14 大道藏于简，通法藏高见-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

赞氧学概爽藏方清中学生教理化 大道藏于简，通法藏高见 以2025年新高考全国I卷第16题为例 ■河南省濮阳市第一高级中学 袁媛 孙娅南 数列是高考重点考查的内容，近几年的 1 an 高考题，常以等差、等比数列为核心，融合函 n干1+n(m+=， n十7，所以 数、方程、概率等多个模块的知识，形成兼具 antl 1 an 1 基础性与创新性的题目，既注重基础知识的 nn+7一n十，所以(n+1)(a,1 n 扎实性，又强调思维的灵活性，更是对数学思 1)=n(a,一1)，所以数列{n(a,一1)}是常数 维和综合能力的深度检验。 列，所以n(an一1)=…=a1一1=2，所以am 一、试题呈现 1千2即na,=n+2,所以(n十1)a+ 题目(2025年新高考全国I卷第16 nan=1,所以{nam}是以3为首项，1为公差 题)设数列(an}满足a1=3,a= 的等差数列。 n n+7+ 思路3：列举数列{nan}中的项，通过猜 n(n+1) 想，利用数学归纳法证明。 (1)证明：数列{nan}为等差数列； 证法3：由题意21=a。 1 (2)给定正整数m,设函数∫(x)=a1x 。=n十五十n(n+1D' 十a2x2十…十amxm,求f'(-2)。 所以a=。因为a,=3,所以a, 二、试题赏析 4 5 .63 第一问的证明过程需清晰地表述构造思 =2,a,=3a,=4=2,则2a,=4,3a,= 路与推导依据，考查同学们数学语言表述的 5,4a1=6,因此可以猜想na,=n十2。 严谨性。第二问将导数与错位相减法相结 下面用数学归纳法证明： 合，考查同学们的逻辑推理和数学运算等核 ①当n=1时，a1=3,猜想成立； 心素养，需要同学们对基础方法有深度的理 ②假设当n=k时，猜想成立，即ka:=k 解。本题通过“证明等差数列十错位相减 法”的组合设计，规避了对特殊技巧的使用， 十2，那么当n=k十1时，有a1=,a 既检验同学们对数列核心知识的掌握，又考 1 、k十2 1k十3 查其数学思维的灵活性与运算的精准性，强 k(k十1D=(k十1)+k(k十1)=k（k+): 调了对通性通法的理解和应用。 所以(k十1)a+1=k十3=(k+1)十2，即当 三、解法探究 n=k十1时，猜想也成立。 (1)思路1：去分母，构造等差数列。 综上可知，nan=n十2，所以(n十1)am+i nam=1,所以{nan}是以3为首项，1为公 证法1：在数列{a,}中，a1=3,a= 7 差的等差数列。 评注：证法1和证法2看似是从不同的 +0+1,所以(n十1)an+1=na,+1, 角度解决问题，但其本质是相同的，都是利用 即(n十1)am+1-na,=1,所以{nam}是以3为 构造法来处理。证法1是通过观察需要证明 首项，1为公差的等差数列。 的结论找到解题思路，根据已知条件，构造 思路2：裂项，构造常数列。 nam,即可求证，这是最简便、直接的方法；证 证法2：在数列{a}中，a1=3,a 1 法2是利用nm十进行裂项，构造常数列， 37 中学生款理化餐整数学经典翠破市声 求出通项an,然后证明{nan}是等差数列。 (m+3)-(m+2) (1-x)2 x"。 同学们在利用这两种方法构造数列时，需注 意通项的下标和系数的关系。证法3是将数 故f'(-2)日-3m+7）·-2) 9 列{an}多列举几项，找出其中规律，然后利 思路3：分组求和法，先化简，再求值。 用数学归纳法证明，需注意数学归纳法的书 写过程。 解法3：由题意及(1)得a.=1+子，所 (2)思路1：错位相减法，先求值，再化简。 以f(x)=a1x十a2x2+…十amxm=3x+2x 解法1：由题意及）得，a,=1十2丽 +…+(1+2）)x”=(x十x2+十x)十 771 以f(x)=a1x+a2x2十…十amxm=3x十 2x++1+),求导得fx)=3+ 2(停++…+）=2+ 1-x 4x十…十(m十2)xm-1。 2停+号++后)求导得了(x) 所以f′(-2)=3+4·(-2)十…+ (m十2)·(-2)m-1,(-2)·f'(-2)= 3·(-2)十4·(-2)2+…十(m+1)· 1十（m.x-m-1)·xm +2.1二x 1-x (-2)m-1+(m+2)·(-2)m。 (1-x)2 所以f'(-2)-(-2)·'(-2)= 所以f'(-2)=1+（-3m-1)·(-2)m 9 3f(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+ +2-2·(-2)”=7-3m+7)·（-2) (-2)m-1-(m十2)·(-2)m=3十 3 9 9 (-2)·[1-(-2)m-1] -(m+2)·(-2)”。 评注：解法1和解法2均是用错位相减 法，运算量较小，同学们更容易理解数值的化 所以f(-2)=1+-2)·[-(-2)1] 简，不易出错；解法3是将函数f(x)进行适 9 当变形，转化为分组求和的形式，然后求导、 m十2)·（-2)=1二2- (-2)m 3 9 化简、求值，但是在对巴一x 一求导时，出错率 1-.x (m+2)·(-2)”=7_(3m+7)·（-2)” 3 9 9 较高。 