与指数函数、对数函数有关的数学文化题-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

青一数敦这货军费折中学生款理化 与指数区数、对数函数有关的数学文化题 ■李金涛 一、高斯函数 应选C。 例1高斯是德国著名的数学家，近代 评注：以10为底的对数称为常用对数。 数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用 对数的常用运算法则：积的对数等于对数的 其名字命名的“高斯函数”定义如下：设x∈ 和，商的对数等于对数的差。 R,用x]表示不超过x的最大整数，则y= 三、牛顿冷却定律 [x]称为高斯函数，也称取整函数，如[一3.7] 例3牛顿冷却定律(Newton'slaw of =-4,[2.3]=2。已知函数f(x)=3二1， cooling)是牛顿在1701年用实验确定的：物 3x+11 体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 则函数y=[f(x)门的值可能是()。 8,℃，环境温度为0。℃，则tmin后物体的温 A.-2B.-1C.1D.2 解析：因为f(x)=3-1_3+1-2 度8（单位：℃）满足：0=0。十(01一0。)et =1 3x+13x+1 已知环境温度为20℃，一块面包从温度为 2 2 120℃的烤箱里拿出，经过10min温度降为 3十，又3+1>1，所以-2<一3+1 70℃，那么大约再经过( )分钟温度降为 0:所以-1<1-3子<1，即-1<1() 30℃。（参考数据：1n2≈0.7,1n3≈1.1， 1n5≈1.6) 1。当-1<f(x)<0时，[f(x)]=-1;当0 A.33 B.28C.23D.18 ≤f(x)<1时，[f(x)]=0。故y=[f(x)] 解析：依题意得70一20=（120一 的可能取值为一1,0。应选B。 评注：分离参数法是求函数最值问题的 20)e,化简得。-子，两边取自然对数 常用方法。 二、艾宾浩斯遗忘曲线 得女=n2。设这块面包共经过：mim温度 例2遗忘曲线是由德国心理学家艾宾 降为30℃，则30一20=(120一20)e“,化简 浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事 得e“= 物遗忘的规律。某同学根据自己记忆100个 品两边取自然对数得1=n10 英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己 10ln10_10(1n2+ln52≈23 的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个 In 2 In 2 0.7≈33。故大约 数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的 再经过33一10=23(min),这块面包温度降 时间x(单位：h)的函数关系式为y=1 为30℃。应选C。 0.5xQ“,当记住的单词仅剩25个时，则离初 评注：以e为底的对数称为自然对数。 次记忆经过了( )。(参考数据：1g2≈ 指数式与对数式的转化关系为a=N曰 0.3,1g3≈0.48) log.N=b。 A.100h B.300h 四、指数衰减的学习率模型 C.1000h D.3000h 例4近几年“人工智能”相关软件以其 解析：由题意得100(1-0.5x%)=25, 极高的智能化水平引起国内关注，深度学习 所以1一05x-子，即x一号，两边取常 是人工智能的一种具有代表性的实现方法， 它是以神经网络为出发点的。在神经网络优 用对数得0.061gx=1g3-1g2≈0.48 0.3=0.18,所以1gx=3,即x=1000(h)。 化中，指数减的学习率棋型为L=名× 27 中学生款理化数学资华与宽新年1月 (传)产，其市L装示每一轮优化时使用的学 4的解集为（一∞，二1） 习率，G表示训练迭代轮数，则学习率衰减到 评注：判断函数g(x)=e2r一e2r在R 0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为 上单调递增是解题的关键。 )。(参考数据：lg2≈0.301) 六、梅森素数 A.16 B.72 C.74 D.90 例6数学上将形如2一1(p为素数) 解析：由题意得×（传） ≤日，取常用 的素数称为“梅森素数”。显然，即使p是一 个“不太大”的素数，“梅森素数”2一1也可 对数得会g告<1g号。因为 4<0,所以 能是一个“很大”的数。利用1g(2一1)≈ 1g2和lg2≈0.301，可估计得出“梅森素数” 2 1g5 lg2-(1-lg2) 21g2-1 27一1的位数约为一。 4 21g2-(1-1g2)-31g2-1 解析：依题意得1g(27一1)≈1g27= 1g5 671g2≈67×0.301=20.167，所以27-1≈ 4.1,即G≥18×4.1=73.8≈74。应选C。 1001,所以“梅森素数”27一1的位数约为21。 评注：不等式的两边同除以负数，不等式 评注：“梅森素数”新奇而迷人，它被人们 的方向要改变。 誉为“数论中的钻石”。 五、悬链线 七、泰勒公式 例5意大利画家达·芬奇在创作《抱 例7英国数学家泰勒发现了如下公 银貂的女子》时思考了一个问题：画中女子佩 戴着一条长长的项链，项链所形成的曲线是 式e=1十后+后+贰十…。运用上述思 什么？这就是著名的“悬链线问题”。选择适 想，可得到函数f(x)=e一 x 在区间 当的坐标系后，悬链线的方程是双曲余弦函 数cosh(x)=e十e 一，类似的有双曲正弦函 (号1)内有一个零点。 2 数sim友(x)=2°。则[c0sh(红)灯 解析：因为y=e和y=一是在（子，1）上 [sinh(x)]=;设函数f(x)=sinh(x)· 单调递增，所以f(x)=e一 在（学，1）上单 oh),则不等式f(r)<的解集为 调递增。又因为f()= 3十1 解析：依题意得[cosh(x)] 是（号）() [sin h(x)= e)-() ++21 31 +1+21 e+e+2_。十e“-2-1. 号) 2 >0,所以f(x)=e- 1 4 4 3! 易得f(x)=sinh(x)·cosh(x)= ee.+ee-e 0在（号1）上恒成立，所以函数f(x)=。 2 2 4一。因为f(x) 1-e 在区间（）上无零点。 4e,所以e-e<e-e。令g(x)= 评注：函数f(x)的零点不是点，是函数 e2x一er,且y=e2在R上单调递增，y= ∫(x)的图像与x轴交点的横坐标，也是方程 er在R上单调递减，所以g(x)在R上单 f(x)=0的实数根。 调递增。因为e2r一er<e2一e,所以g(x) 作者单位：陕西省汉阴县汉阴中学 <g(-1),所以x一1，故不等式f(x)< (责任编辑王琼霞) 28