【详解】解：矩形纸片， ，，， 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ，此时点在上， ， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形，①结论正确； 当时，如图，过点作于点， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 的面积，②结论错误； 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ， 、、三点共线， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即，③结论正确； 当点运动到与重合时，如图，过点作于点，与交于点， 由折叠的性质可知，，， ，， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， 的面积，④结论正确， 结论正确的有个， 故选：C． 60．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、、． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，点O、P分别是边、的中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ∵，， ∴的最小值为 故选：C． 61．如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，解题关键是要熟练运用折叠的性质和勾股定理．要使折痕始终与边、有交点，就要找到与重合，与重合时对应的长即可，由折叠可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当与重合时，如图①，的值最小， 由折叠可得，， ∴在中， ∴； 当与重合时，如图②，的值最大， 由折叠得，． 综上所述，的取值范围是． 故选：D． 62．如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作于点，交于点，作于点，由矩形的性质得到，，又有折叠可证到是等边三角形，求出，根据得到，进而得到，等量代换即可得到，由此得到当点于点重合时，取得最小值，故可以求出的长，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：作于点，交于点，作于点，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为， ∴， 故选：． 63．如图，在矩形中，，，点M，N分别在，上，且 ，，E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为（ ）   A．或2 B． C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，由矩形和折叠的性质结合勾股定理列出方程是解题关键．设，则，先证明四边形是矩形，然后由折叠可知，结合题意可求和，最后由勾股定理解答即可． 【详解】解：设，则，   ∵矩形中，， ∴． ∵点M，N分别在上，且，， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴．　 ， 在中，，即， 解得：，即． 故选B． 64．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理等知识，分M在线段延长线上和线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ， ∵， ∴， 当M在线段延长线上时，如图，连接， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 当M在线段延长线上和线段上，如图，连接， 同理可求出， 在中，， ∴， 解得， 综上，的长为或6． 故答案为：或6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 四边形相关折叠问题分类训练 （8种类型64道） 1．如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ）地 城 类型01 平行四边形相关折叠问题 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 3．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 4．如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．19 5．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点，当恰好为的中点时，则平行四边形的面积为（   ） A．30 B．60 C． D． 6．如图所示，折叠平行四边形的一边，使点A落在边上的点E处，已知，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 7．如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 8．如图，在平行四边形中，点O为对角线的交点，，过点O的直线分别交和于点F、E，折叠平行四边形后，点A落在点处，点D落在点处，若，则的长为（   ） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 9．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩形中，，，点是边上与点和点不重合的任意一点，小明把矩形沿折叠，使点落在点处，连接，当线段的值最小时，的长度为（    ）地 城 类型02 矩形相关折叠问题 A． B． C． D． 10．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图① ，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图② ，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 11．矩形纸片的边，，将其折叠，使点与点重合，则折叠后的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是（   ） A． B． C．5 D． 13．小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（   ） A． B． C． D． 14．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上．现将矩形沿折叠，点对应的点记为点，点恰好落在边上．若，，则图中的长为（   ） A．3 B． C．4 D．5 15．如图，在矩形中，，，连接，将沿折叠，使点对应点落在上，将沿折叠，使对应点也落在上，连接，，则四边形面积为（   ） A． B． C． D． 16．如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 17．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ）地 城 类型03 菱形相关折叠问题 A． B． C． D． 18．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 19．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 20．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 21．如图，菱形的边，高，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，点的对应点为，当的长度最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 22．如图，在菱形中，，E是边上一动点，将沿折叠得到，则面积的最大值是（   ） A．8 B． C．16 D． 23．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，且，则的边上的高是（   ） A． B． C．5 D．4 25．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ）地 城 类型04 正方形相关折叠问题 A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 26．如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 28．如图，将边长为3的正方形折叠，使点A恰好落在边上的处（不与C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，则的周长为（     ）    A． B． C．6 D．不确定 29．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠， 使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则的值是（    ） A． B．－1 C．2－ D．3－ 30．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 31．如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 32．如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 33．如图，长方形纸片ABCD中，AD=7，CD=4，将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，再沿DF折叠，使点C落在点G处，连接CG，交DF于点I．则线段CG的长度为 ．在折痕DF上有一动点P，连接PC，过点P作PH⊥DC交DC于H．则PC+PH的最小值为 ．地 城 类型05 折叠相关最值问题 34．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠到，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 36．如图， 在矩形中，，，E是边的中点，F是线段上的动点， 将沿所在直线折叠得到， 连接，则的最小值是（  ） A．8 B．10 C． D． 37．如图，长方形中，点为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点恰好落在的中点上，点为的中点，点为线段上的动点，连接，若、、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 38．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 39．如图，在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，，，则的周长的最小值为 ． 40．如图，在长方形纸片中，，E是的中点，F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，′，′，则周长的最小值为 ． 41．如图，直角三角形纸片中，，折叠纸片使两点重合，得折痕，过点再次折叠，恰好可使两点重合，得折痕，若，，则的长为（   ）地 城 类型06 多次折叠问题 A． B．2 C．3 D． 42．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 43．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 44．折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片，点，分别是线段，上的点，先将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，与线段交于点，点是线段上一点，再将纸片沿折叠，点的对应点为点，点恰好在上，若测得，则的度数是（   ） A． B． C． D． 45．如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 46．如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 47．如图，一张长方形纸片，它的四个内角都是直角，将其沿折叠后，点C落在点E处，交于点F，再将沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 48．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（　　） A． B．2 C．2 D． 49．如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ．地 城 类型07 折叠相关综合性问题 50．如图，矩形纸片中，，，点E、点F分别是边、上的一个动点，将沿折叠，使顶点B落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点C落在射线上的点处，下列结论：①；②若，则；③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或．其中正确的结论有 ．（填序号） 51．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下4个结论：①；②；③；④．在以上4个结论中，正确的有 （填序号） 52．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③是直角三角形；④．在以上4个结论中，正确的有 ． 53．如图，将正方形纸片沿折叠，使点落在边的点处（不与重合）点落在点处，交于点，连接，交于点，连接．①垂直平分；②平分：③：④． 上述结论正确的有 （只填写序号）． 54．如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，延长，交于点N，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有 ． 55．【数学活动】：如图，用一张正方形的纸片按如下方式折叠：先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接、，与交于点．则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的序号为 ． 56．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有 ．（填序号） ； 若，则； 若，，则； 若，，则． 57．如图，长方形中，，，点为边中点，点为线段上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ）地 城 类型08 折叠相关动点问题 A． B． C． D． 58．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，为边上一个动点（不与点，重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（   ） A． B． C．或 D．或 59．如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 60．如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 61．如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 62．如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 63．如图，在矩形中，，，点M，N分别在，上，且 ，，E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为（ ）   A．或2 B． C．或2 D． 64．如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $