浅谈恒成立求参数范围问题的解题思路与策略-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

解题篇数经臭题突方清中学生教理化 高二数学2026年1月 浅谈恒成立求参数范围问题的解题思路与策略 ■郑州市实验高级中学 李晗 王甲奇 导数中与参数有关的恒成立问题历来 方法一：利用导数求最值 是高考的重点，也是同学们学习的难点之 对h(x)求导，可得h'(x) 一，其处理方法较多，大致思路分为四种：分 1 [(x-1)e'+x-1]x-（x-2e-2x2+x-2 参、半分参、不分参和必要性探路。这类试 题同学们得分率不高，究其原因，一方面，以 上方法不是所有题目都能解决，同学们遇到 （x-2x+2)e+ 2x2-2 具体题目时需要进行选择，哪种方法可以使 用呢？或者使用哪种方法解决这道题目更 不妨令g(x)=(x2-2x+2)c+r 简便呢？另一方面，每种方法的使用过程中 2,则g'(x)=xe十x>0,故g(x)在(0， 需要用到多重技巧。如：使用参变分离后导 十∞)上单调递增。 数常含有分式，可能会遇到“吕或二”的极 因此g(x)>g(0)=0,即h'(x)>0, h(x)在(0，十∞)上单调递增，由此可知 限问题，需借助洛必达法则。再如：采用不 h(x)>h(0)。 分参，将解析式均移到一边，直接构造函数 根据函数特点，应用洛必达法则可得： 求极值点，若导数含有e或lnx,常常涉及 隐零点，不好处理。下面利用一道题目说明 x2)e*+2xz+2 各种方法的解题思路与策略，并归纳总结各 h(0)lim E票0 种方法的适用范围。 im-1e+x-1--2. 1 题目：设函数f(x)=(x一2)e十 2x2 故k≤一2。 x,已知当x≥0时，f(x)≥kx一2恒成立，求 综上所述，k的取值范围为（一∞，一2]。 k的取值范围固。 点评：解决恒成立的求参问题时，首选 思路一：分参—转化为最值问题 “分参”，将原有问题转换为不含参函数的最 解析：由题意知，当x≥0时，f(x)= 值问题。若参变分离后构造的导数较为复 1 杂，常常需要通过二次求导逐层倒推判断导 （x-2)e十2x-x≥kx一2恒成立，即 函数与函数的增减性从而求得最值；也可根 x-2)e+ 2x2-x+2≥kx。(*) 据函数特，点考虑适当放缩，将复杂函数转化 为较为简单的函数，从而实现求最值的简单 ①当x=0时，不等式（￥）化为0≥k· 化。若最值，点取在定义域之外，则需结合洛 0,此时任意k∈R,不等式恒成立，故k的取 必达法则求极限方能得到函数在指定区间的 值范围是R。 上下确界。 ②当x>0时，不等式(*)等价于f)+2 方法二：利用放缩求最值 由于此题中含有e,可利用切线放缩不 (x-2)c*+2x2x+2 等式e≥x十1（当且仅当x=0时取等号）将 k,即一 一≥k。 指数函数转化为幂函数，从而简化求解。 x-2e+r-x+2 (x-2e+22-x+2 记h(x)= h(x)= x 19 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年1月 Cx-2)(x+1D十2x=x十2 x 3 x2-2z y-f) 3 x 2x-2. 因为y无号x一2在(0，十∞)上单调递 y=kx-2 增，所以h(x)>一2，故k≤一2。 图1 综上所述，k的取值范围为（一∞，一2]。 易知y=f(x)在(0，一2)处的切线斜率 点评：在利用放缩法求最值时，一定要适 为f'(0)=(0-1)e°+0-1=-2。 度，要求放缩时“等号的取值，点”与“放缩后函 因此，当k=一2时直线与曲线相切。故 数的最值，点”相同，如此题中x=0,否则就会 要使当x≥0时，曲线y=∫(x)的图像恒在 出现错解。故此方法虽然计算简单，但是要 直线y=kx一2的上方，只需k≤一2。 慎用。 综上所述，k的取值范围为（一∞，一2]。 需要强调的是：不是所有恒成立求参问 点评：当参数只出现一次项或常数项时， 题都可以直接利用分离参数解决。当参数位 便可考虑“直曲分离”，即“半分参”。首先，使 置比较刁钻时就不易分参，有时即使强行分 两边分别为一条曲线和一条过定点的直线； 参，最值也不易求得。参数含有平方项就不 其次，借助直线与曲线的位置关系，求出过定 易分参，如：f(x)=lnx十a.x-ax2<0(a> 点的该曲线的切线斜率；最后，利用数形结合 0)恒成立；参数出现在对数函数的真数位置 得出结论。此方法与“分参”相比，思路和计 或指数函数的指数位置，参数也难分出来， 算较为简单，但应用范围有较大的限制性。 如：f(x)=ae-lnx十lna≥1恒成立。若 一方面，形式上能整理成直曲分离；另一方 指对函数同时出现且参数位置具有一定的对 面，曲线的凹凸不能过于复杂。只有具备这 称性，则可考虑“指对同构”简化函数后再进 两个条件才能结合切线求出临界情况，从而 行分参求解。 找到斜率，即参数的取值范围。 