专题05 四边形相关综合性问题分类训练（7种类型56道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题05 四边形相关综合性问题分类训练 （7种类型56道） 1．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ）地 城 类型01 平行四边形相关综合性问题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 2．如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，，，进而推出是等边三角形，再证明，得出，即可判断①正确；根据，，可判断②正确；根据，，可判断③正确；根据，，，可判断④不正确． 【详解】解：在平行四边形中，， ，，，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，，， ，故④不正确； 正确的有3个， 故选：B． 3．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，理解相关知识是解答关键． 连接交于，过作于，过作于，推出得出平行四边形，可判断①②④；无法判断③正确；证明得出可判断⑤正确；根据可判断⑥正确． 【详解】解：连接交于，过作于，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ． ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出， ∴③错误； ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴⑤正确； ∵， ∴， ∴， ∴⑥正确． 综上，正确的序号为：①②④⑤⑥． 故选：C． 4．如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 5．如图，中，交于O，平分，，．下列结论：①平分；②；③；④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，得出，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；由平行四边形的面积可得出④正确． 【详解】解：①中，， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故①正确； ②由①可知，， ， ， 故②正确； ③由①可知，， ， ， ， ， 故③正确； ④由③可知，， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得，，，则，因为，所以，而E是的中点，则，可判断①正确；由，G是的中点，得，根据三角形中位线定理得，，所以，可判断②正确；因为，，所以，且，则，可根据证明，可判断③正确；由，，推导出，则平分，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、全等三角形的判定、等边对等角、平行线的性质等知识，推导出，，且，是解题的关键． 7．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列说法正确的有（   ） ①        ②平分     ③        ④ A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键． 利用平行四边形的性质及等边三角形的判定得出是等边三角形，再由各角之间的关系得出，即可判断①；利用等边三角形三线合一的性质无法得出平分，即可判断②；在由平行四边形的性质及等边三角形的性质可判断③；利用面积之间的关系可判断④． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故①正确，符合题意； 由①得是等边三角形，无法证明， ∴不能得出平分，故②错误，不符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 故选：D． 8．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，菱形的判定与性质．分别连接，结合四边形是平行四边形，可得，，再由，从而，进而结合等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等逐个判断可以得解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵E是的中点， ∴． 又∵G是的中点， ∴． 又∵与不一定相等， ∴①不正确． ∵E，F分别是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形． ∴平分． ∵， ∴不平分，即③不正确． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确． 综上，正确的有②④． 故选：C． 9．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ）地 城 类型02 中位线相关综合性问题 A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 10．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用这些知识点．由，，可得，从而判断①；延长交于点，，得出，进而根据直角三角形的性质从而判断②；延长交于，作于，先证，再证出，从而判断③，由与，得出，从而判断④． 【详解】解：，， ， 故①不正确； 如图，延长交于点, ∵，， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故②正确； 延长交于，作于，连接 ，，， ， ， 又， ∴是的中位线， ， ， ∵ ∴ ∵ ， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 故 ③正确； ， ， ， 故④正确， 正确的有②③④，共3个 故选：C． 11．如图在中，，，分别是，的中点，以为斜边作直角三角形，若，则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识，根据等腰直角三角形的性质可判断①，根据平行线的性质可判断②，由①②的条件，通过角的转换即可判断③，根据勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴． ∵中，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，分别是，的中点， ∴， ∴． ∵F是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵中，， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意． 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C． 12．如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据题意得，，由三角形中位线定理可判定为的中位线，则有，，即可判定四边形为平行四边形，故②正确；结合，则，故①正确；根据假设得，利用三线合一即可得，故③正确；设点P到的距离为h，那么点P到的距离为，则，结合，故④正确． 【详解】解：∵四边形为平行四边， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， 则，故①正确； 若，则， ∵， ∴，故③正确； 设点P到的距离为h，那么点P到的距离为， ∵ ∴，故④正确； 故选：D． 13．如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④． 【详解】解：如图，连接， 是的中线， 点D是的中点， 、分别是、边上的中点， ，故①②⑤正确； ，， 四边形是平行四边形， 和互相平分；故③④正确； 则正确的有5个， 故选：D． 14．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的数量有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据可进行判断；②证即可进行判断；③延长交于，证即可进行判断；④证即可进行判断；⑤由“不一定等于”即可进行判断． 【详解】解：①∵ ∴， ∵O为的中点 ∴ ∴ 故①错误； ②∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 故②正确； ③延长交于    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ 同理 ∴ ∴ 故③正确； ④∵是的中位线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 故④正确； ⑤∵，不一定等于 ∴不一定等于 ∵ ∴不一定等于 故⑤错误． 综上所述：②③④正确　 故选：B 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 15．如图，已知在□中，为的中点，的延长线交的延长线于点，则下列结论正确的有（    ）个． ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，再结合全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线，三角形的中线平分三角形的面积依次判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即，故①结论正确，符合题意； ∵，但不一定是直角， ∴不一定等于，故②结论错误，不符合题意； ∵，， ∴点，点分别是,的中点， ∴是的中位线， ∴， 即，故③结论正确，符合题意； ∵点，点分别是,的中点， ∴是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 即，故④结论正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的判定和性质，三角形的中线平分三角形的面积等知识.掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A和D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB＝AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据折叠可得是的垂直平分线，再加上条件是三角形纸片的高可以证明，进而可得，，再推出，同理可得：，进而得到是的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出的周长是的一半，进而得到的周长等于周长的一半；根据三角形中位线定理可得，，若四边形是菱形则，即可得到． 【详解】解：是的高， ， ， 根据折叠可得：是的垂直平分线， ，， ， ， ， ，， 又， ， ， 则， 同理可得：， 是的中位线， 故①正确； 是的中位线， 的周长是的一半， 根据折叠可得， 的周长等于周长的一半， 故②正确； 是的中位线， ，， 若四边形是菱形， 则， ， 故③正确； 根据折叠只能证明， 不能确定和的度数，故④错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 17．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：地 城 类型03 矩形相关综合性问题 ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 18．在矩形中，对角线相交于点平分交于点．连接，则下面的结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再求出，可判断①；利用勾股定理得出，，可判断②；由直角三角形的性质可得，可判断③；由面积公式可得，可判断④． 【详解】解：平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵矩形，， ， ∴，， ， 在矩形中，， 是等边三角形，是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②错误； 在中，， ，故③错误； ， ，故④正确； 故选：B． 19．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 20．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 21．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①证明是等腰直角三角形得，，由勾股定理得，再根据，即可对该结论进行判断； ②根据，得，进而得，由此即可对该结论进行判断； ③先求出，根据得，由此即可对该结论进行判断； ④证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，进而得，则，继而得，由此即可对该结论进行判断； ⑤根据，，即可依据“”判定和全等，由此即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键 【详解】解：①四边形ABCD是矩形， ，， 的平分线DE交AB于点E， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ，故①正确； ②在中，，， ， ，故②正确； ③， ， 又， ， ，故③不正确； ④，于点H， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ，故④不正确， ⑤于点H，， ， ，， ， 在和中， ， ≌，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②⑤． 故选：A 22．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，无法证明温恩等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 23．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明为等腰直角三角形，得到，根据，判断①；根据等边对等角，结合角的和差关系，三角形的内角和定理，推出，判断②；证明判断③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，；故①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，理清角度，线段之间的关系，是解题的关键． 24．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 25．如图，在中，，和是高，相交于点，是边的中点，与交于点，若平分．下列结论：①，②，③，④，正确的个数为（   ）地 城 类型04 “斜中半”相关综合性问题 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先结合是的高，，得是等腰直角三角形，因为是边的中点，得，根据是的高，以及三角形内角和，得出，证明，运用三角形外角性质以及等角对等边得，再运用角平分线的性质，得，运用勾股定理得，化简，即可作答． 【详解】解：∵ 是的高， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是边的中点， ∴（斜边上的中线等于斜边的一半） ∴， 即， 故①是符合题意； ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③是符合题意； ∵平分． ∴， 则， ， 即， ∴， 故②是符合题意； 过点作，如图所示： ∵平分．， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴， 故④是符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到线段与角的等量关系，结合角的代换证明三角形全等，进而推导相关结论并分析面积变化． 【详解】解：，是边上的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ，， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形， ①正确； ，， ， ，， ， ②正确； ， ， ， ③正确； ， ， 为定值， ④错误． 故选：． 27．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定等知识，通过求角度证明边角关系是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到，且，，从而判定，从而判断出③错误；通过计算得到，从而得到，再根据角平分线和平行线推导等腰三角形的方法证明，再根据垂直平分线的判定定理即可证明②；通过证明可以证明①，设，则，，继而求出和，证明，从而求出，即可证明④正确． 【详解】解：在等腰直角中，，点是斜边的中点， ∴，且，， ∴， ∵，即， ∴不是等边三角形，故③错误． 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点C、M都在的垂直平分线上，即垂直平分，故②正确． ∵，垂直平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确， 设， 则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的有：①②④，共3个， 故选：C． 28．如图，在中，，，，是的角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，点，分别是线段和线段上的两个动点，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． ①根据条件证明，利用互余的角即可得出结论； ②根据等边对等角，求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，全等三角形的性质，得到的度数，的度数，即可得出结论； ③由②推出，，，再利用等量代换即可得出结论； ④连接，过点作于点，三线合一结合中垂线的性质，以及垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴；故②正确，符合题意； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ④如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， ∴的最小值为3．故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④， 故选：D． 29．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①先由得到，接着就可以证明，最后由全等三角形的性质“对应边相等”，可知①是符合题意的； ②先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知②是符合题意的； ③过点作，证明，然后分别找出 与的关系，就可以求出的比，可知③是符合题意的； ④设，由，得到，所以．又由三角形全等和中线的性质，可以得到，从而得到，可知④是符合题意的． 【详解】解：①， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①符合题意； ②， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． ， 且， ， 故②符合题意； ③如图，过点作， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 又由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ， 故③符合题意； ④设， ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ， ， ，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中线的性质以及三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 30．如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵在中，，与分别是斜边上的高与中线， ∴， ∴， ∴，； 故①②③正确， 无法得到，故④错误； 综上分析可得：正确的有3个． 故选：C． 31．如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，，，得到，可判定①正确；结合，可判定②正确；根据折叠的性质，可证，判定③正确；设，由勾股定理，得,解得，判定④⑤错误，解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，四边形内角和定理，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ，， ∴， ∴点是的中点， 故①正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 根据折叠的性质，得，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， ∴, 解得， ∴的长是， ∴的面积是， 故④⑤错误； ∴结论正确的有3个， 故选：C． 32．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下三个结论中：（1）；（2）；（3）当时，，则所有正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明，可知，即可判断（1）；由得，由及等角的余角相等得，即可判断（2）；当时，为等腰三角形，得，由得，所以，即可判断（3）． 【详解】解：， ， ， ，， ， ，故（1）正确； ， ， ， ， ， ，故（2）正确； 当时， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ， ， ，故（3）错误； 综上，正确的有：（1）（2）， 故选：A． 33．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）地 城 类型05 菱形相关综合性问题    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 根据菱形的性质得到，结合题意得到，由菱形的面积的计算，勾股定理即可判定各结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为40， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； 综上所述正确的有①②③④，共4个， 故选：A ． 34．如图，已知菱形的边长为分别是上的动点，且．下列结论正确的个数是（   ） ①；②为等边三角形；③；④为等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】易证△ABC为等边三角形，得，结合已知条件可证；由全等三角形的性质可得，得，进而可得结论；证明则可得结论． 【详解】解：，四边形为菱形， ， 为等边三角形，． ， ，故①④正确； ， ． ， ，即， 为等边三角形，故②正确； ， ，故③正确． 综上所述，结论正确的个数是4． 故选：D 【点睛】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用． 35．如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，③错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，②正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 36．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 37．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 38．如图，在一张菱形纸片中，，，点在边上不与，重合，将沿直线折叠得到，连接，，，有以下四个结论：；；当时，；当平分时，则．以上结论中，其中正确的结论个数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质即可判断结论； 由折叠和菱形性质得：，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：，，得出； 根据折叠性质和菱形性质可证得，即可判断结论； 由折叠和已知可得，根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得平分，从而可证是等边三角形，再证是等腰直角三角形，即可判断结论． 【详解】解：将沿直线折叠得到， ， 只有时，才成立， 故结论不正确； 由折叠得：， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ，， ， 故结论正确； 如图，，将沿直线折叠得到，   ，，， 四边形是菱形， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， 故结论正确； 如图，由折叠得：，，   平分， ， 、分别平分、， ∵三角形三条内角平分线交于一点， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故结论不正确， 综上所述，正确的结论是：②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型． 39．如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至E使，连接，下列结论：①；②；③四边形为菱形；④中，正确的结论个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，但不一定是菱形，故③错误， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴，， ∴，即，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，故④错误； 综上，①②正确，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，解题时注意：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 40．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确； ②先证四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确； ③由中线的性质和菱形的性质可得，，可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中位线， ，故①正确； ， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形，故②正确； 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形与四边形面积相等，故③正确； 综上所述，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 41．如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是（　　）地 城 类型06 正方形相关综合性问题 A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦． 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及平角为判断②的正误；利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误，进而求出；可以判断③的正误，． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①说法正确； ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，②说法正确； ∵，是等腰直角三角形， ∴， 设正方形的边长为a， 在中， ，即， 解得， 则，即，④说法正确， ∵， ∴，故说法③错误， 综上，正确的说法是①②④， 故选：A． 42．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据四边形是正方形，得到，即可判断；根据已知条件求出，得到，即可判断；连接，交于点，证明，则，，根据勾股定理求出即可判断；根据三角形面积的关系计算，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； 如图，连接，交于点， ∵四边形和是正方形， ∴，，，，，， ∴，即 ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴，故错误； 综上可知：正确的是，共2个， 故选：B． 43．如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点包括正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直的判定以及线段最小值的求解．通过，可证明四边形为矩形，可得，再证明，得，等量代换可得，即①正确；因为，可得，由，等边对等角得，所以，即②正确，由，得，由①可知，四边形是矩形，四边形是正方形．