专题03 勾股定理相关最短路径问题分类训练（6种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题03 勾股定理相关最短路径问题分类训练 （6种类型48道） 1．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为 ．地 城 类型01 圆柱相关最短路径问题 【答案】米 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 将圆柱体侧面展开，通过勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点， 米， 在中，米， 则彩带长至少为米． 故答案为：米． 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 3．如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 4．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点B处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是在矩形上找出和两点的位置，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：把题中的圆柱沿着点所在的母线剪开，其展开图为一个矩形，如图所示： 由图根据勾股定理得：， 故需爬行的最短距离为． 故答案为：13． 5．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理，两点之间，线段最短的知识点．熟练掌握圆柱的侧面展开图，勾股定理是解题的关键． 把圆柱形玻璃杯的侧面沿母线展开成矩形，把立体空间中蚂蚁到蜂蜜的最短路径问题，转化为平面直角三角形中斜边长度的计算问题，进而利用勾股定理求解． 【详解】解： 圆柱底面周长为， 展开后长方形的长为，长的一半为（水平方向的关键距离）， 圆柱高为，点离杯底， 垂直方向的距离为， 展开后，蚂蚁从到的最短路径是直角三角形的斜边，两条直角边分别为（水平）和（垂直）， 根据勾股定理，最短距离． 故答案为． 6．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛（即cm），它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食（cm），已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 （空心钢管壁厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于右侧管口的对称点，连接， 由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故答案为． 7．如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，那么蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行的最短路程为 ．(参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题，涉及勾股定理，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：沿着圆柱上经过点和点的母线剪开，展开后，如图所示： 由题意可知，，， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是线段的长度， 在中， ． 故答案为：． 8．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点在上，．一位滑板爱好者从点出发滑到点，则他滑行的最短距离为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】将半圆面展开如答图所示，连接． 根据题意，得，． 在Rt中，由勾股定理，得， 所以他滑行的最短距离为． 故答案为：30． 9．如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m．地 城 类型02 台阶相关最短路径问题 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先根据勾股定理求出楼梯的水平长度，将楼梯台阶表面展开得到长方形，蚂蚁爬行的最短路径为该长方形的对角线的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该楼梯的水平长度为， 将楼梯台阶表面展开，如图： 则，， ∴在中，， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 10．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求最短路径问题．根据题意将楼梯展开即可直观看到从点A到点C的最短距离即为展开后矩形的对角线，继而勾股定理求出本题答案． 【详解】解：将楼梯展开，如下图： ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 12．如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是、、，点A和点是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是画出求A到的最短路径的展开图．首先画出A到的最短路径的展开图，然后利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示：，，， 由勾股定理得：， 故答案为：130．    13．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 【答案】130cm 【分析】先画出图形平面展开图，然后根据两点之间线段最短确定最短路径，最后运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm， ∴ (cm) 即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm． 故答案为：130cm． 【点睛】本题主要考查了平面展开图－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键． 14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米． 【答案】5 【分析】先将台阶展开，再根据勾股定理求解即可． 【详解】将三级台阶展开，如图所示． 可知（米），（米）， 根据两点之间线段最短，可知为最短路径，根据勾股定理得（米）． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了根据两点之间线段最短求最短路径，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 15．步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 16．如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ． 【答案】/13分米 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示， 则的长即为它爬行的最短路程， 由勾股定理得，， ∴它爬行的最短路程为， 故答案为：． 17．如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．地 城 类型03 长方体相关最短路径问题    【答案】10 【分析】如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，由题意知，，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 18．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开一最短路径问题和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及利用展开图得出结论是解题关键． 利用平面展开图有2种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，， 在展开图1中，连接，过N作，由题意得：，，， 在中，由勾股定理得， 在展开图2中，连接，易得：， 在中，由勾股定理得， 一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为． 故答案为． 19．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】130 【分析】本题考查了最短路径问题，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长，利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程. 【详解】解：如图，作点E关于点的对称点，连接交于点P，连接，则，的最小值为的长， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：130． 20．如图，有一个有盖的长方体盒子，它的长、宽、高分别是6，4，4，现有一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到棱的中点P处，设爬行的最短路线长为a，则a的值为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先把长方体平面展开，进行分类讨论，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1所示， ； 如图2所示， ． ， 它需要爬行的最短路径的长是． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 21．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是 cm；此长方体盒子能放入木棒的最大长度是 cm． 【答案】 25 【分析】（1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． （2）利用长方体的性质，连接AG，BG利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）将长方体沿AB剪开，使AB与D在同一平面内，得到如图所示的长方形， 连接CD， ∵长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm， 即， ∴， 故答案为：25； （2）连接AP，BP， 在中，，由勾股定理得，， 在中，，， 由勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论． 22．如图，长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开-蚂蚁爬行最短路径问题，熟记长方体的平面展开图及勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，分三种情况展开，在平面图形中由勾股定理求出长比较大小即可得到答案． 【详解】解：长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，则， 根据题意，分三种情况： 上前展开，如图所示： 由勾股定理可得，； 上左展开，如图所示： 由勾股定理可得，； 右下展开，如图所示： 由勾股定理可得，； ， 一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为， 故答案为：． 23．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 24．如图，两个长方体重叠后靠墙角O放置（其中大长方体的三个面分别与墙面、地面贴合，小长方体的两个面与墙面贴合），已知，，．若一只蚂蚁从A点出发，沿几何体的表面爬行到点（蚂蚁无法在与地面接触的面和靠墙面上爬行），则这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，画出相应展开图求解即可，结合图形找出最短路程是解题关键． 【详解】解：如图所示展开， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．地 城 类型04 “翻墙”最短路径问题 【答案】150 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的应用．作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短，为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短， ∵，， ， 又， ． 最短路线长为． 故答案为：． 26．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为的无盖正方体铁盒 不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形爬行，爬到边上再在边上爬行，最后再沿着内壁正方形爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是 ．    【答案】 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，设蚂蚁在边 上爬行的距离为，连接 、，再将向左平移个单位得到，使点的对应点为，点的对应点为，然后过作于点，连接，此时蚂蚁所走的最短路程为最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，设蚂蚁在边上爬行的距离为，连接、，再将向左平移个单位得到，使点的对应点为，点的对应点为，然后过作于点，连接，   ，，，， 此时，蚂蚁所走的最短路程为最小， 点是中点， ， ， ， ， 又， ，， ， 在中，， 蚂蚁所走的最短路程是， 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，轴对称性质，平移的性质，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 27．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 28．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 【答案】18 【分析】题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需要爬行的最短路径为， 如图，过点作交的延长线于点D， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴圆柱底面周长为； 故答案为：18． 29．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开−−−最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为：． 30．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图是圆柱体水晶杯侧面展开图的一半， 作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，， 作交的延长线于点D，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴即为最短距离， ∵底面周长为， ∴， ∵高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 32．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ． 【答案】/130厘米 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴， ∴在直角中，． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为． 33．如下图，小区与公路的距离，小区与公路的距离．已知，现要在公路旁建造一家利民超市，使超市到，两小区的路程之和最短．地 城 类型05 平面最短路径（将军饮马） (1)请在图中画出点，并写出画法． (2)求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，交于点，即可得到结果； （2）由对称性得的最小值为线段的长，过点作，交的延长线于点，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，即为所求的点． （2）解：由对称性，得的最小值为线段的长． 如图，过点作，交的延长线于点． 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，确定出的位置是解决本题的关键． 34．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 35．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 36．如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为，，，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使得到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离． 【答案】图见解析；最短距离为 【分析】本题主要是运用轴对称求最短距离问题，作点A关于直线的对称点，连接与交于点P，则点P为所求的水泵站的位置，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接与交于点P， 则点P为所求的水泵站的位置．过点作，交的延长线于点E， 则为直角三角形，． 在中， 由题意，得． 由勾股定理，得， 所以， 故铺设水管的总长度最短为． 37．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 38．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 39．如图，一牧人在A处牧马，牧人的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是，且C，D两地间的距离为500m，牧人准备从A处出发将马牵到河边去饮水，再赶回家． (1)为了使所走的路程最短，牧人应将马赶到河边什么地点？请你在图中画出来并说明理由； (2)请求出牧人要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了将军饮马模型的应用，勾股定理的应用，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）作点关于河岸的对称点，连接交河岸于点，此时路程最短，牧人应将马赶到河边的点P处； （2）过点作，交的延长线于点，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 理由：作点关于河岸的对称点，连接交河岸于点，连接，则． 