一道课本习题的多视角探究及应用-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■北京师范大学贵阳附属中学 李鸿昌 传球问题与同学们的生活实际紧密联系。 本文针对一道高中数学课本传球习题,从多种 视角深入探究其解法,包括古典概型、递推数 列、全概率公式等,共给出四种不同解法。在 此基础上,通过探讨该习题所涉及的数学思想 与方法,展示其在类似概率问题中的广泛应 用,旨在帮助同学们加深对概率知识的理解与 运用,提升数学思维能力与解题技巧。 一、课本习题 题目 (2020年人教 A版《普通高中教 科书·数学选择性必修第三册》第91页第10 题)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由 甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地 将球传给另外两个人中的任何一人。 求n 次 传球后球在甲手中的概率。 二、多视角探究 分析:设第n 次传球后球在甲手中的概 率为Pn,由于n次传球共有2n 种(每次传球 均有2种可能),因此只需求出第n次传球后 球在甲手中的种数an 即可。 思路1:探寻规律,找到an 的递推关系, 然后利用古典概型求解。 解法1:传1次,球传到甲手中的情况有 0种,传不到甲手中的情况有2-0=2(种); 传2次,球传到甲手中的情况有2种,传不到 甲手中的情况有22-2=2(种)。依此类推, 设n次传球后球在甲手中的次数为an,由于 n次传球共有2n 种,所以第n 次传球后球不 在甲手中的次数为2n-an,故第n+1次传球 后球在甲手中的次数an+1=2n-an。 于是an+1- 2n+1 3 =- an- 2n 3 ,又因为 a1- 2 3=- 2 3 ,所以 an- 2n 3 是以-23为首 项,-1为公比的等比数列,因此an- 2n 3= - 2 3× (-1)n-1,故an= 2n+2×(-1)n 3 。 因此,Pn= an 2n = 1 3 1+ (-1)n 2n-1 。 解法2:设开始球在甲手中,第n 次传 球,球传到甲手中的情况有an 种,易知 a1= 0,a2=2。设球传到乙手中的情况有bn 种, 则球 传 到 丙 手 中 的 情 况 也 有bn 种,并 且 an+1=2bn, bn+1=an+bn。 所以an+2=2bn+1=2(an+bn)=2an+ 2bn=2an+an+1,从而an+2+an+1=2(an+1+ an)。又因为a1+a2=2,所以{an+1+an}是 以2为首项,2为公比的等比数列,故 an+1+ an=2n。 ① 由an+2=2an+an+1 还 可 得 到 an+2- 2an+1=-(an+1-2an)。又因为a2-2a1=2, 所以{an+1-2an}是以2为首项,-1为公比的 等比数列,故an+1-2an=2×(-1)n-1。 ② ①-②得3an=2n-2×(-1)n-1,所以 an= 2n+2×(-1)n 3 。 因此,Pn= an 2n = 1 3 1+ (-1)n 2n-1 。 思路2:设第n次传球后球在甲手中的概 率为Pn,建立Pn 与Pn-1 的递推关系求解。 解法3:设第n 次传球后,球在甲手中的 概率为Pn,则第n-1次传球后,球在甲手中 的概率为Pn-1。 显然P1=0,若第n 次传球 后球在甲手中,则第n-1次传球后球在乙或 丙手中,所以第n-1次传球后,球不在甲手 中的概率是1-Pn-1。 又因为乙或丙在第n次把球传到甲手中 的概率为 1 2 ,所以Pn= 1 2 (1-Pn-1),即 Pn - 1 3=- 1 2 Pn-1- 1 3 (n≥2,n∈N*)。 所以 Pn- 1 3 是首项为P1-13=-13, 公比为- 1 2 的等比数列。 24 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年6月 所以 Pn- 1 3= - 1 3 -12 n-1 ,即Pn = 1 3 1- - 1 2 n-1 =13 1+ (-1)n 2n-1 。 思路3:利用全概率公式求解。 解法4:设第n 次传球后球在甲手中的 概率为Pn。 当n=1时,P1=0,当n=2,3时,利用 树状图求解(图略),可得P2= 1 2 ,P3= 1 4 。 对于一般的n,建立递推关系求解。 设事件An= “第n 次传球后球在甲手 中”,则An+1=AnAn+1 +􀭿AnAn+1。 故P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+ P(􀭿An)P(An+1|􀭿An)。 所以Pn+1=Pn×0+(1-Pn)× 1 2 ,则 Pn+1- 1 3=- 1 2 Pn- 1 3 ,所以 Pn-13 是 首项为P1- 1 3=- 1 3 ,公比为- 1 2 的等比数 列,故 Pn- 1 3= - 1 3 -12 n-1 ,即 Pn= 1 3 1+ (-1)n 2n-1 。 点评:在概率模块的学习中,有许多富有 启发性的习题。其中,关于甲、乙、丙三人相 互做传球训练的习题,不仅能考查同学们对 概率基本概念和原理的掌握程度,更能引导 同学们从不同角度思考问题,运用多种数学 方法求解。深入探究此类问题,有助于培养 同学们数学思维的灵活性、发散性及创新能 力。同时,对该习题进行推广和应用研究,可 以使同学们更好地体会数学知识的系统性和 连贯性,从而加深对概率问题的理解,提高解 题能力,发展核心素养。 三、推广和应用 例 1 (2024年四川成都期末)(多选 题)甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练,第一 次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可 能地将球传给另外3人中的任意1人,设第 n 次传球后,球在甲手中的概率为 Pn(n∈ N*),则下列结论正确的是( )。 A.P1=0 B.P3= 7 36 C.3Pn+2Pn-1=3(n≥2) D.P2 024> 1 4 解析:记An 表示经过第n次传球后,球在 甲手中,设n 次传球后球在甲手中的概率为 Pn,n∈N*,则P1=0,An+1=AnAn+1+AnAn+1。 所以 Pn+1=P(AnAn+1+AnAn+1)= P(AnAn+1)+P(AnAn+1)=P(An)P(An+1| An)+P(An)P(An+1|An)=(1-Pn)× 1 3+ Pn×0= 1 3 (1-Pn)。 所以Pn+1- 1 4=- 1 3 Pn- 1 4 。 又P1- 1 4=- 1 4≠0 ,所以 Pn- 1 4 是 以- 1 4 为首项,- 1 3 为公比的等比数列,故 Pn= 1 4+ - 1 4 × -13 n-1 。 所以P3= 1 4+ - 1 4 × -13 2 = 2 9 。 3Pn+2Pn-1=3× 1 3 (1-Pn-1)+2Pn-1 =1+Pn-1= 5 4+ - 1 4 × -13 n-2 。 P2 024= 1 4+ - 1 4 × -13 2 023 > 1 4 。 故选AD。 例 2 (2024年云南昆明期末)如图1, 甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形 的四个顶点进行传球训练,每次由一人随机 图1 将球传给另外三人中的一人,任 意一人持球时,传给位于相邻顶 点同学的概率为p,传给位于对 角线顶点同学的概率为q,传球3 次为一轮。 (1)已知第一次随机由一名同学将球传 出,若p=q,设事件 A 为“一轮中每人各持 一次球”。 ①求p 及事件A 的概率; 34 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年6月 􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 ②设三轮传球中,事件A 发生的次数为 X,求X 的分布列与数学期望。 (2)已知第一次由甲将球传出,在一轮传 球中,乙、丙两人谁两次持球的可能性更大? 解析:(1)①由题意,球传出后,可能给相 邻两个的概率都为p,给对角线的概率为q, 则2p+q=1,当p=q时,解得p=q= 1 3 。 所以P(A)=C13C12 1 3 3 = 2 9 。 ②由条件可知X 的所有可能取值为0,1,2, 3,且X~B3, 2 9 ,所以P(X=0)=C03× 29 0 × 79 3 = 343 729 ,P(X=1)=C13× 2 9 1 × 79 2 = 98 243 ,P(X=2)=C23× 2 9 2 × 79 1 = 28 243 , P(X=3)=C33× 2 9 3 × 79 0 = 8 729 。 所以X 的分布列为表1: 表1 X 0 1 2 3 P 343729 98 243 28 243 8 729 从而E(X)=3× 2 9= 2 3 。 (2)P乙=2p3+pq2=p(2p2+q2),P丙= q3+2qp2=q(2p2+q2),P乙-P丙=(2p2+ q2)(p-q),2p+q=1。 当p=q= 1 3 时,P乙=P丙,乙、丙两人两 次持球的可能性一样大; 当p>q,即 1 3<p< 1 2 时,P乙>P丙,乙 两次持球的可能性更大; 当p<q,即0<p< 1 3 时,P乙<P丙,丙两 次持球的可能性更大。 点评:第(1)问,球传出后,可能给相邻两 个的概率都为p,给对角线的概率为q,则2p +q=1,结合p=q,解出即可。由条件可得 X~B 3, 2 9 ,运用二项分布的概率公式和期 望公式求解概率即可。第(2)问,将乙、丙两 人两次持球的概率求出来后,用作差法比较 大小即可。 (责任编辑 王福华) ■甘肃省白银市第一中学 胡贵平 1.相对于二维码支付,刷脸支付更加便 利,以往出门一部手机解决所有,而现在连手 机都不需要了,毕竟手机支付还需要携带手 机,打开“扫一扫”也需要手机信号和时间,刷 脸支付将会替代手机支付,成为新的支付方 式。现从某大型超市门口随机抽取40名顾 客进行调查,得到了如表1所示的列联表: 表1 男性 女性 总计 刷脸支付 16 20 非刷脸支付 8 总计 40 (1)请将上面的列联表补充完整,并判断 是否有90%的把握认为使用刷脸支付与性 别有关。 (2)在抽取的40名顾客的样本中,根据 是否刷脸支付,按照分层抽样的方法在女性 中抽取7名,为进一步了解情况,再从抽取的 7名顾客中随机抽取4名,求抽到刷脸支付 的女性人数χ2 的分布列及数学期望。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表2 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.7063.8416.6357.879 2.综合素质评价是高考招生制度改革的 内容之一。某高中采用多维评分的方式进行 综合素质评价。图1是该校高三学生“运动 44 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年6月