思路二：半分参一直曲分离，转化为切 思路三：不分参—一将式子全部移到不 线问题 等号左边，直接讨论左边含参函数的最值，验 解析：由题意知，f(x)≥kx一2，从数形 证不等式恒成立 结合角度考虑，即曲线y=f(x)的图像在恒 过定点(0，一2)的直线y=kx一2的上方，可 解析：令g(x)=(x一2)e+2x-x 以结合图像找出斜率的取值范围。 kx十2，则g'(x)=(x一1)e十x-(k十1)。 当x≥0时，f'(x)=(.x-1)e十x一1。 令h(x)=(x-1)e+x-(k+1),则 令g(x)=(x-1)e十x-1,则g'(x)= h'(x)=xe+1。 xe十1>0，故g(x)在[0，十∞)上单调递增。 当x≥0时，h'(x)=xe十1>0，h(x)单 因为g(1)=0,所以f(x)在[0,1)上单 调递增，所以h(x)≥h(0)=一2一k,即 调递减，在(1，十∞)上单调递增。 g'(x)≥-2-k。 当x=1时，f(x)m=f1)=-e一2 1 ①当-2-k≥0，即k≤-2时，g'(x) 0,g(x)在[0，十∞)上单调递增。 当x=0时，f(0)=一2。 则g(x)≥g(0)=0,不等式f(x)≥ 当x→十∞时，f(x)→十o∞。 kx一2恒成立。 直线y=kx一2恒过定点(0，一2)，故 ②当一2一k<0,即k>一2时，g'(x)= y=f(x)的图像与直线y=kx一2的位置关 0有一个解，设为x。 系如图1所示。 20 器脑数餐聚方清中学生表理化 故当x∈[0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单 如问题“当x≥0时，e十ax2一x≥2x 1 调递减；当x∈(xo,+∞)时，g'(x)>0, g(x)单调递增。 十1恒成立，求a的取值范围”，代入端点x g(xo)<g(0)=0,即当x≥0时，f(x) 0,求得必要条件a≥一名，代入临界值a ≥kx一2不能恒成立。 综上所述，k的取值范围为（一∞，一2]。 一弓后，发现不等式不恤成立，说明>≥一号 点评：“不分参”是恒成立求参问题中的 不是充分条件。此时，一种方法是将必要性 一种方法，它更像是解决此类问题的最后一 道防线。但此种方法往往也是同学们最难掌 探路所得范国≥一立当成巴知条件，然后 握的，主要原因是此时涉及含参函数的单调 用“不分参”的方法，通过讨论含参函数的最 性与最值的讨论，常常会碰到隐零，点问题，多 值，缩小参数的取值范围，得到最终答案 种难，点的综合应用，导致同学们得分率较低。 4,十)。相较于直接应用“不分参” T7-e2 思路四：必要性探路一端点或内点效 应，再验证充分性 缩小参数范围后的分类讨论情况更少、更简 单，也可采用参变分离的方法直接求解。 解析：令g(x)=(x一2)e十2x2一x 此类题目如果端，点值存在或内，点选取恰 kx+2。 当，所求的必要条件往往就是充要条件。因 (寻找必要条件)由题意知，Hx≥0， 此，应用必要性探路方法的关键是寻找恰当的 g(x)≥0恒成立，则端点处g(0)≥0必然成 特殊点。先考虑端点值，若端点值无意义，再 立。而g(0)=0,则3m>0,使得g(x)在 考虑内点，内点的选择往往是极值点，或使对 [0,m]上单调递增，故g'(x)=(x一1)e十 数函数的真数部分为1的，点、指数函数的指数 x-(k十1)≥0在[0，m]上恒成立。 部分为0的，点、三角函数值为0或1的，点。如 则端点处g'(0)≥0必然成立，即g'(0) f(x)=ae-I-lnx十lna≥1恒成立，求a的 =一1-k一1≥0，故k≤一2。 取值范围，除了用指对同构，也可尝试必要性 (验证充分性)接下来进行检验，当k 探路，发现此时端，点值无意义，端，点效应失效， 一2时，g(x)≥0恒成立，只需证当x≥0时， 尝试内，点效应，将x=1代入可得出正确答案。 (x-2)e+2-x+2x-2≥0恒成立。 而后可验证其即为充要条件。 本文通过一道题目展示了恒成立求参问 记h(x)=(x-2)e十222x+2x 题的四类思路，并梳理了相关技巧与应用策 略。该种题型没有固定的套路和模板，所谓 2,则h'(x)=(x-1)e十x+1。 “兵无常势，水无常形”，我们只能在学习过程 易知h'(x)单调递增，且h'(0)=0,则当 中对具体问题具体分析，灵活采取适当的方 x≥0时，h'(x)≥0，h(x)单调递增，故 法，因此，只有思维能力才是“治本”之法。一 h(x)≥h(0)=0。 题多解，并进行解法归类总结，目的就是培养 综上所述，k的取值范围为（一∞，一2]。 同学们逻辑思维的发散性、灵活性和系统性， ,点评：必要性探路的整体思路是：利用端，点 从而建立自己的思维体系，促进深度学习的 值或内，点值等特殊点代入函数，求解出参数的 真实发生。 一个较大范围，即不等式成立的一个必要条件， 注：本文系2024年度河南省基础教育教 然后根据参数范围进行放缩，代入参数临界值 学研究项目“基于大概念促进深度学习的高 去掉参数，从而验证该必要条件是否为充分条 中数学单元教学研究”(JCJYB2403010029) 件。若是充分条件，则此时该范围是充要条件， 的研究成果。 即为所求；若不是充分条件，则需利用“不分参” (责任编辑徐利杰) 的方法继续缩小范围或采用其他方法求解。 21