追根溯源辨方向 建构体系促发展-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

知识篇新高考名师护航 中学生数理化高数学282年月 追根溯源辨方向 建构体系促发展 深度解析2025年新高考全国I卷第19题第1问 ■西北师范大学附属中学 曹岩 函数是高中数学的主线，三角函数是函 sin2x=0。 数模块的重要内容。三角函数是一类典型的 周期函数，既有函数的一般性，又有特殊性。 又因为0≤x≤年，所以0≤2x≤受，0≤ 对三角函数的研究，除了定义域、值域与最 值、单调性、奇偶性，更要突出周期性、对称性 等。《普通高中数学课程标准》(2017年版 故2x=0或3x= ,即x=0或x= 元 6 2020年修订)指出，要综合运用几何直观和 可得表1。 代数运算的方法研究三角函数的性质，利用 表1 三角函数图像探索变化规律；探索和研究三 ππ 角恒等关系，采用不同方式得到三角恒等变 64 换的基本公式。2025年新高考全国I卷第 cos 3x 0 19题创新设置试题情景模式，以三角函数为 情景，设置导数问题，突出探究性、多样性和 sin 2x 0 创新性。下面聚焦试题第1问，深度解析，给 f'(x) 0 + 0 出六种解法，通过“一题多解”强化思维、深化 认知，从高考试题和课本习题两个维度追根 f(x) 极大值 溯源，回归本质、明辨方向，达到融会贯通、提 升素养的目的。 当x=时，函数取得最大值，f(x) 一、试题呈现 已知函数f(x)=5cosx一cos5x,求 =f(g)=5co吾-cos吾-35. fx)在[0，]上的最大值。 评注：(1)导数法讨论函数性质的步骤 为：求导f'(x)→解方程'(x)=0→列表> 此题是2025年新高考全国I卷第19题的 得到函数性质。导数方法在研究函数性质中 第1问，函数解析式简洁明了，结构对称，次数 具有一般性和有效性的特征。 相同，函数相同，常数相同，但常数5的设置， (2)导数问题，尤其是高考压轴大题，多以 注定不同凡响、别具一格，简约而不简单。 幂函数、指数函数和对数函数为情景复合构造 二、解法赏析 函数，但此题为三角函数，体现了高考的创新 思路1：导数是求解函数问题的有效方 性。在解方程时，自然由一般情况的整式方程、 法和有力工具，自然要用导数法求解。 包含指数与对数的超越方程变为三角方程，需 解法1：f'(x)=-5sinx十5sin5x= 要结合三角函数的定义域求解三角方程。 5(sin 5x-sin x)=10cos 3xsin 2. (3)本题在高中核心知识交汇处命题，包 令10cos3xsin2x=0,则cos3.x=0或 括导数法讨论函数性质、和差化积公式、诱导 8 知识篇新高考名师护航 高二数学2026年1月 中学生数理化 公式、三角函数符号判断、解三角方程的特解 可得表2。 等多个知识点。考查同学们解决数学问题的 表2 能力、逻辑推理能力、数学运算能力等。 思路2：求导之后，用五倍角的正弦公式 L22/ 2 处理5(sin5x-sinx)。 v 0 解法2：f′(x)=-5sinx+5sin5.x= 5(sin5x-sinx)。 极大值 sin 5x=16sinx-20sin'x+5sin 代入可得f'(x)=一5sinx十5sin5x= 所以当t= 时，函数取得最大值 5(sin 5x -sin x)=5(16sinx-20sin'x+ 5sinx-sinx)。 ymax=(-16t5+20t3) =33。 令16sinx-20sin3x+4sinx=0,得 评注：本解法直接在函数表达式中代入五 1 sinx=0或sinx=2或sinx=l。 倍角的余弦公式后换元，转化为一个简单的5 次多项式的函数最值问题，利用导数法迎刃而 又因为0≤x≤不所以x=0或x=不 6 解，后面的求解中完全避开三角函数相关知识。 以下同解法1。 思路4：求导之后，通过移项转化处理方 评注：二倍角、三倍角、四倍角常见，而五 程5(sin5x-sinx)=0。 倍角不常见。但课本中二倍角公式的推导过 解法4：f'(x)=-5sinx+5sin5x= 程为本题五倍角公式的处理，既提供了公式 5(sin5x-sinx)。 基础，也提供了思路方法。三倍角公式容易 令5(sin5x一sinx)=0,移项得sin5x 得出，令3x=2x十x代入和角公式即可。四 =sinx。 倍角公式更容易得出，令4x=2×2x,只需要 依据正弦的函数性质得，5x=x十2π 用二倍角公式嵌套两层即可。五倍角公式有 或5.x十x=元十2kπ(k∈Z)。 多个推理途径，途径1：5x=3x十2x;途径2： 故x经或+5(k∈Z. 6 5x=4x十x;途径3：5.x=6x一x=2×3x一 x。三个途径中，途径1和途径3，用和差角 又因为0≤x≤至，故x=0或x=吾 公式展开后，出现三倍角，要代入三倍角公 以下同解法1。 式，计算量比较大；途径2，和角公式配合二 评注：本解法求导之后，可以通过对方程 倍角公式处理，计算量相对较小。 5(sin5x-sinx)=0移项，得到sin5x= 思路3：既然要用五倍角公式，可直接在 sinx,依据正弦函数性质求得方程的解。在 函数表达式中代人余弦五倍角公式。 有关解三角形、判定三角形形状等问题的求 解法3：f(x)=5cosx-cos5x=5cosx 解过程中，常会出现sinA=sinB,或sin2A -(16cos"x-20cos"x++5cos x)--16cosx =sin2B的情形。当sinA=sinB时，A= +20cosx。 B+2kπ或A十B=π十2kπ(k∈Z)。 令t=cosx,则y=一16cosx+20cos3x =-16ti+20t3。 思路5：利用函数图像，数形结合来解方 程sin5x=sinx。 因为0≤x≤至，所以 ≤cosx≤1，即 解法5：f′(x)=-5sinx+5sin5x= 2 5(sin5.x-sinx)。令5(sin5.x-sinx)=0, 2 ≤t≤1，故y'=一80t1十60t2。 移项得sin5x=sinx。 令y=-801+6012=0,解得4= 引入函数y=sin5x与y=sinx,在同 2° 一坐标系内画出两个函数的图像（如图1）。 9 知识篇新高考名师护航 中学生教理化高数学新2026年月 函数取得最大值，f(x)-f()=3。 评注：本解法的关键步骤有四个，一是用 2 五倍角的余弦公式，实现三角函数表达式角的 统一和函数的统一；二是提取公因式化为积的 形式，进而为利用均值不等式“放大到和”求最 大值做好铺垫；三是两边平方，括号内调整负 图1 号；四是调整系数，使“和”为定值，为均值不等 由函数图像可知，在 [0] 上存在两个 式的使用奠定基础，此步骤是重点，更是难点。 交点，即方程存在两个解。而在区间 此外，利用均值不等式求解最值问题，要注意 [0,]上的两个特殊值为x=0或x= “正、定、等”三个条件缺一不可，其中等号成立 6 条件的验证最易遗漏导致错误。 可以验证sin0=sim0且sin=sin 三、追根溯源 1.高考之源 所以x=0或x= 为方程sin5x= 6 已知函数f(x)=2sinx+sin2x,求 f(x)的最小值。 sinx在区间[0，]上的两个解。 此题是2018年新高考全国I卷选择题 以下同解法1。 第16题，具有函数解析式简洁明了、结构对 评注：本解法求导之后，利用函数与方程 称、次数相同、函数相同、常数相同等特征。 的关系，将方程问题转化为函，数问题进而求 与2025年新高考全国I卷第19题的第1 解。将方程sin5x=sinx解的问题转化为两 问，函数结构高度相似、如出一辙，堪称“姊妹 个简单函数y=sin5.x与y=sinx的交，点问 题”。而且，这两道题目在高考试卷的位置安 题。完美避开了复杂的三角恒等变形，而且在 排大致相同，一道设置为填空题的压轴题，一 导数列表步骤，根据两个函数图像的位置关系 道设置为全卷压轴题的第一问。但不同之处 可直接“读”出导函数的符号，大题小解，实属 在于，三角函数由正弦改为余弦、和变差、常 精彩，体现出数形结合方法的巧妙应用。 数由2变为5、定义域由实数集缩小为 思路6：利用均值不等式求解。 [0,],以及由求最小值变为求最大值。关 解法6：f(x)=5cosx-cos5x=5c0sx -(16cos'x-20cos'x+5cos x)=-16cos'x 键之变化在于常数之变，二倍角常见而五倍 +20cosx=-4cos'x (4cos'x-5). 角不常有，致使部分解法难度有所提升。 f2(x)=16cos'x (4cos'x-5)2= 2.课本之根 根源1： 16cosx(5-4cos2x)2。 在△ABC中，如果有性质acos A= 则288f2(x)=(8cosx)3(15 12cos2x)2≤ 3×8cos2x+2(15-12cos2x)7 bc0sB,那么这个三角形的形状具有什么特点？ 此题是人教A版《数学必修5》(2007年 =6。 1月第3版)第一章解三角形中习题1.1B组 .6 第2题。若用正弦定理“化角”，则会出现 故f产(x)≤288=27，即-33≤f(x)≤ sin2A=sin2B的结构。此式与2025年新 3√5。 高考全国I卷第19题的第一问导数法中的 sin5.x=sinx结构完全一致，本质完全相同， 由8cosx=15-12c0s2x,得c0sx三 解法完全相同。 已知0≤x≤平，故当且仅当x=君时， (下转第14页) 10 中学生表理化智超部学新商素条颗护放 (上接第10页) 根源2： 与良好思维品质的建立。 证明：sin3a=3sina-4sin3a,cos3a 构建体系，提质增效。一是构建知识体 4c0sa-3cosa。 系。高中数学知识纵横交错，但紧密联系、彼 此题是人教A版《数学必修4》(2007年2 此相通。要从知识的相互联系上构建网络体 月第2版)第三章三角恒等变换中习题3.1B 系，既横向拓展，又纵向延伸，突出整体性和 组第1题。三倍角的正弦、余弦的证明，为五 关联性。如三角函数，公式繁多，包括定义、 倍角的正弦，余弦的推导提供了方法基础和公 诱导公式、同角关系、和差角公式、倍角公式、 式基础。 和差化积公式、积化和差公式、半角公式等， 四、总结启示 但这些公式之间存在密切的逻辑关系，可以 依据课标，用好教材。课程标准是课本 相互推导，由此可构建三角函数知识网络体 编写的依据，也是高考命题的依据。同学们 系。二是构建方法体系。高中数学蕴含诸多 学习时要紧紧围绕课标，用好教材，吃透教 思想方法，如以上题目求解中涉及换元思想 材，学透例题，提升课堂效率，夯实知识根基， 方程（组）思想、函数思想、转化与化归思想 培有发展潜能。 数形结合思想等，只有构建完整的方法体系， 追根溯源，明辨方向。高考题不是课本 才能融会贯通、灵活应用，提高解决问题尤其 原题，必高于课本，但其根源在课本，在课本 是复杂问题的能力。三是构建思维体系。既 的习题和例题之中，正所谓“源于课本，高于 有演绎推理，又有合情推理，也可相辅相成、 课本”。同学们学习时要加深对数学概念本 交替使用。同学们平时要构建思维体系，突 质的理解，加深对数学通性通法的认识，提升 出思维过程，强化思维方法，提升思维能力， 应用数学知识和方法解决数学问题的能力， 深化思维品质，发展核心素养。 突出关键能力的培养、数学学科素养的养成 (责任编辑徐利杰) 14