因为，此时路程最短， 所以牧人应将马赶到河边的点处． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， 易得． 在中，， ， 所以牧人要走的最短路程是． 40．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值千米 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，掌握轴对称的性质：“对应点到对称轴的距离相等”是解题的关键． （1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，根据“两点之间线段最短”可知点即为到，距离之和最短的点； （2）作的延长线于点，然后根据勾股定理即可得结果． 【详解】（1）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 如图点P即为所求，    （2）解：如（1）图，作的延长线于点， 则， ∵千米，千米，千米， ∴千米， 千米， 在中，， 千米， 的最小值千米． 41．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为．地 城 类型06 平面最短路径（垂线段最短） (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1)供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为 (2)喷泉B到小路的最短距离为 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． （1）首先根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）过点B作，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ 在中， ∴， 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）如图所示，过点B作， ． 答：喷泉B到小路的最短距离为． 42．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，利用“点到直线的垂线段最短”确定最短路线是解题关键． 过点作，先通过垂线段最短明确为最短距离，再设未知数，结合勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】解：如图，过点作，此时为新建路线的最短距离， 设，则， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 即新建路线的最短距离为． 43．如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是掌握垂线段最短和等面积法． 利用勾股定理求出，根据垂线段最短，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短得，当时，的值最小，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值． 故选：A． 44．如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确做辅助线是解题的关键．过点作的垂线，垂足为，把转化成两个直角三角形，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，如图所示：    有题意可得：，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即从地到地的路程将缩短约． 45．如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为、，A，B两村的距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？ 【答案】这条水泥路的最短距离为 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，根据垂线段最短确定这条水泥路的最短距离是解本题的关键； 过点C作，根据垂线段最短可知这条水泥路的最短距离为的长度，利用勾股定理的逆定理得为直角三角形，然后利用面积相等即可求解． 【详解】解：过点C作，垂足为D点， 则这条水泥路的最短距离为的长度， ， 在中，，，， 则，即：， ∴为直角三角形， ∴， 这条水泥路的最短距离为． 46．如图，某工厂前面有一条笔直的公路，原来有两条路，可以从工厂到达公路，经测量，，，现需要修建一条路，使工厂到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．    【答案】图见解析， 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：过点作于点，则线段为新建公路． ，， ，， ， 是直角三角形． ， ， 新建路的长为．    【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键． 47．如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和黄家宝塔B，我区某镇准备开发某桑葚基地C，经测量C位于A的北偏东方向上，C位于B的北偏东的方向上，且 (1)求黄家宝塔B与桑葚基地C的距离； (2)为了方便游客到C采摘桑葚，该镇准备由C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据方向角的定义得出，，由三角形内角和定理求出，则，根据等角对等边求出； （2）首先过点C作，垂足为D，然后在中，利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴黄家宝塔到桑葚基地C的距离为； （2）过点C作于点D 在中，， ∴ ∴ ∵ ，即 即C到公路l的最短距离为 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识．根据条件得出是解题的关键． 48．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP． ①求EP+AP的最小值； ②求2BP+AP的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①，②4 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AD＝AB，只要证明∠B＝60°即可解决问题． （2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF＝PA，推出PE＋PA＝PE＋PF，所以当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE＋PF最短，最小值为线段EF′，求出EF′即可解决问题． ②如图2中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF＝PA，推出2BP＋AP＝2（PB＋PA）＝2（PB＋PF），所以当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB＋PF最短，最小值为线段BF′，求出BF′即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30° ∴AC⊥BD，∠B＝60° ∵DC＝CB， ∴AD＝AB， ∵∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形． （2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′． ∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°， ∴PF＝PA， ∴PE＋PA＝PE＋PF， ∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE＋PF最短，最小值为线段EF′， 在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3， ∴ ， 同理易得： , ∴ ∴EP＋AP的最小值为． ②如图2中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′． ∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°， ∴PF＝PA， ∴2BP＋AP＝2（PB＋PA）＝2（PB＋PF）， ∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB＋PF最短，最小值为线段BF′， 在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4， ∴， ∴ , ∴2BP＋AP的最小值为4． 【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理相关最短路径问题分类训练 （6种类型48道） 1．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为 ．地 城 类型01 圆柱相关最短路径问题 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 3．如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 4．