剖析导数的新定义问题-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

知识篇数事高考名师护芦中学生教理化 高二数学2026年1月 剖析导数的新定义问题 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 导数“新定义”题型内容新颖，一般是用 “2类函数”。 抽象的语言给出新概念、新运算或新性质，没 (2)易知f'(x)=axe-x一lnx-1。 有过多的解析说明，要求同学们仔细揣摩、体 由题意知，对于任意不同的x1,x2∈[1， 会和理解定义的含义，并马上运用它解决相 2],都有|f(x1)-f(x2)|<2x1一x2|。 关问题，意在考查同学们处理新问题的能力、 不妨设x1<x2,则一2(x2一x1)<f(x1) 转化与化归能力及运算求解能力。下面从三 -f(x2)<2(x2-x1) 个方面剖析导数的新定义问题，希望对同学 故f(x1)十2x1<f(x2)+2x2且f(x1) 们的学习有所帮助。 -2x1>f(x2)-2x2。 题型一定义新概念 故f(x)十2x为[1,2]上的增函数， 例1若函数f(x)在[a,b]上有定 f(x)一2x为[1,2]上的减函数。 所以[f(x)+2.x]'=f'(x)十2≥0， 义，且对于任意不同的x1,x2∈[a,b],都有 [f(x)-2x]'=f'(x)-2≤0。 |f(x1)一f(x2)|<入|x1一x21,则称f(x)为 故对任意x∈[1,2]，有-2≤f'(x)≤2， [a,b]上的“类函数”。 即-2≤axe-x-lnx-1≤2。 1)若fx)=罗+x,请判断∫()是否 所以+lnx-1≤a≤3+x+ln工 ae" 为[1,2]上的“2类函数”； 2)若fa)=a-1)c-乏-lnx为 令g(x)=x十lnx十3 ,则g'(x）= (1+x)(-2-lnx-x) [1,2]上的“2类函数”，求实数a的取值范围。 xe 解析：(1)对于任意不同的x1,x2∈[1， 令u(x)=一2一lnx一x,易知u(x)在 2],假设1≤x1<x2≤2。 [1,2]上单调递减。 则2<1十<4,4++22 所以(x)≤u(1)=-3<0,g'(x)<0, 2 故g(x)在[1,2]上单调递减。 故1f(x1)-f(x2) g(x)m=g(2)=5+ln2 所以a≤ =(度+x）-(度+x) 2e2 5+1n2 =x-+t+) 2e 令h（x)=x十1nx-1,则h'(x)= >2x1-x2|。 因此f(x)-三+x不是[1,2]上的 (x+1)(2-x-lnx) x2e 11 中学生表理化智婴氨学新高素护就 令v(x)=2-lnx-x,则v(x)在[1,2] 次导数，n≥3，n∈N)。我们称以上公式为 上单调递减。 函数∫(x)在x=x。处的泰勒展开式。当x0 因为v(1)=1>0,v(2)=-ln2<0,所 =0时泰勒展开式也称为麦克劳林公式。比 以3xo∈[1,2]，使u(xo)=2-lnx0-xo= 如e在x=0处的麦克劳林公式为：e=1十 0,即2=lnxo+x0。 1 当x∈[1，x。)时，w(x)>0,h'(x)>0, h(x)在[1，x。)上单调递增； x≥0时，可以非常容易得到不等式e≥1十 当x∈(xo,2]时，v(x)<0,h'(x)<0, e≥1十x+方2，心≥1+x+2x+ 1 h(x)在(x。,2]上单调递减。 所以h(x)=h(x)=o+nx。-1 zoeo 6x,…。请利用上述公式和所学知识解答 1 2-1 1 下列问题： (1)写出sinx在x=0处的泰勒展开 由2=lnx。十xo,得e2=e"t0=x。· 式； e0,所以h(x)ms一eo 1 (2)若Yx∈(0，多)，e>x十1恒成 <5n2,所以 5 又因为 1 a 立，求a的取值范围（参考数据1n2≈0.9）； 2e 5 5+ln2 ,a的取值范围 [22 5+ln2 (3)估计1n3的近似值（精确到0.001）。 2e2 点睛：解答本题的关键在于先根据新定 解析：(1)(sinx)'=cosx,(cosx)'= 义转化成f(x)十2x是[1,2]上的增函数， sin x,(-sin x)'=-cos x,(-cos x)'= sinx,…,其中cos0=1,sin0=0。 f(x)一2x是[1,2]上的减函数，再由函数单 调性与导数的关系得一2≤∫'(x)≤2，然后参 sinx在x=0处的泰勒展开式为sinx 1 1 变分离，转化为求函数的最值问题，最后利用 -x- +x+…+二1) (2n-1 导数求解即可。(1)利用解析式化简|f(x:) 一f(x2)|,结合x1,x2∈[1,2]放缩即可判 2)由1)知inx=x-动十六： 断。(2)不妨设x1<x2,根据新定义可得 十…十 (-1)n-1 -2(x2一x1)<f(x1)-f(x2)<2(x2-x1), (2n-1)72-1+…。 整理后可得f(x1)+2x1<f(x2)+2x2且 由sinx在x=0处的泰勒展开式，可以 f(x1)一2x1>∫(x2)-2x2,根据∫(x)十2x 和f(x)一2x的单调性可得一2≤f'(x)≤2， 先证vxe(o,）sn>x-日 然后参变分离，构造函数g(x)= 令f(x)=sinx-x+ 6x,则f'(x)= x+lnx+3,h(c)=+1nx-1,分别求导 cos a-1+2,"()--sin ,( 1 求出g(x)m和h(x)ms即可得解。 题型二定义新运算 =1一cosx,易知f"(x)>0。 例2在高等数学中，我们将y= 所以”(x)在(0，是)上单调递增，f产(x) f(x)在x=x。处可以用一个多项式函数近 似表示，具体形式为：f(x)=f(x)十'(x)· >f(0)=0,故f'(x)在(0，三)上单调递增， xx)+'"x 2 2(x-,)++2. n！ f'(x)>f'(0)=0,即f(x)在(0，)上单调 (x一x。)”十…（其中f(x)表示f(x)的n 递增，f(x)>f(0)=0。 12 加设数雾高普色师护芦中学生款理化 6x-ln(x+1),x∈ 1 格朗日中值定理等，要求同学们根据给出的 再令g(x)=x一 定义和相关信息进行解题，是导数的一种创 (0,),则g(x)= x(x-1)(x+2) 1 新应用。麦克劳林展开式常常被用于放缩法 x+1 比较大小。常用的麦克劳林展开式如下： 易知g(x)在(0,1)上单调递增，在 e*=1十x十2十+” n+…,sinx= (1,2)上单调递减。 x2+1 3+奇-…+（-1)”2m+D+…. 而g0)=0g(侵）-18-n名>0，所 osx=1-+++(-1)”2n 以Vx∈(0，)g(x)>0恒成立。 十…，ln(1十x)=x一2十3 一…十(-1)”· 当a≥l时，asin x≥sinx>x- T+l 1 =1十x十x2+…十x”十， ln(x十1)，所以emx>x十1恒成立。 当a<1时，令h(x)=asin x-ln(x十 (1+x)”=1+nx+n01x2+… 2！ 1)x∈(0，)，易求得M'0)=a-1<0。 (1)求导，根据题意写出sinx在x=0 处的泰勒展开式。(2)结合sinx在x=0处 所以必存在一个区间(0，m),使得h(x) 在(0，m)上单调递诚，即当x∈(0，m)时， 的秦勒展开式，构造函数证明Yx∈(0，)， h(x)<h(0)=0,不符合题意。 1 综上所述，a≥1。 sinx>x-6x,再令g(x)=x- 6x3 1 8知音-n下雪野究 1+ 5 1m(x十1D,x∈(0，)，求导判断函数的单调 4 性，证明出Vx∈(0，）g(x)>0。当a≥1 n甚三的结构。 时，asin x≥sinx>x- 6x>ln(x十1)，满 1+)=-+写-+号- 足要求。当a<1时，令h(x)=asin x 十…； 1n(x+1,x∈(0，号)，易求得A'0)=a ln(1-x)=-x 1<0,所以必存在一个区间(0，m),使得 h(x)在(0，m)上单调递减，即当x∈(0，m) 时，h(x)<h(0)=0,不满足要求，从而得到 6 答案。(3)求出ln(1十x)和ln(1一x)的泰勒 两式相减得1n告=2x+答+2等 3 5 展开式，得到ln 5+…, +x2x+27+2x 1-x 十…。 取-子得1n号-2×+号×（仔） 5 令x子，得到n的近似值。 题型三定义新性质 +号×() +…≈0.5108。 例3设f(x)的定义域为R,若对任意 所以1n号的近似值为0.511（精确到 实数t,存在实数x1,,使得f1)一fx) x1一x2 0.001。 f'(t)成立，则称f(x)满足“性质T”。下列函 点睛：将高等数学中的一些概念引入题 数满足“性质T”的有()。 目中，如函数的拐点、凹凸性、曲线的曲率、拉 A.f(x)=x-3x B.f(x)=e-1 13 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高空数学2026年1月 C.f(x)=sin 2x 20,所以g(x)在R上单调递减，故f(x) D.f(x)= x2+1 =sin2x不满足“性质T”。 解析：将f)二fx='(t)变形为 x x1一x2 对于D,g(x)=f(x)一f'(t)x= x2+1 f(x)-xIf'(t)=f(x:)-x:f'(t). +-1 令g(x)=f(x)一f'(t)x,则g(x)在R (2+1),当1=0时，g'(x)= -x1-3x （x2+1) 上至少有2个不等实数使得g(x1)=g(x2)。 ≤0，g(x)在R上单调递减，则∫(x)= 所以g(x)=f(x)一f'(t)x在R上不 x2+1 单调，即∫(x)满足“性质T”。 不满足“性质T”。 对于A,g(x)=f(x)一f'(t)x=x3 故选B。 3x-(3t2-3)x,当t=0时，g(x)=x3在R 点睛：先对题干条件变形，转化为g(x) 上单调递增，所以f(x)=x3一3x不满足“性 =f(x)一f'(t)x在R上不单调，即满足“性 质T”。 质T”,再分别对选项一一判断即可。 对于B,g(x)=f(x)一f'(t)x=e1 总之，导数新定义题的核心是以导数工具 xel,g'(x)=el一el。所以当x>t时， 为基础，结合函数性质、不等式、几何意义等知 g'(x)>0;当x<t时，g'(x)<0。故g(x) 识，考查逻辑推理与知识迁移能力，解题的关 在R上不单调，f(x)=e-I满足“性质T”。 键在于拆解创新点，逐字拆解新定义，明确其 对于C,g(x)=f(x)一f'(t)x=sin2x 数学表达式，将新定义转化为熟悉的导数问 2xcos2t,当t=0时，g'(x)=2cos2x 题，回归导数的本质。 (责任编辑徐利杰) (上接第10页) 根源2： 与良好思维品质的建立。 证明：sin3a=3sina-4sin3a,cos3a 构建体系，提质增效。一是构建知识体 4c0sa-3c0sa。 系。高中数学知识纵横交错，但紧密联系、彼 此题是人教A版《数学必修4》(2007年2 此相通。要从知识的相互联系上构建网络体 月第2版)第三章三角恒等变换中习题3.1B 系，既横向拓展，又纵向延伸，突出整体性和 组第1题。三倍角的正弦、余弦的证明，为五 关联性。如三角函数，公式繁多，包括定义、 倍角的正弦、余弦的推导提供了方法基础和公 诱导公式、同角关系、和差角公式、倍角公式 式基础。 和差化积公式、积化和差公式、半角公式等， 四、总结启示 但这些公式之间存在密切的逻辑关系，可以 依据课标，用好教材。课程标准是课本 相互推导，由此可构建三角函数知识网络体 编写的依据，也是高考命题的依据。同学们 系。二是构建方法体系。高中数学蕴含诸多 学习时要紧紧围绕课标，用好教材，吃透教 思想方法，如以上题目求解中涉及换元思想 材，学透例题，提升课堂效率，夯实知识根基， 方程（组）思想、函数思想、转化与化归思想 培有发展潜能。 数形结合思想等，只有构建完整的方法体系， 追根溯源，明辨方向。高考题不是课本 才能融会贯通、灵活应用，提高解决问题尤其 原题，必高于课本，但其根源在课本，在课本 是复杂问题的能力。三是构建思维体系。既 的习题和例题之中，正所谓“源于课本，高于 有演绎推理，又有合情推理，也可相辅相成、 课本”。同学们学习时要加深对数学概念本 交替使用。同学们平时要构建思维体系，突 质的理解，加深对数学通性通法的认识，提升 出思维过程，强化思维方法，提升思维能力， 应用数学知识和方法解决数学问题的能力， 深化思维品质，发展核心素养。 突出关键能力的培养、数学学科素养的养成 (责任编辑徐利杰) 14