专题12 双曲线（热点专练）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题12 双曲线 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：双曲线的考查以填空题形式为主。解答题一般是综合题，涉及多个知识的综合应用，运算过程复杂，难度较大。双曲线内容是上海高考的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值一般为 5 - 17 分。 预测2026年：继续考查双曲线的定义、性质（如离心率、渐近线等）、直线与双曲线的位置关系等，能够联立直线与双曲线方程，利用韦达定理等知识解决弦长、交点坐标等问题。 题型01双曲线的定义及应用 题型02双曲线的标准方程 题型03双曲线的渐近线 题型04双曲线的离心率 题型05与双曲线有关的范围(最值) 题型07直线与双曲线的位置关系 题型08双曲线中弦长、中点弦问题 题型09双曲线中的向量问题 题型01双曲线的定义及应用 解｜题｜策｜略 双曲线定义的应用 （1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； （2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立关于｜PF1｜·｜PF2｜的方程. 1.过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 2.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝ . 3.已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型02双曲线的标准方程 解｜题｜策｜略 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值. 5.经过点的双曲线的标准方程为 ． 6.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 7.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 8.双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 9.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型03双曲线的渐近线 解｜题｜策｜略 求双曲线渐近线方程的方法 （1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； （2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； （3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 10.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 11.若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 12.已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型04双曲线的离心率 解｜题｜策｜略 求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 13.若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为 . 14.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 15.已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 16.双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 17.设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型05与双曲线有关的范围(最值) 解｜题｜策｜略 与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法 （1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解； （2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. 18.已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为 ． 19.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 20.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07直线与双曲线的位置关系 解｜题｜策｜略 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 21.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 22.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ． 23．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 24．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 题型08双曲线中弦长、中点弦问题 解｜题｜策｜略 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 25.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 26.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 27.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 28.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值． 题型09双曲线中的向量问题 解｜题｜策｜略 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 29．设椭圆上一点P到左焦点F的距离为4，若点M满足，则 . 30．双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 31．已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，直线与圆相切于点且，其中分别为双曲线的左､右焦点，则的面积为 ． （建议用时：40分钟） 1．（2025·上海·模拟预测）双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 . 2．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 3．（2026高三下·上海宝山·期中）已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ． 4．（2026·上海闵行·二模）已知双曲线的实轴为，对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为 ； 5．（2026·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 6．（2026·上海普陀·二模）设，则双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·上海嘉定·三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海宝山·月考）已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 双曲线 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：双曲线的考查以填空题形式为主。解答题一般是综合题，涉及多个知识的综合应用，运算过程复杂，难度较大。双曲线内容是上海高考的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值一般为 5 - 17 分。 预测2026年：继续考查双曲线的定义、性质（如离心率、渐近线等）、直线与双曲线的位置关系等，能够联立直线与双曲线方程，利用韦达定理等知识解决弦长、交点坐标等问题。 题型01双曲线的定义及应用 题型02双曲线的标准方程 题型03双曲线的渐近线 题型04双曲线的离心率 题型05与双曲线有关的范围(最值) 题型07直线与双曲线的位置关系 题型08双曲线中弦长、中点弦问题 题型09双曲线中的向量问题 题型01双曲线的定义及应用 解｜题｜策｜略 双曲线定义的应用 （1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； （2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立关于｜PF1｜·｜PF2｜的方程. 1.过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 . 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：， 所以，，而， 故，故的周长为. 2.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝ . 【答案】1 【解析】法一:　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点， 则 从而c2＝a2＋4，又，从而a＝1. 法二:　由题意得，，得b2＝4， 又且c2＝a2＋b2，所以a＝1. 3.已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以． 结合为线段的垂直平分线，可得， 所以． 同理，当点在轴右侧时，． 故点的轨迹是双曲线，其方程为．故选B 4.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动圆的半径为r，则，，则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．故选C． 题型02双曲线的标准方程 解｜题｜策｜略 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值. 5.经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设双曲线的方程为，因为所求双曲线经过点， 所以解得，故所求双曲线方程为. 6.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 【答案】 【解析】法一：椭圆的焦点坐标是(±，0). 设双曲线标准方程为(a＞0，b＞0) 因为双曲线过点P(2，1)， 所以，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1， 所以所求双曲线的标准方程是 法二：设所求双曲线标准方程为(1＜λ＜4)， 将点P(2，1)的坐标代入可得， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线标准方程为 7.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 8.双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的焦点为， 所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即， 所以，故双曲线的标准方程为，故选A 9.双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为.故选：A 题型03双曲线的渐近线 解｜题｜策｜略 求双曲线渐近线方程的方法 （1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； （2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； （3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 10.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 【答案】4 【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得， 又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距. 11.若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【答案】 【解析】双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 12.已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即，故选B. 题型04双曲线的离心率 解｜题｜策｜略 求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 13.若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知双曲线方程为，所以，，， 因为离心率小于3，所以，所以. 14.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【解析】由结论通径为，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 15.已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 16.双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于另一象限点为P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2.故选A 17.设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可作图如下： 由双曲线，则渐近线方程为，右焦点，， 易知，，在中，， ∵， ∴，∴离心率，故选：D. 题型05与双曲线有关的范围(最值) 解｜题｜策｜略 与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法 （1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解； （2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. 18.已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，设，则， ， ，化简得 ，因为满足双曲线方程，所以，因此可得： ，由 得 ，又，所以 . 19.已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设右焦点为，则，则，依题意有， ，（当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9.    20.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，不妨设点在的右支上， 由双曲线的定义可得，即， 由，可得，即， 又由的最小值为（当点P为双曲线右顶点时取得最小值），可得， 即．当，即时，显然成立； 当，即时，，可得． 综上可知，双曲线的离心率的取值范围为，故选D. 题型07直线与双曲线的位置关系 解｜题｜策｜略 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 21.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【答案】2（满足皆可） 【解析】，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点” 所以，又因为，所以， 22.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】把代入，得，化简得， 设直线与双曲线的右支交于不同的两点。 由题意知，即，解得． 23．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】0 【解析】如图： 双曲线的渐近线方程为. 过原点的直线中，若斜率，则直线与双曲线有两个交点； 若或或直线斜率不存在，则直线与双曲线无交点. 所以过且与双曲线有且只有1个交点的直线不存在. 即满足条件的直线有0条. 24．直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 题型08双曲线中弦长、中点弦问题 解｜题｜策｜略 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 25.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长，故选D 26.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 27.已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 28.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于A，两点，求的值． 【解】（1）解：设所求双曲线方程为， 代入点得：，即， 双曲线方程为，即； （2）解：由（1）知：，， 即直线的方程为， 设，， 联立，得， 满足，且，， 由弦长公式得. 题型09双曲线中的向量问题 解｜题｜策｜略 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 29．设椭圆上一点P到左焦点F的距离为4，若点M满足，则 . 【答案】3 【解析】由椭圆得，， 设椭圆的右焦点为，则，又点P到左焦点F的距离为4，所以， 因为，则M为的中点，又O为的中点， ∴，即3. 30．双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 31．已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，直线与圆相切于点且，其中分别为双曲线的左､右焦点，则的面积为 ． 【答案】9 【解析】如图，连接，因为两点关于原点对称， 所以的面积等于的面积．直线与圆相切于点，则． 因为，所以为的中点，又为的中点，所以，则．由双曲线得：． ，则． 因为，所以，所以 ， 所以，故的面积等于，即的面积为9． （建议用时：40分钟） 1．（2025·上海·模拟预测）双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【解析】根据双曲线的定义可得：，所以. 又，所以. 所以双曲线的离心率为：. 2．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】设所求方程为，由题意，， ，所以， 故所求双曲线的方程为，则的渐近线方程为. 3．（2026高三下·上海宝山·期中）已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】对于直线：，令，解得，所以双曲线的一个焦点为， 双曲线的渐近线为， 依题意且又，解得，， 所以双曲线方程为； 4．（2026·上海闵行·二模）已知双曲线的实轴为，对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为 ； 【答案】 【解析】对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得， 当点位于原点时，则要，才能满足要求， 所以，设渐近线与x轴的夹角为，则， 因为，则双曲线的两条渐近线夹角为， 5．（2026·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 【答案】4 【解析】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 6．（2026·上海普陀·二模）设，则双曲线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，所以，双曲线的标准方程为， 所以该双曲线的焦点在轴上，且，，则， 因此该双曲线的焦点坐标为.故选：B. 7．（2026·上海嘉定·三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为，所以， 则， 所以当时取得最小值为， 依题意恒成立，所以， 即，化简整理得，， 即，又，所以，解得. 故选：C 8．（2026·上海宝山·月考）已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 【解】（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c， 则c＝2，，a＝1， 所以b2＝c2﹣a2＝3， 故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　    双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　     （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程， 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*）                   △＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1，x2是方程（*）的两个根，所以， 又由，可知x1x2+y1y2＝0， 即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得， 故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得， 所以直线l方程为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $