剖析数列中结构不良性问题-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

剖析数列中结 ■河北省张家口市 结构不良性问题对发挥数学在高考中的 选拔功能具有重要作用，其给予同学们充分 的选择空间，考查同学们对数学本质的理解， 引导同学们重视培养数学核心素养，避免“机 械刷题”现象。结构不良性问题比开放性问 题的范畴更广，对数学理解能力、数学探究能 力的考查是积极和深刻的。下面从几个角度 来突破结构不良性问题的瓶颈。 突破一：先定后动 此类问题，一般先利用数学知识对“定” (确定的条件)进行分析推断，得出一部分结 论，再观察分析“动”（给定选项的条件），然后 结合题干要求选出最优条件（最熟悉，能发挥 自己优势，容易拿分)进行解答。 例1在①a1=2,a+1-a?=3(am> 0,n∈N"),②Sn=n2-2n+3(n∈N*),S 为{an}的前n项和，这两个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并解答下列问题。 已知数列{an}满足一。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)对大于1的正整数，是否存在正整 数m,使得a1,a,,am成等比数列？若存在， 求出的最小值；若不存在，请说明理由。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一 个解答计分。 解析：(1)选择条件①。由a+1一a?=3, a1=2,得{a}是首项为4，公差为3的等差数 列，则a?=3n十1。 又am>0,故an=√3n十1。 选择条件②。由Sm=n2-2n十3，可得 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=2n-3。 当n=1时，a1=2不满足上式。 2,n=1, 所以an= 2n-3,n≥2。 (2)选择条件①。假设存在满足题意的 正整数m,使得a1,an,am成等比数列，则a =a1am,即3n+1=2√3m+I,即m= 3n2+2n-1 4 解微型新题喷押器晋中学生表理化 构不良性问题 一中学郭晓燕 因为n∈N"且n>1,m∈N",所以当 n=3时，mmim=8。所以存在正整数m,使得 a1,amam成等比数列，m的最小值为8。 选择条件②。假设存在满足题意的正整 数m,使得a1,an,am成等比数列，则a= alam 当m=1时，a:=4,即(2n一3)2=4，此 时n无正整数解。当m≥2时，(2n-3)2= 2·(2m3),即m=n-3m+5。 因为n∈N,所以n-3m+5不可能为 正整数，即不存在正整数m,使得a1,an,am 成等比数列。 点评：本题是初始状态呈现不确定性的 结构不良性问题，试题设计了两个开放性的 可选择的条件，选择不同的条件，解题的难度 是有所不同的。 突破二：先动后定 此类问题，当利用数学知识对“定”（确定 的条件)进行分析椎断，不容易得到明确的结 论时，必须观察分析“动”（给定选项的条件）， 经过分析推理先得到有利于解题的结论，再 结合“定”的条件进行作答。 例2设等差数列{an}的前n项和为 Sn,已知a1=1,S；=15。 (1)求{a,}的通项公式； (2)设数列{bn}的前n项和为Tm,从条 件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个 作为已知，使得数列{bn}唯一确定，求b,。 条件①：Tn+1=Tm十an；条件②：T,= 2b。一7；条件③：T。=2-1。 解析：(1)设等差数列{am}的公差为d。 由S,=a+g)X5-15,得a1+a: 2 6,所以a5=6-a1=5。 由as=a1+4d=1十4d=5,得d=1。 所以am=a1+(n-1)d=1+n-1=n。 (2)选择条件①。由Tm+1=Tn十an= 47 中学生表理化然氨学新降程衡 T,十n,得Tm+1一Tm=n。 当n=1时，T2-T1=b2=1。 当n=2时，T3一T2=b=2。 因为Tm+1一T,=b+1=n,但b1的值未 知，所以满足条件①的数列{b}不准一。 选择条件@。工，=2弘，7=2b。-1。 当n=1时，b1=2b1一1，解得b1=1。 当n≥2时，由T。=2bn一1，得Tm-1 2bn-1一1。两式相诚可得bn=2bn一2bn-1,即 b,=2bm-1。所以{bn}是以1为首项，2为公 比的等比数列，则bn=2”-1。 所以选择条件②使得数列{b,}唯一确 定，且bn=2”-1。 选择条件③。Tn=2"一1=2”一1。 当n=1时，b1=T1=1。 当n≥2时，bn=T.一Tm-1=2”-1一 (2m-1-1)=2”-1。当n=1时，b1=1也满足 上式。 所以选择条件③使得数列{b,}唯一确 定，且bn=2”-1。 点评：因为从“定”的条件出发，无法找到 求解本题的有利条件，所以就从“动”的条件 出发，通过分析先推导出有利的条件，再结合 “定”的条件，从而解决问题。 突破三：先猜后证 高考试题在命制时，问题的初始状态虽 然以同学们熟悉的内容为基础，但常立足于 知识交汇，体现数学思维的创新。当知识的 联结和解题模式超出同学们已有的经验时， 解决问题的操作模式就会变得模糊和不确 定，这时需要创造性地建构解题路径，探寻解 题的方法。 例3甲、乙两名同学在复习时发现他 们曾经做过的一道数列题目因纸张损坏，导 致一个条件看不清，具体如下：等比数列{an} 的前n项和为Sn,已知一。 (1)判断S1,S,,S3的关系并给出证明； (2)若a-a,=3,设6，=是a,,(b, 的前n项和为工，证明：工<号 48 甲同学记得缺少的条件是首项a1的值， 乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且 他俩都记得(1)问的答案是S,,Sa,S2成等差 数列。 如果甲、乙两名同学记得的答案是正确 的，请通过推理把条件补充完整并解答此题。 瓶颈突破：以等比数列{an}的前n项和 为S,,S1,S,S,成等差数列作为突破口，寻 求首项或公比的值，从而解决问题。 解析：(1)补充的条件为9=一2。S1, S2,S?的关系为S1,S,S2成等差数列。证 明如下。 由题意可得S1=a1,S,=a1十a2=a1一 1 1 2a1=2a1,S=a1+a,十a:=a1-2a1十 1 3 4a1 =a1。故S+S,=2S1,则S1,S,S, 成等差数列。 (2)由a1-a,=3,可得a1-4a1=3,解 得a=4a.=4×(-2)。故么.=是a. =x()》=故工=号× 号(×+2×+3×6+…+n×2): 两式相减可得工，一号（+++6+… 「0-边 1 1- 因为n∈N11,所以I<分 ,点评：此类问题是目标界定不明确的结 构不良性问题，以结论为条件，将目标状态进 行转化，寻求缺失条件，既合乎常规，又具有 突破，具有很强的开放性和浓厚的探究味道， 要注重思维的灵活性及解题策略选择。 (责任编辑徐利杰)