故③正确；由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小，此时，④不正确；即可解答． 【详解】解析：如图所示，连接，交于点O， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，即①正确； ， ， ， ， ，即②正确， 当时， ， ， 由①可知，四边形是矩形， 四边形是正方形．故③正确； 由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小， 此时， 的最小值为，④不正确． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 44．如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确； 连接，由四边形是矩形，得，再证，得，则，即可判定②正确； 证明，，从而得，即可判定③正确； 根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴    ，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值， 故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 45．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：． 46．如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 47．如图，正方形的边长为，，分别为上两点，且，作，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为；④ 的最小值是．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即①正确； 如图：延长到，使， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为，即③正确； 如图：取的中点，连接，， ∵， ∴， 在中，， 在中，，当三点共线时， 有最小值，，即④错误． 则正确的有①②③． 故选：B． 48．如图，为边长为1的正方形的对角线上任一点，过点作于点，于点，连接，给出以下4个结论：①；②最短长度为；③；④若为等腰三角形，则或或；其中结论正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】连接，可证得，结合矩形的性质，可证得，可判断①；延长交于点，可证得，可判断③；求得的最小值即可求得的最短长度，可判断②；当点在点或点时，有最大值，则可判断④． 【详解】解：①如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，故结论①正确； ③延长交于点，交于点， ∵， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故结论③正确； ②∵正方形的边长为1， ∴，， ∴， 当时，有最小值，此时为的中点， 则，即的最小值为， 由①可知， ∴最短长度为，故结论②正确； ④当时，点与点重合， 此时； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∴若为等腰三角形，则或或，故结论④正确； 综上可知，正确的结论为①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边对等角，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短．掌握正方形的性质是解题的关键． 49．如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ）地 城 类型07 中点四边形相关综合性问题 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，菱形的面积，等边三角形的判定，矩形的判定；由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及菱形的面积逐一判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故①正确； ②四边形是菱形， ， 故②正确； ③，， 四边形的面积为， 故③正确； ④四边形是菱形，， ，， 是等边三角形； 故④正确； ⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是矩形． 故⑤错误； ①②③④正确，共个； 故选：C． 50．如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 51．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 52．如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断： 【详解】解：①连接，， ∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（矩形的两条对角线相等）； ∴（三角形的中位线定理）， ∴四边形是菱形； 同理继续连接，四边形是矩形； 故①②正确； ③每次连接新四边形，其边长是上一个四边形对应边长的一半, 经过次连接得到四边形 ，根据中位线的性质得， ， ， ∴四边形的周长是，故③正确； ④∵四边形中，，，且， ∴； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是，故④正确； 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题． 53．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点． 则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是菱形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查中点四边形，涉及菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形的中位线性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐个判断即可求解． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，故②错误； ③若四边形是菱形，则， ∴，但与不一定互相平分，故③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，， 即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个， 故选：A． 54．如图，E，F，G，H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 【详解】 解：、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ∴四边形是菱形，故①正确； ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当，如图所示：，分别为，中点， 连接，延长到上一点， ，， ，只有时才可以成立，而本题与很显然不平行，故④错误． 综上所述，①②共2个正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 55．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（    ） ①四边形是矩形； ②四边形是菱形； ③四边形的周长是； ④四边形的面积是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对以下选项做出分析与判断：①根据矩形的判定与性质做出判断；②根据菱形的判定与性质做出判断；③由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；④根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积． 【详解】解：①连接，． 在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形， ，，，； ，， 四边形是平行四边形； ，四边形是矩形， （矩形的两条对角线相等）； （中位线定理）， 四边形是菱形； 故本选项错误； ②由①知，四边形是菱形； 根据中位线定理知，四边形是菱形； 故本选项正确； ③根据中位线的性质易知，，， 四边形的周长是， 故本选项正确； ④四边形中，，，且， ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形的面积是， 故本选项正确． 综上所述，②③④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的． 56．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定与性质，中点四边形的性质，由中点四边形的性质得出四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可判断①；由矩形的判定即可判断②；由平行四边形的性质即可判断③；由正方形的判定与性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点分别是四边形边的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； ②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意； ③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意； ④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形相关综合性问题分类训练 （7种类型56道） 1．