数列问题相约“2026”-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

中学生款理化餐整盘学经典婴破方志 数列问题相约 “2026” ■甘肃省兰州市第二十七中学 康娟 数学题的命制离不开数字，将年份巧妙 ka 地编进数学题目，早已成为数学题中一道亮 kam-1十2a ,整理可得ka:一kam+1an-1= 丽的风景，使数学题增添了几分趣味。时值 2 2a,+1a得aa,+1a三方a1a,即a 2026年伊始，数列问题相约“2026”，下面与 an+l 同学们共赏。 an =右。又a1=2,a:=k,所以=2 一、求数列的通项 例1已知数列{an}的首项a1=2026, 故{}是以是为首项，是为公差的等 前n项和Smn满足Sn=nan,则a22s=()。 差数列，所以a。= 2n 1 1 a+1k=1013° A.2026 B.2027 1 当1≤n≤1012时，a am<1,即an< C.1013 2 D.2027 解析：因为Sn=nam,所以Sm-1=（n a+1:当n=1013时，a1=1,即a1= a101u 1)2an1(n≥2)。 a1u1；当n≥1014时，a1>1,即a,>a+1。 两式相减得am=nam一(n一1)2an1,所 an+1 以。=n-1 所以a1<a2<…<a1o2<a113,a1o13= n+i(n≥2). a111,且a111>a115>…,故{a,}中的最大项 所以0n.a.….a.a2=n-1 为a1o18和a114。故选B。 an-1 an-2 a2a1n十1 点评：本题记k=2026,由条件整理得出 ”2.…3·2+nn+D 3-12-12 am的通项公式，分析当1≤n≤1012时， an+i! 则= n(n十1（n≥2)，所以a, 2 当n=1013时和当n≥1014时的情况，即可 得出{an}中的最大项为a1o13和a1o1。解答 4052 n(n+1)(n≥2)。 的关键是应用作商法确定数列的单调性。 2 三、数列求和问题 所以aas=2027。故选D。 例3已知S,是数列{b,}的前n项 点评：本题先根据Sn=na,得到Sn-1= 和，若(1-2x)202=a0十a1x十a2x2十…十 (n-1)am-1,再两式相减得到an=nan (n-1)a-1,即a,=n-1 a:wm,数列h的首项么-号+学+号 am-1n十1 (n≥2)，然后应 a2026 用累乘法即可求出数列{an}的通项公式。 十…+ 25,b,+1·b,=2”(n∈N),则S2a8 二、求数列的最大项 =( )。 例2已知在数列{an》中，a1=2,a2= A.-3-2101 B.-2-3×21o12 2026a C.2-3×2112 D.3-3×2118 2026,an+1= 2026am-1+2a (n≥2)，则{an} 解析：当x=0时，a。=1。 中的最大项是( )。 A.a1012 B.a1o13和a1o11 22028 C.a2 D.a2025 0,所以b1=一a。=-1。 解析：记k=2026,由题意得am+1= 又b2·b1=2,所以b2=一2。 32 器脑数餐聚方清中学生表理化 bn+1·bm=2”, 又f(n)=4”单调递增，且45=1024 因为 bn+2·bn+1=2m+1, 以=2， 2026,4=4096>2026,所以满足4”≥ S2026=b1+b2十b3十b1十…十b202m 2026的n的最小值为6。 =(b1十b3十…十b22s)十(b2十b1十…十 点评：本题由等边三角形及其面积可知数 b202s) 列《S。}为等比数列，根据等比数列求和公式解 (-1)×(1-213)1(-2)×(1-2113) 不等式即可。求解时需注意n是正整数。 1-2 1-2 五、数列新定义问题 =3一3×21。故选D。 ,点评：本题先采用赋值法，分别将x=0 例5若数列1a,}满足1-1=dn∈ an+l an 1 和x=2代入已知等式，求解出b1的值，再 N”,d为常数)，则称数列{an}为调和数列。已 根据b1·b。=2(n∈N)得出b。=2,然 知数列为调和数列，且c十x十x十十 x26=4052,则x1十x20的最大值为一。 后利用等比数列求和公式得出答案。 四、数列不等式问题 解析：因为数列已》 为调和数列，所以 例4如图1，正 x+1一x员=d,故{x}为等差数列。 三角形ABC的边长为 由x1十x号+x号十…十x2s=4052,得 1,取BC边的中点E, (x+xies)×2026=4052,所以xi十zim 作正三角形BDE,取 DE边的中点G,作正 =4。 三角形DFG,如此继 图1 又x1十x5026≥2x1x202s,故x1x202s≤2， 续下去，可得到一系列三角形：△ABC, 当且仅当x1=x2026=√2或x1=x2028=一② △BDE,△DFG,…,记这些三角形的面积分 时取等号。 别为S1,S2,S,…。若S1十S,十…十Sn≥ 则(x1十x226)”=x1十x226十2x1x22s= 675√5 2026,则n的最小值是。 4十2x1x2026≤8，当且仅当x1=x22%=√2时， x1十x226取得最大值，且x1十x226的最大 解析：已知正三角形ABC的边长为1， 值为2√2。 1 点评：由题意可判断出{x}为等差数列， 先利用等差数列的性质得x员十x2=4,再 取中点作正三角形，可得S.S。1,所以 利用基本不等式即可求得答案。本题以新定 义数列的形式考查等差数列的性质和基本不 数列S,是以S-气为首项，寻为公比的等比 等式的应用。 数列即s(仔)-5·（仔）广 练习题 1.已知数列{an}满足a1=1,且对任意的 -门 n∈N”,都有anan+1=2”,则a2o26=()。 所以S1十S2十…十S A22026B.22021C.21013D.21o12 1- 解析：由题意知，a,=兰=2，且a,a, a --()门 2+,则2±=2。所以数列{a,}的偶数项是首项 an 则-任门≥装，化简可得 为2，公比为2的等比数列，则as=2,k∈N”, 所以a2o26=2oB。故选C。（下转第35页) 4"≥2026，n∈N"。 33 高二数锌典突翠方清中学生数狸化 解题篇经典题突破方法 6000000000000000000000000000000005000000000000000000000000000000000000000000000000000000000006000000000000 (上接第33页) 2.已知数列{a,}的通项公式为a,= 3.若一个数列的第m项等于这个数列 2n一1，其前n项和为Sn,则数列{（一1）”· 的前m项的乘积，则称该数列为“m积数 S,}的前2026项和为()。 列”。若各项均为正数的等比数列{am}是一 A.1013×2026 B.-1013×2026 个“2026积数列”，且a1>1,则当其前n项的 C.1013×2027 D.-1013×2027 乘积取得最大值时，n的值为 0 解析：数列{an}的通项公式为a,=2n 解析：由题意知，在等比数列{am}中， 1,其前n项和S。=n1+2-1)=m2。 a1a2a3·…·a2026=a2026,故a1a2a3·…· 2 a205=(a113)205=1,则a1o13=1。 所以（一1）Sn=(一1)”n2,则数列 设数列{an}的公比为q。因为数列{an}是 {(-1)”·Sn}的前2026项和为一1+22 各项均为正数的等比数列，且a1>1,a113=1, 32+42-.-20232+20242-20252+ 所以0<q<1,则a1o2>1且0<a1o1<1。 20262=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3) 故当n≤1012时，a,>1,前n项的乘积 +…+(2024-2023)×(2024+2023)+ 是递增的；当n≥1014时，an<1,前n项的 (2026-2025)×(2026+2025)=1+2+ 乘积是递减的。所以当数列{a,}的前n项的 3+4+…+2023+2024+2025+2026= 乘积取得最大值时，n的值为1012或1013。 2026×(1十2026) =1013×2027。故选C。 (责任编辑赵倩) 35