数列的函数特性与单调性-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

中学生教理化餐题蓝学课泰习探穷 数列的函数特性与单调性 ■河南省漯河市高级中学 秦晓燕 数列中的函数特性与单调性是各级各类 ①对于等差数列a,=a1+(n一1)d= 考试考查的重点和难点。下面通过课本例 dn+(a1一d)。当d≠0时，an是n的一次函 题、习题，剖析数列的函数特性与单调性，探 数，对应的点(n,an)位于直线上。当d>0 究解题方法，供同学们参考。 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列； 一、数列的函数特性和单调性的定义及 当d0时，函数是诚函数，对应的数列是递 判断方法 减数列；当d=0时，函数是常数函数，对应的 1.因为数列{an}中的每一项a,与它的 数列是常数数列。 序号n是一一对应的，所以数列{an}是从正 ②对于等比数列a,=a19”-1,可以用指 整数集N“(或它的有限子集{1,2，…，n})到 数函数的性质来理解。当a1>0,q>1或 实数集R的函数，其自变量是序号n,对应的 a1<0,0<q<1时，等比数列{an}是递增数 列；当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时，等 函数值是数列的第n项an,记为an=f(n)。 比数列{an}是递减数列；当q=1时，等比数 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大 列{an}是常数数列；当q<0时，等比数列 的顺序依次取值时，对应的一系列函数值 {an}是摆动数列，无法判断数列{am}的单 f(1),f(2),…,f(n),…就是数列{an}。 调性。 2.与函数类似，我们可以定义数列的单 二、课本练习题 调性。从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列叫作递增数列；从第2项起，每一项 例1【人教A版《数学选择性必修第 都小于它的前一项的数列叫作递减数列。特 二册》第9页拓广探索第7题】已知函数 别地，各项都相等的数列叫作常数数列。 f(x)=21(x∈R),设数列(a,}的通项公 3.数列是一类特殊的函数，判断数列 式为an=f(n)(n∈N”)。 {a}的单调性有三种常见的方法。 (1)定义法：Hn∈N,若am+1>an,则数 1)求证a.≥2 列{an}为递增数列：若a,+1<an,则数列{an》 (2){am}是递增数列还是递诚数列？为 为递减数列。（常用作差法或作商法判断 什么？ am+1与an的大小关系) 例2【人教A版《数学选择性必修第 (2)利用函数的单调性：对于数列{an}, 二册》第24页练习第5题】已知数列{an}的 记am=f(n),研究函数f(n)(n>0)的单调 通项公式为a,= n一2 性。 2n-15,前n项和为S。,求 (3)两类特殊函数的单调性： S。取得最小值时n的值。 40 二数学容中学生数理化 解题篇课本习题探究 例3【人教A版《数学选择性必修第 是一类特殊的函数，研究它的单调性时，一定 二册》第34页练习第5题】已知数列{a,}的 要注意取值是孤立的元素，对应的图像是由 孤立的点组成的。 通项公式为a,= 二求使a,取得最大值时n 例4已知数列{a,}的通项公式为 的值。 an=n一入n(入∈R),{an}为递增数列，则实 上述三道题目均是考查数列的函数特 数入的取值范围是】 性，即研究数列的单调性和最值。下面详细 解法一（利用数列的单调性定义）：因为 分析例3。 数列{an}的通项公式为an=n一入n(入∈R), 解法一（用定义法作差处理）：am+1一an {am}为递增数列，所以am+1-an=(n十1)2 =n+1)n 3"+1 3=3(n+1)3-3n3](n∈ 1 入(n十1)-(n2-λn)=2n+1-入>0恒成立。 则2n+1-λ≥2×1十1-入=3一入>0， N")。 即实数入的取值范围是（一∞，3）。 令am+1-am>0→(n十1)3>3n3→n 解法二（借助函数的单调性分析）：记函 万白因为万≈1.442，所以n< 1 1 数fx)=x2-x,其对称轴为x=之，f(x) 入 3一1 2.262,即n2。 在对称轴的右侧单调递增，结合数列中的 所以当n≤2时，am+1>an;当n>2时， ∈N”,分两种情况讨论。 an+1<an。 则a1<a2<a3,且a>a1>a5>…,所 若1≥含，即入≤2，此时f()在[1， 以使a,取得最大值时n的值为3。 十∞)上单调递增，对应的数列a,=n一入n 也为递增数列，符合题意。 解法二（用定义法作商处理）：a,出一 an 若1<含<2，即2<A<4,要使数列a, n+1)'×3=n+1D 3m+1 n 3n3 n2一入n为递增数列，只需数列中的前两项满 令2出>1→(m十1)>3n。下面的过 足不等式a1<a2即可，即1一入<4一2入→入≤ an 3,再结合2<入<4，可得此时满足题意的范 程同解法一。 围是2<λ<3。 解法三：设当n=k时，a,最大，因为a1 综上，实数入的取值范围是（一©∞，3）。 3a 1 易错警示：本题考查数列的单调性，解法 9 >a1,所以k>1。 k3 (k-1)3 二很容易遗漏1<含<2的情况，一定要记住 ak≥ak-1, 3 3-1 故 数列的图像是由孤立的点组成的，跟连续函 ak≥ak+1 (k+1)3 数的单调性有区别，不能直接照搬。 3 3+1 例5已知数列{an}的通项公式为 1k3≥3(k-1)3, k≥5(k-1), 1 (3-a)n-3,n≤7， 3k3≥(k+1)3 3k≥k+1 3-1 an= 若{an}是递增数 a-,n≥7， ∠k←万一1 3 列，则实数a的取值范围为 。 由于5≈1.442，则2.262≤ 解析：因为数列{an}的通项公式为a,= k3.262。 (3-a)n-3,n7, 因为k∈N“,所以k=3,即使am取得最 且数列{an}是递增数 a-in>7, 大值时n的值为3。 3-a>0, 三、数列单调性与函数单调性的差异 列，所以{a>1, →2a3。 因为数列中的自变量n∈N“,所以数列 as-ai 41 中学生数理化 解题篇课本习题探究 高二数学2026年1月 故实数a的取值范围是(2,3)。 易错警示：本题考查分段数列的单调性， 点(1，b1),(2,b),(4,b)共线，即：二b 2-1 容易遗漏ag>a7。 b1-b2 4-2 →b(g-1)=6(g-q) 2 四、链接高考 由于b1≠0，q≠0，q≠1，则上式化为2(g 例6(2024年高考北京卷第15题) -1)=q(q-1),即(q-1)(q十2)=0，所以 设{an}与{bn}是两个不同的无穷数列，且都 q=-2或q=1(舍去)。不妨令a1=b1= 不是常数数列。记集合M={k|a:=b,k∈ 一1，则an=3n一4，bn=一（一2）”-1，此时M N“,给出下列四个结论： 中有3个元素。故③正确。 ①若{an》与{bn}均为等差数列，则M中 对于④，因为{a,}为递增数列，{bn}为递 最多有1个元素； 减数列，{an},{bn}不为常数数列且是两个不 ②若{an}与{bn}均为等比数列，则M中 同的无穷数列，所以{an}的图像呈上升趋势， 最多有2个元素； {b,}的图像呈下降趋势，两者至多有一个交 ③若{an}为等差数列，{b,}为等比数列， 点，故④①正确 则M中最多有3个元素； 故答案为①③④。 ④若{an}为递增数列，{bn}为递减数列， 点拨提升：解决本题的关键点是把等差、 则M中最多有1个元素。 等比数列的图像分别看成一次函数和指数型 其中正确结论的序号是 函数中的点，利用函数图像的单调性来解决 分析：本题以数列和集合的面貌出现，实 问题 质上是考查等差数列和等比数列的函数特 性。用函数的观点研究它们的交点个数，也 例7(2021年高考全国甲卷第7题) 就是这两类数列的公共项的个数问题 等比数列{am}的公比为q,前n项和为Sn 解析：对于①，{an},{bn}均为等差数列， 设甲：q>0,乙：{Sn}是递增数列，则(）。 {an},{bn}不为常数数列且是两个不同的无 A,甲是乙的充分条件但不是必要条件 穷数列，故它们的图像分布在两条不重合的 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以 C.甲是乙的充要条件 M中最多有1个元素，故①正确。 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的 对于②，令am=2”,bn=（一2)”，满足 必要条件 {an},{bn}均为等比数列，但当n为偶数时， 解析：若a1=-1,q=1>0,则Sm=na1 M中有无穷多个元素，故②错误。 =一n,故{Sn}是递减数列。所以甲不是乙的 对于③，设an=a1十(n一1)d,bn= 充分条件 b1q”-1(d≠0，b1≠0，g≠0，q卡1)，则数列 若{S,}是递增数列，则由数列的单调性 {an}中的点(n,an)在一次函数∫(x)=dx十 定义知，当n≥2时，Sn一S,-1>0恒成立，即 b(d≠0，x>0)的图像上，数列{b,}中的点 当n≥2时，an=a1q"-1>0恒成立，故a1>0, (n,bn)在指数型函数g(x)=Ag(A≠0，q≠ q>0。所以甲是乙的必要条件。 1,q≠0，x>0)的图像上。根据函数f(x)与 综上可知，甲是乙的必要条件但不是充 g(x)的图像特征，容易判断出对应的数列 分条件，选项B正确。 {an},{b,}的图像交点情况可能有0个，1个， 点拨提升：解答本题的关键点是对命题 2个，而不可能有4个以上。 乙的分析，利用数列的单调性定义知，{S,}是 下面分析有3个交点的情况，此时只能 递增数列→当n≥2时，S,一S,-1>0恒 是q<0的情况，对应的数列{bn}是摆动数 成立。 列，假设两个数列{a,},{bn}中相等的三项是 五、链接各地模拟题 a1=b1,a2=b2,a1=b1,则数列{bn}中对应的 例8(2025年成都七中5月模拟) 42 解题篇课本习题探究 高二数学2026年1月 中学生数理化 (多选题)已知数列{a,}的通项公式an= 联考)记首项为1的数列{an}的前n项的积 n-2 2n-i5,前n项和为S,则( )。 为Tn,且{T+1一Tm}是以2为首项，2为公 差的等差数列。 A.数列一 为等差数列 (1)求{T,}的通项公式； (2)求{a,}的通项公式： B.了n∈N”,使得am+1>an (3)求{a,}中的最大项。 C.当n=8时，Sn取得最小值 解析：(1)由题意知T,+1一T。=2+2(n D.数列a.一a,)的最大项的值为号 -1)=2n,T1=1。 当n≥2时，Tm=T1+(T2一T1)+(T n-2 解析：由a,=2m-15,可得2a,一1一 T2)十…+(Tm-Tm-1)=1十2(1+2十… 11 1 2n15，则2a。-1=”55 ,所以数列 +m-1）=1十2×0，D=m-n十1. 2 11 T1=1也满足上式。 2a,-}是公差为号的等差数列，故选项A 1 2 故T。=n2一n十1。 正确。 (2)由题意知Tn=a1ag·…·am=n2一 易知a8=6,a,=一5，a8>a7,故选项B n+1。 正确。 则当n≥2时，a。=T. x-2 借助函数f(x)= 1 2x-15 n2-n+1 n2-n+1 11 (n-1)-(n-1)+1n-3n十31 4(- 的单润性，了(x)在(0，)和 a1=1也满足上式。 故a,=”n十1 (臣，+)上分别单调递减。又7<5<8， n2-3n十3 2 (3)由(2)知a,=n-3m+3+2n-2 .1 a1-13a:=0,当3≤n≤7时，a,<0,当n≥ n2-3n+3 1+2(n-1D n”-3n+3 (n∈N")。 8时，an>0,所以当n=7时，S。取得最小值， 故选项C错误。 令入=n-1,则n=入十1，入≥0。 易知a。一a+1= n-2 n-1 当n≥2，即入≥1时，am=1十 2n-15-2m-13 2入 2入 11 11 (入十1)2-3（入十1）+3 =1+-A+=1十 (2n-15)(2n-13)-4(m-7)'-1,则当1≤ 2 n≤6时，a,一a+1>0,{a,一an+1}是递增数 入一1十入 1。 列；当n=7时，an-am+1<0;当n≥8时， an一a+1>0,{an一am+1}是递诚数列。故当 因为y=入+不-1在[1，十∞)上单调递 1 n=6或n=8时，an一an+1取最大值，最大值 增，所以当n≥2时，数列{a,}是递减数列。 为号，故选项D正确。 又a1=1,a2=3,所以a2>a1。 因此{an}中的最大项为a2。 故选ABD。 点拨提升：本题(3)问根据数列{an}通项 点拨提升：本题中的数列{an}对应的是 反比例型函数f()=二品，可以借防比 公式的结构特点，借助对勾型函数y=入十只 一1的单调性，说明了数列{a,}的单调性，从 函数的单调性解决问题。 而求出{a,}中的最大项。 例9(2025年河南省部分学校9月 (责任编辑赵倩) 43