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ）地 城 类型01 平行四边形相关综合性问题 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，如图，在平行四边形中，，，平分，对角线、相交于点，连接，下列结论中正确的有　　 ①；②；③；④． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 4．如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，中，交于O，平分，，．下列结论：①平分；②；③；④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列说法正确的有（   ） ①        ②平分     ③        ④ A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 8．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ）地 城 类型02 中位线相关综合性问题 A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 10．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图在中，，，分别是，的中点，以为斜边作直角三角形，若，则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（    ） ①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，四边形，对角线，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取中点F，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的数量有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 15．如图，已知在□中，为的中点，的延长线交的延长线于点，则下列结论正确的有（    ）个． ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A和D重合，给出下列判断：①EF是△ABC的中位线；②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；③若四边形AEDF是菱形，则AB＝AC；④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：地 城 类型03 矩形相关综合性问题 ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 18．在矩形中，对角线相交于点平分交于点．连接，则下面的结论：①是等腰三角形；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 22．如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有（   ） ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 23．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．如图，在中，，和是高，相交于点，是边的中点，与交于点，若平分．下列结论：①，②，③，④，正确的个数为（   ）地 城 类型04 “斜中半”相关综合性问题 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 27．如图，在等腰直角中，，点是斜边的中点，平分交于点，交于点，连接交于点，则下列结论：①；②垂直平分；③是等边三角形；④．其中正确的结论有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在中，，，，是的角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，点，分别是线段和线段上的两个动点，连接，，则下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（    ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 30．如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．如图，在中，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．，则下列结论：①点是的中点；②是等腰三角形；③与互补；④的长是1；⑤的面积是2．其中结论正确的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 32．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下三个结论中：（1）；（2）；（3）当时，，则所有正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 33．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）地 城 类型05 菱形相关综合性问题    A．4 B．3 C．2 D．1 34．如图，已知菱形的边长为分别是上的动点，且．下列结论正确的个数是（   ） ①；②为等边三角形；③；④为等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 36．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，在一张菱形纸片中，，，点在边上不与，重合，将沿直线折叠得到，连接，，，有以下四个结论：；；当时，；当平分时，则．以上结论中，其中正确的结论个数是（    ）      A． B． C． D． 39．如图，在菱形中，对角线相交于点O，延长至E使，连接，下列结论：①；②；③四边形为菱形；④中，正确的结论个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连接，分别交，于点、，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 41．如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是（　　）地 城 类型06 正方形相关综合性问题 A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 42．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 44．如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 45．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以、为邻边作矩形，连接．在下列结论中：矩形是正方形；；平分；．其中正确的结论有（   ） A． B． C． D． 46．如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 47．如图，正方形的边长为，，分别为上两点，且，作，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为；④ 的最小值是．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 48．如图，为边长为1的正方形的对角线上任一点，过点作于点，于点，连接，给出以下4个结论：①；②最短长度为；③；④若为等腰三角形，则或或；其中结论正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 49．如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ）地 城 类型07 中点四边形相关综合性问题 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 50．如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 51．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 52．如图，在四边形中，，，，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形……如此进行下去，得到四边形．给出下列结论：①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．其中，正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点． 则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是菱形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．如图，E，F，G，H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，则；④；其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（    ） ①四边形是矩形； ②四边形是菱形； ③四边形的周长是； ④四边形的面积是． A．个 B．个 C．个 D．个 56．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $