多角度探究“等差x等比”型数列的求和问题-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

中学生表理化解塑半题案酸有法 多角度探究“等差x等此” ■福建省永春第 数列是高中数学的核心内容之一，是高考 数学的高频考点。在数列求和问题中，“等差 ×等比”型数列的综合性强、解法灵活，成为考 查同学们数学思维与运算能力的典型载体。 “等差×等比”型数列的求和往往存在两大难 点：一是对错位相减法这一基础通法的运算细 节把控不足，容易因项数遗漏、符号出错导致 结果偏差；二是难以突破单一解法的局限，不 会根据题目特点选择更高效的解题技巧。事 实上，除了教材重点讲解的错位相减法，裂项 相消法、拆分重组法均能解决此类问题，且不 同解法对应不同的思维逻辑。 下面以一道典型的“等差×等比”型数列 求和的填空题为研究对象，系统呈现三种解 法的完整过程，并深入分析每种解法的适用 场景、操作要点及易错点。希望通过“一题多 解”的实践，帮助同学们跳出“机械刷题”的误 区，既能夯实基础通法，又能掌握解题技巧， 更能理解数列求和的本质，最终提升应对此 类问题的综合能力，为高考及后续数学学习 筑牢根基。 一、试题呈现与分析 题目：若1×2十2×22+3×28十…十 99×2=X×21°+Y,则X+Y= 命题意图：本题是典型的“等差×等比” 型数列的求和问题，考查同学们对数列求和 核心方法的掌握程度。题目设计紧扣数列知 识重点，既检验同学们对基础通法的应用能 力，也为探索多种优化解法提供空间，能有效 提升同学们的运算能力与逻辑推理能力。 二、多角度探究 解法一：错位相减法（通性通法） 设数列{an}的通项公式为an=n×2”, 其前n项和为Sn,则S,=1×2+2×22+ 3×23+…十n×2”。① 将等式两边同乘等比数列的公比2，得 2S,=1×22+2×23+…+(n-1)×2"+n× 34 型数列的求和问题 一中学 张隆亿 2"1。② 用①一②进行错位相诚，得S。一2S.= [1×21+(2×22-1×22)+(3×23-2×2) 十…十(n×2”-(n-1)×2")]-n×2m+1。 化简得-Sn=2十22十23十…十2”一n× 2"+1=(1一n)×2"+1一2，两边同乘一1，得 Sn=(n-1)×2+1+2。 所以S=98×210十2，结合题目可得 X+Y=100。 评注：错位相减法是教材明确要求掌握的 通性通法，也是高考中解决此类问题的基本方 法，适用于所有“等差×等比”型数列求和，无 论等差数列的系数、等比数列的公比如何变 化，都能按固定流程求解。同学们使用该方法 时需重点关注三个易错点：一是乘公比后等式 的项数对齐，相减时需单独列出，避免漏项；二 是符号变换，两式相减时减号后的每一项都要 变号，尤其是最后一项，避免因符号变换疏漏 而导致错误；三是等比数列求和的项数，确保 项数的正确。建议在练习时，用不同颜色的笔 标注对应项，逐步养成严谨的运算习惯。 解法二：裂项相消法（优化巧解） 对于“等差×等比”型数列的通项公式 an=n×2”,可设an=bn+1一bn,其中bn= (An+B)2,则bn+1一b,=[A(n+1)+B]· 2"1-(An十B)2”=(An十2A+B)2”,与 am=n×2”对比系数，得A=1,B=一2，所以 bn=(n-2)2"。 则数列{an}的前n项和Sn=(b2一b1)十 (b:-b2)十…+(bn+1-bn)=bn+1-b1,代入 b1=-2,bn+1=(n-1)2"+1,得Sn=(n-1) ×2n+1+2。 所以S=98×21十2，结合题目可得 X+Y=100。 评注：裂项相消法是解决“等差×等比” 型数列求和的“优化巧解”，相比错位相减法， 极大减少了计算量，尤其适合在选择题、填空 题中快速求解。该方法的核心是构造裂项形 式。为何设bn=(An十B)2"?因为通项am 是“一次多项式×等比数列”，所以构造的b 也应是“同次多项式×同公比等比数列”，这 样b.+1与bn相减后才能有与a,形式一致的 项。同学们在练习时可从简单案例入手，逐 步掌握裂项相消法的应用。 解法三：拆分重组法（求和本质） 数列{an}的通项公式为a,=n×2”,其 前n项和S,=1×21十2×22+3×2十…十 n×2"=(21+22+23+…+2")+(22十2 十…十2")十…十2”=(2m+1一21)十(2m+1 22)十…十(20+1-2”)=n·2+1-(2m+一2) =(n-1)2+1十2。 所以S=98×2十2，结合题目可得 X+Y=100。 评注：拆分重组法是最能体现数列求和 本质的方法，其核心思路是把“等差×等比” 型数列求和转化为多个等比数列求和，此类 问题的本质是利用已知求和公式解决未知求 和问题。该方法的价值不在于解题速度，而 在于思维训练一培养“拆分意识”，学会观 察通项结构，将复杂项拆分为熟悉的等比数 200000000000000000000000000000000002000000000002000 (上接第33页) 2.已知数列{an}的通项公式为a,= 2n一1，其前n项和为Sn,则数列{（一1）”· S,}的前2026项和为()。 A.1013×2026 B.-1013×2026 C.1013×2027 D.-1013×2027 解析：数列{am}的通项公式为a,=2n 1,其前n项和S。=n(1十2n-1) =n2。 2 所以（一1）S,=(一1)”n,则数列 {(一1)”·Sn}的前2026项和为一1+2一 32+42-…-20232十20242-20252+ 20262=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3) +·+(2024-2023)×(2024+2023)+ (2026一2025)×(2026+2025)=1+2+ 3+4+·+2023+2024+2025+2026= 2026×(1+2026) 2 =1013×2027。故选C。 解数餐典露突黎方清中学生表理化 列求和。需要注意的是，拆分方式不唯一，但 需确保拆分后的项能顺利求和，避免越拆越 复杂。建议在练习时，尝试多种拆分方式，对 比不同方式的优劣，提升思维的灵活性。 三、结语 “等差×等比”型数列求和作为高中数学 数列模块的核心内容，其多元解法不仅是解 决具体题目的工具，更是培养数学思维、提升 运算能力的重要载体。错位相诚法是“按流 程严谨解题”，裂项相消法是“用技巧高效解 题”，拆分重组法则是“探本质深度解题”。三 种解法各有侧重，相互关联，共同构成了“等 差×等比”型数列求和问题的解决策略。 同学们学习此类问题不应止步于“会解 题”，更要通过“一题多解”的实践，跳出“机械 刷题”的局限，理解不同解法背后的数学逻 辑，逐步形成根据题目特点选择最优解法的 能力，实现从“学会”到“会学”的跨越。 注：本文系教育部福建师范大学基础教 育课程研究中心2025年开放课题“基于 UbD模式的高中数学大单元教学实践研究” (深题批准号：KCA2025401)的阶段性成果。 (责任编辑赵倩) 00000000000000000000000000m0000000000000000000000 3.若一个数列的第m项等于这个数列 的前m项的乘积，则称该数列为“m积数 列”。若各项均为正数的等比数列{a,}是一 个“2026积数列”，且a1>1,则当其前n项的 乘积取得最大值时，n的值为_一。 解析：由题意知，在等比数列{am}中， a1a2ag·…·a2026=a22s,故a1a2a3·…· a2025=(a1013)2025=1,则a1o13=1。 设数列{an}的公比为q。因为数列{an}是 各项均为正数的等比数列，且a1>1,a11=1, 所以0<q<1,则a1o12>1且0<a14<1。 故当n≤1012时，a,>1,前n项的乘积 是递增的；当n≥1014时，am<1,前n项的 乘积是递减的。所以当数列{a,}的前n项的 乘积取得最大值时，n的值为1012或1013。 (责任编辑赵倩) 35