别“轻易“得通法——以一道课本习题的改编为例-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

中学生教理化餐题蓝学课泰习探穷 别“轻易”得通法 以一道课本习题的改编为例 ■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 ■成都市教育科学研究院 闫佳洁 在数列内容中，涉及由递推数列求通项 点评：实际上，解法1是源于例题(1)问 公式的题型众多，常用的解题方法有累加法、 的提示结构，采用待定系数法去构造等比数 累乘法、待定系数法、取倒数法等，其中有些 列，从而获得解答。 方法可称为某种类型的通性通法。下面通过 解法2：等式am+1=3an一2”两边同除以 一道课本习题的改编，探究形如a,+1=an十 q”的数列的通项公式。 3 一、题目呈现 b.+1-b=- () 例（人教A版《数学选择性必修第二 bn=b1+(b2-b1)+(b-b2)+…十 册》第41页习题4.3第7题改编)已知数列 {an}的首项a1=1,且满足am+1十an=3·2”。 6.-.)=号-号[后+（号）+（号）'+ (1)求证：{an一2"}是等比数列。 (2)求数列{an}的通项公式。 +)】-.- 解析：(1)数列{an}满足an+1十a,=3· 1- 2,即a+1=-a.十3·2，则41-2 an—2” 1+(学)广，即a,=3+2。 -a,+3·2-2=2a=-1. ,点评：解法1是通过构造等比数列求解， a,一2” an-27 但是我们还给出了解法2，这并不是为体现 由a1=1,可得a1一2=一1，所以数列 一题多解，而是在强调这类题要特别注意，纯 {am一2”}是首项为一1，公比为一1的等比数列。 模仿解法1是有致命缺陷的，解法1并不是 (2)由(1)知an-2”=-1×(-1)”-1= 这类题型的“通性通法”。具体见下面的 变式。 (-1)”,所以an=(-1)”十2”。 变式2.已知数列{an》满足a1=5,且 点评：实际上，(1)问为(2)问提供了解题 方向，相信大部分同学可以较为直接地解决 am+1=3a,十3”(n∈N),求数列{an}的通项 题目。但如果没有(1)问，而是直接求其通项 公式。 公式，那么难度瞬间陡增。请看下面的变式。 分析：我们依然采用待定系数法去构造 二、题目变式 等比数列，设a,+1十入·3”+1=3(a,十入·3")， 则a,+1=3a,与题意矛盾。我们发现采用待 变式1.已知数列{am}满足a1=5,且 定系数法无法解答本题，为什么呢？其实问 an+1=3an一2"(n∈N”),求数列{an}的通项 题出在递推公式an+1=pa,十q”中的p=q, 公式。 当p=q时，无法采用待定系数法构造等比 解法1：由已知得am+1=3an一2”，设am+ 数列，此时可以利用变式1中的解法2进行 十入·2+1=3(an十入·2")，解得入=一1，所 解答，同学们可自行尝试。 以a+1-2"+1=3(an-2"）。 三、追问：待定系数法真的失效了吗？ 又a1一2=3，则数列{am一2”}是首项为 实际上，对于变式2中采用的待定系数 3,公比q=3的等比数列，所以an一2”=3”， 法，行不通的原因是函数没有选对！既然指 即an=3十2"。 数型函数不行，我们就可以分析函数结构。 38 萄二数学零探究中学生教理化 解题篇课本习题探究 因为指数部分被消掉了，所以构造一个一次 (2)设am+1十入g”+1=p(a,十入g"),构造等比 函数乘指数函数就行得通。 数列{an十入q”}。若力=q,则采用(1)，此时 设am1十[k(n十1)十b]·3"+=3[an十 采用(2)无法求解，但可以采用一次函数乘指 (kn十b)·3”],与am+1=3an十3”比较得k= 数函数的形式进行构造。 号。故数列口，十(-3+b)·3是以 课本是众多专家智慧的结晶，是发展数 学核心素养的载体，课本中的例题、习题是各 5+(号十b)×3=4+3弘为首项，公比g=3 级各类考试的命题之源。因此，同学们要认 真钻研课本，对课本例题、习题和阅读材料等 的等比数列，则a,十(-号+b)3”=(4十 进行深入研究。在学习过程中，同学们要扎 3b)·3"-1,所以an=(4十n)·3-1。 根课本，掌握知识；拓展课本，训练思维；超越 同理，既然待定系数可以变成一次函数， 课本，涵养素养。这些能力一旦形成，就会无 那么换成二次函数依然可行，只不过解出来 招胜有招，顺利解决那些看似千变万化实则 的二次项系数为0。这类题型的本质为高阶 万变不离其宗的难题。 等差，有兴趣的同学可查阅资料进行理解。 注：本文系四川省教育学会2025年度教 四、方法提炼 育科研一般课题“核心素养导向下高中数学 进阶式课堂教学活动的设计与实践研究” 对于形如am+1=pam+q”(p≠0,1，且 (YB2025122)的阶段性成果。 q≠0,1)的数列求通项公式，有以下两种方 法：(1)先将两边同除以”+1，再累加求通项； (责任编辑赵倩) 00m000000000000002000000000000000000000000000000000000m (上接第37页) 1 2 令21+k) ，得=1 ，此时 策略七、利用比较通项的方法证明数列不等式 例8已知数列bn=2n(n∈N“),证 n十4 2n2+3n+8 5 明+.+1..b,+1a+7 b b, b 2n+3n+1(2n十1)(n+1,假设成立，故 证明：不等式左边可视为数列a,-2十的 2n 连乘积。不等式右边可视为另一数列{c}的连 原不等式得证。 乘积，记作S,=c1c2·…·cn=√n十1。 例7已知a,=3-2(n∈N),证 1 当n=1时，c1=S1=√2>0；当n≥2时， 明：S=a1十a,十a十…十a,<号 S cn一Sn1 干工>0，且c1=厄满足该式。 n 证明：假设≤1，则S≤ 因此cn= m+>0。 (号+子++子）=员(1-）安 要证不等式成立，就要证a,>c,>0,即 令员=是，解得入=弓，此时要证明 证2n十1 m+1 2n >0,也即证4n2+4n十1> 4n(n十1)>0，显然恒成立。则a1a2·… 3-2≤3。由于3”-2”-3-1=2·3 an>c1c2·…·cn,即原不等式得证。 -2·2-1≥0，则3”-2”≥3”1，故21 注：本文系2025年郑州市教育科学一般课题 3”-2” “高阶思维视域下高中数学结构化教学实践研究” 3成立，原不等式得证。 (项目编号：2025 ZKYBX14116)的阶段性成果。 (责任编辑赵倩) 39