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点B处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 5．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 6．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛（即cm），它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食（cm），已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 （空心钢管壁厚度忽略不计）． 7．如图，已知圆柱的高为，底面圆的半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，那么蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行的最短路程为 ．(参考数据：) 8．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点在上，．一位滑板爱好者从点出发滑到点，则他滑行的最短距离为 ． 9．如图，一只蚂蚁从楼梯上的点处沿楼梯台阶的表面爬到点处，它爬行的最短距离为 m．地 城 类型02 台阶相关最短路径问题 10．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为 ． 11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 12．如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是、、，点A和点是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 ．    13．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ． 14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米． 15．步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 16．如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ． 17．如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．地 城 类型03 长方体相关最短路径问题    18．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在边AB上，且，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 cm． 19．如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是 ．（鱼缸厚度忽略不计） 20．如图，有一个有盖的长方体盒子，它的长、宽、高分别是6，4，4，现有一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到棱的中点P处，设爬行的最短路线长为a，则a的值为 ．（结果保留根号） 21．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm．在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是 cm；此长方体盒子能放入木棒的最大长度是 cm． 22．如图，长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为 ． 23．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 24．如图，两个长方体重叠后靠墙角O放置（其中大长方体的三个面分别与墙面、地面贴合，小长方体的两个面与墙面贴合），已知，，．若一只蚂蚁从A点出发，沿几何体的表面爬行到点（蚂蚁无法在与地面接触的面和靠墙面上爬行），则这只蚂蚁爬行的最短路程是 ． 25．如图是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中长，宽，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ．地 城 类型04 “翻墙”最短路径问题 26．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为的无盖正方体铁盒 不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形爬行，爬到边上再在边上爬行，最后再沿着内壁正方形爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是 ．    27．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 28．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 29．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）． 30．现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 ． 31．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 32．如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ． 33．如下图，小区与公路的距离，小区与公路的距离．已知，现要在公路旁建造一家利民超市，使超市到，两小区的路程之和最短．地 城 类型05 平面最短路径（将军饮马） (1)请在图中画出点，并写出画法． (2)求的最小值． 34．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 35．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 36．如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为，，，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使得到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离． 37．阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 38．如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 39．如图，一牧人在A处牧马，牧人的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是，且C，D两地间的距离为500m，牧人准备从A处出发将马牵到河边去饮水，再赶回家． (1)为了使所走的路程最短，牧人应将马赶到河边什么地点？请你在图中画出来并说明理由； (2)请求出牧人要走的最短路程． 40．如图，小河的同一侧有，两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为千米，千米，千米，要在小河上，之间修建一座小型发电站，使它到，两个村庄的距离之和最短．    (1)请在图中画出的位置； (2)求这个最短距离． 41．如图：某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为，现要为喷泉铺设供水管道和，供水点M在小路上，供水点 M 到的距离的长为，的长为．地 城 类型06 平面最短路径（垂线段最短） (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路的最短距离． 42．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 43．如图，在中，，若P是上的一个动点，则的最小值是（     ）     A． B．15 C． D．16 44．如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到，参考数据，） 45．如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为、，A，B两村的距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？ 46．如图，某工厂前面有一条笔直的公路，原来有两条路，可以从工厂到达公路，经测量，，，现需要修建一条路，使工厂到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．    47．如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和黄家宝塔B，我区某镇准备开发某桑葚基地C，经测量C位于A的北偏东方向上，C位于B的北偏东的方向上，且 (1)求黄家宝塔B与桑葚基地C的距离； (2)为了方便游客到C采摘桑葚，该镇准备由C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号） 48．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP． ①求EP+AP的最小值； ②求2BP+AP的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $