广东深圳市光明区光明中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期高二年级期末测试--数学 时长： 120 分钟 分值： 150 分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等比数列中，，，则公比(    ) A. B. C. D. 2.已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于(    ) A. B. C. D. 3.若为等差数列，则“”是“)”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.如图，在四面体中，为的中点，，且为的中点，则(    ) A. B. C. D. 6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.数列满足：，若，则数列的前项的和为(    ) A. B. C. D. 8.过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点、均在轴右侧已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.记为等差数列的前项和，已知，，则(    ) A. 的公差为 B. C. 有最小值 D. 数列为递增数列 10.已知圆：，直线：则以下命题正确的有(    ) A. 圆被轴截得的弦长为 B. 直线恒过定点 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 11.点为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，则(    ) A. 抛物线的准线为 B. C. D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为        ． 13.已知两个等差数列，，，，及，，，，，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为           ． 14.已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为       ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆经过，，三点． 求圆的方程； 设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程． 16. 本小题分 已知椭圆经过点，其离心率． 求椭圆的方程 过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的面积． 17. 本小题分 设是首项为的等比数列，数列满足已知，，成等差数列． 求和的通项公式； 记和分别为和的前项和．证明：． 18. 本小题分 如图，在四棱锥中，平面，是上的点，且． 证明：平面平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 本小题分 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且, 过的直线交抛物线于，两点． 求抛物线的方程； 是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不在，请说明理由； 证明：内切圆的面积小于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二年级期末测试--数学 时长： 120 分钟 分值： 150 分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等比数列中，，，则公比(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：等比数列中，，， 则，所以．故选：． 2.已知向量为直线的方向向量，为平面的法向量，若，则实数等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为直线垂直平面，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，则，即，解得． 故选：． 3.若为等差数列，则“”是“)”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】解：设数列的公差为， 若等差数列为常数列，则任意的，都有， 所以由不能推出； 若，则，， 所以，即由可以推出； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 4.已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】解：因为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得舍去， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得，故椭圆的长轴长为． 故选：． 5.如图，在四面体中，为的中点，，且为的中点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，  ． 故选：． 6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或舍去， 即的最小值为． 故选：． 7.数列满足：，若，则数列的前项的和为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 当时，， 两式相减可得，即， 也满足上式，， ， 数列的前项的和为 ． 故选：． 8.过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点、均在轴右侧已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为，在轴右侧，不妨设在第一象限． 如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得， 又，所以，又， 所以，所以， 从而可得． 故选D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.记为等差数列的前项和，已知，，则(    ) A. 的公差为 B. C. 有最小值 D. 数列为递增数列 【答案】BC  【解析】解：设公差为， 则，解得，故A错误； ，故，故B正确； ， 所以，当时，取到最小值，故C正确 令，则，故数列不是递增数列，故D错误． 故选BC． 10.已知圆：，直线：则以下命题正确的有(    ) A. 圆被轴截得的弦长为 B. 直线恒过定点 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】AC  【解答】 解：对于选项A，在圆方程中令，得，， 轴上的弦长为，正确； 对于选项B，直线：整理得， 由，解得， 直线过定点，B不正确； 对于选项C，直线过定点，则， 定点在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 对于选项D，直线被圆截得弦最短时，直线且， ，则直线方程为，即，D错误． 故选：． 11.点为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，则(    ) A. 抛物线的准线为 B. C. D. 面积的最小值为 【答案】BCD  【解析】解：易知抛物线的准线方程为，故选项A错误； 设过点的直线的方程为， 联立，消去并整理得，则，，故选项B正确； 联立，消去并整理得，则， 此时，即，故选项C正确； 易知直线的斜率不为，，由直线的方程为， 可知点到直线的距离为，又，， 则， 所以， 当直线与轴垂直时，，，此时， 则，故选项D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为        ． 【答案】 【解析】解：根据题意设椭圆的标准方程为， 则，解得：，， 所以椭圆的标准方程为， 13.已知两个等差数列，，，，及，，，，，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为          ． 【答案】  【解析】解：等差数列，，，中，公差，  等差数列，，，，中，公差， ，的最小公倍数是， 由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差， 新数列最大项， ， 解得 ， 新数列中第项 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： ，，，， 各项之和为 ． 故答案为： 14.已知正三棱锥的侧棱两两垂直，，若空间中的动点到顶点的距离为，则平面截点的轨迹所得曲线的周长为       ． 【答案】  【解析】解：设点在底面内的射影为点，连接、、， 那么为等边的中心， 由于正三棱锥的侧棱两两垂直，，那么， 那么三角形是边长为的等边三角形， 根据正弦定理可得，则， 因为平面，、平面，那么，， 因此，那么， 因此平面截点的轨迹所得曲线是以点为圆心，半径长为的圆， 因此平面截点的轨迹所得曲线的周长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆经过，，三点． 求圆的方程； 设点在圆上运动，点，且点满足，求点的轨迹方程． 【答案】解：设圆的方程为，..............1分 将三点，，分别代入得： ， ..............2分 即，解得， ..............5分 所以圆的方程为：； ..............6分 设，， ..............7分 则有，， 因，于是得， 即， ..............10分 又点在圆上运动，则， 即， 整理得：， 所以点的轨迹方程为． ..............13分 16. 本小题分 已知椭圆经过点，其离心率． 求椭圆的方程 过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的面积．． 【答案】解：由已知， ..............2分 解得，， ..............4分 所以椭圆的方程为； ..............5分 由题意可知直线的斜率一定存在， 则可设直线的方程为，设． ..............6分 联立：，化简得： ..............7分 则，， ..............8分 记点为点，= ..............10分 解得． ..............13分 ，..............14分 代入得：． ..............15分 17. 本小题分 设是首项为的等比数列，数列满足已知，，成等差数列． 求和的通项公式； 记和分别为和的前项和．证明：． 【答案】解：，，成等差数列，， ..............1分 是首项为的等比数列，设其公比为， 则， ..............2分 ， ..............3分 ， ..............4分 ． ..............5分 证明：由知，， ， ..............7分 ， ， 得，， ， ..............13分 ， ．  ..............15分 18. 本小题分 如图，在四棱锥中，平面，是上的点，且． 证明：平面平面； 求平面与平面夹角的余弦值； 在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：因为平面平面 所以． ..............1分 、均在平面内，平面..............2分 ． ..............3分 又因为、均在平面内， 平面，..............4分 平面，所以平面平面． ..............5分 平面两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，..............6分 则， 因为是上一点，所以设， 得，即， 又因为所以， 解得，， ..............8分 ， 设平面的法向量为，则，即 令，则， ..............9分 设平面的法向量为，则，即 令，则， ..............10分 设平面与平面的夹角为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． ..............12分 假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则， ..............13分 由知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离是， ..............15分 ，所以存在点满足题意，此时 ..............17分 19. 本小题分 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且, 过的直线交抛物线于，两点． 求抛物线的方程； 是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不在，请说明理由； 证明：内切圆的面积小于． 解：设点，则，所以． 将代入，可得， 所以抛物线的标准方程为 ..............6分 设直线的斜率为，则直线方程为，设，， 联立方程，消去得， 由得且， ，， ， ，即存在实数满足要求． ..............12分 证明：由知，， ， 点到直线：的距离， ， 记的内切圆半径为，， ， 内切圆的面积小于．  ..............17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $