求解函数问题要有五种意识-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

函数是高中数学的重点，也是同学们学 习的一个难点。求解函数问题要有五种意 识，下面举例说明。 一、要有函数性质的意识 对函数的考查，往往以多种函数的综合 为载体，主要考查函数的性质及其应用。 例1已知函数f(x)=e一ex十 sin买x+1,若对任意x∈[-2,2]，都有 f(x十1)十f(a一x)>2,则实数a的取值 范围是一。 解：因为y=e与y=一ex在定义域R 上单调递增，所以函数y=e一ex=e一 在区间[一2,2]上单调递增。对于y= sin牙x,由-2+2kx≤罕x≤受+2kx,k∈ Z,解得一2十8≤x≤2十8k,k∈Z,所以y= sin牙x在[-2十8k,2十8k](k∈Z)上单调 递增，当k=0时，y=sin不x在区间[-2,2] 上单调递增，所以函数f(x)=e一ex十 sin于x十1在区间[-2,2]上单调递增。令 函数g(x)=f(x)-1=e-e+sin交x, 4 x∈[-2,2]，则g(-x)=e-e一sin4x =一g(x),所以g(x)为奇函数且在[一2,2] 上单调递增。故原不等式等价于g(x十1)十 g(a-x)>0,即g(x十1)>g(x2-a),所以 x十1>x2一a在[-2,2]上恒成立，即a> x2一x一1在[一2,2]上恒成立。令函数 h(x)=x2-x-1,x∈[-2,2]，则h(x)在 [-2,]上单调递减，在[合，]上单调递 增。由h(2)=1,h(一2)=5，结合二次函数 h(x)的图像得h(x)mx=h(一2)=5，所以 a>5,即实数a的取值范围固是{a|a>5}。 二、要有函数图像的意识 利用函数图像可以直观地解快问题，尤 其是对于选择题或填空题，十分有效。 例2已知函数f(x)是定义在R上的 高一数华0结的卓轩屑中学生款理化 求解函数问题要有 五种意识 ■郑进连 奇函数，且当x≥0时，函数f(x)= 1og2(x+1),0≤x<1, |x-3|-1,x≥1 则方程f(2)=合的 所有实根之和为()。 A.√2-2 B.√2+1 C.√2-1 D.√2 解：由题意得方程f(x)=的实根是函 数f(x)的图像与直线y=2的交点的横坐 标。根据分段函数的解析式及f(x)是定义 在R上的奇函数，作出函数∫(x)与直线y= 名的图像，如图1所示。 △B… 4-3-2八 y=f(x) 图1 由图可知，y= 合与x)的图像有5个 交点，从左到右依次记为A,B,C,D,E。根 据f(x)=|x一3|一1(x≥1)的图像的对称 性得xD十xE=6,根据f(x)是奇函数得 xA十xB=一6，所以xA十xB十xD十xE=-6 十6=0。由1og,(x+1)=2得xe=E-1, 所以xA十xB十xc十xD十xE=√2一1。应 选C。 三、要有换元的意识 当题目中出现的函数表达式比较复杂， 且多处出现结构一致的代数式时，一般可采 用局部换元法，通过换元将原函数化繁为简， 这样有利于问题的解决。 例3函数y=x十√x(2一x)的值域为 25 中学生款理化架阳被钟与领年1月 解：（方法1）由x(2一x)≥0得0≤x≤ 2,所以函数的定义域为[0,2]。 令x=2sin20,0∈ 0,2 ,则原函数等价 于f(0)=2sin0+√2sin0(2-2sin0)= 2sin20+2sin 0cos 0-1-cos 20+sin 20- sin(20-)+1 因为9∈b,],所以0-∈[， ],所以-1≤厄sin(2-)≤厄，所以 厄sim(20-)+1∈[0，巨+1小，所以函数 y=x十√x(2-x)的值域为[0，√2+1]。 (方法2)由x(2-x)=-(x-1)2十1≥ 0,可得(x-1)2≤1，所以-1≤x-1≤1，所 以令x-1=sm9,9e[受，]，可得x=1 十sin0,则原函数等价于f(0)=1十sin0+ v(1+sin 0)(2-1-sin 0)=1+sin 0+cos 0 =Esin0+)+1.因为g∈[登·]， 所以9+至∈[年，月，所以- 2 sim(g+)≤1，所以Esim(a+)+1∈[o, √2+1]，所以函数y=x十√x(2一x)的值域 为[0，√2+1]。 四、要有转化的意识 对于较复杂的函数问题，转化是一把“万 能钥匙”，利用转化思维可以大大提高解题的 效率，如揭示表达式的几何意义、，将代数向几 何转化、函数有零点问题转化为方程有解问 题或两条曲线有交点问题、含参数不等式问 题转化为函数的最值问题等。 例4若关于x的不等式(m一1)sinx 一main+m-1>0在(0，]上恒成立，则 实数m的取值范围是 解：冷1=sinx,由x∈(0,2]得t∈(0， 1],则原不等式可转化为(m一1)t2一mt十 m一1>0在t∈(0,1]上恒成立，即(t2-t+ 26 1)m>t十1在t∈(0,1]上恒成立。 易得2-1+1=(-2)+圣>0，所以 m> t2+1 ,十1+一在te(01上 1 t大t -1 恒成立。令函数f(t)=t十上一1，则函数 t f(t)在t∈(0,1]上单调递减，所以f(t)∈ [1,十∞)，所以1+ 1—∈(1,2]，故 1 t+ t m>2,即实数m的取值范围是(2，十c∞)。 五、要有构造的意识 函数问题是每年高考的必考点，如比较 大小问题、求解非常规不等式问题、求证函数 不等式问题等，都可以借助函数的性质来解 决，但有的题设中没有直接给出函数的表达 式，这时可从问题的实际出发，构造恰当的函 数，使所求问题迎刃而解。 例5已知f(x)是定义在R上的偶函 数，若对任意x1,x2∈[0，十∞)且x1>x2,都 有fx)二f>x1+x恒成立，且f(3) =0,则满足f(m十3)≤m2十6m的实数m 的取值范围为()。 A.[-6,0] B.[0,1] C.[-3,2] D.[-2,2] 解：由)二f>x1十，可得 x1一x2 f(x)-f(x2)>-,f()-i> f(x2)-x。 设函数g(x)=f(x)一x2,则g(x1)> g(x)。因为x1>x2,所以函数g(x)在[0， 十∞)上单调递增。又f(x)是定义在R上 的偶函数，所以g(一x)=f(一x)一（一x) =f(x)一x2=g(x),所以g(x)为R上的偶 函数。由f(m+3)≤m2十6m,可得f(m十 3)-(m十3)2≤-9。由g(3)=f(3)-9= 一9，可得g(m十3)≤g(3)。结合g(x)的单 调性和奇偶性得|m十3|≤3，解得一6≤m 0。应选A。 作者单位：江苏省建湖县第二中学 (责任编辑王琼霞)