思路2：错位相减法，先化简，再求值。 四、备考建议 解法2：由题意及(1)得，a.=1十号，所 通过对高考试题的深人剖析，同学们可 掌握数列综合题的解题逻辑，同时为备考指 以f(x)=a1x十a2x2十…十anxm=3.x+ 明了方向。 2x++(1+品)，求导得f(x)=3十 (1)夯实基础：注意对等差数列、等比数 列及递推关系等基本概念的理解； 4.x十…十(m十2)xm-1。 (2)体系优化：注重对求数列的通项公式 故xf'(x)=3x+4x2+…+(m+1)· 及前n项和方法的总结，梳理知识碎片，将各 xm-1十(m十2)x”。 个模块融会贯通，构建知识体系，能够做到针 当x≠1且x≠0时，'(x)一xf'(x)= 对不同题型选择最优解法； (1-x)f'(x）=3十x十x2+…十xm-1-(m (3)提升能力：同学们在增强计算能力的 +2x=8+0）-(m十2)x 同时，还要通过一题多解、多题一解、一题多 1-x 3-2z_m十3)-(m+2)zx”。 变等多元化的方法，提升逻辑思维能力； 1-x 1x (4)强化实践：由于高考评分细则对步骤 3-2x 的完整性要求严格，因此，同学们应通过真题 所以f'(x)= (1-x)2 训练解题过程的规范性与步骤的完整性。 38 解题管￥经臭题突酸方清中学生教理化 高三数学2025年11月 立足核心素养，聚焦能力立意 勇 2025年新高考全国Ⅱ卷第17题（立体几何)试题评析 ■河南省南阳市第一中学校 徐香丽 立体几何作为高中数学的核心内容，承 二面角的正弦值。 载着培养同学们的直观想象、逻辑推理和数 二、考查目标 学运算等核心素养的重要使命。新高考对立 试题把一个直角梯形翻折成一个同学们 体几何的要求更是强调了对基础知识的灵活 比较陌生的几何多面体，以此为载体，着重考 运用和综合能力的考查，试题通过翻折、展 查与立体几何中的公理，以及空间中线线、面 开、截面、轨迹等动态过程，构建稍具挑战性 面的位置关系有关的基础知识和基本方法。 的几何模型，考查同学们的创新思维，引导同 三、解法探究 学们摆脱死记硬背和机械刷题的困境，让同 (1)证法1：设AD=1,则AB=3,CD= 学们真正理解和掌握立体几何的核心思想和 2。因为F为CD的中点，所以DF=1。因 方法，从而提升数学核心素养。2025年新高 为EF∥AD,AB∥CD,所以四边形AEFD是 考全国Ⅱ卷第17题（立体儿何）便是一道极 平行四边形，所以AE∥DF,所以A'E∥D'F。 具代表性的题目，它以一个几何多面体为载 因为D'FC平面CD'F,A'E吐平面CD'F, 体，巧妙地将线面平行的证明和二面角的求 所以A'E∥平面CD'F。因为FC∥EB,FC 解相结合，既考查同学们对立体几何基础知 C平面CD'F,EB在平面CD'F,所以EB∥ 识的掌握程度，又对同学们的空间想象、逻辑 平面CD'F。又EB∩A'E=E,EB,A'EC 推理和数学运算等能力提出了较高的要求。 平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F。 本题的设计充分体现了新高考对立体几何的 又A'BC平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F。 考查方向和理念，对于引导高中数学学习回 证法2：设AD=1,则 归本质、培养同学们的核心素养具有重要的 AB=3,CD=2。因为F 导向作用。下面对该试题进行详细评析。 为CD的中点，所以FC= 一、试题呈现 1,EB=2。如图2，延长 题目(2025年新高 BC、EF交于点G,连接 图2 考全国Ⅱ卷第17题)如图 AG,交D'F于点H,连接 1所示，在四边形ABCD CH,则CF为△GEB的中位线，C、F分别为 中，AB∥CD,∠DAB= GB、GE的中点。又因为A'E∥D'F,所以 90°，F为CD的中点，点E 图1 HF为△GA'E的中位线，则H为A'G的中 在AB上，EF∥AD,AB= 点，故HC为△GA'B的中位线，所以A'B∥ 3AD,CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻 CH。又因为CHC平面CD'F,A'B史平面 折至四边形EFD'A',使得平面EFD'A'与平 CD'F,所以A'B∥平面CD'F。 面EFCB所成的二面角为60°。 证法3：设AD=1,则AB=3,CD=2。 (1)证明：A'B∥平面CD'F; 因为F为CD的中点，所以DF=1。因为 (2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的 EF∥AD,AB∥CD,所以四边形AEFD是平 总之，数学问题形形色色，但其考查的本 翼”，重通法有素养，溯源头探本质，实现数列 质是相同的。因此，同学们在复习备考的过 模块的全面突破。 程中，需以“基础为本、思维为核、运算为 (责任编辑王福华) 39