广东省肇庆市鼎湖中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

肇庆鼎湖中学2026届高二级5月月考 数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求。 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=22,则a+a,+a=() A.18 B.12 C.9 D.6 2.下面求导正确的是() Aay-号 B.(cosx)'=sinx C.(log:x)=-1 D.(3)=x.3-1 xln2 3.a∈N,且a<27,则(27-a)(28-a)…(34-a)等于( A.A4。B.A C.Aj-a D.A-a 4.等比数列{an}的各项都为正数，且aa6+a4a,=18,则1og,41+log,42+…+1og;a0 等于() A.12 B.10 C.8 D.30 5.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中，要求相邻的矩形涂 色不同，则不同的涂法有() A.72种B.48种C.24种D.12种 B 6.函数f(x)=(e*-e)x2的图象大致为() D B 7.用0,1,2,3,4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法正不正确 的是( A.共有96个数 B.偶数有60个 C.大于31000的数有24个 D.数字2和数字4不相邻的数有60个 8若a=eb=ln2,c= 5,则() A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分. an+1,n为奇数 9.已知数列an}满足a1=2,an+1= a,+3,n为偶数’记6，=41，则() A.b=3 B.b2=6 C.b-b=4 D.b.=4n+2 10.若函数f)式+f0r+了，则( A.f(1)=1 B.f(x)有两个极值点 C.曲线y=f(x)的切线的斜率可以为-2 D.点(1,1)是曲线y=f(x)的对称中心 11.下面正确的是（) A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法： B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有5种不同的放法： C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法： D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法。 2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12.曲线f(x)=x2lnx-2x+2在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为 13.从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有 种 14.若函数f(x)=x+anx在区间(1,2)内存在单调递减区间，则实数a的取值范 围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分)已知(2x+ 2 (1)求各项的系数和： (2)求展开式中的常数项： (3)求二项式系数最大的项 16.(15分)已知函数f(x)=1+alnx-x(a∈R) (1)当a=2时，求f(x)的极值： (2)讨论f(x)的单调性. 17.(15分)已知等差数列{an}的公差不为0，其前n项和为Sn,S=25,且a,a2,a5 成等比数列 (1)求{an}的通项公式： An (2)设bn= a,记数列f6,}的前n项和为，若工≤㎡+m对任意neN恒 成立，求m的取值范围. 3 18.(17分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2a,-3. (1)求{an}的通项公式： 2)若b,=”之，求数列1b,的前n项和工。 (3)在(2)的条件下，若kb,+3T,≥8对任意n∈N恒成立，求实数k的取值范围. 19.(17分)己知函数f(x)=e-ax+cosx-2. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围： (3)当a>1时，判断f(x)在(0，+o)零点的个数，并说明理由.肇庆鼎湖中学2026届高二级5月月考数学答案 1.D2.C3.A4.B5.A 6.C7.C8.B9.BC10.BD11.AC 12.a=3n 41 13.180种. 14.(-00,-1) &.【详解】a=l血e,b-h2_h4 e 24 设f)=血xx>0),则r=1-1nx x2 当0<x<e时，则f(x)>0,f(x)单调递增，当x>时，则f(x)<0,f(x)单调递减， ∴.f(e)>f(4)>f(5),即a>b>c,故选：B 10.【解析】选项A,由题意得(x)=x2+2f(1)x, 所以∫(1)=1+2∫(1)，解得(1)=-1，A错误： 选项B.由r0=-1,则到=-+}()=-2x=x-2引. 由f(x)=0得x=0,或x=2,则当x<0或x>2时，f(x)>0:当0<x<2时，(x)<0, 所以f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减， 则当x=0时，f(x)有极大值：当x=2时，f(x)有极小值.所以f(x)有两个极值点，B正确： 选项C,f(x)=x2-2x=(x-1)2-12-1, 所以曲线y=f(x)的切线的斜率不可能为-2，C错误： 选项D,因为+0-)+号-户e-x 写-r+号+8+62-12x-(4-4x++写=2 所以点(1,1)是曲线y=f(x)的对称中心，D正确. 故选：BD 11【解析】解：A.将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1， 然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为 B每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子 中，盒子可空，不同的放法种数为3=243种：C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中， 没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，所以，不同 1 的放法种数为C?=6种：D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在8个相同的小球中 间所形成的7个空位中插入2块板即可，所以，不同的放法种数为C?=21种 15.【详解】(1)令x=1,各项的系数和：(2+2)=4°=4096 (2)设展开式中常数项为第r+1项，即1=C(2y子 2Y =Cg-2r7,0≤rs6,reN, 令6-3=0，得r=4,T4=2Cg=960 (3)由题可得，展开式中最大的二项式系数为C2=20, 展开式中二项式系数最大的项为第4项，即T,=C(2x =1280x2, 二项式系数最大的项为1280x2· 16.【小问1详解】 当a=2时，则f(x)=1+2lnx-x, 可知f()的定义域为(0，+o),且f(x)=2-1=2-x。 令fx)>0,解得0<x<2:令f(x)<0,解得x>2: 可知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，+∞)内单调递减， 所以f(x)的极大值为f(2)=2ln2-1,无极小值 【小问2详解】 由题意可知：f(x)的定义域为(0，+o),且了(x)=a-1=a-x, 若a<0,则f(x)=a二x<0,可知f(x)在(0，+∞)内单调递减： 若a>0,令f(x)>0,解得0<x<a:令f(x)<0,解得x>a; 可知f(x)在(0，a)内单调递增，在(a,+oo)内单调递减： 综上所述：若a≤0，f(x)在(0，+o)内单调递减： 若a>0,f(x)在(0，a)内单调递增，在(a,+oo)内单调递减. 17.【解析】(1)设数列an}的公差为d,且d≠0，依题意得： 2 a ads (a,+d)}=a(a+41) a=1 S=25 51=25 ,解得 5a1+ d=21 ∴.an=1+2(n-1)=2n-1. 4n 4n 1[111 (2)b=a2m-1-(2n+22n-y(2m+J ∴.Tn=b+b2+b3+..+bn 1「 1- (2n+1) 1 1 7<2m+2m≥2’小m≤-1或m之2 2 18.【详解】(1)因为数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-3, 所以当n=1时，a1=S,=2a-3→4=3， 当n≥2时，an=Sn-Sn1=(2an-3)-(2an-1-3)→an=2an-1, 所以数列{an}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为an=3×2-1. (2)由(1)b,=”+2-n+2 0n3×2-, 所以数列(b,}的前n项和工。- 3x2+4 1.1 +5x+a+0a+2水 所以， 1「，1 1 33x2+4x 3× 所以 1 3× 3 1- 1 1-2 3x2品+382+8 (3)由(2)若仙，+37，≥8对任意neN恒成立，则k,”+2 33×2" ≥8对任意neN 恒成立，即k≥3n+2=3+6,对任意mEN恒成立， n+2 n+2 、因为y=6为(0，+o)上的减函数，所以(3+2三3 3+02=5,所以k25 19.【解析】(1)由f(x)=e-ax+cosx-2可得f'(x)=e-a-sinx, 此时切线斜率为f'(0)=e°-a-sin0=1-a,而f(0)=e°-0+cos0-2=0: 所以切线方程为y-0=(1-a)(x-0),即y=(1-ax: 即曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=(1-a)x: (2)根据题意，若f(x)在(0，+o)上单调递增， 即可得f(x)=e-a-sinx≥0在(0，+oo)上恒成立，即a≤e'-sinx恒成立： 令g(x)=e-sinx,xe(0,+o),则g(x)=e-cosx,x∈(0，+oo): 显然e*在x∈(0，+oo)上满足e>e°=1，而cosx≤1恒成立，所以g(x)=e-cosx>0在 x∈(0，+∞）上恒成立： 即g(x)=e-sinx在x∈(0，+o)单调递增，所以g(x)>g(0)=1; 所以a≤1即可：因此实数a的取值范围为(-o,1] (3)令f(x)=e-ax+cosx-2=0,即可得e+cosx=ar+2; 构造函数h(x)=e+cosx,x∈(0，+o),易知H(x)=e-sinx>0 在(0，+∞)上恒成立， 即h(x)在(0，+∞)上单调递增，如下图中实曲线所示： 又函数y=ax+2恒过(0,2)，且h(0)=e°+cos0=2, 易知(0)=e°-sin0=1,所以函数h(x)=e*+cosx在(0,2)处的切线方程为y=x+2: 又a>1,所以y=ax+2(图中虚线)在(0，+o)范围内恒在y=x+2(图中实直线)的上方： 所以由图易知y=ax+2与h(x)=e+cosx在(0，+o)范围内仅有一个交点， 即函数f(x)在(0，+o)内仅有一个零点.